Transcript Projekt badawczy:*Czy istnieje prosta zale*no** mi*dzy

W naszej prezentacji będziemy omawiać
wyniku naszego projektu badawczego
dotyczącego wielościanów i ich
zastosowaniu w życiu codziennym i
różnych dziedzinach nauki…
Wielościan w przestrzeni jest analogiczny do wielokąta na płaszczyźnie. Wiadomo,
na przykład, że suma kątów trójkąta jest jednakowa dla wszystkich trójkątów i
wynosi , niezależnie od ich wielkości i kształtu.
Suma kątów wewnętrznych n-kąta wypukłego wynosi .
Z dowolnego wierzchołka wielokąta prowadzimy przekątne.
W ten sposób dzielimy wielokąt na trójkąty.
Suma miar kątów tych trójkątów jest równa sumie miar
kątów wielokąta.
Mamy więc:
 1   2    n   n  2   180 
Kąt dwuścienny . Dwie półpłaszczyzny o wspólnej krawędzi
dzielą przestrzeń na dwie części. Każdą z tych części
nazywamy kątem dwuściennym. Rozważane półpłaszczyzny
nazywamy ścianami kąta dwuściennego. Prostą będącą ich
częścią wspólną nazywaną krawędzią kąta dwuściennego.
Rozpatrujemy szczególne czworościany.
W czworościanie foremnym mamy 6 jednakowych kątów dwuściennych.
Miara α każdego z nich jest taka, że :
W zdegenerowanym ostrosłupie prawidłowym trójkątnym
o nieskończenie dużej wysokości mamy trzy kąty dwuścienne
o mierze (między ścianą boczną i podstawą) oraz trzy kąty
dwuścienne o mierze (między dwiema ścianami bocznymi),
czyli
W zdegenerowanym ostrosłupie prawidłowym trójkątnym o
zerowej wysokości (spłaszczonym ostrosłupie) mamy trzy
kąty dwuścienne o mierze każdy, oraz trzy kąty dwuścienne
o mierze każdy, czyli
Wniosek:
suma miar kątów dwuściennych
czworościanu (i ogólnie: wielościanu)
nie jest niezależna od kształtu
czworościanu (wielościanu).
.
Kąt bryłowy – część przestrzeni ograniczona przez powierzchnię
stożkową, czyli wszystkie półproste wychodzące z pewnego
ustalonego punktu, zwanego wierzchołkiem, przechodzące przez
pewną ustaloną krzywą zamkniętą.
Miarą kąta bryłowego jest pole powierzchni części sfery o
jednostkowym promieniu wyciętej przez powierzchnię stożkową o
wierzchołku w jej środku. Miara kąta bryłowego przyjmuje więc
wartości z przedziału (0,4π).
Stwierdziłyśmy, że suma miar kątów bryłowych
wielościanu nie jest niezależna od kształtu wielościanu.
Na wielu przykładach wykazałyśmy jaka
jest różnica między iloczynem
wierzchołków i kątem pełnym, a sumą
kątów płaskich wszystkich ścian.
Doszłyśmy do bardzo ciekawych
wniosków i przedstawiłyśmy je w
poniższej tabeli…
Wniosek:
Dla każdego ze zbadanych przez nas wielościanów zachodzi
Możemy więc postawić hipotezę:
Hipoteza:
Dla każdego wielościanu wypukłego zachodzi:
Niech
będzie szukaną sumą miar kątów wewnętrznych
wszystkich ścian danego wielościanu, a ,K1 , K2…Ks, niech
oznaczają odpowiednio liczbę krawędzi zawartych w ścianie
pierwszej, drugiej, …, ostatniej. Przy tych oznaczeniach .
Biorąc pod uwagę to, że każda krawędź zawarta jest w
dwóch ścianach, mamy : K1 + K2 +… +Ks = 2K
Ostatecznie
Porównując dwa poprzednio otrzymane wyniki
Oraz
mamy:
czyli po przekształceniu:
Możemy więc postawić hipotezę:
Hipoteza:
Dla dowolnego wielościanu wypukłego zachodzi:
.
Związek
, gdzie K oznacza
liczbę krawędzi dowolnego wielościanu, a
S liczbę jego ścian został już przez nas
ściśle wykazany, zaś równość
zostanie udowodniona, o ile uda się nam
ogólnym rozumowaniem wykazać, że dla
każdego wielościanu zachodzi
 W oznacza tu liczbę wierzchołków
wielościanu, zaś
to suma wszystkich
kątów płaskich wszystkich ścian tego
wielościanu.


Jak można wykazać, że dla każdego
wielościanu wypukłego zachodzi
Możesz założyć, że rozważany wielościan
zmienia w sposób ciągły swój kształt, tak,
że liczba ścian, krawędzi i wierzchołków
nie ulega zmianie i podany związek
wykazać dla przekształconego
wielościanu.

Wielościan przekształcamy tak, aby wyznaczenie
w zależności od W było najłatwiejsze. Najwygodniej
to zrobić dla zdegenerowanego, „spłaszczonego”
wielościanu. Zakładamy, że jedna ze ścian została
rozciągnięta na tyle, że rzuty prostokątne pozostałych
ścian na podstawę są w niej zawarte. Ścianę tę
nazwijmy umownie podstawą, a liczbę jej boków
oznaczmy przez b). Po zrzutowaniu S-1 ścian na
podstawę otrzymujemy spłaszczony wielościan, który
możemy uważać za sumę dwóch wielościennych
płytek: dolnej – jednolitej i górnej – składającej się z
S-1 wielokątów.
Oto przykład wielościanu, na którego
przykładzie, omówimy rozwiązanie
zadania.
Suma
składa się z trzech składników:
- z sumy kątów dolnej płytki („rozciągniętej podstawy”)
równej
- z identycznej sumy kątów brzegu płytki górnej,
- z sumy kątów wnętrza płytki górnej, które zawiera W- b
wierzchołków. Suma ta jest więc równa

Po dodaniu, otrzymujemy:
Tym samym udowodniona została również
hipoteza:
Wykorzystujemy wzór Eulera:
Niech K=7 , wówczas W+S=9 .
Musi być spełniony warunek: W>=4 i S>=4.
A zatem jedynymi możliwymi rozwiązaniami są:
1) W=4 i S=5.
2) W=5 i S=4 .
Takie sytuacje są jednak niemożliwe.
Ad 1) jeśli wielościan ma 4 wierzchołki, to musi to być ostrosłup
trójkątny i wówczas liczba ścian musi być równa 4, co wyklucza
pierwszy przypadek.
Ad2) jeśli liczba ścian wynosi 4, to wówczas wielościan będzie
ostrosłupem trójkątnym a ten ma 4 wierzchołki, co wyklucza nam
przypadek drugi.
Każda ściana jest trójkątem, więc 2k=3S .
W każdym wierzchołku schodzi się pięć
ścian, wobec tego 2K=5W.
Pamiętaliśmy przy tym, że każdej krawędzi
odpowiadają zarówno dwa wierzchołki, jak
i dwie ściany.
Dołączając do tych dwóch równań wzór
S+W=K+2 mamy układ, z którego wynika, że
S=20 .
Rozważany wielościan ma więc 20 ścian.
Może nim być np. dwudziestościan foremny.
Podczas naszego projektu
badawczego dotyczącego
różnorakich zależności w
wielościanach, znalazłyśmy podobne
zależności w dziedzinach życia
codziennego.
Fullereny
Fulleren to związek chemiczny, w którym
atomy węgla są rozmieszczone w
wierzchołkach pewnego wielościanu
wypukłego, a krawędzie tego wielościanu
odpowiadają wiązaniom chemicznym. Różne
rodzaje fullerenów odpowiadają różnym
wielościanom; wielościany te mają
następujące wspólne własności:
(i) wszystkie ich ściany są pięcio- lub
sześciokątne;
(ii) w każdym wierzchołku schodzą się
dokładnie trzy ściany.

Pokazaliśmy, że gdy z każdego
wierzchołka wychodzą dokładnie 3
krawędzie, to W=2S-4.
Tak więc liczba wierzchołków fullerenu
jest zawsze parzysta.
Wprowadźmy oznaczenia:
S5 - liczba pięciokątnych ścian fullerenu,
S6 - liczba sześciokątnych ścian fullerenu.
Wszystkie ściany są pięcio- lub sześciokątne, więc S=S5 + S6 .
Skoro w każdym wierzchołku schodzą się dokładnie trzy ściany,
mamy
W=2/3 K .
Uwzględniając to oraz we wzorze Eulera, dostajemy: 2/3K +S5 +
S6 =K+2
Skąd K+6=3 S5 +3 S6 .
Krawędzi przynależnych ścianom pięciokątnym jest 5S5 , a
krawędzi przynależnych ścianom sześciokątnym jest 6S6 .
Pamiętając, że każda krawędź jest zawarta w dwóch ścianach,
mamy: 2K= 5S5 + 6S6
Z ostatnich dwóch równości dostajemy: 5S5 =12
Każdy fulleren ma więc 12 ścian pięciokątnych.
Każdy Fulleren ma 12 ścian pięciokątnych:
S5=12 i S= S5+S6, to S=12+S6
Uwzględniając to we wzorze Eulera, mamy:
W+12+S6= K+2
Stąd i z tego, że w każdym wierzchołku
schodzą się dokładnie trzy ściany
(czyli K= 3/2 W ), otrzymujemy: S6= 1/2 W - 10
Najmniejszy fulleren ma możliwie najmniejszą
liczbę wierzchołków (atomów węgla). Dla
W=20 otrzymujemy więc S6= 0, S5= 12
Warunki te spełnia dwunastościan foremny.
Wielościany
znalazły
przede wszystkim szerokie
zastosowanie w
architekturze
Wielościanem wykorzystywanym już od czasów
starożytnych jest ostrosłup czworokątny.
Najbardziej znane budowle to budowane
kilka tys. lat temu piramidy w Gizie oraz
współczesne wejście do muzeum Luwr
Obecnie konstrukcje wielościanów
wykorzystywane są na szeroką skalę.
1. Ogród zoologiczny w Libercu: schronienie
flamingów to wielościan zbudowany z 36
ścian.
2. Geoda w miasteczku La Vilette
utworzona jest z trójkątów, a
swoim wyglądem przypomina
kulę.
3. Wieżowiec Swiss Tower w Londynie.
4. Kopuły geodezyjne