Transcript voor 6a - TU Delft

Differentiaalvergelijkingen
Technische Universiteit Delft
Roelof Koekoek
wi2030WbMT
Roelof Koekoek (TU Delft)
Differentiaalvergelijkingen
wi2030WbMT
1/8
Niet-lineaire stelsels
dx
dy
= 3 x − x 2 − x y en
= 4 y − x y − 2 y2
dt
dt
Kritieke/stationaire punten:
(
x (3 − x − y ) = 0
=⇒ (0, 0), (0, 2), (3, 0), (2, 1)
y (4 − x − 2 y ) = 0
Voorbeeld 1:
Verder is:
Fx
Gx
Fy
Gy
3 0
0 4
In (0, 0) geldt:
=
3 − 2x − y
−y
−x
4 − x − 4y
met r = 4 of r = 3
Dus: (0, 0) is een (instabiele) knoop
Roelof Koekoek (TU Delft)
Differentiaalvergelijkingen
wi2030WbMT
2/8
Niet-lineaire stelsels
In (0, 2) geldt:
1
0
−2 −4
met r = 1 of r = −4
Dus: (0, 2) is een (instabiel) zadelpunt
In (3, 0) geldt:
−3 −3
0
1
met r = 1 of r = −3
Dus: (3, 0) is een (instabiel) zadelpunt
−2 −2
In (2, 1) geldt:
met r 2 + 4r + 2 = (r + 2)2 − 2 = 0
−1 −2
√
Dus: r1,2 = −2 ± 2 −→ (2, 1) is een asymptotisch stabiele knoop
Roelof Koekoek (TU Delft)
Differentiaalvergelijkingen
wi2030WbMT
3/8
Niet-lineaire stelsels
dx
dy
= (2 + y )(2 y − x) en
= (2 − x)(y + 2 x)
dt
dt
Kritieke/stationaire punten:
(
(2 + y )(2 y − x) = 0
=⇒ (2, −2), (2, 1), (1, −2), (0, 0)
(2 − x)(y + 2 x) = 0
Voorbeeld 2:
Verder is:
Fx
Gx
In (0, 0) geldt:
Fy
Gy
−2 4
4 2
=
−(2 + y )
4 − 4x − y
4 − x + 4y
2−x
√
met r 2 − 20 = 0 =⇒ r = ±2 5
Dus: (0, 0) is een (instabiel) zadelpunt
Roelof Koekoek (TU Delft)
Differentiaalvergelijkingen
wi2030WbMT
4/8
Niet-lineaire stelsels
In (1, −2) geldt:
Dus: r =
1
2
0 −5
2
1
met r 2 − r + 10 = (r − 21 )2 +
39
4
=0
√
± 12 i 39 −→ (1, −2) is een instabiel spiraalpunt
−3 6
In (2, 1) geldt:
met r 2 + 3r + 30 = (r + 23 )2 + 111
4 =0
−5 0
√
Dus: r = − 23 ± 12 i 111 −→ (2, 1) is een asymptotisch stabiel
spiraalpunt
In (2, −2) geldt:
0 −6
−2
0
√
met r 2 − 12 = 0 =⇒ r = ±2 3
Dus: (2, −2) is een (instabiel) zadelpunt
Roelof Koekoek (TU Delft)
Differentiaalvergelijkingen
wi2030WbMT
5/8
Niet-lineaire stelsels
dx
dy
= 2 x − y 2 en
= 2 y − x2
dt
dt
Kritieke/stationaire punten:
(
2 x − y2 = 0
=⇒ 2 y = x 2 en 8 x = 4 y 2 = x 4
2
2y − x = 0
Voorbeeld 3:
Hieruit volgt: x = 0 of x 3 = 8. Dus: x = 0 of x = 2.
De kritieke/stationaire punten zijn dus (0, 0) en (2, 2).
Verder is:
In (0, 0) geldt:
Fx
Gx
2 0
0 2
Fy
Gy
=
2
−2 x
−2 y
2
met r = 2 (tweemaal)
Dus: (0, 0) is een instabiele knoop of een instabiel spiraalpunt
Roelof Koekoek (TU Delft)
Differentiaalvergelijkingen
wi2030WbMT
6/8
Niet-lineaire
stelsels
In (2, 2) geldt:
2 −4
−4
2
met (r − 2)2 − 16 = 0
Hieruit volgt: r = 2 ± 4 of r 2 − 4r − 12 = (r − 6)(r + 2) = 0
Dus: r = 6 of r = −2 −→ (2, 2) is een (instabiel) zadelpunt
dx
dy
= y en
= 4 x − x3 − 2 y
dt
dt
Kritieke/stationaire punten:
(
y = 0
=⇒ y = 0 en 4 x − x 3 = x (4 − x 2 ) = 0
3
4x − x − 2y = 0
Voorbeeld 4:
Hieruit volgt: x = 0 of x 2 = 4. Dus: x = 0 of x = ±2.
De kritieke/stationaire punten zijn dus (0, 0) en (±2, 0).
Roelof Koekoek (TU Delft)
Differentiaalvergelijkingen
wi2030WbMT
7/8
Niet-lineaire stelsels
Verder is:
In (0, 0) geldt:
Dus: r = −1 ±
√
Fx
Gx
Fy
Gy
0
1
4 −2
=
0
1
4 − 3 x 2 −2
met r 2 + 2 r − 4 = (r + 1)2 − 5 = 0
5 −→ (0, 0) is een (instabiel) zadelpunt
In (±2, 0) geldt:
0
1
−8 −2
met r 2 + 2 r + 8 = (r + 1)2 + 7 = 0
√
Dus: r = −1 ± i 7 −→ (±2, 0) zijn asymptotisch stabiele
spiraalpunten
Roelof Koekoek (TU Delft)
Differentiaalvergelijkingen
wi2030WbMT
8/8