Transcript Hs8 Hemelmechanica - uitwerkingensite.nl

Uitwerkingen Overal Natuurkunde 5 VWO Hoofdstuk 8 Hemelmechanica www.uitwerkingensite.nl
8 Hemelmechanica
Startopdracht
B 7
1 N kg−1 = 1 kg m s−2 kg−1 = 1 m s−2
1
a Het zonlicht valt van linksboven op de planeet en
zijn ring; de donkerste banden zijn de schaduw die
de ring op het planeetoppervlak werpt.
b Zoals de manen van Saturnus rond deze planeet
bewegen, zo bewegen de planeten rond de zon.
Ook is er overeenkomst tussen de vorm van de
banen.
B 8
A
B 9
Uit de gravitatiewet volgt: G =
Fg ·r2
. Om G te bepalen
m ·M
moest Cavendish dus de massa’s van de twee bollen,
de afstand van hun middelpunten en de gravitatiekracht tussen twee bollen meten.
B 10
8.1 Gravitatie
Startopdracht
De aarde en de maan zijn vanuit Mars gezien iets minder dan half belicht door de zon. Zie figuur 8.1 met de
posities van Mars M, de zon Z en de aarde A met de
maan m.
3
a Op Mars geldt g = 3,7 m/s2 en op aarde:
g = 9,81 m/s2.
b Nee, de valversnelling en dus de zwaartekracht is
op Mars ruim 2,5 maal zo klein als op aarde. Door
de kleinere kracht is de uitrekking van de veer op
Mars dus kleiner dan op aarde.
c Door de kleinere zwaartekracht kunnen lichtere
gassen makkelijker aan de aantrekking door Mars
ontsnappen.
Z
m
A
M
Opdrachten
8.1
A 4
D
A 5
a,b Mercurius en Venus
B 6
a De dagelijkse beweging van de zon en de sterren
is het gevolg van de draaiing van de aarde om
haar as.
b C, B, D, A, E
c C, B, D, A, E
Wat opvalt is dat planeten die verder weg staan van
de zon een grotere omlooptijd hebben.
16 Hoofdstuk 8
243952_PHYSICS_4_5VWO_UW_Ch08.indd 16
C 11
a Tijdens een Venusovergang beweegt Venus tussen
de zon en de aarde: positie V.
Nee, omdat het baanvlak van Venus niet precies
samenvalt met dat van de aarde, kan Venus in positie V ook boven of onder de zonneschijf staan.
b Binas tabel 31: rA = 0,1496 ∙ 1012 m = 1 AE
rV = 0,1082 ∙ 1012 m
AV = rA − rV = 4,14 ∙ 1010 m en AV’ = rA + rV =
25,78 ∙ 1010 m
Zie figuur 8.2.
© Noordhoff Uitgevers bv
11/06/14 8:07 PM
Noem D de diameter van de Venusschijf, dan is de
hoek α waaronder je Venus ziet als volgt te bepalen:
12,1·106
D
In positie V: tan α =
=
= 2,92 ∙ 10−4 →
AV 4,14·1010
α = tan−1(2,92 ∙ 10−4) = 1,67 ∙ 10−2 graad
Op dezelfde manier in positie V′:
12,1·106
D
tan α ′ =
=
= 0,469 ∙ 10−4 →
AV′ 25,78·1010
α ′ = tan−1(0,469 ∙ 10−4) = 2,689 ∙ 10−3 graad
De verhouding van de hoeken is:
1,67·10−2
α
=
= 6,22.
α ′ 2,689·10−3
c Nee, binnenplaneten staan in de buurt van de zon.
Daarom zie je Venus voor zonsopgang in het oosten
of na zonsondergang in het westen.
D
α
V
A
8.2
C 12
a Het aantal omlopen na t jaar is voor Jupiter
t
en
12
t
voor Mars .
2
Als Mars en Jupiter weer op een lijn staan, ligt Mars
één omloop voor op Jupiter:
t
t
−
= 1. Hieruit volgt: t = 2,4 jaar.
2 12
b Na 2,4 jaar heeft de aarde 2,4 omlopen en Mars 1,2
omloop voltooid. De hoek tussen de lijn zon-aarde
en de lijn zon-Mars-Jupiter bedraagt dan (2,4 − 1,2)
× 360° = 1,2 × 360°. Als je afziet van veelvouden
van 360° is de hoek dus 0,2 × 360° = 72°.
C 13
gh = 0,875 ∙ g = 0,875 × 9,81 = 8,58 m/s2
M
, hieruit volgt:
(R + h)2
5,972·1024
M
(R + h)2 = G ∙
= 6,674 ∙ 10−11 ×
=
8,58
8,58
4,64 ∙ 1013
gh = G ∙
(R + h) = 24,64·1013 = 6,81 ∙ 106 m
h = 6,81 ∙ 106 − R = 6,81 ∙ 106 − 6,371 ∙ 106 = 4,4 ∙ 105 m
C 14
a Zie figuur 8.3.
In P geldt: Fg,aarde = Fg,maan → G ∙
Na links en rechts delen door G ∙ m krijg je:
MA MM
r1
MA
= 2 → =
r2 A MM
r21
r2
Binas tabel 31: MA = 5,972 ∙ 1024 kg;
MM = 7,35 ∙ 1022 kg →
Dus
243952_PHYSICS_4_5VWO_UW_Ch08.indd 17
MA 5,972·1024
=
= 81,25
MM 7,35·1022
r1
MA
=
= 181,25 = 9,01.
r2 A MM
b Nee, het voorwerp voert dan een cirkelbeweging
uit rond de aarde. Als de gravitatiekrachten van
de aarde en de maan even groot zijn, leveren die
samen niet de vereiste middelpuntzoekende kracht
die voor die cirkelbeweging vereist is.
c Binas tabel 31: rA,Z = 0,1496 ∙ 1012 m;
rA,M = 0,3844 ∙ 109 m; MA = 5,972 ∙ 1024 kg;
MM = 7,35 ∙ 1022 kg
Binas tabel 32C: MZ = 1,9884 ∙ 1030 kg
Fg,aarde op maan = G ∙
6,674 ∙ 10−11 ×
MM ·MA
=
r2A,M
5,972·1024 × 7,35·1022
= 1,983 ∙ 1020 N
(0,3844·109)2
Er zijn twee situaties waar aarde, maan en zon op
één lijn liggen: MAZ en AMZ.
Situatie 1: MAZ
rZ,M = rA,M + rA,Z = 0,1500 ∙ 1012 m
Fg,zon op maan = G ∙
6,674 ∙ 10−11 ×
MM ·MZ
=
r2Z,M
1,988·1030 × 7,35·1022
= 4,33 ∙ 1020 N
(0,1500·1012)2
De gravitatiekrachten van de zon en de aarde op de
maan zijn gelijkgericht, dus:
Fg,res = Fg,zon + Fg,aarde = 4,33 ∙ 1020 + 1,983 ∙ 1020 =
6,32 ∙ 1020 N
Situatie 2: AMZ
rZ,M = rA,M − rA,Z = 0,1492 ∙ 1012 m
Fg,zon op maan = G ∙
6,674 ∙ 10−11 ×
© Noordhoff Uitgevers bv
m ·MA
m ·MM
= G∙
r21
r22
MM ·MZ
=
rZ,M 2
1,988·1030 × 7,35·1022
= 4,38 ∙ 1020 N
(0,1492·1012)2
Hemelmechanica 17
11/06/14 8:07 PM
De gravitatiekrachten van de zon en de aarde op de
maan zijn tegengesteld gericht.
Fg,res = Fg,zon op maan − Fg,aarde op maan =
4,38 ∙ 1020 − 1,983 ∙ 1020 = 2,40 ∙ 1020 N
D 17
P
maan
aarde
a T = 24 h = 24 × 3600 = 8,64 ∙ 104 s
b R = 6,371 ∙ 106 m
2π·R 2 × π × 6,371·106
v=
=
= 4,63 ∙ 102 m/s
T
8,64·104
m ·v2 1,0 × (4,63·102)2
=
= 3,37 ∙ 10−2 N en dat
r
6,371·106
is inderdaad 0,034 N.
m ·v2
d Nog steeds geldt: Fz,NP = 9,83 m/s2 > Fz,EQ +
=
r
9,78 + 0,034 = 9,814 m/s2.
c Fmpz =
8.3
C 15
a Voor de zwaartekracht op aarde geldt:
m ·M
Fz = Fg → G ∙ 2 = m ∙ g.
R
Als je links en recht deelt door m, krijg je: G ∙
M
= g.
R2
b Binas tabel 31: voor Saturnus: M = 5,68 ∙ 1026 kg en
R = 5,82 ∙ 107 m.
g = G∙
De getijdenkracht op 1 kg oceaanwater is
F = m ∙ a = 5 ∙ 10−7 N; dit is ongeveer de helft van de
getijdenkracht uitgeoefend door de maan.
Een mogelijke oorzaak van dit verschil is de afplatting van de aarde; als R op de noordpool kleiner is,
m ·M
is Fz,NP = G ∙ 2 groter.
R
5,68·1026
M
−11
=
6,674
∙
10
×
= 11,2 m/s2
R2
(5,82·107)2
D 16
a De afstand aarde-maan r = 3,844 ∙ 108 m en de
massa van de maan M = 7,35 ∙ 1022 kg.
7,35·1022
M
In punt M: gM = G ∙ 2 = 6,674 ∙ 10−11 ×
=
r
(3,844·108)2
3,32 ∙ 10−5 m/s2.
In punt P: r = 3,844 ∙ 108 − 6,371 ∙ 106 m =
3,780 ∙ 108 m.
7,35·1022
M
gP = G ∙ 2 = 6,674 ∙ 10−11 ×
=
r
(3,780·108)2
3,43 ∙ 10−5 m/s2
b De getijdenversnelling is a = gP − gM =
3,43 ∙ 10−5 − 3,32 ∙ 10−5 = 0,11 ∙ 10−5 m/s2.
De getijdenkracht op 1 kg oceaanwater is
F = m ∙ a = 1,0 × 0,11 ∙ 10−5 = 0,11 ∙ 10−5 N.
c De afstand aarde-zon rAZ = 1,496 ∙ 1011 m en de
massa van de zon M = 1,9884 ∙ 1030 kg.
1,9884·1030
M
In punt M: gM = G ∙ 2 = 6,674 ∙ 10−11 ×
=
r
(1,496·1011)2
5,930 ∙ 10−3 m/s2.
In punt P: r = 1,496 ∙ 1011 − 6,371 ∙ 106 m =
1,49594 ∙ 1011 m = 0,99996 × rAZ.
gM
gP =
= 1,00008 × gM
0,99952
8.2 Banen in een
gravitatieveld
Startopdracht
18
a Om, vanuit de aarde gezien, vóór de zon langs te
bewegen, moet een planeet zich tussen de aarde
en de zon bevinden. Venus en Mercurius komen
hiervoor dus in aanmerking.
b Voor Venus: zie figuur 8.4.
Z
V
A
8.4
a = gP − gM = 8 ∙ 10 × 5,930 ∙ 10 = 5 ∙ 10 m/s
−5
18 Hoofdstuk 8
243952_PHYSICS_4_5VWO_UW_Ch08.indd 18
−3
−7
2
© Noordhoff Uitgevers bv
11/06/14 8:07 PM
Opdrachten
t3
v
v
A 19
a Planeten beschrijven een ellipsbaan rond de zon.
De zon staat in een van de brandpunten van die
baan.
b De baansnelheid van de planeet verandert hierbij
steeds en wordt groter naarmate hij het perihelium
nadert.
c Een planeetbaan kun je benaderen door een
cirkelvormige baan. De zon staat in het middelpunt
van die baan.
d De baansnelheid van de planeet is dan steeds
constant.
e De vereiste kracht die nodig is om de planeet in zijn
baan te houden is de middelpuntzoekende kracht
en die wordt geleverd door de gravitatiekracht.
A 20
a Een homogeen krachtveld is een ruimte waarin de
kracht in elk punt gelijk is in grootte en in richting.
b Een voorwerp doorloopt een open baan als dat
voorwerp niet gebonden is aan bijvoorbeeld een
planeet. Het voorwerp komt uit het oneindige,
scheert langs de planeet en verdwijnt weer in het
oneindige.
A 21
t2
Fmpz
v
Fmpz
t1
Fmpz
8.5
B 23
a v = 2π ∙
v
r
T
r
T
is de baansnelheid in meter per seconde (m/s)
is de baanstraal in meter (m)
is de omlooptijd in seconden (s)
b Fmpz =
m ·v2
r
Fmpz is de middelpuntzoekende kracht in newton (N)
m is de massa in kilogram (kg)
v
is de baansnelheid in meter per seconde (m/s)
r
is de baanstraal in meter (m)
c Zie figuur 8.6.
A
Np
B 22
M
a Zie figuur 8.5.
b De snelheid is (bij de zelfde omlooptijd T = 24 h)
recht evenredig met de baanstraal r. Die is het
grootst op de evenaar: r = de aardstraal
R = 6,371 ∙ 103 km.
v=
P
s 2π × 6,371·103
=
= 1,7 ∙ 103 km/h
t
24
c Op de polen geldt v = 0 km/h, want daar geldt
r = 0 m.
d Op 50° NB geldt: r = R ∙ cos 50° =
6,371 ∙ 103 × 0,643 = 4,10 ∙ 103 km.
s 2π × 4,10·103
v= =
= 1,1 ∙ 103 km/h
t
24
© Noordhoff Uitgevers bv
243952_PHYSICS_4_5VWO_UW_Ch08.indd 19
Zp
8.6
B 24
a g is de gravitatieversnelling, v de snelheid van de
raket, t de tijd, h de hoogte boven de grond en dt
het bedrag waarmee de tijd toeneemt.
b t: = t + dt
Hemelmechanica 19
11/06/14 8:07 PM
M
, waarin r
r2
de afstand van de raket tot het middelpunt van de
aarde is. Dan moet r = R + h = 6,371 ∙ 10 6 + h.
c Er geldt voor de valversnelling g = G ∙
De eerste programmaregel moet dus luiden:
g = 4,0 ∙ 1014/(6,371 ∙ 10 6 + h)^2.
d In het model neem je aan dat de valversnelling
g elke 0,05 s constant is, terwijl g voortdurend
verandert. Deze fout kun je verkleinen door het
tijdsinterval dt een kleinere waarde te geven.
B 25
A
a In Binas: r = 384,4 ∙ 106 m en T = 27,32
d = 27,32 × 24 × 3600 = 2,360 ∙ 106 s
r
v = 2π ∙ = 1,023 ∙ 103 m/s
T
MC = v ∙ t = 1,023 ∙ 103 m
b AC2 = (r + BC)2 = r2 + MC2, of r2 + 2r ∙ BC + BC2 =
r2 + MC2 → 2r ∙ BC + BC2 = MC2
Omdat BC heel klein is ten opzichte van r geldt:
BC2 << 2r ∙ BC, dus mag je BC2 verwaarlozen.
MC2
Dan vind je: BC =
.
2·r
(1,023·103)2
MC2
=
= 1,36 ∙ 10−3 m
2·r
2 × 384,4·106
BC 1,36·10−3
vgem =
=
= 1,36 ∙ 10−3 m/s
t
1
c BC =
C 26
a Fmpz = Fg, of:
D 29
m ·v2
m ·M
= G∙ 2
r
r
Hieruit volgt: v2 = G ∙
M
, dat wil zeggen v2 en r zijn
r
omgekeerd evenredig, want G en M zijn constant.
Als rA 9 keer zo groot is als rB, dan is vA2 9 keer zo
klein als vB2.
vA 1
= .
vB 3
r
b Voor de baansnelheid geldt ook: v = 2π ∙ , dus
T
r
T = 2π ∙ . Dus is T recht evenredig met r en
v
Dus is vA 3 keer zo klein als vB. Dus
omgekeerd evenredig met v.
Als rA 9 keer zo groot is als rB, dan is TA 9 keer zo
groot als TB.
Dan is (zie a) vA 3 keer zo klein als vB en dus is TA
3 keer zo groot als TB.
In totaal wordt TA 3 × 9 = 27 keer zo groot als TB.
TA 27
Dus
= .
TB 1
d We kijken nu alleen naar snelheidscomponenten in
de richting CA.
Dan geldt: vC = 0 m/s en vgem = 1,36 ∙ 10−3 m/s,
dan volgt uit vgem = ½ ∙ (vB + vC) dat vB = 2 ∙ vgem =
2 × 1,36 ∙ 10−3 = 2,72 ∙ 10−3 m/s.
vB − vC
a=
= 2,72 ∙ 10−3 m/s2
t
e Binas tabel 31: de aardstraal is R = 6,371 ∙ 106 m.
a 2,72·10−3
=
= 2,77 ∙ 10−4
g
9,81
6,371·106 2
R 2
a b =a
b = (0,01659)2 = 2,75 ∙ 10−4
r
384,4·106
f Je ziet dat
a
R 2
= a b ; hieruit volgt dat de versnelling
g
r
van de gravitatiekracht van de aarde omgekeerd
kwadratisch evenredig is met de afstand tot (het
middelpunt van) de aarde.
C 27
a Noem MF1 = MF2 = x.
Dan geldt WF2 = a − × en WF1 = a + x.
Voor punt W geldt: WF1 + WF2 = (a − x) + (a + x) = 2a.
b Voor punt T geldt: TF1 + TF2 = 2a.
Omdat TF1 = TF2, geldt: TF1 = TF2 = a.
c ΔtTU, ΔtVW, ΔtTUV, ΔtWTU, ΔtVWT
C 28
1, 2, 3 en 4 zijn onwaar en 5 is waar
20 Hoofdstuk 8
243952_PHYSICS_4_5VWO_UW_Ch08.indd 20
8.3 Gravitatie-energie
Startopdracht
30
a Chemische energie (brandstof) wordt omgezet in
zwaarte-energie, kinetische energie en warmte.
b De zwaartekracht op de raket is kleiner en vanwege
het ontbreken van een atmosfeer op de maan is er
geen luchtweerstand.
© Noordhoff Uitgevers bv
11/06/14 8:07 PM
7,35·1022
M
= 2 × 6,674 ∙ 10−11 ×
=
R
1,738·106
5,645 ∙ 106
vo2 = 2G ∙
Opdrachten
A 31
a Eg = − G ∙
m ·M
, waarin Eg de gravitatie-energie in
r
joule (J) is, M de massa van de planeet in kilogram
(kg), m de massa van het voorwerp in kilogram
(kg), r de afstand tussen het voorwerp en het de
zwaartepunt van de planeet in meter (m) en G de
gravitatieconstante in N m2 kg−2.
b Op oneindig grote afstand van de planeet
c Op oneindig grote afstand van de planeet is de
gravitatie-energie tegelijk maximaal en 0.
Dan is de gravitatie-energie op eindige afstand van
de planeet kleiner dan 0.
vo = 25,645·106 = 2376 m/s = 2,4 km/s
b De ontsnappingssnelheid van de maan is ongeveer
vijf maal zo klein als die van de aarde. Dus is er
veel minder kinetische energie en dus ook minder
brandstof nodig om van de maan te ontsnappen.
B 36
De gravitatie-energie is recht evenredig met de massa
m van de planeet en omgekeerd evenredig met de
afstand r tot de zon. Vergelijk daarom voor genoemde
m
planeten .
r
A, B, E, C, D.
A 32
a Planeten hebben gravitatie-energie ten gevolge van
het gravitatieveld van de zon.
b Hoe verder de planeet van de zon staat, hoe groter
de gravitatie-energie van de planeet.
c In het perihelium is de gravitatie-energie minimaal
en in het aphelium maximaal.
d In het perihelium is de kinetische energie maximaal
en in het aphelium minimaal.
e De mechanische energie van de planeet is in elk
punt van zijn baan constant.
A 33
B 37
Aarde: MA = 5,972 ∙ 1024 kg en RA = 6,371 ∙ 106 m
Mars: MM = 0,642 ∙ 1024 kg en RM = 3,390 ∙ 106 m
In het leerboek is een formule gegeven voor de
M
R
A
De massa van de aarde is ongeveer 10 maal zo groot
als die van Mars en de straal van de aarde is ongeveer
2 maal zo groot als die van Mars. Dus de ontsnappingssnelheid is het grootst op aarde.
ontsnappingssnelheid: vo =
2G ·
B 38
a Uit Fg = Fmpz volgt:
D
B 34
In de formule voor de gravitatie-energie Eg = −G ∙
m ·M
r
zijn de massa van de maan en de aarde in beide
gevallen hetzelfde, dat heeft dus geen invloed.
Ook de afstand r is hetzelfde. Dus zijn de genoemde
gravitatie-energieën gelijk aan elkaar.
B 35
a Oneindig ver van de maan geldt Etot = 0 J.
Op grond van energiebehoud geldt dan:
m ·M
= 0 J.
R
M
Hieruit volgt: vo2 = 2G ∙
R
½ m ∙ vo2 − G ∙
Binas tabel 31: Mm = 7,35 ∙ 1022 kg en
Rm = 1,738 ∙ 106 m.
© Noordhoff Uitgevers bv
243952_PHYSICS_4_5VWO_UW_Ch08.indd 21
5,972·1024
M
= 6,6738 ∙ 10−11 ×
=
r
(6,371 + 0,400)·106
58,86 ∙ 106
v2 = G ∙
v = 258,86·106 = 7,67 ∙ 103 m/s
b De wet van behoud van energie Ek,A + Eg,A =
Ek,B + Eg,B.
Kies B oneindig ver van de aarde, dan geldt:
Ek,B + Eg,B = 0 J.
Kies A op 400 km hoogte, dan geldt:
M
Ek,A + Eg,A = ½ m ∙ vo2 − G ∙ .
r
Uit de wet van behoud van energie volgt dan:
M
M
½ m ∙ vo2 = G ∙ , of: vo2 = 2 ∙ G ∙ =
r
r
24
5,972·10
2 × 6,6738 ∙ 10−11 ×
= 117,73 ∙ 106
(6,371 + 0,400)·106
v0 = 2117,73·106 = 1,0850 ∙ 104 m/s = 1,09 ∙ 104 m/s
Hemelmechanica 21
11/06/14 8:07 PM
D 42
C 39
100 × 5,972·10
m ·M
= −6,674 ∙ 10−11 ×
=
rP
24,0·106
−1,66 ∙ 109 J
100 × 5,972·1024
m ·M
Eg,Q = −G ∙
= −6,674 ∙ 10−11 ×
=
rQ
18,0·106
− 2,21 ∙ 109 J
24
a Eg,P = −G ∙
b WP,Q = Eg,P − Eg,Q = −1,66 ∙ 109 − (−2,21 ∙ 109) =
5,5 ∙ 108 J
c ½ ∙ m ∙ vP2 − G ∙
m ·M
m ·M
= ½ ∙ m ∙ vQ2 − G ∙
rP
rQ
4 2
100 × 5,972·1024
rS
2,00 ∙ 1010 − 1,66 ∙ 109 = 2,42 ∙ 1010 −
m ·M
r
Vul de formule voor de kinetische energie uit vraag
a in:
m ·M
m ·M
m ·M
Etot = G ∙
− G∙
= −G ∙
r
2r
2r
3,986·1016
rS
3,986·1016
= 2,42 ∙ 1010 − 2,00 ∙ 1010 + 1,66 ∙ 109 =
rS
5,86 ∙ 109
rS =
m ·M
2r
b Etot = Ek + Eg = ½m ∙ v2 − G ∙
50 × (2,00 ∙ 10 ) − 1,66 ∙ 10 = 50 × (2,20 ∙ 10 ) −
6,674 ∙ 10−11 ×
m ·v2
m ·M
= G∙ 2
r
r
Ek = ½m ∙ v2 = G ∙
m ·M
m ·M
= ½ ∙ m ∙ vS2 − G ∙
rP
rS
9
a Voor een planeet in een cirkelvormige baan geldt:
Vermenigvuldig alle termen met ½r, dan vind je:
½ ∙ m ∙ vQ2 − 2,21 ∙ 109
½ ∙ m ∙ vQ2 = 2,00 ∙ 1010 + (2,21 − 1,66) ∙ 109 =
2,00 ∙ 1010 + 5,5 ∙ 108 → vQ = 2,03 ∙ 104 m/s
4 2
D 43
Fmpz = Fg →
½ × 100 × (2,00 ∙ 104)2 − 1,66 ∙ 109 =
d ½ ∙ m ∙ vP2 − G ∙
Voor beide banen geldt: Eg,A = Eg,B, want A en B liggen even ver van M. Omdat de totale energie in de
ellipsbaan constant is, geldt ook: Ekin,A = Ekin,B. Bij een
ellipsbaan is echter de periheliumsnelheid vA maximaal
en dus groter dan vB. Deze ligging van beide banen is
dus niet mogelijk.
8.4 Toepassingen in de
ruimtevaart
3,986·1016
= 6,80 ∙ 106 m
5,86·109
Startopdracht
C 40
D
C 41
a A, F, B, C = D = E
b Voor de totale energie bij een ellipsbaan geldt:
M
Etot = −G ∙
en bij een cirkelbaan:
2a
M
Etot = −G ∙ . Uit figuur 8.24 blijkt 2a = EA en 2r = EC.
2r
Dan is a > r. Hieruit volgt dat de totale energie in het
geval van de ellipsbaan het grootst is.
c Bewering 3 is waar. De totale energie van satelliet
2 in de ellipsbaan is het grootst. Beide satellieten
hebben in E dezelfde gravitatie-energie. Satelliet 2
heeft dus in E de meeste kinetische energie en dus
de grootste snelheid.
22 Hoofdstuk 8
243952_PHYSICS_4_5VWO_UW_Ch08.indd 22
44
Het gebruik van de zwaartekracht van andere planeten
maakt het mogelijk grote delen van de reis af te leggen
zonder aandrijving door raket- of stuwmotoren.
Dit levert besparing van brandstof op.
Opdrachten
A 45
a Een kegelsnede is een kromme die je te zien krijgt
als doorsnede van een kegel en een plat vlak.
b Ellips, cirkel, hyperbool en parabool
A 46
A Etot > 0; hyperbool
B Etot = 0; parabool
C Etot < 0; cirkel en ellips
© Noordhoff Uitgevers bv
11/06/14 8:07 PM
A 47
a Een geostationaire satelliet is een satelliet die
schijnbaar stilstaat boven een vast punt op de
evenaar.
b De geostationaire satelliet heeft dezelfde omlooptijd
als dat vaste punt op de evenaar: 24 uur.
A 48
a Een transferbaan is een halve ellipsvormige baan
waarmee je een satelliet van een parkeerbaan rond
de aarde kunt brengen naar een hogere baan of
naar een andere planeet.
b Eenmaal in de transferbaan brengt de gravitatiekracht van de aarde (de zon) de satelliet naar de
hogere baan (doelplaneet); er is in principe geen
brandstof voor verdere aandrijving nodig.
C 52
a Binas tabel 31: de straal van de aarde bedraagt
R = 6,371 ∙ 106 m en de massa is 5,972 ∙ 1024 kg.
De omlooptijd van de satelliet TS = 24 h = 8,64 ∙ 104 s.
De derde wet van Kepler (zie Binas tabel 35):
(R + h)3
M
= G∙ 2
T2
4π
Hieruit volgt: (R + h)3 = G ∙
(R + h)3 = 6,6738 ∙ 10−11 ×
M·T2
.
4π2
5,972·1024 × (8,64·104)2
=
4π2
7,536 ∙ 1022 → R + h = 4,224 ∙ 107 m
Dus: h = 42,24 ∙ 106 − 6,371 ∙ 106 = 35,9 ∙ 106 m
bv=
2π·r 2π × 4,224·107
=
= 3,07 ∙ 103 m/s
T
8,64·104
B 49
C 53
A
B 50
a De straal van de aarde bedraagt R = 6,371 ∙ 106 m.
De baanstraal is r = R + h = 6,371 ∙ 106 + 0,400 ∙ 106 =
6,771 ∙ 106 m.
M
Uit Fg = Fmpz volgt: v2 = G ∙ , met M de massa van
r
a Binas: M = 7,35 ∙ 1022 kg en R = 1,738 ∙ 106
Dus: r = R + h = 1,738 ∙ 106 + 0,110 ∙ 106 =
1,848 ∙ 106 m
De derde wet van Kepler:
Dan is T = 2π ∙
de aarde.
5,972·1024
M
v = G ∙ = 6,674 ∙ 10−11 ×
= 5,886 ∙ 107
r
6,771·106
m ·M
Eg = −G ∙
= −6,674 ∙ 10−11 ×
r
4,54·105 × 5,972·1024
= −2,67 ∙ 1013 J
6,771·106
b Etot = 1,34 ∙ 1013 − 2,67 ∙ 1013 = −1,33 ∙ 1013 J < 0. Dus
een gesloten baan.
B 51
Het middelpunt van de aarde valt samen met het middelpunt van de satellietbaan. Bij een geostationaire
satelliet moet het vlak van de evenaar in het baanvlak
van de satelliet liggen.
Toelichting: De Fmpz moet worden geleverd door een
kracht tussen de satelliet en de aarde. Dat is de zwaartekracht die naar het middelpunt van de aarde én van
de baan wijst. Vergelijk opdracht C60 in hoofdstuk 4
van leerboek 4 vwo.
© Noordhoff Uitgevers bv
243952_PHYSICS_4_5VWO_UW_Ch08.indd 23
(1,848·106)3
r3
= 2π ∙
A G ·M
A 6,674·10−11 × 7,35·1022
= 7,13 ∙ 103 s = 1,98 h.
2
Ek = ½m ∙ v2 = ½ × 4,54 ∙ 105 × 5,886 ∙ 107 = 1,34 ∙ 1013 J
r3
M
= G∙ 2
T2
4π
bv=
2π·r 2π × 1,848·106
=
= 1,63 ∙ 103 m/s
T
7,13·103
c Er geldt: Fg = Fmpz, dus:
m ·v2
M·m
= G ∙ 2 . In deze
r
r
formule is M de massa van de maan. De massa
m valt na deling weg en is niet van invloed op de
voorwaarde dat Fg = Fmpz, ongeacht of m de massa
is van de LM, de CSM of van de gehele combinatie.
De LM en CSM blijven dus in hun oorspronkelijke
baan.
d Mogelijkheid I is onjuist, want de gegeven formule
vertelt alleen hoe groot de baansnelheid v is in een
cirkelbaan met gegeven straal r, waar Fg = Fmpz.
Mogelijkheid II is juist, want als v afneemt, neemt
Fmpz af en geldt Fg > Fmpz. Hierdoor zal de LM naar de
maan toe bewegen.
Hemelmechanica 23
11/06/14 8:07 PM
C 54
a In Binas tabel 7 vind je:
G = 6,673 84 ∙ 10−11 N m2 kg−2 en in tabel 31:
massa aarde M = 5,976 ∙ 1024 kg.
Uit Fg = Fmpz volgt:
m ·v2
m ·M
= G ∙ 2 en dus:
r
r
m ·M
v2 = G ∙
.
r
Voor baan 3: v32 = G ∙
5,972·1024
M
= 6,6738 ∙ 10−11 ×
r3
42,16·106
= 9,45 ∙ 106
v3 = 29,45·106 = 3,07 ∙ 103 m/s
b In elk punt van de transferbaan (2) geldt:
Etot = Ek + Eg → Ek = Etot − Eg
In punt R2 in de transferbaan (2) geldt:
b Op t = 1,2 h en t = 4,9 h is de afstand van de sonde
tot de planeet 100 km.
c De snelheid op t = 1,2 h is 46 km/s en op t = 4,9 h
is de snelheid 52 km/s. De sonde heeft tijdens zijn
passage dus aan snelheid gewonnen.
D 56
a Omdat PJ = QJ geldt: Eg,P = Eg,Q. Maar dan geldt
vanwege energiebehoud ook: Ekin,P = Ekin,Q.
b Zie figuur 8.7.
c De snelheid u (gezien vanuit de zon) is op elk
moment gelijk aan de vectorsom van de snelheid
v (gezien vanuit Jupiter) en de baansnelheid vJ van
Jupiter. In de tekening zie je dat de snelheid van de
satelliet bij passage van Jupiter is toegenomen.
vQ
m ·M
m ·M
Ek = ½m ∙ v22, Etot = − G ∙
en Eg = G ∙
r3
(2·a)
Q
uQ
vJ
Invullen en links en rechts delen door ½m:
5,972·1024
M
M
+ 2 ∙ G ∙ = −6,6738 ∙ 10−11 ×
+
a
r3
24,47·106
5,972·1024
2 × 6,6738 ∙ 10−11 ×
= −16,29 ∙ 106 +
42,16·106
18,91 ∙ 106 = 2,62 ∙ 106
v22 = −G ∙
Dus v2 = 22,62·106 = 1,62 ∙ 103 m/s.
De snelheid van de satelliet moet dus toenemen
van 1,62 ∙ 103 tot 3,07 ∙ 103 m/s; de toename is dus:
Δv1,2 = 1,45 ∙ 103 m/s.
vJ
J
uP
vP
P
vJ
8.7
C 55
a Als de sonde de planeet nadert, wordt gravitatieenergie omgezet in kinetische energie. Als de
afstand tot de planeet minimaal is, is de gravitatieenergie van de sonde ook minimaal en is de
kinetische energie en dus de snelheid maximaal.
24 Hoofdstuk 8
243952_PHYSICS_4_5VWO_UW_Ch08.indd 24
© Noordhoff Uitgevers bv
11/06/14 8:07 PM