Transcript Condivisione efficiente del rischio tra soggetti con diversa

Condivisione dei rischi: il caso di due soggetti
con diverso coe¢ ciente di assoluta avversione al
rischio. Esercizi
Massimo A. De Francesco
Università di Siena
May 30, 2014
1
Esercizio 1
Si considerino due individui, A e B. Le ricchezze di A e di B hanno le seguenti
distribuzioni di probabilità
WA
8
12
p(WA )
1=2
1=2
WB
8
12
p(WB )
1=2
1=2
e WA e WB sono tra loro statisticamente indipendenti. A ha un coe¢ ciente
di assoluta avversione al rischio rA = 0; 15 e B ha un coe¢ ciente di assoluta
avversione al rischio rB = 0; 25.
(a) Si determinino gli equivalenti certi di A e di B.
(b) Come deve essere ripartita la ricchezza incerta tra A e B perché si abbia
una ripartizione e¢ ciente del rischio?
(c) Si mostri che, a¢ nché si abbia un miglioramento paretiano rispetto alla
situazione iniziale, deve esserci un trasferimento certo di denaro da A a B, che
risulti compreso in un preciso intervallo.
(d) Si determini la distribuzione di probabilità della ricchezza di A e la
distribuzione di probabilità della ricchezza di B con una condivisione e¢ ciente
del rischio.
SOLUZIONI
(a) Si veri…ca facilmente che EWA = 10, 2WA = 4 e EWB = 10, 2WB = 4.
Applicando la formula Arrow-Pratt per il premio per il rischio, troviamo che
ECA = 10 21 0; 15 4 = 9; 7 e ECB = 10 12 0; 25 4 = 9; 5.
(b) Sappiamo dalla teoria spiegata a lezione (si veda su questo, per esempio,
il Milgrom-Roberts, compresa la dimostrazione che si è fatta a lezione) che una
condivisione e¢ ciente del rischio richiede che il soggetto A venga a detenere una
1
quota della ricchezza incerta uguale a rB =(rA + rB ) = 0; 625 e il soggetto B una
quota della ricchezza incerta totale uguale a rA =(rA + rB ) = 0; 375.
(c) Indicando con la somma certa che viene trasferita da A a B abbiamo
che le ricchezze di A e B con una condivisione e¢ ciente del rischio sarànno
fA = 0; 625(WA + WB )
fB = 0; 375(WA + WB ) + . Possiamo perciò
W
eW
determinare l’espressione per l’equivalente certo di ciascun soggetto con la condivisione e¢ ciente del rischio, quando ad essa si accompagni un trasferimento di
una somma certa da A a B pari a . Per quanto riguarda il soggetto A, abbiamo
eA = E[0; 625(WA + WB )
), espresEC
] 12 0; 15 V ar(0; 625(WA + WB )
1
e
0; 6252 8 =
sione che con semplici passaggi diventa E CA = 12; 5
2 0; 15
eB = E[0; 375(WA +
12; 265625
. Per quanto riguarda il soggetto B, si ha E C
WB ) + ] 21 0; 25 V ar(0; 375(WA + WB ) + ), espressione che con semplici
eB = 7; 359375 + . A¢ nché entrambi i soggetti stiano
passaggi diventa: E C
meglio che nella iniziale iniziale (in altri termini: a¢ nché si abbia un miglioramento paretiano rispetto a quella situazione) dovrà perciò risultare, da un lato,
12; 265625
> 9; 7 e, dall’altro, 7; 359375+ > 9; 5. Le soluzioni di queste due
disequazioni sono rispettivamente < 2; 565625 e > 2; 140625. La soluzione
del sistema è perciò 2; 140625 < < 2; 565625.
(d) Indicando sempre con il trasferimento certo da A a B, con semplici
calcoli si trova le distribuzioni di probabilità cercate risultano essere le seguenti:
fA
fB p(WB )
W
p(WA )
W
10
1=4
6
1=4
12; 5
1=2
7; 5
1=2
15
1=4
9
1=4
2
Esercizio 2
Si consideri la situazione iniziale ipotizzata nell’esercizio precedente.
(a) Si dimostri che anche una condivisione uniforme del rischio determinerebbe
un miglioramento paretiano rispetto alla situazione iniziale.
(b) Si dimostri come però, rispetto alla situazione determinata al punto
(a), una condivisione Pareto-e¢ ciente della ricchezza incerta determinerebbe un
miglioramento ulteriore per entrambi i soggetti, purché ad essa si accompagni
un adeguamento trasferimento certo di denaro da A a B.
SOLUZIONI
f
f A = 0; 5(WA +
(a) Con una condivisione uniforme del rischio, risulta W
f
f B = 0; 5(WA + WB ) (possiamo senza perdita di generalità porre
WB ) e W
= 0: supponiamo cioè che a questa condivisione dei rischi non si accompagni alcun trasferimento certo dall’uno all’altro soggetto). Con tale condiviee
sione, l’equivalente certo dei due soggetti risulta E C
A = E[0; 5(WA + WB )]
2
ee
1
V ar(0; 5(WA + WB )) = 9; 85 e E C
B = E[0; 5(WA + WB )]
2 0; 25
V ar(0; 5(WA + WB )) = 9; 75.
(b) Dato che sappiamo dalla teoria che una condivisione e¢ ciente della ricchezza incerta deve assegnare ad A una quota di tale ricchezza pari a 0,625 e a
B una quota pari a 0,375, ci aspettiamo che sia sempre possibile - con una tale
condivisione della ricchezza - fare in modo che sia A sia B stiano meglio rispetto
a come starebbero con qualunque altra condivisione del rischio, compresa quella
uniforme considerata al punto (a). Vediamo di veri…care questo punto.
Dallo svolgimento del punto (b) dell’Esercizio 1, sappiamo che, con una
condivisione e¢ ciente del rischio, l’equivalente certo di A e l’equivalente certo
eA = 12; 265625
eB =
di B sono dati dalle seguenti espressioni: E C
e EC
7; 359375 + . Imponiamo allora la condizione che entrambi stiano meglio con
la condivisione Pareto-e¢ ciente dei rischi piuttosto che con la condivisione unieA = 12; 265625
forme dei rischi. Imponiamo cioè le condizioni: E C
> 9; 85
e
e E CB = 7; 359375 + > 9; 75: Si vede facilmente che entrambe le disequazioni
sono soddisfatte per 2; 390625 < < 2; 415625.
1
2 0; 15
3