Transcript 1 Bewegingen beschrijven

1 Bewegingen beschrijven
1
Bewegingen beschrijven
Praktijk Uitlopen of inhalen
Vragen
1
a De gemiddelde snelheid is gelijk aan de verplaatsing gedeeld door de tijd: vgem =
s
. Invullen van de
t
100
= 10,44 m/s = 3,6 ∙ 10,44 km/h = 37,6 km/h.
9,58
b De topsnelheid ligt een stuk hoger dan de gemiddelde snelheid doordat Usain Bolt vanuit stilstand gaat
rennen. De snelheid is in het eerste stuk dus laag en in het tweede stuk hoog. Gemiddeld komt de snelheid
uit onder de topsnelheid.
c De totale verplaatsing van Bolt is 100 m. Het eerste stuk legt hij versneld af, het tweede stuk met een
constante snelheid. De afgelegde weg in het tweede stuk is gelijk aan: s = v ∙ t = 12 ∙ 5,58 = 67 m. Dan moet
Bolt dus in het eerste stuk hebben afgelegd: 100 – 67 = 33 m.
d In figuur 3 in het leeropdrachtenboek kun je zien dat de grafiek tussen 0 en 4 seconden niet een rechte
lijn is: de snelheid neemt dus niet in elke seconde evenveel toe. In de eerste seconde neemt de snelheid met
bijna 6 m/s toe, in de vierde seconde met nog maar ongeveer 0,7 m/s.
e Versnelling is de verandering van de snelheid per eenheid van tijd. Dit komt overeen met de steilheid
van de grafiek. Je kunt in figuur 3 zien dat de grafiek in het begin het steilst is en dat dus de snelheid in het
begin het meest verandert. Daar is de versnelling maximaal.
gegevens uit de tekst geeft: vgem =
2
Na 2,0 s is de snelheid van de Bulgaar: vB = a ∙ t = 6,5 ∙ 2,0 = 13 m/s. Zijn gemiddelde snelheid is de helft
daarvan: vgem,B = ½ ∙ vB = 6,5 m/s. De Bulgaar heeft dan dus afgelegd: sB = vgem,B ∙ t = 6,5 ∙ 2,0 = 13 m. Zo
kun je ook uitrekenen dat de Koreaan dan 15 m heeft afgelegd. De Koreaan loopt dus 2 m uit.
Je kunt ook gebruikmaken van de formule voor de verplaatsing: s = ½ ∙ a ∙ t2. De Bulgaar legt dan af:
sB = ½ ∙ 6,5 ∙ (2,0)2 = 13 m. De Koreaan echter: sK = ½ ∙ 7,5 ∙ (2,0)2 = 15 m.
3
Op een bochtig circuit zullen de raceauto’s vaak moeten afremmen en weer moeten versnellen. Er zijn
weinig stukken waar de topsnelheid bereikt kan worden. Een auto die snel op gang komt, zal daar in het
voordeel zijn. Dus raceauto A is hier beter af. Op een circuit zonder al te veel bochten met lange rechte
einden zullen de auto’s relatief lang op hun topsnelheid kunnen rijden. Daar zal auto B in het voordeel zijn.
4
Usain Bolt doet over 100 m ook ongeveer 9,6 s, zijn topsnelheid is ongeveer 12 m/s. Zou hij na die 100 m
met die snelheid doorrennen, dan bereikt hij de finish na 500 m, dus na
t = 9,6 + 400 / 12 = 9,6 s + 33,33 s = 42,9 s en dat is later dan de schaatser. De schaatser moet dus een
hogere topsnelheid hebben dan Usain Bolt. Het is aannemelijk dat de schaatser na 100 m al zijn topsnelheid
heeft bereikt. Aangezien die hoger is dan die van Bolt en de tijd van Bolt en de schaatser op de 100 m
nagenoeg gelijk is, moet de versnelling van de schaatser lager liggen dan die van Bolt.
3
1 Bewegingen beschrijven
5
a Het is inzichtelijk om een (v,t)-diagram te maken van de situatie, zoals in figuur 1.
▲ figuur 1
Het gearceerde oppervlak is de voorsprong van de Nederlander (in de theorie wordt uitgelegd dat het
oppervlak onder een (v,t)-diagram de afgelegde weg voorstelt). De twee driehoekjes kun je gemakkelijk
samen nemen. Het oppervlak is dan gelijk aan: Δx = 64 ∙ (25,2 – 18) / 3,6 = 128 m.
b De Spanjaard rijdt gedurende een tijd t = 5000 / (18,9 / 3,6) = 952,4 s met de hogere snelheid. In deze
tijd legt hij meer afstand af dan de Nederlander: Δx = (18,9 – 18) / 3,6 ∙ 952,4 = 238 m. Hij haalt de
Nederlander ergens op deze 5 km in en eindigt met een voorsprong van 238 – 128 = 110 m.
onderzoeksopdrachten
6
I Na ongeveer 6 s kun je zien dat Bolt in Berlijn zijn topsnelheid heeft bereikt. Daarna loopt de grafiek
horizontaal verder: de snelheid blijft dus gelijk. In Beijing bereikt Bolt zijn topsnelheid na ongeveer 5 s.
Daarna daalt de grafiek en dus ook de snelheid.
II Figuur 3 in het leeropdrachtenboek laat de snelheid tegen de tijd zien: de maximale snelheid kun je
aflezen bij t = 6,0 s: 12,2 m/s. Dit is gelijk aan 3,6 ∙ 12,2 = 43,9 km/h.
III Voor het op gang komen bereken je de versnelling. De versnelling is gelijk aan de helling van de
13
v
raaklijn aan de grafiek. Op t = 0 s is die gelijk aan: a =
=
= 9,3 m/s2. Een vallende baksteen heeft
1, 6
t
een versnelling van 9,81 m/s2. De versnelling van Bolt is dus bijna even groot.
7
a Cooman wint wel op de 60 meter, maar niet op de 100 meter. Hoe korter de afstand, hoe belangrijker het
versnellen wordt. Bij Bolt was bijvoorbeeld duidelijk dat hij bijna 40 meter aflegde tijdens het versnellen.
Als Coomans topsnelheid niet zo hoog is vergeleken met haar concurrentes, maar haar versnelling wel, dan
kan ze alsnog winnen op de 60 meter. Op de 100 meter wordt de topsnelheid belangrijker. Cooman heeft
dus een grote maximale versnelling in vergelijking met haar concurrentes.
b Coomans resultaten passen bij een relatief kleine, sterke atlete die goed kan versnellen. Hoe groter de
massa van de atleet, hoe moeilijker deze op gang komt en hoe kleiner de versnelling.
8
a In het eerste stuk van de race is te zien dat Bailey sneller op gang komt dan Bolt; zijn versnelling is
groter. Dat zou je verwachten voor een atleet die kleiner is. Hoe kleiner zijn massa, hoe gemakkelijker de
atleet op gang kan komen.
b De vier keer 100 m wordt door Jamaica afgelegd in 37,04 s. De gemiddelde snelheid wordt gegeven
4 · 100
s
door: vgem =
=
= 10,80 m/s. ‘4 maal 100 meter’ is uiteraard precies gemeten gelijk aan 4 maal
37, 04
t
100,00 m.
c De gemiddelde snelheid van Bolt op de 100 m ligt een stuk lager dan zijn topsnelheid doordat hij ook
nog moet versnellen vanuit stilstand. Bij estafette lopen start alleen de eerste loper vanuit stilstand. Alle
lopers daarna zijn al op snelheid wanneer ze het estafettestokje overnemen. Zo kan de gemiddelde snelheid
van het team hoger zijn dan de gemiddelde snelheid van Bolt op de 100 m.
4
1 Bewegingen beschrijven
9
a De afstand die de langzame starter (sporter B) heeft afgelegd, kun je berekenen met de gemiddelde
snelheid. De gemiddelde snelheid is bij een eenparig versnelde beweging de helft van de eindsnelheid:
v = a ∙ t = 4,95 ∙ 2,0 = 9,9 m/s. De gemiddelde snelheid is dan: vgem = 0,5 ∙ 9,9 = 4,95 m/s. De afgelegde
afstand is dan: s = vgem ∙ t = 4,95 ∙ 2,0 = 9,9 m. Dit had je ook kunnen uitrekenen met de volgende formule:
s = ½ ∙ a ∙ t2 = 0,5 ∙ 4,95 ∙ (2,0)2 = 9,9 m. De snelle starter (sporter A) heeft dan een afstand afgelegd van
11,0 m (zoals gegeven in de opdracht). Het verschil is 1,1 meter in het nadeel van de langzame starter.
b De topsnelheid van de snelle starter is v = a ∙ t = 5,50 ∙ 2,0 = 11 m/s. De langzame starter bereikt deze
11
v
snelheid na t =
=
= 2,22 s. Dat de achterstand maximaal is, kun je zien door naar het oppervlak
4,95
a
onder de grafieken te kijken, wat immers de afgelegde weg geeft. In figuur 5 in het leeropdrachtenboek kun
je zien dat op t2 de achterstand maximaal is, omdat tot dit tijdstip het oppervlak onder de grafiek van A
groter wordt dan het oppervlak onder de grafiek van B. Na dit tijdstip neemt het oppervlak onder de grafiek
van B sneller toe dan het oppervlak onder de grafiek van A.
c De afstand die de langzame sporter (sporter B) op het tijdstip t2 = 2,22 s heeft afgelegd, kun je weer
berekenen met de gemiddelde snelheid (zie opdracht 9a). De snelheid na 2,22 s is:
vB = a ∙ t = 4,95 ∙ 2,22 = 10,99 m/s. De gemiddelde snelheid is dan: vgem,B = ½ ∙ vB = 5,49 m/s. De afgelegde
weg is: sB = vgem,B ∙ t = 5,49 ∙ 2,22 = 12,2 m. Je had ook het volgende kunnen doen:
sB = ½ ∙ a ∙ t2 = 0,5 ∙ 4,95 ∙ (2,22)2 = 12,2 m. Tot 2,0 seconden heeft sporter A een afstand afgelegd van
11 m (opdracht 9a). Daarna beweegt hij gedurende 0,22 seconden eenparig met een snelheid van 11,0 m/s
en legt dan dus 11,0 ∙ 0,22 = 2,42 m af. Dus: sA = 13,4 m en sB = 12,2 m. De maximale achterstand van
sporter B is dan: Δs = 13,4 – 12,2 = 1,2 m.
d Sporter B versnelt met 4,95 m/s2 tot een snelheid van 12,1 m/s (10% sneller dan sporter A). Sporter B
12,1
v
doet hier t =
=
= 2,44 s over.
4,95
a
e Tot 2,0 s heeft de snelle starter 11,0 m afgelegd (opdracht 9a). In de resterende 0,44 s beweegt hij
eenparig en legt hij een afstand af van 0,44 ∙ 11,0 = 4,84 m. Totaal heeft de snelle starter dus
11,0 + 4,84 = 15,84 m afgelegd. De langzame starter is die tijd eenparig versneld en heeft dus afgelegd:
s = ½ ∙ a ∙ t2 = 0,5 ∙ 4,95 ∙ (2,44)2 = 14,74 m.
f Beide sporters bewegen nu eenparig. De langzame starter moet een afstand inhalen van
15,84 – 14,74 = 1,1 m. De relatieve snelheid van de sporters is: Δv = 12,1 – 11,0 = 1,1 m/s. De tijd die de
1,1
s
langzame starter erover doet om het afstandsverschil in te lopen, is dus: t =
=
= 1,0 s.
1,1
v
g De langzame starter heeft tot t3 een afstand afgelegd van 14,74 m (zie opdracht 9e). In de seconde tot het
inhalen legt de langzame starter een afstand af van s = v ∙ t = 12,1 ∙ 1,0 = 12,1 m. Dus totaal heeft de
langzame starter dan afgelegd: 14,74 + 12,1 = 26,8 m.
h Het oppervlak onder de grafiek in een (v,t)-diagram geeft de verplaatsing. Je kunt nagaan dat het
oppervlak onder de grafiek van de snelle starter op t3 gelijk is aan het oppervlak onder de grafiek van de
langzame starter. Hun verplaatsing is dan ook gelijk.
10
a Het is duidelijk dat de langzame starter de winnaar wordt van de 60 m, aangezien de langzame starter de
snelle starter na 27 m inhaalt. Tijdens het versnellen legt deze sporter een afstand af van 14,74 m in 2,44 s
(opdracht 9d en 9e). Er moet dan nog worden afgelegd: 60 – 14,74 = 45,26 m. Dit gebeurt met een snelheid
45, 26
s
van 12,1 m/s en dat duurt dan dus nog: t =
=
= 3,74 s. De eindtijd is dus: 2,44 + 3,74 = 6,18 s.
12,1
v
b De berekening voor de 100 m is gelijk aan die voor de 60 m. Nu moet er na de eerste 2,44 s nog 85,26 m
85, 26
s
worden afgelegd. Dat duurt: t =
=
= 7,05 s. De eindtijd is dan: 2,44 + 7,05 = 9,49 s.
12,1
v
c De antwoorden komen hiermee redelijk overeen. Beide tijden die berekend zijn, liggen ongeveer een
tiende seconde lager dan de tijden van Bolt.
d Er is van uitgegaan dat Bolt meteen bij het startschot begint, terwijl er ook nog een reactietijd is van
ongeveer een tiende seconde. Aan het eind vertraagt Bolt soms weer; dat is niet in het model verwerkt.
5
1 Bewegingen beschrijven
11
a Zie figuur 2.
▲ figuur 2
b De afstand tussen de grafieken blijft gelijk: de grafieken lopen parallel.
c De plaatsfuncties van de hardlopers worden gegeven door xA(t) = v ∙ t en xB(t) = v ∙ t + x0, waarbij x0 de
voorsprong van hardloper B is. Hun snelheden zijn gelijk. Het verschil van deze functies geeft de
voorsprong van hardloper B: xB(t) – xA(t) = x0. De voorsprong blijft dus gelijk.
d Zie figuur 3.
▲ figuur 3
e Het verschil tussen de twee grafieken neemt gelijkmatig (lineair) toe. Aangezien op t = 0 s het verschil
gelijk is aan nul, is dit een recht evenredig verband.
f De plaatsfuncties van de hardlopers worden gegeven door xC(t) = vC ∙ t en xD(t) = vD ∙ t. Het verschil van
deze functies geeft de voorsprong van hardloper D: xD(t) – xC(t) = (vD – vC) ∙ t. Aangezien de snelheden
constant zijn, is het verschil van die snelheden ook constant. De voorsprong van hardloper D neemt dus
recht evenredig met de tijd toe.
g Zie figuur 4.
▲ figuur 4
6
1 Bewegingen beschrijven
h Het verschil tussen de grafieken geeft het verschil in plaats van de hardlopers weer. Voor verschillende
tijdstippen kun je zien dat dit verschil niet recht evenredig met de tijd is. Als je precies kijkt, wordt het
verschil kwadratisch met de tijd groter.
i De plaatsfuncties van de hardlopers worden gegeven door xE(t) = ½ ∙ aE ∙ t2 en xF(t) = ½ ∙ aF ∙ t2. Het
verschil van deze functies geeft de voorsprong van hardloper F: xF(t) – xE(t) = ½ · (aF – aE) ∙ t2. Aangezien
de versnellingen constant zijn, is het verschil van die versnellingen ook constant. De voorsprong van
hardloper F neemt dus kwadratisch met de tijd toe.
12
Ter beoordeling van de docent.
13
Het model kan er bijvoorbeeld als volgt uitzien:
modelvergelijkingen
startwaarden
t = t + dt
xVos = xVos + vVos*dt
vHaas = vHaas + aHaas*dt
Als vHaas > vHaasMax Dan
vHaas = vHaasMax
EindAls
xHaas = xHaas + vHaas*dt
Als xVos > xHaas Dan
Stop
EindAls
Als vHaas > vVos Dan
Stop
EindAls
xVos = 0
vVos = 15
xHaas = 20
vHaas = 0
aHaas = 8.0
vHaasMax = 16
dt = 0.01
t = 0
‘positie vos
‘snelheid vos
‘positie haas
‘snelheid haas
‘versnelling haas
‘max. snelheid haas
‘tijdstap
‘begintijd
Er zijn twee stopcondities. De eerste: als de positie van de vos groter is dan die van de haas; de vos heeft de
haas ingehaald (en te pakken). Als de positie van de haas groter is dan die van de vos en de snelheid van de
haas wordt groter dan die van de vos, dan is de haas ontsnapt. De eerste als-conditie is dus eigenlijk
overbodig: voor de vraag hoeft het model de situatie dat de haas sneller loopt dan de vos niet te bekijken.
Bij deze startwaarden ontsnapt de haas.
+14
Het model kan er bijvoorbeeld als volgt uitzien:
modelvergelijkingen
startwaarden
t = t + dt
vHaas = vHaas + aHaas*dt
Als vHaas > vHaasMax Dan
vHaas = vHaasMax
EindAls
xHaas = xHaas +
vHaas*Cos(alpha)*dt
yHaas = yHaas +
vHaas*Sin(alpha)*dt
xVos = 0
yVos = 0
vVos = 15
xHaas = 20
yHaas = 0
vHaas = 0
aHaas = 8.0
vHaasMax = 16
alpha = 20
beta = Arctan( (yHaas-yVos) /
(xHaas-xVos) )
xVos = xVos +
vVos*Cos(beta)*dt
yVos = yVos +
vVos*Sin(beta)*dt
beta = 0
dt = 0.01
t = 0
Als xVos > xHaas Dan
Stop
EindAls
Als vHaas > vVos Dan
Stop
EindAls
7
‘x-positie vos
‘y-positie vos
‘snelheid vos
‘x-positie haas
‘y-positie haas
‘snelheid haas
‘versnelling haas
‘max. snelheid haas
‘hoek in graden waarin
haas loopt
‘hoek in graden waarin
vos loopt
‘tijdstap
‘begintijd
1 Bewegingen beschrijven
De arctan-functie is de inverse functie van de tangens; die geeft een hoek bij een bepaalde verhouding van
zijden in een rechthoekige driehoek. Er zijn twee stopcondities. Als de x-positie van de vos groter wordt dan
die van de haas, dan heeft de vos de haas te pakken en kan het programma stoppen. Als de snelheid van de
haas groter wordt dan die van de vos, dan is de haas ontsnapt en moet het programma ook stoppen.
Praktijk Snelle en langzame films
Vragen
1
a 12,5 min is 750 s. 1000 feet komt overeen met 16 000 beeldjes. Er zijn 16 000 / 750 = 21,3 beeldjes per
seconde.
b 1 / 21,3 = 0,047 s
c 1 foot = 30,48 cm. Per beeldje is de hoogte 1/16 deel daarvan, dat is 1,905 cm.
d 1000 feet is 304,8 m, afgespeeld in 750 s, dat is 0,41 m/s.
2
a 0,04 s
b 18 km/h = 5,0 m/s. In 0,04 s legt hij dus 5,0 ∙ 0,04 = 0,20 m af.
c Twee keer zo snel, dus 36 km/h.
3
a Zie figuur 5.
@aanpassing: grafieklijn eindigt nu in punt (5;5)
▲ figuur 5
b Je ziet dat de lijn gelijkmatig stijgt van 0 m/s tot 5 m/s en je ziet dat de gemiddelde waarde bij 2,5 m/s
ligt.
c 12,5 m, want de afstand is de gemiddelde snelheid maal de tijdsduur, dus 2,5 m/s ∙ 5,0 s.
d Zie figuur 6.
▲ figuur 6
8
1 Bewegingen beschrijven
e De versnelling is nu 4 m/s2. In de grafiek van het versnelde filmpje is de versnelling vier keer zo groot
als bij het gewone filmpje, want de grafiek is twee keer zo hoog en twee keer zo smal.
4
a Zie figuur 7.
▲ figuur 7
b De lijn stijgt gelijkmatig. Tot 5 s is de snelheid lager dan het gemiddelde, daarboven hoger.
De eindsnelheid is gelijk aan a ∙ t. De gemiddelde snelheid is gelijk aan ½ ∙ a ∙ t. Aan de andere kant is de
h
h
gemiddelde snelheid gelijk aan de afstand gedeeld door de tijd: . Je hebt: ½ ∙ a · t = . Je haalt de ½ en
t
t
5
de t naar de andere kant en je krijgt a = 2 ·
h
t2
.
6
a De noemer moet n keer zo groot worden, net als de teller. t2 moet n keer zo groot worden, dus t moet √n
keer zo groot worden.
b Als de beweging √n keer zo lang moet duren, moet de film √n keer zo langzaam worden afgespeeld.
7
a De golfbal is 0,001 s lang in contact met de golfclub. De vleugelslag van de kolibrie duurt 0,04 s. De vlo
springt weg in 0,01 s.
b De golfbal: 20 beeldjes. Een vleugelslag: op en neer 40 beeldjes. De springende vlo: 20 beeldjes.
c golfbal 20 000, kolibrie 1000, vlo 2000
8
a In het filmpje legt de bal ongeveer 12 cm af in 3 s. Dat zou 0,04 m/s zijn. Maar het filmpje is 2000× zo
snel opgenomen. Dan kom je op 80 m/s.
b In het filmpje duurt een vleugelslag 4 s. De frequentie zou 0,25 Hz zijn. Het filmpje is 300× zo snel
opgenomen als afgespeeld, dus de echte frequentie is 0,25 ∙ 300 = 75 Hz.
onderzoeksopdrachten
9
Ter beoordeling van de docent.
10
Ter beoordeling van de docent.
11
Ter beoordeling van de docent.
12
a √6 = 2,4 keer zo langzaam.
b Ter beoordeling van de docent.
9
1 Bewegingen beschrijven
c Ook bij het terugvallen hoort een afstand van 2,0 m. Dus: ½ ∙ 9,81 ∙ t2 = 2,0 m. De tijd die daar bij hoort,
is 0,64 s. In die tijd bereikt de bal een snelheid van 9,81 ∙ t = 6,3 m/s.
d Om de versnelling te laten kloppen, moet de film √6 = 2,4 keer zo langzaam worden afgespeeld. De
beginsnelheid is dan ook 2,4 keer zo langzaam, dus 2,6 m/s. De vertraging is gelijk aan de versnelling:
1,63 m/s2, gelijk aan de valversnelling op de maan.
e Die valversnelling is 1,63 m/s2. Met die versnelling duurt het v / g = 1,6 s om de bal af te remmen van de
beginsnelheid tot 0, dus dat is het tijdstip waarop het hoogste punt wordt bereikt. In die tijd bereikt de bal
een hoogte van s = vgem ∙ t = 1,28 ∙ 1,6 = 2,0 m. Dat komt overeen met de hoogte die de bal op aarde zou
bereiken.
+13
a Een mogelijk model wordt gegeven door:
modelvergelijkingen
startwaarden
t = t + dt
Als t < tRaketMax Dan
vyRaket = vyRaket + aRaket*dt
EindAls
xRaket = 0
yRaket = 0
vxRaket = 30
vyRaket = 0
aRaket = 500
tRaketMax = 100
xAst = xAst + vxAst*dt
yAst = yAst – vyAst*dt
xRaket = xRaket + vxRaket*dt
yRaket = yRaket + vyRaket*dt
Als yRaket > yAst Dan
Stop
EindAls
xAst = 0
yAst = 10000000
vxAst = 30
vyAst = 12000
dt = 0,1
t = 0
Je kunt dus de x-beweging en de y-beweging apart beschrijven. Maak de stapgrootte niet te klein, anders
zijn er erg veel rekenstappen nodig. Waarschijnlijk moet je het maximum aantal iteraties groter maken om
het moment te bereiken waarop de raket inslaat op de asteroïde.
b Op een afstand van 7600 km. De aarde is gered.
c De inslag vindt plaats 202 s na het ontdekken van de asteroïde.
d Pas bijvoorbeeld de versnelling van de raket aan, de tijd dat de raket kan versnellen (dus de hoeveelheid
brandstof) of de snelheid van de asteroïde.
Theorie
1
Plaats bepalen
1
De verplaatsing is gelijk aan 0 m. Je begint en eindigt namelijk op dezelfde plaats, zodat Δx = xeind – xbegin
gelijk is aan 0 m. De afgelegde weg is enkele kilometers. Waarschijnlijk ben je naar school gegaan en terug,
misschien ben je nog ergens anders heen geweest.
2
a volgorde: b, a, c (respectievelijk –5 m, 0 m, 4 m)
b volgorde: c, b, a (respectievelijk 4 m, 5 m, 10 m)
c Als het voorwerp alleen maar in de richting van toenemende x beweegt.
3
Dat is het geval als de beginplaats gelijk is aan 0 m. Je krijgt dan: Δx = xeind – xbegin = xeind – 0 m, dus Δx = xeind.
4
a
b
c
d
De ene 2 m, de andere –3 m.
Δx = xeind – xbegin = 2 – –3 = 2 + 3 = 5 m
Δx = xeind – xbegin = –3 – 2 = –5 m
Beide 5 m.
10
1 Bewegingen beschrijven
5
Waar alle drie de cirkels snijden, bevindt zich de telefoon. Zie figuur 8.
▲ figuur 8
6
a Na het eerste paaltje staat er elke 100 m een hectometerpaaltje. Zonder het laatste paaltje mee te tellen,
zijn dat 323 paaltjes.
b 100 km/h
c Δx = xeind – xbegin = 0,0 – 32,4 = –32,4 km
d Je weet hierdoor waar je bent (dit kun je bijvoorbeeld doorgeven als er een noodsituatie is). Ze geven
aan hoe hard je mag rijden. Je weet op welke weg je je bevindt.
2
Snelheid: verandering van plaats
7
a
b
c
d
A, C, E, G, I De raaklijn aan de grafiek is in deze punten namelijk horizontaal.
Als we ervan uitgaan dat de knikker al vóór t = 0 bewoog: A, C, E, G, I.
De snelheid is negatief op de intervallen [A,C], [E,G] en [I,J].
In punt B, daar is de grafiek het steilst. Dus de verplaatsing per tijdeenheid is hier het grootst.
11
1 Bewegingen beschrijven
e Zie figuur 9.
▲ figuur 9
8
a De afstand tussen twee opeenvolgende punten is niet steeds even groot.
b In de loop van de tijd gaat het vallende gewichtje steeds sneller. De afstand tussen twee punten neemt
dus toe. De band ging van links naar rechts door de tikker.
c Zie de tabel en figuur 10.
interval
1 tot 2
2 tot 3
3 tot 4
4 tot 5
5 tot 6
6 tot 7
7 tot 8
verplaatsing (m)
0,002
0,006
0,010
0,014
0,018
0,022
0,026
▲ figuur 10
12
1 Bewegingen beschrijven
d v=
0, 0020
x
=
= 0,10 m s–1 voor het eerste interval.
0, 020
t
interval
1 tot 2
2 tot 3
3 tot 4
4 tot 5
5 tot 6
6 tot 7
7 tot 8
snelheid (m s–1)
0,10
0,30
0,50
0,70
0,90
1,1
1,3
e Het is weliswaar een kort stukje, maar het is toch niet de snelheid op één tijdstip.
f Omdat het hier gaat om de gemiddelde snelheid op een interval, is het nauwkeuriger om die snelheid in
het midden van een interval te zetten. Zie figuur 11.
▲ figuur 11
9
a Δt =
700
x
=
= 2,3·10–6 s.
c
3, 0·108
b 10–6 s
c De afstand die het licht aflegt, is Δx = c ∙ Δt = 3,0∙108 ∙ 0,83∙10–6 = 2,5∙102 m. De afstand tot de auto is
de helft daarvan, dus deze is 1,2∙102 m.
d Het licht weerkaatst niet steeds op hetzelfde punt van de auto.
e De lijn daalt.
f De afstand tot de auto is steeds Δx. De snelheid is dan de helling van de grafiek:
39
x
v=
=
= –39 m s–1. Dat is 140 km h–1.
1, 0
t
g Ja, dit is veel te hard.
10
a De auto rijdt op een ander deel van het traject langzamer.
x
. Dat levert:
v
0,0714 h + 0,188 h. De gemiddelde snelheid is de totale afstand gedeeld door de totale tijd. Dat levert
97 km h–1 en dat is langzamer dan het maximum.
b Bereken de totale tijd. Dat doe je door van beide stukken de tijd te berekenen met Δt =
13
1 Bewegingen beschrijven
c Hij heeft 12 km afgelegd in die eerste 6 minuten, want Δx = v ∙ Δt = 120 ∙ 0,1 = 12 km. Hij mag er in
x 25
totaal 15 minuten over doen, want: Δt =
=
= 0,25 h. Hij heeft nog 9 minuten voor 13 km; dat komt
v 100
overeen met een snelheid van 87 km h–1.
d Dan is de gemiddelde snelheid hoger dan 100 km h–1.
11
a De horizontale afstand tussen twee beeldjes is steeds even groot.
b De verticale afstand tussen twee beeldjes is steeds anders. De beweging lijkt eenparig versneld.
c De bal is niet steeds even groot in beeld.
12
a/b Eigen antwoord.
c kilogram (kg)
d Een artefact kan beschadigd raken of aangetast worden.
13
a p=m∙v
[p] = [m] ∙ [v] = kg ∙ m s–1 = kg m s–1
F
b p= A
[p] = [F] / [A] = N/m2 = N m–2
c λ=v∙T
[λ] = [v] ∙ [T] = m s–1 ∙ s = m
R A
d ρ=
l
[ρ] = [R] ∙ [A] / [l] = Ω ∙ m2/m = Ω m
m
e ρ= V
[ρ] = [m] / [V] = kg/m3 = kg m–3
f E k = ½ ∙ m ∙ v2
[Ek] = [½] ∙ [m] ∙ [v2] = 1 ∙ kg ∙ (m s–1)2 = kg m2 s–2
14
Voorbeeld van een goed antwoord: de eenheid van vermogen is watt, afgekort als W. Er geldt:
1 W = 1 J/s = 1 kg m2 s–2/s = 1 kg m2 s–3.
+15
De zwemmer zwemt met constante snelheid ten opzichte van het water en dus van de kurk. Hij zwemt een
half uur van de kurk weg. Hij heeft dan een bepaalde afstand ten opzichte van de kurk afgelegd. Hij moet
diezelfde afstand weer terugzwemmen. Omdat zijn snelheid constant is ten opzichte van het water (en de
kurk), doet de zwemmer over de weg terug ook een half uur. Dus in totaal was de kurk 1 uur onderweg
tussen het moment van de ontmoeting met de zwemmer en het aankomen bij de brug. De kurk drijft in die
tijd precies 1 km af, dus de stroomsnelheid van de rivier is 1 km h–1.
3
Verandering van snelheid
16
De formule voor de gemiddelde versnelling is: agem =
17
a Je kunt de versnelling van B vergelijken met die van A en C, door de tijd waarin versneld wordt gelijk te
maken. De versnelling van B komt overeen met een versnelling tot 40 m s–1 in 8 s. Nu hoef je alleen te
kijken naar de snelheidstoename.
b De juiste volgorde is (van klein naar groot): C, A, B.
v
. Hieruit volgt: Δv = agem ∙ Δt. Aangezien agem
t
klein is, moet de kleine versnelling lang worden aangehouden om toch een grote snelheidsverandering te
krijgen.
14
1 Bewegingen beschrijven
18
a De versnelling is 9,81 m s–2. Dus na 0,50 s is de snelheid: v = a ∙ t = 9,81 ∙ 0,50 = 4,9 m s–1.
b De gemiddelde snelheid is in dit geval de helft van de eindsnelheid: vgem = 2,5 m s–1.
c De verplaatsing is dan: s = vgem ∙ t = 2,5 ∙ 0,50 = 1,3 m.
d Voor uitleg, zie de uitwerkingen bij opgave 18a, b en c. Na 1,0 s is de eindsnelheid 9,8 m s–1. De
gemiddelde snelheid is de helft hiervan: vgem = 4,9 m s–1. Dus de verplaatsing is:
s = vgem ∙ t = 4,9 ∙ 1,0 = 4,9 m.
19
De gemiddelde snelheid in de eerste 1,0 cm is van beide eieren gelijk. Het tweede ei legt de tweede 1,0 cm
af met een hogere gemiddelde snelheid dan de eerste 1,0 cm en het doet hier dus ook korter over. Daarom
versnelt het tweede ei in deze tweede 1,0 cm ook kortere tijd en is de snelheidstoename in de tweede 1,0 cm
kleiner dan in de eerste 1,0 cm. Het tweede ei komt dus met een minder dan twee keer zo grote snelheid
neer.
20
a Omdat de snelheid eenparig toeneemt (de versnelling is constant) geldt voor de gemiddelde snelheid:
vgem = (vbegin + veind)/2. Omdat de beginsnelheid vbegin gelijk is aan nul, volgt: vgem
b De gemiddelde snelheid is: vgem =
a=
21
= veind/2.
s 3, 0
=
= 1,5 m s–1. Er geldt veind = 3,0 m s–1. De versnelling is dan:
2, 0
t
3, 0
v
=
= 1,5 m s–2.
2, 0
t
v
. De
t
snelheidsverandering is in meter per seconde: Δv = 100 / 3,6 = 27,8 m s–1. Invullen geeft een versnelling
van: a = 27,8 / 9,0 = 3,1 m s–2.
b Omdat de versnelling constant is en de beginsnelheid 0, is de gemiddelde snelheid gelijk aan de helft
van de eindsnelheid: vgem = 50 km h–1 = 50 / 3,6 = 13,9 m s–1. De verplaatsing is dan:
s = vgem ∙ t = 13,9 ∙ 9,0 = 1,3∙102 m.
v
v
c Gebruik de formule a =
. Daaruit volgt: Δt =
. De snelheid van de auto moet toenemen met
t
a
15 km h–1, dus Δv = 15 km h–1 = 4,17 m s–1. Invullen geeft: Δt = 4,17 / 3,0 = 1,4 s.
d De gemiddelde snelheid tijdens het versnellen is het gemiddelde van de begin- en de eindsnelheid,
omdat de versnelling constant is: vgem = (100 + 115) / 2 = 107,5 km h–1.
De relatieve snelheid met de in te halen auto bedraagt dan: 107,5 – 95 = 12,5 km h–1 = 3,47 m s–1. De extra
verplaatsing van de inhalende auto is dan: s = v ∙ t = 3,47 ∙ 1,4 = 4,9 m.
e De lengte van de inhalende auto is niet gegeven. In de uitwerking wordt er daarom van uitgegaan dat de
voorkant van deze auto zich 50 meter voor de ingehaalde auto bevindt. Hierna zakt de snelheid weer terug
naar 100 km h–1.
Je moet weten hoe lang het inhalen duurt en vervolgens hoe lang het duurt voor de snelheid weer gezakt is
van 115 km h–1 tot 100 km h–1. Tijdens het versnellen legt de inhalende auto 4,9 m meer af dan de auto die
wordt ingehaald. De totale afstand die extra moet worden afgelegd wanneer de inhalende auto met een
snelheid van 115 km h–1 rijdt, is: 3,2 + 50 + 50 – (2 ∙ 4,9) = 93 m. Deze extra afstand wordt afgelegd met
s 93, 4
een relatieve snelheid van 20 km h–1 = 5,56 m s–1. Dat duurt dus: t = =
= 16,8 s. Daarna moet de
v 5,56
a Omdat de versnelling constant is, is de versnelling gelijk aan de gemiddelde versnelling: a =
auto nog afremmen tot 100 km h–1. Dat duurt even lang als het versnellen van 100 km h–1 tot
115 km h–1, namelijk 1,4 s (opgave 21c). Totaal duurt het dus: 16,8 + 2 ∙ 1,4 = 19,6 s. Rond dit af als 20 s,
want de afstanden zijn in twee significante cijfers.
22
Er zijn drie delen. Tussen 0 en 2,0 s versnelt de auto. Dan rijdt de auto met constante snelheid tot 6,0 s. Tot
slot vertraagt de auto in 0,5 s tot stilstand. De versnelling vind je door gebruik te maken van de formule
v
a=
. Dat geeft: a1 = 10 / 2,0 = 5,0 m s–2, a2 = 0 / 4,0 = 0,0 m s–2 en a3 = –10 / 0,50 = –20 m s–2.
t
15
1 Bewegingen beschrijven
23
a Eigen antwoord (tekening).
b De versnelling op een bepaald tijdstip wordt gegeven door de helling van de raaklijn in het betreffende
punt (zie figuur 12).
@aanpassing: grafiek op mm-papier
▲ figuur 12
v
5,3
=
= –0,21 m s–2.
t
25
c Als de helling van de grafiek maximaal is, is de vertraging maximaal. In de grafiek is te zien dat dat het
geval is op t = 30 s.
De helling van de raaklijn is in dit geval a =
+24
Er zijn meerdere uitwerkingen mogelijk. Je zou het filmpje dat je met de gegeven zoektermen kunt vinden,
kunnen downloaden en met een videomeetprogramma, zoals Coach, kunnen analyseren. Je kunt de
versnelling ook direct uit het filmpje bepalen, hoewel dat minder nauwkeurig is. Daarvoor kun je aannemen
dat de veer en de hamer eenparig versnellen. De afstand waarover de voorwerpen vallen, kun je bepalen uit
de film door de lengte van de astronaut te schatten. Die zal ongeveer (met pak) 1,8 m zijn. De voorwerpen
vallen dan vanaf een hoogte van 1,2 m. De tijd kun je direct uit het filmpje halen, of met een stopwatch
bepalen: 1,2 s. De gemiddelde snelheid is dan: vgem = 1,2 / 1,2 = 1,0 m s–1. De eindsnelheid is voor een
eenparig versnelde beweging vanuit stilstand gelijk aan twee keer de gemiddelde snelheid:
veind = 2 ∙ 1,0 = 2,0 m s–1. De versnelling is dan: a = 2,0 / 1,2 = 1,7 m s–2. De literatuurwaarde is 1,62 m s–2.
Dat wijkt 5% af.
4
Van versnelling en snelheid naar verplaatsing
25
c, a, b. De waarde is negatief voor c, dus dat is de kleinste. De lijn ligt bij b hoger dan bij a, dus b heeft de
grootste gemiddelde snelheid en dat betekent in dezelfde tijdsduur de grootste afstand.
26
a Eerst is de snelheid nog 10,0 s lang 100 km h–1. Tussen seconde 10,0 en seconde 20,0 neemt de snelheid
af. De oppervlakte onder de grafiek in het (a,t)-diagram van dat stuk van de beweging is:
Δv = –1,00 ∙ 10,0 = –10,0 m s–1 = –36,0 km h–1. De snelheid daalt tussen de tijdstippen t = 10,0 s en
t = 20,0 s in een rechte lijn tot 64,0 km h–1. Die snelheid blijft zo tot het eind.
b De oppervlaktes in het (v,t)-diagram zijn:
– een rechthoek van 10,0 s bij 100 / 3,6 = 27,8 m s–1, dus de bijbehorende afstand is 278 m;
– bij de periode tussen seconde 10,0 en 20,0 een rechthoek van 10,0 s bij 17,8 m s–1, oppervlakte 178 m en
daarboven een driehoek van 10,0 s breedte en hoogte 36 / 3,6 = 10 m s–1, met als oppervlakte van de
driehoek ½ ∙ basis ∙ hoogte = 50 m;
– een rechthoek met breedte 20,0 s en hoogte 17,8 m s–1. Dus de bijbehorende afstand is 356 m.
De totale afstand is (reken met onafgeronde getallen): 861 m.
16
1 Bewegingen beschrijven
c De oppervlakte onder de grafiek in het (a,t)-diagram geeft alleen de verandering van de snelheid in een
bepaalde periode, dus om op elk tijdstip de snelheid te weten, moet ook de beginsnelheid bekend zijn.
27
a 0 s: afstand 0 m; 5 s: afstand 24 m; 10 s: afstand 44 m; 15 s: afstand 57 m; 20 s: afstand 72 m;
25 s: afstand 86 m; 30 s: afstand 93 m
b Zie figuur 13.
@aanpassing: grafiekpunten en –lijn nu goed
▲ figuur 13
c vgem =
28
a De raaklijnen bij t = 5,0 s en t = 25 s zijn ongeveer even steil. De versnelling is de steilheid
(hellingsgetal, richtingscoëfficiënt) van deze lijn: a = –0,23 m s–2. Bij t = 15 s is een horizontaal stuk, dus de
versnelling is daar 0.
b a=
+29
x
88
=
= 3,1 m s–1.
t
30
–5, 0 m s –1
v
=
= –0,17 m s–2
30 s
t
a Zie figuur 14.
▲ figuur 14
36,1
v
=
= 30,1 s. De afgelegde afstand is
1, 2
a
dan ½ ∙ a ∙ t2 = 543 m (je kunt dit ook met de gemiddelde snelheid berekenen). Het afremmen duurt even
lang, gaat met dezelfde gemiddelde snelheid, dus het afremmen kost ook 543 m. De tijd dat de intercity niet
remt of optrekt, is t – 60,2 s. In die tijd legt hij een afstand af van 36,1 ∙ (t – 60,2). De totale afstand is
1086 + 36,1 ∙ (t – 60,2) = 36,1 ∙ t – 1086.
b Het optrekken tot topsnelheid duurt voor de intercity Δt =
17
1 Bewegingen beschrijven
Dezelfde berekening levert voor de lightrailtrein op dat het optrekken en afremmen elk 9,26 s duurt. De
afstand die wordt afgelegd, is 206 m. De plaatsfunctie wordt: 22,2 ∙ t – 206.
c Bij die tijdsduur waarbij de uitkomsten gelijk zijn, hebben beide treinen in die tijd dezelfde afstand
afgelegd. Voor kortere tijden (en afstanden) is de lightrailtrein sneller, voor langere stukken de intercity.
d 36,1 ∙ t – 1086 = 22,2 ∙ t – 206 → 13,9 ∙ t = 880 → t = 63,3 s
e De gevonden tijd kun je in beide plaatsfuncties invullen (de uitkomsten zijn toch gelijk):
22,2 ∙ 63,3 – 206 = 1206 m. → 1,21 km
30
D. Je kunt deze opgave grafisch oplossen door de grafieken van A en B te tekenen, zoals in figuur 15. De
helling van beide grafieken moet dezelfde zijn en ook het oppervlak onder de grafieken. Neem bijvoorbeeld
aan dat het remmen voor A 10 s duurt en schat dan (door hokjes te tellen) hoe lang het remmen van B
geduurd moet hebben om hetzelfde oppervlak onder de grafiek te krijgen. Lees bij die tijd de snelheid af.
▲ figuur 15
Je kunt ook gaan rekenen. Omdat het antwoord niet heel nauwkeurig hoeft te zijn, kun je voor de
beginsnelheden van A 14 m s–1 en voor B 20 m s–1 nemen. Blijkbaar is de afstand die de auto’s afleggen
tijdens het remmen niet van belang. Neem hiervoor een handig getal, zeg 140 m. Dan doet A 20 s over het
afremmen en is zijn remvertraging –0,7 m s–2. De eindsnelheid van B noem je V en de remtijd van B noem
je T. De gemiddelde snelheid van B tijdens het remmen is dan 10 + 0,5 ∙ V. Dan moet voor B gelden:
V = 20 – 0,7 ∙ T en 140 = (10 + 0,5 ∙ V) ∙ T. Dit zijn twee vergelijkingen met twee onbekenden. Als je dit
uitwerkt, volgt V = 14,3. Vermenigvuldigen met 3,6 geeft ongeveer 50.
Of echt helemaal exact kan ook. Beide auto’s leggen eenzelfde afstand af. Die kun je voor beide auto’s
berekenen en dan aan elkaar gelijkstellen. Voor A vind je: s = vgem,A ∙ tA = 6,9 ∙ tA. De tijd dat de auto over
het vertragen doet, vind je met: ΔvA = a ∙ tA, dus tA = ΔvA / a = –13,9 / a. Dus: s = 6,9 ∙ –13,9 / a = –95,9 / a.
(Bedenk dat a negatief is.) Voor auto B kun je ook de afstand uitrekenen:
s = vgem,B ∙ tB = ½(vB,eind + vB,begin) ∙ tB = ½(vB,eind + vB,begin) ∙ ΔvB / a =
2
2
½(vB,eind + vB,begin) ∙ (vB,eind – vB,begin) / a = ½( vB,eind
– vB,begin
) / a. Stel de afstanden voor A en B aan
elkaar gelijk en je kunt links en rechts de versnelling weghalen:
2
2
2
–95,9 = ½( vB,eind
– vB,begin
) = ½( vB,eind
– 19,42)
2
–95,9 = ½( vB,eind
– 19,42)
2
–192 = vB,eind
– 19,42
2
vB,eind
= 185
vB,eind = 13,6 m s–1 = 49 km h–1
18
1 Bewegingen beschrijven
31
Zie figuur 16.
▲ figuur 16
5
Banen berekenen
32
Het juiste antwoord is 4. De voorwaartse snelheid van het pakket is gelijk aan dat van het vliegtuig en
constant. Verticaal versnelt het pakket, dus de baan is (bij benadering) een parabool. Als je in het vliegtuig
zit, lijkt baan 2 de juiste.
33
De bal komt met een hoek van 45° binnen, dus de verticale snelheid is gelijk aan de horizontale
(voorwaartse) snelheid. De bal valt eenparig versneld over 20 m en doet daar over:
2 x
 2  20 
–1
t  
  
  2, 02 s. De verticale snelheid na die tijd is: v = g ∙ t = 9,81 ∙ 2,02 = 20 m s .
 9,81 
 g 
Dus de horizontale snelheid bij het weggooien is ook 20 m s–1.
19
1 Bewegingen beschrijven
34
a De tijd dat de bal valt, is onafhankelijk van de horizontale snelheid. De tijd vind je door de formule
y = h0 – ½ ∙ g ∙ t2 te gebruiken: y = 0 m, g = 9,81 m s–2 en h0 = 1,50 m.
Hieruit volgt: 0 m = 1,50 m – 0,5 ∙ 9,81 m s–2 ∙ t2 en dus: 1,50 = 0,5 ∙ 9,81 ∙ t2. Dus:
 2  h0 
 2  1,50 
t  
  
  0,5530 s. In die tijd moet de tennisbal 15,0 m afleggen. Hiervoor is een
g
 9,81 


snelheid nodig van: v =
15, 0
s
=
= 27,1 m s–1.
0, 5530
t
b De bal verliest dan snelheid en zal in dezelfde tijd minder afstand afleggen. De beginsnelheid moet dus
hoger zijn.
35
De tijd dat de pakketten vallen, is onafhankelijk van de horizontale snelheid (vergelijk met opgave 32). Het
vallen duurt: t 
2  50 / 9,81  3,19 s. In deze tijd legt het vliegtuig een afstand af van:
s = v ∙ t = 300 / 3,6 ∙ 3,19 = 266 m. Dus het luik moet minimaal 2,7∙102 m voor het kamp opengaan. Liefst
wat eerder.
36
a De verticale snelheid is in het hoogste punt nul. De bal heeft wel een voorwaartse snelheid. Dat is
precies gelijk aan de situatie bij een horizontale worp: de bal beweegt daar in horizontale richting en
versnelt weer richting het aardoppervlak.
b Het vallen van 6,0 m hoogte duurt (vergelijk de uitwerking van opgave 34a):
t
2  60 / 9,81  3, 22 s.
In die tijd legt de bal een horizontale afstand af van: s = 23,77 / 2 = 11,89 m. De snelheid die daar bij hoort
is:
s 11,89
v= =
= 11 m s–1.
1, 22
t
c Als de bal minder hoog komt, duurt het vallen minder lang. De bal moet dan sneller gaan om in deze
kortere tijd dezelfde afstand af te leggen. De horizontale snelheid is dus groter.
37
a Gebruik internet om de omrekenfactor van feet naar SI-eenheden te vinden:
1 foot = 0,3048 m = 30,48 cm. Dus de hoogte van de basketbalring is precies 10 feet boven de grond.
b Een mogelijk computermodel:
modelvergelijkingen
startwaarden
t = t +
x = x +
vy = vy
y = y +
Als x >
Stop
EindAls
t = 0
dt = 0,01
x = 0
y = 2,1
xbasket = 6,0
ybasket = 3,048
g = 9,81
alpha = 45
v = 10
vx = v*Cos(alpha)
vy = v*Sin(alpha)
dt
vx * dt
– g * dt
vy * dt
6,0 Dan
Pas de waarden voor alpha en v aan om de bal in de basket te krijgen. Let erop dat je de hoek instelt op
graden (niet op radialen). Om de baan van de bal weer te geven, maak je een (x,y)-diagram met op de
horizontale as de positie x en op de verticale as de positie y. De variabele t is toegevoegd zodat je ook een
(x,t)-diagram of een (y,t)-diagram kunt maken.
c Er zijn zeker meerdere combinaties van hoek en snelheid mogelijk. Er zijn misschien ook kortere
modellen maar een korter model hoeft niet altijd beter te zijn: het is soms nog maar moeilijk te begrijpen.
20
1 Bewegingen beschrijven
38
a De bal is eerst van de grond tot een hoogte van 3,0 m gekomen. De tijd die de bal daarover doet, is
gelijk aan de tijd die de bal erover zou doen als deze van diezelfde hoogte naar beneden valt. Die tijd kun je
uitrekenen op de manier die is gebruikt bij opgave 34a: t 
 2  h0 
 2  3, 0 

  
  0, 782 s. Daarna
 9,81 
 g 
valt de bal over een afstand van 3,0 – 1,80 = 1,2 m. Hierover doet de bal: t = √(2 ∙ 1,2 / 9,81) = 0,495 s.
Totale tijd: 0,782 + 0,495 = 1,28 s.
b De spits heeft 1,28 s om 8,0 m af te leggen met een eenparig versnelde beweging. Voor de afgelegde
2 · s 2 · 8, 0
weg geldt: s = ½ ∙ a ∙ t2. Dus: a = 2 =
= 9,8 m s–2. Dit is een grotere versnelling dan de beste
2
t
1,3
sprinters halen, dus de spits zal te laat zijn.
+39
Omdat de voetballen tegelijkertijd vallen en met eenzelfde versnelling naar beneden versnellen, zullen ze op
ieder tijdstip op gelijke hoogte zijn. Bereken daarom eerst de tijd die de ballen nodig hebben om de
horizontale afstand af te leggen. De afstand voor bal 1 in horizontale richting gerekend vanaf de rand van
dak 1 is: x1 = 5,0 ∙ t. Voor bal 2 is dat: x2 = 10,0 ∙ t, gerekend vanaf de rand van dak 2. De ballen raken
elkaar als de totale afstand x1 + x2 = 60,0, dus als t = 4,00 s. Op dat moment hebben beide ballen in verticale
richting een snelheid van 9,81 ∙ 4,00 = 39,2 m s–1. De gemiddelde snelheid is de helft daarvan, dus
19,6 m s–1. De hoogte is dan afgenomen met 19,6 ∙ 4,00 = 78,5 m. Dus ze ontmoeten elkaar op een hoogte
van 100,0 – 78,5 = 21,5 m.
40
eindopdracht – Buckeye Bullet
a Uit de figuur volgt dat de maximum versnelling gelijk is aan de helling van de raaklijn aan de grafiek op
tijdstip nul. Aflezen uit de grafiek geeft (er zit een zekere marge in de waarde van Δt en dus in het
antwoord):
v 160
a=
= 3,1 m s–2.

t
51
b Een vertraging volgt ook uit de helling van de grafiek. Een vertraging komt overeen met een negatieve
helling, dus een neergaande lijn. De vertraging is het sterkst kort na t = 90 s. Aflezen uit de grafiek geeft
(ook hier is het antwoord enigszins afhankelijk van de getrokken raaklijn):
12,3
v 160
a=
= 12,3 m s–2 =
= 1,25 g @Verschoven naar nieuwe regel.

9,81
t
13
c Het parcours is ingedeeld in drie stukken die een lengte hebben van achtereenvolgens: 2 mijl, 3 mijl en
2 mijl. Het oppervlak onder het (v,t)-diagram is gelijk aan de verplaatsing (zie figuur 17 op de volgende
bladzijde). Dus bekeken moet worden bij welke tijd het oppervlak gelijk is aan 2 mijl = 3218 m, enzovoort.
Het gemakkelijkst is de grafiek op te delen in rechthoeken en driehoeken en daar het oppervlak van te
bepalen. Na 48 s heeft de auto zo het eerste deel afgelegd. Op 85 s is de auto 3 mijl (4828 m) verder. Dus
over het tweede deel doet de auto 85 – 48 = 37 s. Het laatste stuk is weer 2 mijl. Maar het resterende
oppervlak is 2400 m. De auto maakt het laatste stuk niet vol.
d Kort voor het moment dat de auto begint met remmen, is hij nog aan het versnellen. Als de auto niet was
gaan remmen, was zijn snelheid nog toegenomen. Dus, nee, de auto heeft op het parcours niet zijn
maximale snelheid bereikt.
21
1 Bewegingen beschrijven
▲ figuur 17
e De gemiddelde snelheid over ‘Mile 5’ bedraagt 308,317 mph. Dit is 308,317 ∙ 1,609 344 =
496,188 km h–1 = 496,188 / 3,6 = 137,8 m s–1. Voor de tijd dat de auto over deze mijl doet, geldt: s = vgem ∙ t.
Invullen levert: 1609,344 = 137,8 ∙ t. Dit geeft: t = 11,7 s. In de grafiek kun je aflezen dat op t = 79 s de
berekende snelheid wordt bereikt. De snelheid is rond die tijd eenparig. Dus het interval van 11,7 s bevindt
zich 6 s voor en na dit tijdstip: 73-85 s.
f De afgelegde weg tijdens het versnellen is 8772 m. Dit volgt uit het oppervlak onder de grafiek tot en
met t = 90 s (zie ook opgave 40c). De auto doet hier 90 s over. De gemiddelde snelheid is dus:
vgem = 8772 / 90 = 98 m s–1.
22
2 Kracht en beweging
2
Kracht en beweging
Praktijk Bouwen op breuklijnen
vragen
1
a trek- en drukkrachten
b trekkrachten
c Op elke staaf werkt een zwaartekracht die aangrijpt in het midden van de staaf. De drukkracht op die
staaf drukt de staaf een beetje ineen. Een staaf kan dat hebben. De staaf trekt aan de kabels erboven, en dat
gaat ook goed, want een kabel kan juist een trekkracht hebben. Zie figuur 1.
▲ figuur 1
2
Grote koepels zoals van het Pantheon en de Sint-Pietersbasiliek in Rome zijn duidelijke voorbeelden. De
bogen overspannen veel grotere afstanden dan de afstand die in Griekse tempels wordt overbrugd met
rechte stenen balken. Bruggen (zoals de Waalbrug bij Nijmegen) zijn ook vrij vaak boogvormig. Kleinere
bogen zie je boven deuren en bijvoorbeeld ook in de verbinding tussen de steunbeer en de kerk zelf in
figuur 5 in je leeropdrachtenboek.
3
De tafel ondersteunt de boog met een normaalkracht, het plakband duwt opzij. De zwaartekracht en de
duwkracht werken naar beneden. Zie figuur 2.
@aanpassing: bij verticale pijl naar beneden staat nu Fz + Fduw
▲ figuur 2
4
a Voorbeelden: een luifel boven een voordeur, een zonnescherm, een tak van een boom, een horizontaal
gehouden arm.
b Zie figuur 15 in je boek. Het balkon trekt aan de schuine staven van de driehoeksconstructie. Die staven
trekken op hun beurt schuin omhoog aan het balkon. Dit compenseert de zwaartekracht. Uiteindelijk duwt
de driehoeksconstructie weer omlaag op het balkon, maar dit is aan de kant waar het balkon aan het gebouw
vastzit. Deze neerwaartse kracht op het balkon heeft een kleiner krachtmoment ten opzichte van de plaats
waar het balkon aan de muur vastzit dan de zwaartekracht gehad zou hebben.
5
a a = 0,8 ∙ g = 8 m s–2
b s = ½ ∙ a ∙ t2, dus 0,177 = ½ ∙ 8 ∙ t2, dus t2 = 0,0443, dus t = 0,2 s
c v = a ∙ t = 2 m s–1
23