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Distribuzione di Maxwell delle velocita’ in un gas
all’equilibrio
mv 2

2
2 kT
m 3/ 2
dN  f (v)dv  4N 0 (
) ve
2kT
dv
dN rappresenta il numero di molecole che hanno modulo della velocita’
compreso tra v e v+dV ossia f(v) = dN/dv
f(v)/N0 e’ una funzione normalizzata all’unita’
f (v)  4 (
quindi
mv 2

2
2 kT
1 3/ 2 m 3/ 2
) ( ) ve
2
kT
f (v ) 
2

( )
3/ 2
2
ve
2

v

2
 4
1
8
3/ 2 2
(

)
ve
3
dove si e’ posto

f ( x) 
f ( x)  0
2

( ) 3 / 2 x 2 e
2
2
m

kT
ed in effetti
2

x

v 2
x0
x0
e’ una densita’ di probabilita’ quindi f(v) deve essere normalizzata all’
unita’

ossia

0

2
0

f ( x)dx  
( ) 3 / 2 x 2 e
2

x

2
1
il valor medio di questa distribuzione vale



0

2
0

xf ( x)dx  
( )
3/ 2
3
xe

x 2
2
2
2

la varianza vale
 
2


0
( x   ) f ( x)dx 
2
1

8
(3  )

annullando la derivata della f(x) si determina il massimo
della funzione ossia il valore piu’ probabile della velocita’:
xp 
2

la distribuzione di Maxwell non e’ simmetrica quindi valore piu’ probabile
e valor medio sono diversi
ricapitolando
2
xp 

2
 2
 
2

1
vp 
2kT
m
vm 
2
8
(3  )

 v2 


vP 
2

2kT
m
3kT 8kT

m
m
m

kT
dato che si era posto
3
1 __2
l’energia cinetica media di una molecola e’ E c  kT  m v
2
2
__
2
occorrera’ quindi determinare il valore di v
__
poiche’
x
2
x  x 
2
  
2
2
 x  x
da cui
2
x
la velocita’ quadratica media sara’
2

2
ovvero
__
2
3kT
v 
m
3

v
 2  x2   2
v
2
3kT

m
__
3kNAT
v
mN A
__
3RT
v
A
dove A e’ la massa molecolare, R =8.31 JKmole-1
ad esempio per l’ossigeno molecolare si ha :
3  (8.31JKmole1 )  300( K )
v 
 484ms 1
0.032( Kg )
__
Velocita’ di fuga dalla Terra
si deve determinare quale sia la velocita’ v che occorre imprimere ad
un corpo di massa m affinche’ possa sfuggire alla attrazione
gravitazionale della terra.
il campo gravitazionale e’ conservativo e potremo applicare la
conservazione della energia meccanica totale
lanceremo l’oggetto a partire dalla superficie della terra con velocita’ di
modulo v
la somma dell’energia cinetica e di quella potenziale saranno costanti
durante il moto
affinche’ il corpo sfugga alla attrazione gravitazionale della terra occorre
che possa raggiungere una distanza infinita con una velocita’
v  0
all’infinito l’energia potenziale gravitazionale sara’ nulla quindi :
1 2
mM T 1 2
mv  G
 mv  0
2
RT
2
ricavando la velocita’ di lancio si ottiene:
MT
v  v  2G
RT
2
2

si definisce velocita’ di fuga vf quella velocita’ di lancio che consente
di far giungere il corpo di massa m all’infinito con velocita nulla
ponendo
v  0
si ottiene :
vf 
MT
2G
RT
velocita' di fuga dalla terr a  11200 ms1
Velocita’ quadratiche medie in m/s a T = 300 K
Gas
A (gm)
Idrogeno
Elio
Vapor d’acqua
Azoto
Ossigeno
2
4
18
28
32
Velocita’ q.m.
1934
1368
645
517
484
la probabilita’ che una molecola possegga una velocita’ molto superiore
alla media e’ sempre piu’ piccola man mano che ci si allontana dalla
velocita’ media ma chiaramente per l’idrogeno sara’ piu’ facile
sfuggire dall’atmosfera della terra di quanto non lo sia per l’ossigeno o
per l’azoto
in effettti una stima grossolana indica una perdita di circa 600Kg di
idrogeno all’anno
infine e’ da notare che la velocita’ di propagazione del suono
nell’atmosfera e’ di circa 330 m/s, mentre le velocita’ quadratiche medie
sono dell’ordine di ~1000m/s