Transcript PSICOMETRIA - e

PSICOMETRIA
Corso di Laurea in
Scienze Psicologiche della Personalit`
a
e delle Relazioni Interpersonali
Esercizi
Nona Settimana
Massimo Nucci
email: [email protected]
ESERCIZI DI TEORIA DELLE RELAZIONI
1.
1
SOLUZIONI
1. Un gruppo di 37 persone - facenti parte di una societ`a di parapsicologia - sostiene di avere
delle capacit`a di percezione extrasensoriale. Venite incaricati di studiare il caso. Cercando
in letteratura trovate un test per la valutazione delle presunte capacit`a di percezione extrasensoriale. Le persone normali realizzano una punteggio medi di 50 con una deviazione
standard di 15. Avete deciso di adottare tale test e le 37 persone da voi studiate hanno
realizzato un punteggio medio di 53.8. Quali sono le vostre conclusioni?
SOLUZIONE
1. Individuazione delle variabili e formulazione delle ipotesi statistiche
Le variabili dello scenario proposto sono due: avere o non avere delle capacit`a di percezione
extrasensoriale (variabile indipendente), il punteggio al test (variabile dipendente). L’ipotesi
nulla afferma che la media della popolazione da cui `e stato estratto il campione `e uguale
a quella della popolazione tutta, ovvero `e uguale a 50; l’ipotesi alternativa afferma invece
che la media della popolazione da cui `e stato estratto il campione `e maggiore di quella della
popolazione tutta, ovvero `e maggiore di 50.
Si tratta di un’ipotesi monodirezionale destra:
H0 : µ1 = 50
H1 : µ1 > 50
2. Calcolo della statistica scelta
Per fare un confronto tra la media di una popolazione di cui si conosce la media e la deviazione standard e quella di un campione, si usa trasformare quest’ultima in un punto z,
per poi confrontare questo valore coll’area critica dell’Ipotesi Nulla, ricavata dalle tavole
della distribuzione normale standard. Il confronto avviene idealmente per mezzo della distribuzione campionaria della media. Tuttavia, per poter calcolare l’area critica si usa la
distribuzione normale standard come una trasformata della distribuzione campionaria della
media.
La formula dei Punti z `e:
zi =
xi − µx
σx
Per ottenere il punto z da X bisogna sottrarre a X la media della distribuzione campionaria
della media e dividerla per la sua deviazione standard. Il valore di µx `e noto in quanto
uguale a quello della popolazione di riferimento, il valore di σx va invece calcolato secondo
la formula:
σ
15
σX = √ = √ = 2.61
n
33
Segue infine:
zx =
xi − µx
53.8 − 50
=
= 1.455
σx
2.61
2
3. Determinazione dell’Area critica dell’Ipotesi Nulla per mezzo delle tavole
Fissiamo il valore di α a 0.05. Considerato che lavoriamo sotto un’ipotesi monodirezionale
composta a destra `e necessario scoprire qual `e quel punto z alla destra del quale `e compresa
il 5% della curva distribuzione normale standard.
Il punto z alla destra del quale `e compresa il 5% della curva distribuzione normale standard
`e 1.65, dunque:
zcr = 1.65
4. Decisione finale
La Decisione finale avviene grazie al confronto tra i valori calcolati dal campione (punto 2)
e quelli critici delle tavole (punto 3), il valore calcolato del punto z vale zx = 1.455, mentre
lo z critico vale zc = 1.65. Graficamente:
Siccome il valore della statistica, in questo caso il punto zx , non supera a destra il valore dello
z critico, l’ipotesi nulla viene accettata e l’ipotesi alternativa rifiutata. Le 37 persone facenti
parte di una societ`a di parapsicologia non hanno mostrato di aver capacit`a di percezione
extrasensoriale.
3
2. Secondo i dati del ministero del’Universit`a e della Ricerca Scientifica, il tempo medio impiegato da uno studente a laurearsi in Italia `e di µ0 = 5.4 anni, con una deviazione standard di
σ = 1.1. Dal sito Internet dell’Ateneo di Padova ricavate la seguente tabella per le diverse
facolt`a, sapendo che ogni media `e stata calcolata su un campione di 100 studenti:
µ0 = 5.4, σ = 1.1
Facolt`
a
Tempo medio per la laurea
Giurisprudenza
Economia
Matematica
Psicologia
Lettere
Medicina
5.75
5.31
4.90
5.65
5.11
6.90
Per ciascuna delle diverse facolt`a calcolate se si differenzia in modo significativo dalla media
nazionale sia con α = 0.05 sia con α = 0.01.
SOLUZIONE:
1. Individuazione delle variabili e formulazione delle ipotesi statistiche
Le variabili dello scenario proposto sono due: i differenti tipi di laurea (variabile indipendente) e il tempo impiegato per conseguire la laurea (variabile dipendente). L’ipotesi nulla
afferma che la media della popolazione da cui `e stato estratto il campione `e uguale a quella
della popolazione tutta; l’ipotesi alternativa afferma invece che la media della popolazione
da cui `e stato estratto il campione `e diversa da quella della popolazione tutta.
Si tratta di un’ipotesi bidirezionale composta:
H0 : µ1 = 5.4
H1 : µ1 6= 5.4
2. Calcolo della statistica scelta.
Per fare un confronto tra la media di una popolazione di cui si conosce la media e la deviazione standard e quella di un campione, si usa trasformare quest’ultima in un punto z, per
poi confrontare questo valore coll’Area critica dell’Ipotesi Nulla, ricavata dalle tavole della
distribuzione normale standard. La formula dei Punti z `e:
zi =
xi − µx
σx
Per ottenere il punto z da X bisogna sottrarre a X la media della distribuzione campionaria
della media e dividerla per la sua deviazione standard. Il valore di µx `e noto in quanto uguale
a quello della popolazione di riferimento, il valore di σx va invece calcolato secondo la formula:
σ
1.1
σX = √ = √
= 0.11
n
100
4
Si ottiene dunque la seguente tabella:
zx =
xi − µx
σx
Facolt`
a
Tempo medio
µx
σx
zcal
Giurisprudenza
Economia
Matematica
Psicologia
Lettere
Medicina
5, 75
5, 31
4, 90
5, 65
5, 11
6, 90
5, 4
5, 4
5, 4
5, 4
5, 4
5, 4
0, 11
0, 11
0, 11
0, 11
0, 11
0, 11
3, 182
−0, 818
−4, 545
2, 273
−2, 636
13, 636
3. Determinazione dell’Area critica dell’Ipotesi Nulla per mezzo delle tavole
Fissiamo il valore di α sia a 0.05, sia a 0.01. Considerato che lavoriamo sotto un’ipotesi
bidirezionale `e necessario considerare due aree della distribuzione standard, la somma delle
quali deva dare il 5% e l’1% dell’area totale. Bisogna dunque scoprire quali sono i punti z
alla destra e sinistra dei quali `e compresa il 2.5% e 0.5% della curva distribuzione normale
standard.
Il punto z alla destra e alla sinistra del quale `e compresa il 2.5% della curva distribuzione
normale standard `e ±1.96.
zcr5% = −1.96
zcr5% = +1.96
Il punto z alla destra e alla sinistra del quale `e compresa il 1% della curva distribuzione
normale standard `e ±2.575.
zcr1% = −2.575
zcr1% = +2.575
4. Decisione finale
La verifica finale avviene grazie al confronto tra i valori calcolati dal campione (punti zcr ) e
quelli critici delle tavole (punti zcal )
Facolt`
a
xi
µx
σx
zcal
α = 0.05
zcr5% = ±1.96
α = 0.01
zcr1% = ±2.575
Giurisprudenza
Economia
Matematica
Psicologia
Lettere
Medicina
5.75
5.31
4.90
5.65
5.11
6.90
5.4
5.4
5.4
5.4
5.4
5.4
0.11
0.11
0.11
0.11
0.11
0.11
3.182
−0.818
−4.545
2.273
−2.636
13.636
Sign
Non Sign
Sign
Sign
Sign
Sign
Sign
Non Sign
Sign
Non Sign
Sign
Sign
5