Transcript Modelleeropdrachten.

Modelleerprojecten Kansrekening
Remco van der Hofstad
Britt Mathijsen
Jaron Sanders
3 november 2014
Inhoudsopgave
1 Knetterende krasactie
1
2 Krantenjongen
3
3 Kraken van oud-Hollands kienen
4
4 Verrijking van onzekere informatie
5
5 Faillissement en risico
6
6 Optimale inventaris
6
7 Dynamiek van de politiek
6
8 Griepepidemie
7
9 Matig musiceren tot gemiddeld goed
7
10 Zonnecellenmachinefabrikant
8
11 Virologie en infectiviteit
8
12 Bloedanalyse
9
1
Knetterende krasactie
Bij het Eindhovens Dagblad (ED) wil men een knetterende, stimulerende krasactie organiseren voor haar krantenbezorgers. Figuur 1 legt de krasaktie uit.
Het gaat om krantenbezorgers die gedurende 14 weken, 6 dagen per week ’s ochtends de krant bezorgen. Zij krijgen op de door hen te bezorgen stapel kranten een
masker. Dit is een uitdraaivel waarop aangegeven wordt op welke adressen ze de krant
moeten bezorgen en of er in hun wijk de dag ervoor klachten waren of dat ze klachtenvrij bezorgd hebben. Gewoonlijk spaart de bezorger voor elke klachtenvrije bezorgdag
1
Figuur 1: De krasaktie.
2
stapelpunten (een soort airmiles/tankzegels) waarmee ze cadeaus kunnen bestellen uit
een spaarcatalogus). Dit spaarsysteem loopt tijdens de actie gewoon door.
Voor de speciale krasactie krijgt de bezorger half december voor 14 weken 14 krasloten
met op elk weeklot 6 krasvakjes. Voor elke klachtenvrije dag mogen ze 1 willekeurig vakje
openkrassen. Voor onder de kraslaag wil het ED uitgaan van 6 verschillende symbolen,
nl. een ster, een krant, een brievenbus, een fiets, een krantentas en een hond. De
bezorgers kiezen dus zelf welke hokjes ze openkrassen voor een klachtenvrije dag. Er
mogen niet meer vakjes opengekrast zijn dan dat ze klachtenvrij gelopen hebben (ze
moeten nl. met een kraskaartje waarop ze een prijs hebben, ook hun klachtenvrije
masker bij de krant inleveren). Drie dezelfde symbolen geeft een prijs van 10 euro, vier
dezelfde symbolen geeft een prijs van 25 euro, vijf dezelfde symbolen geeft een prijs van
50 euro. Het uitgangspunt van de krant is dat er 140 prijzen van 10 euro zijn, 100 prijzen
van 25 euro en 48 prijzen van 50 euro. Bij zes dezelfde symbolen ga je in de ”bak”waaruit
op het einde van de actie 12 hoofdprijzen getrokken worden: 4 van 250 euro, 4 van 500
euro en 4 van 750 euro.
Naast de zes krasvakjes is er een zevende ”troostprijsvakje”. Iemand die 6 dagen
klachtenvrij bezorgd heeft en dus 6 vakjes heeft opengekrast zonder prijs te hebben,
mag als troostprijs het zevende vakje krassen waarmee stapelpunten te verdienen zijn.
Deze stapelpunten kunnen weer gespaard worden voor de prijzen uit de spaarcatalogus.
De ”troostprijsstapelpunten”zijn onderverdeeld in 25 stapelpunten, ofwel 2,50 euro, 50
stapelpunten, ofwel 5 euro, en 75 stapelpunten, ofwel 7,50 euro. Het ED gaat uit van
3000 bezorgers. Het percentage van de bezorgers dat nu klachtenvrij loopt is 75% per
dag. Men verwacht dat dit percentage gedurerende deze actie kan stijgen tot 90%.
De krant wil een totaalbedrag aan prijzen weggeven van ca. 12.300 euro. Men
realiseert zich dat je tevoren nooit precies kunt zeggen hoeveel deze actie gaat kosten en
dat e.e.a. afhankelijk is van hoe klachtenvrij gelopen wordt. De krant wil nu weten hoe
het verder moet worden aangepakt, d.w.z., welke symbolen moeten in welke hoeveelheden
onder de hokjes worden gedrukt, opdat ongeveer het begrote totaalbedrag aan prijzen
wordt weggegeven?
2
Krantenjongen
Om geld te verdienen verkoopt een krantenjongen elke dag kranten op de hoek van een
straat. Vroeg in de ochtend koopt hij hiervoor een aantal kranten tegen een bepaalde
inkoopprijs in bij de drukkerij. Niemand wil echter het nieuws van gisteren lezen, en
dus kunnen de ingekochte kranten alleen op de dag zelf verkocht worden. De kranten
die aan het einde van de dag overblijven gaan naar het oud papier.
Het probleem is dat de jongen niet van tevoren weet hoeveel kranten hij zal gaan
verkopen die dag. Hij wil uiteraard niet te weinig kranten inkopen, maar ook zeker niet
teveel. De krantenjongen vraagt jullie om advies betreffende een inkoopstrategie.
Stel dat de leverancier aanbiedt de overgebleven kranten terug te kopen (tegen een
prijs lager dan de inkoopprijs). De jongen wil graag weten hoe dit jullie analyse en advies
verandert.
3
3
Kraken van oud-Hollands kienen
Een muziekvereniging uit Eindhoven organiseert elke zondag een kienavond. Elke kienavond bestaat altijd uit 41 ronden, en elke keer wordt er e1100 aan prijzengeld gegarandeerd, ongeacht de hoeveelheid aanwezige spelers. Om precies te zijn, in de eerste twintig
ronden betaald de vereniging de winnaar e25, en in de laatste ronde krijgt de winnaar
e100. Als twee spelers tegelijkertijd winnen, wordt het prijzengeld eerlijk verdeeld over
beide spelers.
Elke ronde werkt als volgt. Een presentator trekt een steentje uit een juten zak. De
steentjes zijn genummerd van 1 tot en met 90, en het nummer van het getrokken steentje
wordt omgeroepen. Elke speler bedekt op al zijn of haar kienkaarten het getrokken
nummertje. Het steentje wordt daarna weggelegd. Een speler wint als hij of zij de eerste
is die een van de zes kleinere kaarten op een kienkaart volledig heeft bedekt.
Figuur 2: Een kienkaart.
Spelers kunnen op twee momenten kienkaarten kopen. Ze kunnen aan het begin van
de avond kienkaarten kopen voor e10 per stuk. Vanaf het moment van kopen, speelt
een speler de hele avond met diezelfde kaart. Na de twintigste ronde is er een pauze,
en tijdens de pauze kunnen nieuwe spelers inkopen, en huidige spelers kunnen een extra
4
kienkaart kopen, voor e3.75 per stuk.
Elke kienkaart is genummerd ter voorkoming van fraude. Er zijn in totaal 150 kienkaarten. Spelers vragen regelmatig naar specifieke kienkaarten, omdat zij door hun eerdere ervaringen geloven dat bepaalde kaarten vaker winnen dan anderen. Het bestuur
gedoogt dit, omdat zij weten dat de politie elke individuele kaart heeft gecontroleerd.
Iedere week fluctueert het aantal verkochte kienkaarten rond de 110. Het bestuur van
de muziekvereniging wil daarom meer inzicht krijgen in hun kienavond, en schakelt jullie
in. Het merendeel van het bestuur is ge¨ınteresseerd in de winstkansen van spelers, en
de verwachte uitbetalingen. Een enkel bestuurslid vraagt zich af of spelers een voordeel
kunnen cre¨eren door bijvoorbeeld specifieke kaarten te kopen, of door inkoopstrategi¨en
toe te passen.
4
Verrijking van onzekere informatie
Onze maatschappij is nu, meer dan ooit, verbonden. Daardoor hebben in veel Westerse
landen geheime diensten, maar ook bedrijven als Google, EBay en Marktplaats, toegang
tot honderden pagina’s informatie over ons. Ze weten waar wij wonen, wat ons telefoonnummer is, wat er in onze e-mails staat, en wat wij op onze online profielpagina’s
zetten.
De hoeveelheid persoonlijke informatie dat mensen achterlaten is ongelooflijk. Als
iemand op internet zoektermen invult over een tropisch eiland, schat het bedrijf achter
de zoekmachine de kans groter in dat deze persoon op vakantie wilt gaan. Achter de
schermen vormt het bedrijf een profiel van kenmerken (zoals geslacht, leeftijd, lengte,
interesses, hobbies) van elke gebruiker, aan welke kansverdelingen worden toegekend.
Uiteindelijk verkoopt het bedrijf deze profielen aan derden.
Dit gebeurt niet alleen op het internet. Als je bijvoorbeeld een navigatiesysteem
gebruikt, slaat de producent op waar jij rijdt en hoe hard jij rijdt. Ook zij vormen
een profiel van jou, en verkopen deze informatie aan derden. Zo is recentelijk dit soort
informatie verkocht aan de politie, zodat zij strategisch flitspalen konden plaatsen.
Geheime diensten en bedrijven verzamelen zoveel mogelijk van dit soort profielen.
Door informatie uit verschillende profielen te combineren, en ook verschillende kenmerken met elkaar te vergelijken, hopen zij een duidelijk profiel te krijgen van een persoon.
Het is jullie onduidelijk welke instantie jullie heeft ingehuurd, maar een contactpersoon in pak heeft jullie grof geld aangeboden om een model te leveren en een analyse op
te stellen over het nut (of de nutteloosheid) van het combineren van onzekere informatie.
Als een concreet eerste probleem kan je denken aan het combineren van informatie
over betrouwbaarheid bij verschillende internet verkoopsites. Hoe bepaal je hoe betrouwbaar een persoon is op basis van zijn/haar koop- en verkoopgegevens uit het verkeden? Als Marktplaats en EBay beiden een profiel van een persoon hebben opgemaakt
en zijn/haar betrouwbaarheid hebben bepaald, hoe combineer je dan deze informatie?
Maakt het verschil of je hoeveel transacties de persoon op beide plekken hebt uitgevoerd?
5
5
Faillissement en risico
Een verzekeraar biedt een autoverzekering aan. Klanten moeten e50 inleggen, en vervolgens maandelijks e25 premie betalen. Bij afname van dit product hebben klanten
recht op een vergoeding bij schade aan hun auto. De verzekeraar heeft 1193 klanten, en
elke maand komen er behalve de premies van alle klanten ook claims binnen. Claims
zijn gemiddeld zo’n e937.85. Dit komt omdat bijvoorbeeld vervanging van een spiegel
minder kost dan vervanging van een motorblok. Uit ervaring weet de verzekeraar ook
dat er gemiddeld 30.9 valide claims per maand binnenkomen.
De angst heerst dat als meerdere claims achter elkaar volgen, de verzekeraar failliet
kan gaan. De verzekeraar wil daarom van jullie een risicoanalyse, en indien nodig, advies
over hun product.
6
Optimale inventaris
Op de achtergrond van elk ziekenhuis werkt een cateraar, die moet voldoen aan strenge
kwaliteitseisen en diversiteit van het aanbod. Dit leidt tot pittige problemen voor de
inventaris. In de praktijk fluctueert het aantal pati¨enten immers van dag tot dag, en
de keuzes die pati¨enten maken uit het menu verschilt van dag tot dag. De benodigde
ingredi¨enten om te voldoen aan de vraag is dan ook stochastisch van aard.
Dit ondervangt de cateraar door ingredi¨enten op te slaan. Eten bederft echter na
enige tijd, en dit is zeer gevaarlijk voor pati¨enten met een verzwakt immuunsysteem.
Om sterftegevallen te voorkomen, is de cateraar verplicht al het eten dat ouder is dan
vier dagen, te vernietigen, ongeacht de kwaliteit.
Het vernietigen van voedsel leidt tot verlies aan de kant van de cateraar. Aan de
andere kant moet de cateraar voldoende eten opslaan om te voldoen aan de vraag. De
cateraar wil het proces van aardappel tot of ovenschotel, of vuilnisbak, beter begrijpen,
en vraagt om jullie expert opinion. Jullie aanstelling werd mede mogelijk gemaakt door
een recente discussie of er niet een optimale opslagcapaciteit bestaat.
7
Dynamiek van de politiek
De Tweede Kamer bestaat uit 150 kamerleden die ieder een stem mogen uitbrengen. Kamerleden horen bij verschillende politieke partijen, en tot bepaalde politieke stromingen.
De meningen zijn uiteenlopend, en coalities moeten vaak worden gevormd.
Het behandelen van controversi¨ele wetsvoorstellen kan dan ook leiden tot lange discussies. Aan het begin van een discussie heeft een kamerlid altijd al een mening over
het wetsvoorstel, en een kamerlid verdedigt dat standpunt dan ook fervent. Kamerleden
staan uiteraard wel open voor andere meningen, en kamerleden kunnen overtuigd worden
van een ander standpunt. Of een kamerlid overtuigd wordt, hangt af van de hoeveelheid
kamerleden die het concurrerende standpunt verdedigen, en de kwaliteit van de gegeven
argumenten.
6
De Algemene Rekenkamer besluit dan ook om kansrekening te gebruiken om het bereiken van consensus te modelleren en te analyseren, en vraagt van jullie een verhelderend
rapport.
8
Griepepidemie
Een griepepidemie kan worden gezien als een virus dat zich over een netwerk (van een
bewegende mensenmassa) verspreid. Wanneer een besmet persoon met een gezond persoon in contact komt kan de ziekte worden overgedragen. Belangrijke karakteristieken
zijn de duur en de omvang van de epidemie. Ontwikkel een model voor de verspreiding
van het virus. Natuurlijk kan het vaccineren van zowel besmette als gezonde personen
helpen.
De Centers for Disease Control and Prevention (CDC), gesitueerd in Atlanta, vraagt
jullie te onderzoeken hoe vaccinatie een verspreiding van een dodelijk virus kan tegengaan.
9
Matig musiceren tot gemiddeld goed
Orkesten bestaan uit zo’n 40 muzikanten, en iedere muzikant heeft zijn eigen expertises en
kwaliteiten. Muzikanten bespelen houtblaasinstrumenten zoals klarinetten en saxofoons,
koperblaasinstrumenten zoals trompetten en trombones, of slagwerkinstrumenten zoals
pauken en xylofoons. Sommige muzikanten kunnen zelfs verschillende instrumenten
bespelen, maar beheersen wellicht niet ieder instrument even sterk.
Voor het orkest staat een dirigent, die aangeeft wanneer iedere muzikant een noot
moet spelen. De dirigent doet dit door regelmatig te slaan met een baton. Muzikanten
kunnen niet onmiddelijk reageren (ze hebben sowieso een korte reactietijd nodig), en
daarom anticiperen ze (onbewust) de tijdsduur tot de elke volgende slag. Dit kan je
wellicht gevoel voor ritme noemen. Beginnende muzikanten hebben meer moeite met
het anticiperen van de volgende slag (tel), en spelen vaak per ongeluk net voor, of net
na, de slag. Hoe beter de muzikant, hoe meer gevoel voor ritme ze hebben, en hoe dichter
ze op de slag spelen.
Behalve dat muzikanten ritmisch moeten spelen, moeten muzikanten zuiver spelen.
Elke gespeelde toon kan vals zijn. Een maat voor hoe vals een toon is, is de cent.
Professionele muzikanten kunnen een verschil van zo’n 5 tot 6 cents horen en vervolgens
de toon corrigeren. Beginnende muzikanten hebben daar meer moeite mee, en hun toon
wijkt daardoor vaak verder af van de juiste. Publiek kan typisch valsheid pas identificeren
vanaf 25 cents.
Als je naar individuele muzikanten luistert, kan je duidelijk horen of iemand goed
speelt of niet. Bij een gezamenlijk optreden hoort een publiek echter meerdere muzikanten tegelijkertijd, en is het moeilijker om individuele stemmen te identificeren. De
dirigent van het prestigieuze Landelijk Orkest wil het effect van samenspel beter begrijpen, en vraagt zich bijvoorbeeld af of de kwaliteit van een uitvoering schaalt met de
grootte van een orkest. Hij eist van jullie een studie.
7
10
Zonnecellenmachinefabrikant
Een klein bedrijf in Brabant ontwikkelt en verkoopt machines die zonnecellen produceren.
Deze machines maken zonnecellen op ronde schijven, zogenaamde wafers, door middel
van chemische depositie. Dit proces gaat af en toe verkeerd, met als gevolg dat de wafer
niet-werkende zonnecellen bevat.
De Europese wetgeving eist dat zo’n machine enkel verkocht mag worden, als de
machine tenminste 95% van de tijd wafers produceert met werkende zonnecellen. Omdat
dit een harde eis is, en elke machine een prijskaartje heeft van 119.000 euro (dat het
bedrijf liever niet terug moet geven na verkoop), besluit het bedrijf elke machine uitvoerig
te testen. Alleen als uit de test blijkt dat de machine voldoet aan deze uptime, zal het
bedrijf overgaan op levering.
De machines zijn zo ontworpen, dat deze volautomatisch kunnen draaien. Een depositie duurt gemiddeld 9 minuten. Het diagnosticeren van een wafer doet de machine in
2 minuten. Als de wafer incorrect is, vergt dit 1 extra minuut. Elke wafer kan zo’n 35
keer hergebruikt worden, alvorens deze vervangen moet worden met een nieuwe. Iedere
wafer kost zo’n 87 euro per stuk, en elke depositie kost het bedrijf ongeveer 2 euro.
Het bedrijf huurt jullie in om een testmethode te ontwerpen, waarmee het bedrijf
met aan zekerheid grenzende waarschijnlijkheid kan zeggen of een machine voldoet aan
de Europese richtlijnen, of niet. Het bedrijf vraagt jullie om rekening houden met de
kosten en tijdsduur van de test, en eist als deliverable een rapport waarmee hun klanten
overtuigd worden van de testprocedure.
11
Virologie en infectiviteit
In de virologie wordt onder andere de infectiviteit van virussen bestudeerd. Virologen
gebruiken hiervoor de maat plaque-forming units (PFUs). E´en P F U staat voor het
aantal virusdeeltjes dat een zogenaamde plaque kan vormen per eenheid volume. Bijvoorbeeld geeft een oplossing van 1000 P F U/mL Fr¨
uhsommer-Meningoenzephalitis aan
dat 1 mL van deze oplossing genoeg virusdeeltjes bevat om in een monolaag cellen gemiddeld zo’n 1000 infectieuze plaques te vormen. Een plaque is een cirkelvormig infectie
in een monolaag cellen, die veroorzaakt wordt door ´e´en initi¨ele infectie.
Om de P F U te bepalen wordt een plaque assay gemaakt. Hierbij wordt een virusoplossing een aantal keer verdund, en iedere verdunning wordt over een twee-dimensionale
celcultuur gegoten. Wanneer een of meerdere virusdeeltjes een cel infecteert, zich reproduceerd, en zich daarna enkel lateraal verspreidt, vormt een cirkelvormige plaque.
Het aantal plaques (en dus het aantal initi¨ele infecties) kan vervolgens geteld worden,
en hieruit volgt het aantal P F U/mL. Het is belangrijk om op te merken dat niet elk
virusdeeltje in een oplossing leidt tot een infectie.
Een viroloog uit Wageningen vraagt jullie om een wiskundige analyse op te stellen
van de P F U . De viroloog is namelijk weinig bekend over aspecten zoals de verdeling van
de virusdeeltjes en plaques over de celculturen. Ook vraagt de viroloog zich af of er niet
een optimaal aantal verdunning bestaat; als er namelijk te weinig wordt verdund vormen
8
Figuur 3: Een plaque assay.
teveel plaques die daardoor niet onderscheiden kunnen worden, en als er te veel wordt
verdund vormen geen plaques. Als laatste heeft de viroloog recent bloed afgenomen
van een Saimiri oerstedii, en de viroloog vermoedt dat het aapje ge¨ınfecteerd is met
een speciaal virus dat enkel kan infecteren nadat drie verschillende componenten van
het virus samen zijn gekomen in een cel. Rigoreuze inzichten over het effect van zulke
botsingen op de P F U kunnen de viroloog helpen om tot doorbraken te komen.
12
Bloedanalyse
Een zelfstandig laboratorium krijgt dagelijks vanuit diverse zorginstellingen buisjes bloed
van pati¨enten aangeleverd om te testen op aanwezigheid van een specifiek soort virusdeeltjes. Het lab heeft de mogelijkheid elk buisje individueel te analyseren, maar dit is
tijdrovend en daardoor erg kostbaar. Vandaar dat veel laboratoria in de regel testen van
het bloed van verschillende pati¨enten combineren. Dit gebeurt als volgt: het bloed van
een van tevoren vastgesteld aantal personen wordt met elkaar vermengd, waarna de test
wordt uitgevoerd op het mengsel. Is de uitslag negatief, dan kan worden geconcludeerd
dat geen van de pati¨enten van wie het bloed in het mengsel aanwezig is, het virus met
zich meedraagt. Is deze echter positief, dan zal moeten worden vastgesteld van wie het
ge¨ınfecteerde bloed afkomstig is. De laborant kan ervoor kiezen wel elk van de bloedmonsters apart te testen, of nogmaals groep te mengen. Uiteraard is voor elke test een
minimale hoeveelheid bloed vereist, waardoor het aantal tests dat met ´e´en buisje kan
worden uitgevoerd gelimiteerd. Bovendien heeft het bloed een beperkte houdbaarheid.
Het management van het laboratorium wil allereerst graag jullie advies over een
strategie met betrekking tot het zogenaamde batching van bloedmonsters.
9
Vaak verstrekken de zorginstellinngen die het bloed aanleveren additionele informatie
over de gezondheid van de pati¨ent. Dit heeft tot gevolg dat pati¨enten in een aantal risicogroepen kunnen worden ingedeeld, waarvan bekend is dat de kans op infectie verschilt.
De opdrachtgever zou ook graag willen weten hoe dit bovenstaande strategie verandert.
10