Transcript analisi matematica1_modalita` e date degli esami
A.A. 2014/15
CORSO DI ANALISI MATEMATICA 1 PER I CORSI DI LAUREA IN MATEMATICA, FISICA E SCIENZE DEI MATERIALI I° semestre 10 crediti per Matematica, 12 crediti per Fisica e Scienze dei Materiali Presidente: Prof. Giuseppe MARINO COMMISSIONE D’ESAME Membri: Dott.ssa Filomena Cianciaruso e Dott. Luigi MUGLIA
NEWS!!!! RISULTATI DELLA PROVA SCRITTA DI MERCOLEDI 25 FEBBRAIO 2015 Hanno superato la prova scritta gli studenti con le matricole:
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166541 (voto 18)
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169540 (voto 23) 172037 (voto 19)
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169547 (voto 30) 163023 (voto 18) 174106 (voto 18)
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169550 (voto 18) 169548 (voto 28) 169541 oppure 164549 non si capisce (voto 18) La prova orale si terrà domattina, giovedì 26 febbraio alle ore 9.00 nell’aula A. I non ammessi potranno prendere visione del compito fra qualche giorno.
appelli d’esame
MODALITA’ E DATE DEGLI ESAMI
In conformità al Calendario Accademico del Dipartimento di Matematica e Informatica, gli
PER GLI ISCRITTI A MATEMATICA
si svolgeranno nei seguenti periodi:
Primo Appello di fine semestre: Lunedì 19 Gennaio 2015, Aula MT1 ore 9. Secondo appello di fine semestre: Lunedì 9 Febbraio 2015, Aula MT1, ore 9. Primo appello di recupero: Settembre 2015, luogo e data da stabilire Secondo appello di recupero: Settembre 2015,, luogo e data da stabilire
In conformità al Calendario Accademico del Dipartimento di Fisica, gli appelli d’esame
PER GLI ISCRITTI A FISICA E SCIENZE DEI MATERIALI
si svolgeranno nei seguenti periodi:
Primo Appello di fine semestre: Martedì 10 Febbraio 2015, ore 9, aula E/F. Secondo Appello di fine semestre: Mercoledì 25 Febbraio 2015, ore 9, aula A. Primo appello di recupero: Giovedì 30 Luglio 2015, ore 9, aula E/F Secondo appello di recupero: Mercoledì 2 Settembre 2015, ore 9, aula E/F Per poter sostenere gli esami e’ obbligatoria la prenotazione col sistema Uniwex.
Gli esami saranno costituiti da una prova scritta seguita da una orale.
La prova scritta sarà diversa per ogni studente
. E’ dunque inutile venire a vedere se si riesce a copiare. La prova scritta è superata se si ottiene un voto maggiore o uguale a 18 trentesimi.
Non sono disponibili compiti dell’anno passato perché quest’anno lo scritto sarà molto diverso, e verterà su tanti esercizi che saranno esplicitati a lezione. PROVA SCRITTA
Considero molto importante una giusta autovalutazione. Così, SOLO PER LA PRIMA VOLTA CHE UNO STUDENTE AFFRONTA LA PROVA SCRITTA E LA SUPERA, OTTIENE UN BONUS COSI’ DIFFERENZIATO: se ha ottenuto un voto fra 18 e 21, bonus di 1 punto se ha ottenuto un voto fra 22 e 26, bonus di 2 punti se ha ottenuto un voto maggiore o uguale a 27, bonus di 3 punti, fino a raggiungere il voto massimo di 30. LO STUENTE CHE NON SUPERA LA PROVA SCRITTA LA PRIMA VOLTA CHE SI PRESENTA, PERDE IL BONUS. IL BONUS E’ UN PREMIO PER CHI SA AUTOVALUTARSI.
ESERCIZI DELLA PROVA SCRITTA PER GLI STUDENTI DI MATEMATICA 1.
Risolvere una disequazione o un sistema di disequazioni polinomiali o con radicali
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Trovare la definizione esplicita del prodotto di composizione di funzioni espresse tramite più formule Trovare inf e/o sup di f([a,b]) Dimostrazione della validità di una formula col principio di induzione Applicazione dell’algoritmo di Erone per il calcolo della radice quadrata di un numero Un esercizio di calcolo combinatorio Una derivata Ricerca di max e/o min per funzioni continue
9.
Carattere di una serie
10.
Un integrale (definito o indefinito o un’area o un volume di rotazione)
RISULTATI DELLA PROVA SCRITTA DI STAMATTINA, 19 GENNAIO 2015. HANNO SUPERATO LA PROVA SCRITTA GLI STUDENTI CON LE MATRICOLE
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171189 (VOTO 19)
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169761 (VOTO 22) 169762 (VOTO 26) 171251 (VOTO 19)
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169758 (VOTO 19) ORALE DOMATTINA, MARTEDI 20 GENNAIO 2015 ALLE 9.OO NELLA MT1
ESERCIZI DELLA PROVA SCRITTA PER GLI STUDENTI DI FISICA E SCIENZE DEI MATERIALI 1.
2.
Risolvere una disequazione o un sistema di disequazioni polinomiali o con radicali Trovare la definizione esplicita del prodotto di composizione di funzioni espresse tramite più formule
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Trovare inf e/o sup di f([a,b]) Dimostrazione della validità di una formula col principio di induzione Applicazione dell’algoritmo di Erone per il calcolo della radice quadrata di un numero Un esercizio di calcolo combinatorio Una derivata Ricerca di max e/o min per funzioni continue
9.
Carattere di una serie
10.
Un integrale (definito o indefinito o un’area o un volume di rotazione)
11.
Un’equazione differenziale o un problema di Cauchy lineare (primo o secondo ordine) o di Bernoulli o a variabili separabili.
12.
Ricerca di massimi e minimi per funzioni di due variabili
PROVA ORALE
Nella prova orale lo studente sarà invitato ad esporre due teoremi e/o lemmi e/o proposizioni e/o definizioni e/o assiomi trattati nel corso ed estratti a sorte dalla Commissione. A partire da tali risultati faranno seguito le domande della commissione.
VIA VIA CHE IL PROGRAMMA VERRA’ SVOLTO, INSERIRO’ QUI TUTTE LE DOMANDE CHE POI VERRANNO ESTRATTE A SORTE.
L’esame e’ strutturato in modo che uno studente che ha seguito il corso e studiato regolarmente cogliendo il significato dei concetti e dei risultati esposti, lo possa superare senza difficoltà.
L’orale si sosterrà, di norma, il pomeriggio dello stesso giorno in cui in mattinata si è sostenuta la prova scritta o al più il giorno successivo. ……………………………. ELENCO DEFINITIVO DELLE DOMANDE CHE VERRANNO ESTRATTE NELL’ESAME ORALE RIGUARDANTI LA PRIMA PARTE DEL CORSO, (prime 140 pagine del libro di testo + gli argomenti che non sono sul libro di testo ma sono stati esposti a lezione).
1.
Proposizione sulla caratterizzazione del supA 2.
3.
4.
5.
6.
7.
Teorema: Equivalenza fra l’AX di Completezza e l’AX del sup. Non esiste alcun numero razionale c tale che c 2 = p, con p numero primo Funzioni iniettive, suriettive, biunivoche. Esempi e controesempi Proprietà della funzione Valore Assoluto Le funzioni potenza, radici, esponenziali e logaritmiche Le funzioni trigonometriche e le loro inverse 8.
9.
Teorema fondamentale sulle Relazioni di Equivalenza. Insieme Quoziente
Congruenza modulo p sugli interi
. Operazioni di somma e prodotto sulle classi di resti modulo p. Dimostrazione che le operazioni non dipendono dai rappresentanti 10.
Relazione di
equipotenza
fra insiemi. Potenza di un insieme come classe di equipotenza
11.
Teorema 2: N, Z e Q sono numerabili. 12.
Teorema 3: Non numerabilità di R: Dimostrazione mediante l’argomento diagonale di Cantor. 13.
Teorema 4: Lemma della Concordia: Supponiamo di avere
g
:
Y
X
iniettiva. Allora
h
:
X
biunivoca. 15.
Teorema 6: Disuguaglianza di Bernoulli.
f
:
X
Y
iniettiva e 14.
Teorema 5: Teorema di Cantor-Bernstein : un insieme non è mai equipotente al suo insieme delle parti. 16.
Teorema 7: Algoritmo di Erone per il calcolo di 17.
Teorema 8: Principio Fondamentale del Calcolo Combinatorio 18.
Permutazioni semplici, Permutazioni con ripetizione, Disposizioni semplici, Disposizioni con ripetizione, Combinazioni semplici, Coefficienti binomiali
19.
Teorema 9: Formula del binomio di Newton.
Dimostrazione combinatoriale 20.
Costruzione del triangolo di Tartaglia utilizzando le proprietà dei coefficienti binomiali 21.
Forma geometrica, algebrica, trigonometrica ed esponenziale dei numeri complessi. 22.
Definizioni di limiti di successioni, successioni regolari e irregolari 23.
Teorema dell’Unicità del Limite 24.
Teoremi sulle operazioni aritmetiche con i limiti 25.
Forme indeterminate 26.
Teorema della permanenza del segno 27.
Primo teorema di confronto 28.
Secondo teorema di confronto 29.
Teorema dei Carabinieri 30.
Teorema del limite del prodotto di una successione limitata per una infinitesima. 31.
Limiti notevoli 32.
Teorema fondamentale sulle successioni monotone 33.
Definizione del numero e. 34.
Successioni definite per ricorrenza 35.
Criterio del rapporto per le successioni 36.
Teorema di Bolzano-Weierstras 37.
Criterio di convergenza di Cauchy 1.
ELENCO DELLE DOMANDE CHE VERRANNO ESTRATTE NELL’ESAME ORALE RIGUARDANTI LA SECONDA PARTE DEL CORSO:
Tutte le definizioni di limite per funzioni reali di variabile reale 2.
Teorema Ponte 3.
Tipi di discontinuità ed esempi 4.
Teorema della permanenza del segno per funzioni 5.
6.
7.
Teorema di esistenza degli zeri Primo teorema dell’esistenza dei valori intermedi Teorema di Weierstrass 8.
9.
Secondo teorema di esistenza dei valori intermedi Teorema: funzioni continue mandano intervalli in intervalli 10.
Criterio di invertibilità per funzioni continue 11.
Metodo di bisezione per il calcolo delle radici di un’equazione. 12.
Teorema sul limite delle funzioni monotone 13.
Criterio di continuità per le funzioni monotone 14.
Teorema di continuità della funzione inversa 15.
Operazioni aritmetiche con le derivate 16.
Teorema di derivazione delle funzioni composte 17.
Teorema di derivazione della funzione inversa 18.
Derivate delle funzioni elementari 19.
Funzioni iperboliche e loro inverse
20.
Teorema sul significato geometrico della derivata:
21.
Primo Teorema di Fermat 22.
Secondo Teorema di Fermat 23.
Teorema di Rolle 24.
Teorema di Lagrange 25.
Criterio di monotonìa. 26.
Teorema di L’H
o
pital 27.
Funzioni derivabili convesse e concave 28.
Criterio di convessità con la derivata seconda. 29.
Criterio della derivata seconda per la determinazione di max e min 30.
Teorema di L’H
o
pital 31.
Polinomio di Taylor 32.
Formula di Taylor e di Mac Laurin 33.
Polinomio di Taylor di exp(x), log(1 + x), senx, cosx 34.
Formula di Taylor con il resto di Peano 35.
Serie numeriche: Criterio di Cauchy 36.
Serie numeriche: condizione necessaria per la convergenza di una serie 37.
Serie numeriche: la serie armonica (dimostrazione della sua divergenza) 38.
Serie numeriche: serie armonica generalizzata (dimostrazione della sua convergenza col criterio di condensazione 39.
Serie numeriche: la serie geometrica (dimostrazione della sua convergenza) 40.
Serie numeriche positive: criterio del confronto 41.
Serie numeriche positive: criterio degli infinitesimi 42.
Serie numeriche positive:criterio del rapporto 43.
Serie numeriche positive: criterio della radice 44.
Serie numeriche a segni alterni: Teorema di Leibnitz 45.
Teorema: Sia f([a,b]) = [m,M]. Allora, per ogni coppia di partizioni P e Q di [a,b] si ha M(b – a) s(f,P) S(f,Q) M(b – a) 46.
Teorema : Ogni funzione monotona è integrabile su [a, b] 47.
Definizione di continuità uniforme 48.
Teorema di Cantor: Ogni funzione continua definita su un intervallo chiuso e limitato è uniformemente continua 49.
Teorema di Riemann: Ogni funzione continua definita su un intervallo chiuso e limitato è integrabile. 50.
Primo Teorema della media (per gli integrali definiti) 51.
Secondo Teorema della media (per gli integrali definiti delle funzioni continue) 52.
Teorema: Tutte le primitive differiscono per una costante 53.
TEOREMA FONDAMENTALE DEL CALCOLO INTEGRALE 54.
FORMULA FONDAMENTALE DEL CALCOLO INTEGRALE 55.
Formula di integrazione per parti 56.
Formula di integrazione per sostituzione 57.
Formula del salame per il volume di solidi di rotazione del grafico di una funzione attorno all’asse x 58.
Formula dei rotoli di carta igienica per i volumi di solidi di rotazione del grafico di una funzione attorno all’asse y
QUI’ TERMINANO LE DOMANDE PER I MATEMATICI. LE SEGUENTI SARANNO PER FISICA E SCIENZE DEI MATERIALI
59.
Equazioni differenziali lineari del I ordine 60.
Equazioni differenziali di Bernoulli
61.
Equazioni differenziali a variabili separabili 62.
Equazioni differenziali lineari del II ordine a coefficienti costanti 63.
Teorema: La soluzione generale di un’equazione differenziale del II ordine a coefficienti costanti è data da tutte le soluzioni del sistema omogeneo sommate ad una soluzione particolare. 64.
Teorema su come trovare la soluzione generale dell’equazione omogenea associata 65.
Teorema sul metodo di variazione delle costanti arbitrarie ( o metodo di Lagrange) 66.
Teorema del differenziale totale 67.
Teorema sulla matrice hessiana.