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Fare scienza con il
computer:
BILIARDI E CAOS
29 gennaio 2014
(G. Pastore - M. Peressi - E. Smargiassi)
La meccanica classica e il
determinismo
•
a = F/m ; posizione e velocita’ iniziale
•"Noi dobbiamo riguardare il presente stato dell'universo come
l'effetto del suo stato precedente e come la causa di quello che
seguirà. Ammesso per un istante che una mente possa tener
conto di tutte le forze che animano la natura, assieme alla
rispettiva situazione degli esseri che la compongono, se tale
mente fosse sufficientemente vasta da poter sottoporre questi
dati ad analisi, essa abbraccerebbe nella stessa formula i moti
dei corpi più grandi dell'universo assieme a quelli degli atomi più
leggeri. Per essa niente sarebbe incerto ed il futuro, così come il
passato, sarebbe presente ai suoi occhi.”
•Pierre Simon de Laplace (1749-1827)
philosophique sur les probabilites"
"Essai
Caos deterministico
Se l’ evoluzione temporale di un sistema e’ caotica,
pur essendo governata da equazioni
deterministiche (leggi ben precise!), si parla di
caos deterministico.
La fisica dei biliardi e’
legata al caos
deterministico
La realta’ e’ un po’ complicata da tanti fattori...
per poterla studiare, la semplifichiamo
(facciamo un MODELLO)
Biliardi veri... bocce sferiche
(piu’ o meno...)
tavolo e bordi “quasi” lisci
urti “quasi” elastici
(dopo un po’ le bocce si fermano!)
boccia puntiforme
(nessuna rotazione)
...e biliardi modello
tavolo e bordi perfettamente lisci
(zero attrito)
urti perfettamente elastici
(le bocce non si fermano mai!)
Modello di biliardo
zero attrito =>
1) tavolo liscio: velocita’ costante
(moto rettilineo uniforme)
tra un urto e l’altro contro le pareti
(allora: come cambia la velocita’ della biglia negli urti?)
:
:
:
:
!v
2) bordi perfettamente lisci =>
urti perfettamente elastici
conservazione dell’energia
(e’ solo cinetica in questo caso,
quindi conservazione del modulo
della velocita’: |v’| = |v| )
Inoltre: v’// = v // e v’⊥= - v⊥
!v
v!!
?
v!!
Urti elastici e riflessione
v’// = v //
e
v’⊥= - v⊥
implica
angolo di incidenza =
angolo riflessione
v//
!
v⊥
v⊥
!
v//
Valgono le leggi della riflessione dell’ottica, con la differenza che:
in ottica: tipicamente riflessioni in mezzi semiinfiniti;
in un biliardo: spazio limitato e riflessioni successive
Parametri :
LATI biliardo
e
CONDIZIONI INIZIALI del punto materiale
(POSIZIONE e VELOCITA’)
N.B.: sono due vettori, quindi (x0,y0) e (v0x,v0y)
oppure modulo e angolo;
per comodita’ possiamo considerare |v|=1 (in qualche unita’ di misura)
(Uso del codice per biliardi rettangolari...:
quali sono le CARATTERISTICHE DELLE TRAIETTORIE
in termini di regolarita’ e di occupazione dello spazio?)
Cosa c’e’ “dentro” il codice
che abbiamo usato?
(qualche spiegazione in piu’...
e
l’algoritmo)
La fisica dei biliardi:
urti
corpi materiali dotati di una certa velocita’
che urtano uno contro l’altro o contro un
ostacolo“immobile”
!v
v!! l’urto
cambia la
velocita’
la velocita’ negli urti
elastici su pareti
rettilinee cambia
secondo
le leggi della riflessione
dell’ottica
come usare
questo fatto per
calcolare la
traiettoria della
biglia?
v’// = v //
e
v’ = - v
⊥
v//
!
v⊥
v⊥
!
v//
L’algoritmo
⊥
L’algoritmo
Queste semplici leggi (v’// = v // e v’⊥= - v⊥) possono essere
scritte in un programma e (usando x e y) si puo’ seguire il
moto del punto materiale dopo ripetute riflessioni (molte!)
dati x,y, vx,vy al tempo t
calcolare :
1) tempo per la prossima collisione
2) punto di impatto
3) velocita’ dopo l’urto (riflessione)
Iterare N volte (N collisioni)
esempio per parete rettilinea
Ogni parete e’ descritta da un’equazione: esempio y=1.
Consideriamo biglia con: x0=-0.5, y0=0.5, vx=2, vy=2
1) Quando avverra’ l’ urto (tempo di collisione, tc)
con la parete y=1 ?
Lungo y e’ un moto rettilineo uniforme con velocita’ vy ;
La collisione avviene dopo aver percorso lungo y
un tratto pari a y0:
Mettere a sistema le due equazioni:
1) della parete :
y =1
2) del moto rettilineo uniforme lungo y: y(t)=y0 + vy t
=> soluzione: y0 + vy t = 1 ricavo tc=(1- y0)/vy=0.25
esempio per parete rettilinea
2) in che punto avverra’ l’ urto ?
La yc sara’ y=1 (quella della parete);
la xc si trova considerando il corrispondente moto rettilineo
uniforme lungo x, che avviene a partire da x0 per un tempo tc :
x(t) = x0 + vx t
e quindi xc = x0 + vx tc
3) velocita’ dopo l’urto:
v’x = vx
v’y = -vy
Perche’ la
velocita’ cambia?
!v
v!!
Se la velocita’ cambia
(anche solo direzione, o solo verso, e non modulo),
ci devono essere delle forze
!
"
∆!v
!
F = m!a =
...
∆t
altrimenti il moto sarebbe rettilineo uniforme,
senza cambiamenti neppure di traiettoria.
Allora nei biliardi modello rettangolari agiscono delle
forze negli urti:
ma solo forze perpendicolari ai bordi !!!
(ma qui non ci preoccupiamo di come son fatte le forze, solo del loro effetto)
Possiamo variare il
nostro modello di
biliardo...
?
e considerare biliardi
di forma circolare
Come in ottica, la riflessione va
considerata sul piano tangente
alla superficie in quel punto, e gli
angoli di incidenza e riflessione
sono rispetto alla perpendicolare
al piano tangente.
Le leggi son sempre quelle (v’// = v // e v’⊥= - v⊥) ma adesso
un po’ piu’ complicate da scriversi in termini di vx e vy in un
programma....
...(...e le equazioni che descrivono le pareti non sono piu’
equazioni di rette, ma di un cerchio; dovremo mettere a
sistema l’equazioni di cerchio e di rette...
ma non lo vediamo qui)
Sempre diamo le
CONDIZIONI INIZIALI del punto materiale
(POSIZIONE e VELOCITA’)
(Uso del codice per biliardi circolari...:
quali sono le CARATTERISTICHE DELLE TRAIETTORIE
in termini di regolarita’ e di occupazione dello spazio?)
Un modello “strano” di biliardo
construct the corresponding laboratory system and othe
Sempre valido il moto rettilineo uniforme:
L
x(t) = x0 + vx t
y(t) = y0 + vy t
r
(a)
ma ben piu’
complicato
scrivere
equazioni
Figure
6.14: (a)ora
Geometry
of delle
the stadium
billiard model
per calcolare il tempo e il punto di impatto
(suggerimento: dividere i casi:
bordo rettilineo
sopra,
sotto,
semicerchio
sinistro)
Project
6.24.
Billiard
modelsdestro,
Consider
a two-dimensio
(Uso del codice per biliardi a stadio...:
singola traiettoria;
traiettorie con condizioni iniziali leggermente diverse
quali sono le CARATTERISTICHE DELLE TRAIETTORIE
in termini di regolarita’ e di occupazione dello spazio?)
Abbiamo provato:
biliardi rettangolari
(anche “troppo” regolari! se i lati stanno tra loro come due numeri interi m e n,
e la biglia viene lanciata a 45o , dopo m+n-2 urti la biglia finisce in un altro angolo!)
Abbiamo poi provato:
biliardi circolari
biliardi ”a stadio”
?
Modelli “strani” di biliardoIl bili
Sinai
Il matematico russo
Sinai ha provato
in
maniera rigorosa che
questo tipo di biliardo
è caotico
In un biliardo di forma quadrata o rettangolare le traiettorie sono regolari.
Inserendo un ostacolo circolare, la geometria del biliardo
genera delle traiettorie caotiche: le superfici curve degli ostacoli sferici
hanno
un effetto “defocalizzante” e fanno si’ che piccoleFigure
differenze
gure
3 xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
4 nelle
condizioni iniziali delle due biglie vengano amplificate... e dopo pochi rimbalzi,
roject
investigates
billiard shapes
designed
to induce completamente
chaos in the diversa
due traiettorie
inizialmente
simili hanno
un’evoluzione
tron trajectories. The Sinai billiard, shown in Fig. 4, is of particular
empty' square has been predicted to support stable (i.e., non-chaotic)
Sinai”, at
unthe
matematico
che ha scoperto
il fenomeno
nel 1972
y (“biliardo
inserting di
a circle
centre ofrusso
the square,
the billiard
is transformed
e l’ha dimostrato
modo
con formule!)
' geometry,
namedinafter
therigoroso
Russian- chaologist
who, back in 1972,
D
Modelli “strani” di biliardo
ER 6. THE CHAOTIC MOTION OF DYNAMICAL SYSTEMS
198
is the angle of the needle with respect to a fixed axis along the field, µ is the magnetic
of the needle, I its moment of inertia, and B0 and ω are the amplitude and the angular
y of
magnetic geometria
field. Choose an
appropriate
numerical
method
solving
(6.53), and
“athestadio”:
piu’
semplice,
basta
una for
deformazione
!
Poincar´e map at time t = 2πn/ω. Verify that if the parameter λ = 2B0 µ/I/ω > 1,
del bordo circolare per generare traiettorie caotiche
motion of the needle exhibits chaotic motion. Briggs (see references) discusses how to
t the corresponding laboratory system and other nonlinear physical systems.
(di Sinai)
a stadio (Bunimovich)
L
L
r
r
(a)
(b)
Si puo’ “misurare” il caos?
Esempio dei biliardi “a stadio”:
Partiamo da due biglie con posizioni e/o velocita’
quasi identiche (differenze diciamo dell’ordine di
10−5); calcoliamo dopo ogni riflessione la
differenza ∆s cosi’ definita:
∆s =
!
|!r1 − !r2 |2 + costante · |!v1 − !v2 |2
Si puo’ studiare ∆s in funzione del numero di
riflessioni n: ha una certa legge matematica con
un parametro che dipende da L
Riassumendo e per finire con qualche spunto di
riflessione, piu’ in generale:
Sistemi caotici
Se l’evoluzione di un sistema dipende sensibilmente
dalle condizioni iniziali, cioe’ se piccole variazioni nelle
condizioni iniziali (posizioni, velocita’) causano poi
differenze molto grandi, il sistema e’ caotico.
(in metereologia: "effetto farfalla")
caos e impredicibilita’
caos e casualita’
....