Transcript An introduction to potential theory, classical and non commutative

Un'introduzione alla teoria del potentiale, classica e non commutativa.
Dalle forme di Dirichlet alla geometria non commutativa.
(Prof. Jean-Luc Sauvageot)
Le forme di Dirichlet appaiono sin dall'inizio come oggetti alla frontiera tra probabilità classica e
analisi funzionale. Sono state concepite dai probabilisti (Beurling e Deny), negli anni '50, come un
modo semplice di generare dei semigruppi sub-Markoviani a partire da forme quadratiche su spazi
di tipo L2(X,m), che soddisfino opportune condizioni.
La loro generalizzazione nell'ambito delle algebre di operatori, iniziata da fisici matematici
(Albeverio e Høegh-Krohn) e continuata in varie direzioni, non crea particolari difficoltà dal punto
di vista delle definizioni e delle proprietà fondamentali. Il primo vantaggio di questa teoria del
potenziale non commutativa è che genera una lista quasi infinita di esempi proveniente dai campi
dell'analisi, della geometria Riemanniana, della fisica matematica, della probabilità libera,
dell'analisi armonica, delle equazioni alle derivate parziali, eccetera. Il secondo vantaggio è che ha
molti punti di contatto con la geometria non commutativa, dei quali ne esploreremo soltanto alcuni.
Come è stato già detto, anche nel caso classico una forma di Dirichlet è un oggetto definito
nell'ambito dell'analisi funzionale. Perciò, la prima parte del corso sarà dedicata a richiami e
soprattutto a complementi di analisi funzionale. Nessun risultato verrà utilizzato senza essere stato
richiamato, con o senza dimostrazione.
Aggiungo che questi complementi possono risultare utili a studenti interessati a vari campi della
matematica, in particolare a quelli menzionati prima.
Tra questi complementi di analisi funzionale, considereremo:
- gli operatori densamente definiti, chiusi o chiudibili, negli spazi di Banach;
- l'analisi dei semigruppi di contrazioni negli spazi di Banach, i loro risolventi e i loro generatori,
fino al teorema di Hille e Yoshida;
- gli stessi nel caso particolare degli spazi di Hilbert, con un accenno agli operatori positivi
densamente definiti auto-aggiunti;
- la connessione, sempre negli spazi di Hilbert, tra questi operatori positivi auto-aggiunti e le forme
quadratiche densamente definite chiuse.
Arrivati a questo punto, saremo già in grado di definire le forme di Dirichlet classiche, e la
corrispondenza biunivoca tra queste e i semigruppi sub-Markoviani simmetrici rispetto ad una
misura di base; e di presentare i primi esempi classici, principalmente quelli provenienti dalle e.d.p.
e dalla geometria Riemanniana. Forse avremo tempo di menzionare il caso dei frattali, tra cui il
famoso Gasket di Sierpinski.
Faremo allora altri richiami sulle algebre di operatori negli spazi di Hilbert, con alcuni complementi
sulle C*-algebre intese come 'spazi localmente compatti non commutativi':
- ordine matriciale, applicazioni completamente positive come sostituto dei nuclei Markoviani;
- tracce semicontinue inferiormente, come estensione naturale della nozione di misura di Radon.
Potremo allora definire in tutta generalità le forme di Dirichlet (commutative e non) e dettagliare la
corrispondenza biunivoca tra queste e i semigruppi sub-Markoviani simmetrici rispetto ad una
traccia. Poi svilupperemo l'idea guida di questo corso, secondo cui una forma di Dirichlet munisce
uno spazio, commutativo o no, di una struttura di natura geometrica. Ciò permette sviluppi molto
simili a quelli della geometria Riemanniana.
Il corso dunque continuerà così:
– Un primo catalogo di esempi.
– Il legame, che funziona nei due sensi, tra forme di Dirichlet e derivazioni. Costruzione del
bimodulo tangente e dell'operatore gradiente.
– Una seconda serie di esempi.
– Forme di Dirichlet, triple spettrali e operatori di Dirac. Esempi di ricostruzione delle forme di
Dirichlet usando le tracce singolari di Dixmier.