Transcript Transmisslielijnen zijn structuren die een

Transmisslielijnen zijn structuren die een golfverschijnsel vertonen in de longitudinale
richting, d.w.z. in de lengterichting. De structuur mag (maar moet niet noodzakelijk) dus
veel langer zijn dan de golflengte. Een absolute voorwaarde om van een echte
transmissielijn te kunnen spreken, is dat de dwarsafmetingen van de transmissielijn
voldoende klein moeten zijn t.o.v. de golflengte. In het andere geval is de theorie die we
gaan zien ongeldig. Dan heb je ook golfverschijnselen in de dwarsrichting(en).
1
Een transmissielijn wordt gebruikt om een signaal over te brengen van 1 punt naar een
ander punt in de ruimte. Zoals gezegd zijn de dwarsafmetingen veel kleiner dan de
golflengte. Dit houdt in dat in de dwarsrichtingen de veldverdelingen binnen de
transmissielijn de karakteristieken vertonen van een quasi-statisch veld. M.a.w. de wetten
van Kirchoff zijn geldig en we kunnen zonder problemem met het begrip spanning werken,
net zoals we dat doen voor normale circuits waar alle afmetingen veel kleiner zijn dan de
golflengte. We zullen zien dat in de langsrichting de begrippen spanning en stroom ook
gebruikt worden, maar NIET op dezelfde manier als in een normaal circuit. Bvb. De
spanning tussen twee geleiders kan ANDERS zijn als we twee verschillende longitudinale
posities nemen langsheen de transmissielijn.
Een transmissielijn heeft ten minste twee geleiders, maar het mogen er ook meer zijn. Dit
meer algemene geval zullen we niet behandelen in dit vak. De behandeling is echter uiterst
gelijkaardig aan de behandeling van een twee-geleider-transmissielijn.
2
De begrippen inductieve en capacitieve koppeling zijn algemene fenomenen die rigoureus
uit de wetten van Maxwell geëxtraheerd zijn. De redeneringswijzen die we in de vorige les
gezien hebben mogen dus ook toegepast worden op transmissielijnen. Binnen een
transmissielijn hebben we dus ook inductieve en capacitieve koppeling, op dezelfde manier
verklaard als tevoren.
3
Het meest bekende voorbeeld van een transmissielijn is een coaxiale kabel. Deze structuur
bestaat uit een binnengeleider en een buitengeleider (of buitenmantel) die concentrisch
t.o.v. elkaar geplaatst zijn. In normale omstandigheden is de stroom door de buitengeleider
tegengesteld aan de stroom door de binnengeleider. De spanning kan op elke longitudinale
positie wordt gedefinieerd als de integraal van het elektrisch veld tussen binnen en
buitengeleider. We zullen zien dat , zoals tevoren reeds gemeld, deze spanning NIET op elke
longitudinale plaats dezelfde is. Ze vertoont een golfkarakter, net zoals de stroom
overigens.
De meest bekende toepassing waarin coaxial kabels in het dagelijkse leven voorkomen is
kabelTV-distributie. Ingenieurs gebruiken ook bijna steeds coaxiale kabels in hun labo’s om
bij hogere frequenties verbindingen te maken tussen toestellen.
4
Er zijn ook speciale “imitaties” van echte coaxiale kabels. Bvb. Binnen de
elektriciteitsdisbributie worden ze ook wel gebruikt om over langere afstanden de energie
over te brengen. Meestal treffen we dan geen echte buitenmantel aan, maar een reeks van
buitengeleiders, die galvanisch met elkaar verbonden zijn, om zo de buitenmantel te
“assembleren”.
5
Andere voorbeelden van transmissielijnen zijn:
- “twin pair”: gewoon twee geleiders die parallel over langere afstand naast elkaar lopen.
Het parallel lopen is voor deze transmissielijn belangrijk. Indien de twee geleiders niet
parallel lopen kan men niet meer spreken van een echte transmissielijn.
-- “twisted pair”: hetzelfde, maar nu zijn de twee geleiders op een regelmatige en continue
manier omheen elkaar gewikkeld. Die dient om inductieve koppelingen vanuit de
omgeving te minimaliseren.
-- “ladder line”: eigenlijk dezelfde topologie als in het eerste voorbeeld, maar met een
welbepaalde afstand tussen de geleiders om, zoals we later zullen zien, een welbepaalde
karakteristieke impedantie te realizeren. Deze lijn werd in de jaren 50 en 60 veel gebruikt
om het signaal van de antenne op het dak naar de TV te brengen.
6
Nog een voorbeeld is de microstriplijn. Deze bestaand uit een geleidend grondvlak, met
daarboven op een welbepaalde afstand een geleidende strip. Het geheel kan bvb.
Gerealiseerd worden in PCB (Printed Circuit Board) technologie. Deze transmissielijn wordt
vooral gebruikt bij heel hoge frequenties, in de GHz range en hoger.
7
De striplijn is min of meer hetzelfde, maar nu zit de strip tussen twee geleidende vlakken.
Dit type lijn is zeer resistent tegen ongewenste inductieve en capacitieve koppelingen van
buitenaf. De twee geleidende vlakken geven immers een zeer goeie “afscherming”, zoals
we later zullen zien. Het nadeel is dat ze veel duurder is om te fabriceren en dat een
combinatie met componenten op een PCB veel moeilijker wordt.
8
Een transmissielijn kan op verschillende manieren voorgesteld worden in een schema. Hier
gebruiken we twee vette paralelle lijnen. Die lijnen maken een connectie tussen twee
punten in de ruimte. Een signaal kan dus van het ene punt naar het andere punt
overgebrachte worden via de lijn. In de slide wordt een bron en een belasting
weergegeven. De bron wordt afgebeeld met zijn inwendige impedantie.
9
Het profiel van het elektromagnetische veld tussen de twee geleiders van een
transmissielijn kan vrij complex zijn. Hier wordt dit afgebeeld voor een microstriplijn. De
elektrische veldlijnen worden in vollelijn, en de magnetische veldlijnen in stippelijn
weergegeven. Eén van de eigenschappen van een transmissielijn is dat dit profiel echter in
wezen hetzelfde blijft langsheen de transmissielijn. De amplitude en faze kunnen wel
veranderen, maar het profiel blijft hetzelfde. In de figuur wordt ook duidelijk aangegeven
waar de “ladingen” staan, en waar de magnetische flux gerealiseerd wordt doorheen het
oppervlak tussen de geleiders. Herinner u, deze zaken zijn rechtstreeks gerelateerd met
capacitieve en inductieve koppeling, zoals in de vorige les gezien.
10
In deze slide wordt het equivalent netwerkmodel voor een transmissielijn weergegeven:
- De weerstanden R1 en R2 modelleren de weerstand van de twee geleiders. Hun
geleidbaarheid is immers niet oneindig.
- De capaciteit C modelleert de capacitieve koppeling tussen de twee geleiders. Deze
capacitieve koppeling is exact hetzelfde fenomeen als we vorige les gezien hebben voor
twee willekeurige geleiders in een circuit. Het enige verschil is dat de twee geleiders hier op
een speciale manier t.o.v. elkaar staan. De afstand tussen de twee geleiders van een
transmissielijn is normaal gezien klein, hetgeen een aanzienlijke capacitieve koppeling tot
gevolg heeft.
- De conductantie G modelleert de weerstand tussen de twee geleiders. Het medium
tussen de twee geleiders is immers geen perfecte isolator en er kan dus een (kleine)
stroom vloeien rechtstreeks van een geleider naar de andere door dit medium.
-- De inductanties L1 en L2 modelleren de inductieve koppeling “tussen de twee geleiders”.
Alhoewel dit meestel zo uitgedrukt wordt, is dit eigenlijk geen volledig correcte uitspraak.
Correct zou zijn: modelleren de zelfkoppeling van een loopje gevormd door een stukje
“bovengeleider” en een stukje “ondergeleider” (we gebruiken verder deze begirippen voor
de eenvoud, maar het moet duidelijk zijn dat men bvb. In een coax geen “boven-” en
“ondergeleider” heeft). Een inductieve koppeling is immers ALTIJD gerelateerd aan een
gesloten loop.
11
Als we enkel geïnteresseerd zijn in hoe het signaal van één kant van de lijn naar de andere
kant propageert, dan kan aangetoond worden dat het vorige schema volledig equivalent is
met het schema in deze slide, waar enkel componenten aanwezig zijn op de bovengeleider.
De verklaring is dat we ENKEL geinteresseerd zijn in de spanning TUSSEN de geleiders op
elke longitudinale plaats. Het is eenvoudig in te zien dat deze spanning inderdaad dezelfde
blijft. Vergeet ook niet dat de parameters VERDEELD zijn. D.w.z. ze gelden voor een stukje
lijn met lengte dz, en elk stukje heeft dezelfde parameters omwille van het feit dat de
topologie van de lijn overal dezelfde is.
Aangezien de dwarsafmetingen veel kleiner zijn dan de golflengte, zijn er geen
golfverschijnselen in de dwarsrichting, en mogen we nu (d.w.z. na het invoeren van al deze
componenten) de wetten van Kirchoff gebruiken over elk stukje lijn met lengte dz.
12
Eerst schrijven we de spanning en stroom als een Taylor serie, waarbij we verder enkel de
twee belangrijkste termen aanhouden. Daarna passen we de spanningswet en de
stroomwet effectief toe op een stukje met lengte dz. Dit levert twee gekoppelde
differentiaalvergelijkingen op, de zogenaamde transmissielijnvergelijkingen.
13
In deze slide lossen we deze twee gekoppelde transmissielijnvergelijkingen op. De
oplossing bestaat uit twee exponentiele functies, zowel voor spanning als stroom. Eén
exponentiële functie beschrijft een rechtslopende golf, de andere een linkslopende golf. De
exponent is lineair evenredig met z. De evenredigheidsconstante is enkel afhankelijk van de
parameters van de lijn, m.a.w. de componenten in het netwerk model. De relatie tussen
spanning en stroom wordt gegeven door een grootheid met de dimensies van een
impedantie. Die impedantie is ook enkel afhankelijk van de parameters van de lijn. Deze
impedantie is per definitie de karakteristieke impedantie van de lijn.
Deze oplossing is algemeen. In principe geldt ze voor elke transmissielijn met twee
geleiders. De parameters voor verschillende lijnen kunnen natuurlijk wel anders zijn.
Het is uiterst belangrijk om zich te realiseren dat we dus verschillende spanning hebben op
verschillende punten langsheen de lijn, alhoewel deze punten galvanisch met elkaar
verbonden zijn, via de geleiders.
14
De propagatieconstante kan gesplitst worden in een reëel deel en een imaginair deel. Het
reële deel is de verzwakkingsconstante en beschrijft de exponentië verzwakking langsheen
de lijn. Het imaginaire deel is de fazeconstante en beschrijft hoe de faze van de golf varieert
langsheen de lijn.
Ook de karakteristieke impedantie kan gesplitst worden in een reëel deel en een imaginair
deel, een weerstand en een reactantie.
15
In deze slide wordt expliciet uitgewerkt hoe de complexe golfnotatie geïnterpreteerd moet
worden in het tijdsdomein. We zien dat de exponentiële functies aanleiding geven tot een
fysisch waarneembare spanning en stroom met een cosinusoidaal gedrag in de ruimte en
tijd. Deze golf heeft een fazesnelheid die enkel afhangt van de parameters van de lijn.
16
Als we de lijn aansluiten op een bron en een belasting dan kunnen we in principe de
amplitudes van de rechts- en linkslopende golf bepalen. We beginnen aan de
belastingskant. Daar kennen we de verhouding tussen totale spanning en totale stroom.
Deze totale grootheden zijn de som van de rechts- en linkslopende grootheden, elk met
hun eigen complexe amplitude. Uit de vergelijking die daaruit volgt kunnen we de
zogenaamde reflectiecoëfficiënt bepalen (zie volgende slide).
17
Als deze reflectieoëfficiënt nul is, dan zeggen we dat de lijn aangepast of “gematched” is
aan de belastingskant. Dit is enkel het geval als de karakteristieke impedance van de lijn en
de belastingsimpedantie gelijk zijn. Nu wordt het duidelijk waarom de karakteristieke
impedantie van een transmissielijn zo belangrijk is. Als we immers geen aanpassing
hebben, dan wordt een deel van het signaal gereflecteerd, hetgeen heel negatief kan zijn
voor de werking van een systeem.
18
Op deze webpagina wordt het begrip reflectie geillustreerd.
19
De impedantie langsheen de lijn wordt gedefinieerd als de verhouding van de totale
spanning en totale stroom. We zien dat deze impedantie niet constant is, maar zelf ook een
golfkarakter vertoont. Er is ook een rechtstreeks verband met de reflectieoëfficiënt op elke
plaats.
20
De ingangsimpedantie is de impedantie, dus de verhouding van totale spanning en totale
stroom aan de ingang. Dit is de impedantie die gezien wordt door de bron. Uiteindelijk
gedraagt een transmissielijn met belasting zich dus als een gewone belasting, maar met
een andere belastingsimpedantie, die op de manier weergegeven in de laatste slides moet
berekend worden.
21
Er zijn speciale punten op de transmissielijn waar de ingangsimpedantie speciale waarden
aanneemt. Als we bvb. kortsluiten op het einde van de lijn, dan krijgen we diezelfde
kortsluiting terug te zien op een halve golflengte van het uiteinde, op een hele golflengte
van het uiteinde, etc.. Op een kwart golflengte van het uiteinde krijgen we echter een open
keten te zien. Hetzelfde op drie vierde golflengte. Een kortsluiting kan dus “omgezet”
worden in een open keten.
Als we het uiteinde open laten, dan is er een analoog patroon te zien. Een open keten kan
“omgezet” worden in een kortsluiting.
22
De kwart-lamda transformator maakt expliciet gebruik van deze laatste eigenschappen. Het
is expliciet de bedoeling van deze transmissielijn-component om een kortsluiting om te
zetten in een open keten. De reden is dat we kortsluitingen met een veel hogere
nauwkeurigheid kunnen realizeren in vergelijking met open ketens. Deze laatste “koppelen”
veel meer met de omgeving.
23
Als we het systeem volledig willen oplossen dan is de laatste stap het bepalen van de
complexe amplitude van de rechtslopende of “invallende” golf. Daarvoor kunnen we de
relaties tussen spanning en stroom gebruiken die geldig zijn aan de ingang. De
“transmissielijn als belasting” staat immers in serie met de inwendige impedantie van de
bron.
24
In deze slide wordt de ganse oplossingsprocedure voor een transmissielijn met een bron en
een belasting nog eens samengevat, met de desbetreffende formules erbij.
25
De VSWR, oftewel de Voltage Standing Wave Ratio is de verhouding tussen maximum en
minimum op de lijn. Deze staat in rechtstreeks verband met de reflectie aan het einde van
de lijn. Het is makkelijk in te zien dat in geval van “matching” de VSWR de waarde 1
aanneemt.
26
In deze slide wordt kort overlopen wat de gevolgen zijn van een lokale vervorming van de
transmissielijn. Het resultaat is essentieel een ongewenste reflectie op de plaats van de
vervorming. Dit kan het nuttige signaal dat verder propageert ernstig verzwakken, hetgeen
de kwaliteit van dit signaal niet ten goede komt.
Een knik in de kabel van de TV-disbributie, of een platgetrapte kabel, is dan ook geen goed
idee. Draag steeds de grootste zorg bij het installeren van deze kables. Je gaat er jezelf later
heel wat frustratie mee besparen (en ik spreek uit ervaring).
27
Wat gebeurt er eigenlijk als we digitale informatie, t’ is te zeggen pulsen (en dus geen
sinusoidaal signaal) willen overbrengen ?
28
Natuurlijk zijn inductieve en capacitieve koppeling nog steeds aanwezig, maar nu moeten
die fenomenen in het tijdsdomein geformuleerd worden.
29
Dit geeft aanleiding tot twee gekoppelde transmissielijnvergelijkingen, maar nu in het
tijdsdomein. We zien duidelijk de afgeleide naar de tijd staan.
30
Het oplossen van deze twee vergelijkingen, eigenlijk op dezelfde manier als in het
frequentiedomein, geeft uiteindelijk een zeer eenvoudig antwoord: de spanning en de
stroom propageren nu als “pulsen” vanuit de bron langsheen de transmissielijn. Op een
later tijdstip zien we hetzelfde profiel voor spanning en stroom, maar nu op een plaats
verder gelegen op de transmissielijn. Deze pulsen kunnen, net zoals in het
frequentiedomein, gans of voor een deel reflecteren aan de belasting, waarna ze
teruglopen naar de bron in tegengestelde richting. Ook hier kunnen we perfect aanpassing
realiseren, d.w.z. de puls reflecteert niet, als de belasting gelijk is aan de karakteristieke
impedantie van de lijn.
31
In deze slide gaan we na wat er gebeurt als we een spanning aanbrengen vanuit de bron die
een stapfunctie-profiel in de tijd heeft. We veronderstellen dat de inwendige impedantie
van de bron gelijk is aan de karakteristieke impedantie van de lijn.
32
33