Transcript Biologia dei tessuti

Introduzione
REV, frazioni di volume e porosit`
a
Cinematica del mezzo poroso
Derivate materiali e teoremi di trasporto
Lezione 2: Cinematica dei mezzi continui porosi
Claudio Tamagnini
Dipartimento di Ingegneria Civile e Ambientale
Universit`
a degli Studi di Perugia
Dottorato Internazionale Congiunto Firenze – Braunschweig
Firenze, 13–14 Febbraio 2014
Claudio Tamagnini
Lezione 2: Cinematica dei continui porosi
Introduzione
REV, frazioni di volume e porosit`
a
Cinematica del mezzo poroso
Derivate materiali e teoremi di trasporto
Sommario
1
Introduzione
2
REV, frazioni di volume e porosit`a
3
Cinematica del mezzo poroso
4
Derivate materiali e teoremi di trasporto
Claudio Tamagnini
Lezione 2: Cinematica dei continui porosi
Introduzione
REV, frazioni di volume e porosit`
a
Cinematica del mezzo poroso
Derivate materiali e teoremi di trasporto
La meccanica dei mezzi porosi
La meccanica dei mezzi porosi – o poromeccanica (Coussy 2004) – `e la
branca della meccanica applicata che si occupa della descrizione del
comportamento di mezzi porosi multifase, nei quali si individua uno
scheletro solido, composto da particelle solide, ed uno o pi`
u fluidi
interstiziali (liquido, gas).
La risposta meccanica dei mezzi porosi multifase `e influenzata in misura
significativa dalla interazione tra le fasi (solida e fluide).
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REV, frazioni di volume e porosit`
a
Cinematica del mezzo poroso
Derivate materiali e teoremi di trasporto
Campi di applicazione
La meccanica dei mezzi porosi (MMP) riguarda una vasta gamma di
materiali, tra i quali `e possibile includere:
Materiali di origine geologica (terreni e rocce);
Materiali compositi (es., calcestruzzo);
Materiali biologici (tessuti ed ossa).
La MMP ha dunque numerosi campi di applicazione nell’ingegneria e
nelle scienze applicate. Ad es., la geotecnica, l’ingegneria mineraria
(idrocarburi), la geofisica, l’ingegneria dei materiali e la biomeccanica.
Nonostante tali campi di applicazione siano molto distanti tra loro, i
processi di deformazione e diffusione accoppiati che hanno luogo quando i
materiali porosi vengono sollecitati (in vario modo) risultano
sostanzialmente simili.
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Cinematica del mezzo poroso
Derivate materiali e teoremi di trasporto
Il mezzo poroso come continuo multifase
L’elemento chiave che consente di estendere la MMC classica ai mezzi
porosi multifase consiste nel considerare il mezzo come una miscela di pi`
u
continui sovrapposti nel medesimo spazio e che interagiscono tra loro
scambiando forze, massa ed energia.
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Derivate materiali e teoremi di trasporto
Teorie delle Miscele
Le moderne teorie che inquadrano il comportamento dei mezzi porosi
nell’ambito della MMC possono essere suddivise in tre classi:
1) Teorie Macroscopiche
Biot (1941,1956);
Coussy (1995,1997,2004);
2) Teorie delle Miscele con frazioni di volume
Bowen (1976,1980,1982); Prevost (1980);
de Boer et al. (1991); de Boer (1996,1998); Bluhm & de Boer
(1996,1997);
Svendsen & Hutter (1995);
Wilmanski (1996,1998).
3) Teorie delle Miscele Ibride
Hassanizadeh & Gray (1979a,b);
Zienkiewicz et al. (1988, 1990); Schrefler et al. (1990);
Lewis & Schrefler (1998).
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Derivate materiali e teoremi di trasporto
Il concetto di REV
L’applicazione della MMC a materiali con microstruttura discontinua
evidente quali i mezzi porosi richiede l’introduzione del concetto di
volume elementare rappresentativo, o REV.
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Derivate materiali e teoremi di trasporto
Il concetto di REV
Il REV deve risultare sufficientemente piccolo (` B) da ritenere che i
valori medi delle grandezze fisiche in tale volume rappresentino i valori
puntuali dei campi che caratterizzano il mezzo continuo,
ma anche sufficientemente grande (` d) da risultare rappresentativo
del comportamento del mezzo poroso alla scala macroscopica.
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Frazioni di volume
Un elemento comune a tutte le teorie delle miscele per i mezzi porosi `e il
concetto di frazioni di volume, impiegato per descrivere (al livello pi`
u
semplice possibile) la microstruttura del materiale.
In ciascun punto materiale del mezzo, si definisce frazione di volume n α
del costituente α la quantit`a:
(
Z
1 if r ∈ α;
dvα
α
; dvα :=
χα (r)dv ; χα (r) :=
n :=
dv
0 altrimenti.
dv
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Frazioni di volume
Il volume Vα occupato dal costituente α nel corpo S `e dato da:
Z
vα =
n α dv
S
mentre il volume totale della miscela `e la somma dei volumi parziali dei
costituenti:
#
Z "X
Z
m
m Z
m
X
X
α
α
v=
vα =
n dv =
n
dv =
dv
α=1
α=1
S
S
α=1
S
Pertanto, le quantit`a n α sono soggette alla seguente condizione di
saturazione:
m
X
nα = 1
α=1
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Mezzo poroso saturo. Porosit`a
In geomeccanica, un mezzo poroso `e definito saturo quando tutti i vuoti
sono occupati da acqua (mezzo bifase).
Si definisce porosit`a n del mezzo il rapporto tra il volume occupato dai
vuoti nel REV, dvv , ed il volume totale del REV, dv.
n :=
dvv
dv
Dunque, in un mezzo saturo, si ha:
nw = n
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ns = 1 − n
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Porosit`a euleriana e lagrangiana
La porosit`a n `e una grandezza euleriana, perch`e `e riferita alla
configurazione corrente St dello scheletro solido.
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Porosit`a euleriana e lagrangiana
Si definisce porosit`a lagrangiana φ la grandezza (materiale):
φ := Jn
⇒
φ dV = ndv
La porosit`a lagrangiana φ rappresenta il volume dei vuoti corrente per
unit`a di volume nella configurazione di riferimento B dello scheletro
solido.
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Cinematica dello scheletro solido
Nelle teorie macroscopiche per i continui porosi derivanti dall’approccio
di Biot, il moto dello scheletro solido assume un ruolo predominante.
La sua descrizione non differisce in alcun modo da quella di un continuo
monofase. Tipicamente si adotta un approccio Lagrangiano.
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Variazione di volume dello scheletro solido
La variazione di volume dello scheletro solido `e definita dal Jacobiano
J = det F = dv/dV .
Si indichi con:
Js := det(F s )
dvs = Js dVs = Js (1 − φ0 ) dV
lo Jacobiano della deformazione dei grani solidi, che quantifica la
variazione del volume occupato dalla sola fase solida. Si ha allora:
dvs = Js (1 − φ0 ) dV = (J − φ) dV = (1 − n) dv
J = φ + Js (1 − φ0 )
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Variazione di volume dello scheletro solido
Nel caso di “piccole deformazioni”, si ha:
Js ' 1 + sv
J ' 1 + kk = 1 + v
Dunque:
1 + v = φ + (1 − φ0 )(1 + sv )
v = φ − φ0 + (1 − φ0 )sv
Se i grani solidi sono incompressibili, Js = 1 ed sv = 0. Pertanto:
v = φ − φ 0
Lo scheletro solido pu`
o variare di volume solo a seguito di variazioni della
porosit`a.
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Cinematica della fase liquida
Il moto della fase liquida `e tipicamente descritto impiegando un
approccio Euleriano, data l’impossibilit`a di definire una configurazione di
riferimento B w per tale fase.
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Cinematica della fase liquida
Si definisce:
v w (x, t) = (∂ϕw /∂t) ◦ ϕ−1
w
l w (x, t) = grad v w
w
velocit`a (media) del liquido
gradiente della velocit`a del liquido
w
d (x, t) = sym(grad v )
velocit`a di deformazione del liquido
Nello studio del moto del liquido nel mezzo poroso, spesso la velocit`a
relativa del liquido rispetto al solido `e pi`
u rilevante. Si definisce velocit`a
di filtrazione o di d’Arcy il vettore:
v(x, t) := n (v w − v s )
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vi := n (viw − vis )
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Velocit`a di filtrazione Euleriana
Interpretazione fisica della velocit`a di
filtrazione:
dQw = (v w − v s ) · n (nda) = v · n da
`e la portata per unit`a di area totale che
attraversa la superficie solida da.
Si definisce velocit`a di filtrazione di massa
(Euleriana) la quantit`a:
m := ρw n (v w − v s ) = ρw v
Dunque:
dMw = m · n da
`e la portata in massa per unit`a di area
totale che attraversa la superficie solida da.
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Velocit`a di filtrazione Lagrangiana
Descrivendo la cinematica del mezzo poroso
in base al moto della fase solida, ha senso
definire velocit`a di filtrazione Lagrangiana
la trasformazione di Piola di v:
V := J F −1 v
Si definisce velocit`a di filtrazione di massa
Lagrangiana la quantit`a:
M := J F −1 m
Per le propriet`a della trasformazione di
Piola, si ha:
V · N dA = v · n da
M · N dA = m · n da
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Derivate materiali e teoremi di trasporto
Derivate materiali
Si definisce derivata temporale materiale rispetto al moto della fase α di
un campo spaziale (scalare, vettoriale o tensoriale) regolare ψ(x, t) la
quantit`a:
∂ψ
d αψ
∂
α
=
=
ψ (ϕα (X , t), t)
+ grad ψ[v α ]
−1
dt
∂t
∂t
X α =ϕα (x,t)
La derivata materiale d α ψ/dt misura la variazione nel tempo della
grandezza ψ nella “particella” X α della fase α.
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Derivate materiali e teoremi di trasporto
Derivate materiali
Casi particolari
Derivata temporale materiale rispetto al moto della fase solida:
dψ
∂ψ
=
+ grad ψ[v s ]
dt
∂t
Derivata temporale materiale rispetto al moto della fase liquida:
dwψ
∂ψ
=
+ grad ψ[v w ]
dt
∂t
Relazione tra le due derivate materiali:
dψ
dψ
1
dwψ
=
+ grad ψ [v w − v s ] =
+ grad ψ[v]
dt
dt
dt
n
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Derivate materiali e teoremi di trasporto
Derivate materiali
Casi particolari
Accelerazione (spaziale) della fase solida:
a s :=
dv s
∂v s
=
+ (grad v s ) v s
dt
∂t
Accelerazione (spaziale) della fase liquida:
a w :=
d w vw
∂v w
=
+ (grad v w ) v w
dt
∂t
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Derivate materiali e teoremi di trasporto
Teorema di Reynolds per la fase solida
Sia f un campo spaziale scalare regolare. Per una qualunque parte Pt di
St e ad ogni istante t, si ha:
Z
Z
Z
d
∂f
f dv =
dv +
f v · n da
dt Pt
Pt ∂t
∂Pt
Dimostrazione
Trasformando l’integrale su Pt in un integrale su P ∈ B si ha:
Z
Z
Z
d
d
d
f dv =
[(f )m J ] dV
(f )m J dV =
dt Pt
dt P
dt
P
Z
Z
[∂f /∂t + div(f v)]m J dV
=
f˙ + f div v m J dV =
ZP
ZP
Z
=
[∂f /∂t + div(f v)] dv =
∂f /∂t dv +
f v · n da
Pt
Pt
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∂Pt
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Derivate materiali e teoremi di trasporto
Teorema di Reynolds per la fase liquida
Sia f un campo spaziale scalare regolare. Per una qualunque parte Pt di
St e ad ogni istante t, si ha:
Z
Z
Z
dw
∂f
f dv =
dv +
f v w · n da
dt Pt
∂t
Pt
∂Pt
Dimostrazione
Trasformando l’integrale su Pt in un integrale su P w ∈ B w si ha:
Z
Z
Z
dw
dw
dw
f dv =
[(f )m Jw ] dV
(f )m Jw dV =
dt Pt
dt P w
P w dt
Z
=
[d w f /dt + f div v w ]m Jw dV
Pw
Z
Z
Z
w
=
[∂f /∂t + div(f v )] dv =
∂f /∂t dv +
f v w · n da
Pt
Pt
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∂Pt