Transcript 中三數學第三學期課程 第十章 三角學的應用 第十一章 簡易概率 第十章 三角學的應用 請按以下其中一個章節 (1) 重溫sin, cos ,tan (2) 斜坡上的斜率 的定義 (3) 仰角與俯角 (4) 方位角的應用 第十章 三角學的應用 (1) 中二的三角函數 sin, cos , tan 的重溫 (i) 認識直角三角形的斜邊,鄰邊和對邊 對邊 斜邊  鄰邊 斜邊  鄰邊 對邊.

中三數學第三學期課程
第十章
三角學的應用
第十一章
簡易概率
第十章
三角學的應用
請按以下其中一個章節
(1) 重溫sin, cos ,tan
(2) 斜坡上的斜率
的定義
(3) 仰角與俯角
(4) 方位角的應用
第十章
三角學的應用
(1) 中二的三角函數 sin, cos , tan 的重溫
(i) 認識直角三角形的斜邊,鄰邊和對邊
對邊
斜邊

鄰邊
斜邊

鄰邊
對邊
例一: 寫出下列直角三角形中,對於角
的斜邊, 鄰邊, 對邊的長度
(1)
(2)
5

5
3
13

4
12
(a) 斜邊 =
5
(a) 斜邊 =
13
(b) 鄰邊 =
4
(b) 鄰邊 =
5
(c) 對邊 =
3
(c) 對邊 =
12
(ii) 直角三角形中的 sin, cos, tan
註: sin,cos,tan 為直角三角形中
指定兩邊的比例
(1) sin = 對邊 / 斜邊
(2) cos = 鄰邊 / 斜邊
對邊
斜邊

(3) tan = 對邊 / 鄰邊
鄰邊
例二:
寫出下面直角三角形中sin,cos,tan的值
(1)
(2)
25

13
5
24

7
12
(a) sin =
24/25
(a) sin =
12/13
(b) cos =
7/25
(b) cos =
5/13
(c) tan =
24/7
(c) tan =
12/5
例三:
寫出題目中的比例所代表的三角函數
(即sin,cos或tan)
(1)
(2)
5

17
8
4

3
15
(a) 4/5 =
sin
(a) 15/8 =
tan
(b) 4/3 =
tan
(b) 8/17 =
cos
(c) 3/5 =
cos
(c) 15/17 =
sin
(iii) 利用sin, cos, tan求直角三角形的未知角
例四: 求下圖中的直角三角形中的未知角
步驟一:選取適當的函數
(即sin,cos或tan)
步驟二:按計算機求出
cos =
=
4/5
5

36.9
4
未知角的值
按計數機的次序:
4 ab/c 5 shift cos
例五: 求下圖中的直角三角形中的未知角
(1)
25
24

(2)
5

sin = 24/25
=
73.7 
12
tan =
12/5
=
67.4 
按計數機的次序:
按計數機的次序:
24 ab/c 25 shift sin
12 ab/c 5 shift tan
(iv) 利用sin, cos, tan求直角三角形的未知邊
例六: 求下圖中的直角三角形中的未知邊a
步驟一:選取適當的函數
(即sin,cos或tan)
步驟二: 移項
步驟三:按計算機求出
未知邊a的值
cos30 =
a/5
5cos30 =
a
5
a
= 4.33
按計數機的次序:
5  30 cos =
30
a
例七: 求下圖中的直角三角形中的未知邊b
tan40 =
12/b
b
=12/tan40
b
=14.3
40
b
按計數機的次序: 12  40 tan =
12
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第十章
三角學的應用
(2) 斜率
現在非典型肺炎肆虐, 大家聽過 1:99嗎?
M
一比九十九 清潔好幫手
在一個斜坡上, 1:99又是甚麼意思呢?
你見過右面的道路標誌嗎?
這是斜坡上一個交通道路標
誌．
1:10是道路的斜率, 它代表
道路
1
上升距離
10
平移距離
1:10
上升距離
(1) (斜坡的)斜率 
平移距離
例8: 若一直線的斜坡AB的上升100m,
平移距離 = 500m, 求AB的斜率．
（以 1 : n 表示)
100 1
斜率 

500 5
=1:5
100m
500m
斜坡的傾角
(2) 斜率 = tan 

例9: 若一直線的斜坡AB的上升100m,
平移距離 = 500m, 求AB的傾斜角．
100
tan  
500
100m

 = 11.3
500m
例10: 若一直線的斜坡 AB 的傾斜角=5,
求AB的斜率．(以1:n表示,n須捨入為整數)
AB的斜率 = tan 5
= 0.0875
按1/x
1

11
= 1:11
5
按 5 tan
例11:
若一直線的斜坡 AB的斜率 = 1/8,
若平移距離為400m, 求上升距離(x m)．
AB的斜率 = x / 400
1
x

8 400
8x = 400
xm
400m
交叉相乘
x = 50
完成書本p.73課堂練習(1-6)…..於筆記簿上…請列式
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第十章
三角學的應用
(3) 仰角與俯角
通常在觀看物件時, 都會向上望或向下望.
例如:
M
仰角
水平線
俯角
B
d
c
b
A
仰角與俯角,
是水平線與
視線相交的
角呀!
a
(i) 由A測B的仰角 =
a
(ii) 由B測A的俯角 =
d
例12: 由B點測A點的俯角為30,
若兩點的垂直距離相距100m,
則兩點的水平距離相距多少?
B
 = 30
tan30 = 100/x
x = 100 / tan30 
x = 173 m
30
100m

x
A
例13: 若兩點的垂直距離相距100m,
則兩點的水平距離相距75m,
求由B點測A點的俯角.
B
tan  = 100/ 75
 = 53.1
100m

由B點測A點的俯角 = 53.1
75m
A
例14: 若一座大廈的頂點A測另外一大廈的頂點B的
仰角為30,而測該大廈的底部C點的俯角為45,
若兩座大廈相距100m,求兩座大廈的高度.
tan45 =
x
y / 100
= 100 tan30
= 57.7
B
30
= 100 tan45
= 100
tan30 =
y
x / 100
A
x
y
100m
45
x
100m C
兩座大廈的高度為100m 及 (100+57.7)m,即157.7m
例15: 由一座大廈AD(高100m)的頂點A測B點的俯角為
60,而測C點的俯角為45(如圖),求BC的距離.
c
tan 45 
= 45
45
= 100 / CD
60
CD = 100 / tan45
= 100
b
tan 60 
A
100m
c
= 60
= 100 / BD
BD = 100 / tan60
= 57.7
C
?
b
B
D
BC = 100  57.7
= 42.3m
一些較艱深的例子
例16:由B點測一座大廈AD的頂點A的仰角為60,而由C點
測A點的仰角為45(如圖),若BC=100m,求大廈的高度(AD)
tan 60  = h / BD
tan 45  = h / CD
BD = h / tan 60 
CD = h / tan 45 
因為
h
BD+CD =100
(h / tan60) + (h/tan45) = 100
h ( 1/ tan60 + 1/tan45) = 100
h ( 1.577) = 100
h = 63.4m
以h表示
ABD及CD
60
B
45
D h 呀!
抽
100m
C
例17:由B點測一座大廈AD的頂點A的仰角為60,而由C點
測A點的仰角為45(如圖),若BC=100m,求大廈的高度(AD)
tan 45  = h / 100+x
tan45(100+x) = h
A
tan 60  = h / x
xtan60 = h
(1)
(2)
h
tan45(100+x)= xtan60
因為
(1)=(2)
45
100+x = 1.732x
100 = 0.732x
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x = 136.6m
C
60
100m B
代入(2)
x
D
h = 136.6 x tan60 
h = 237m
第十章
三角學的應用
(4) 方位角
當由一點測量另一地點時,除了要知道兩點的距離外,
還要知道所測地點的方位．
例(1): 飛機在山的東面
例(2): 船在山的西北面
(1) 認識不同的方位角
(i) 方位角(或..真方位角)
例: 香港天文台發出 2003 年 05 月 02 日 0700
協調世界時 的機場天氣報告：
風
能見度
東南偏南風 (150 o) 13 海里/小時 ， 10 公里以
在 130 o - 200 o 之間不定
上
北
使用方位角,
要由正北開始,
並按順時針方向
150 o
量度有關角度,
機場
並以三位數表示
A
由機場測A點的方位是150o
北
例18:
o
050
的方位是_____
A
D
50 o
100
(1) 由O點測A點
方位角是
三位數字
o
80 o
O
70 o
C
50+80
(2) 由O點測B點
o
130
的方位是_____
50+80
+70
(3) 由O點測C點
B
(4) 由O點測D點
50+80
+70+10
0
o
200
的方位是_____
o
300
的方位是_____
在象限角,
一定要由北
(N),
或南(S)開始
(ii) 象限角(或 羅盤方位角)
象限角是另外一個量度方位角的方法
步驟一 : 認定方位角在那一個象限
在數學上, 我
們將平面分成
4個象限
留意:
北 -- North
東 -- East
南 -- South
西 -- West
N
N ___ W
N ___ E
W
E
S ___ W
S ___ E
S
步驟二 : 要由北或南開始寫出方向和角度
N
例19:
(1) 由O點測A點
N ___ E
A
50 o
O
(以象限角表示)
(2) 由O點測B點
80 o
S ___ E
180-5080
= 50
N 50 E
的方位是_____
S 50 E
的方位是_____
(以象限角表示)
B
有關方位角及象限角的例子
類型一: 方位角與象限角的轉換
例20:
以方位角表示下列象限角所代表的方位
(b) N30W
(a) N30E
答:
N
(b)
30 o
(a)
30 o
(a) 方位角= 030
(b) 因為  =360 30

= 330
方位角 = 330
例21:
以象限角表示下列方位角所代表的方位
(a) 130
(b) 230
N
答:
(a) 因為 a =180 130
= 50
130 o
b
(b)
a
230 o
象限角 = S 50E
(b) 因為 b =230 180
(a)
= 50
象限角 = S 50W
類型二: 互相測量的方位角的關係
例22:
若A點測B點的方位角是080,
則由B點測A點的方位角是多少?
N
80
o
B
80 o
錯角
A
由B點測A點的方位角是 180 + 80 = 260
例23:
若A點測B點的方位角是 S80E,
則由B點測A點的方位角是多少?
N
N
A
80
80 o
o
W
B
由B點測A點的方位角是 N 80 W
類型三: 與方位有關的三角問題
例24:
答:
一艘輪船由O港出發, 向南走了200km,
再向西走了300km到達B港, 求從O點
測B點的方位
tan
N
=300/200
 = 56.3
O

從O點測B點的方位 = 180 + 56.3
= 236.3
B
300km
200km
A
例25:
答:
A點在O點的西面50km, 而由O點測B點
的方位為330, 若B點在A點的正北方,
求AB的距離
 = 330270 = 60
B
N
tan 60 = AB / 50
50tan 60 = AB
AB = 86.6 km

A 50km
330
O
例26:
由O點沿S50E的方位步行5km到達A點,
再沿N40E的方位步行3km到達B點,求
(i) 由O點測B點的方位 ; (ii) OB的距離
答(i):
 = 50(錯角)
N
OAB = 50+ 40 = 90
tan
= 3/5
 = 31.0
由O點測B點的方位 = S(50+31)E
= S 81E
答(ii): OB =
52  32  34 km
要先說明
OAB是一
直角
O
50o

B
N
5km  40o
A
或 5.83km
3km
書本練習中較深題目的提示
在某些題目上, 要加上一條直線,
才容易找到適當的直角三角形,
以便計算未知的距離或方位
加此直
線
以下為一些題目的提示:
EX.10D#5
y
加此直
線
x
EX.10D#6

x
求x及y
求x及
EX.10D#8
EX.10D#7
加此直
線
加此直
線
y 
h
x
可參考例16/ EX10C#15的計算方法
EX.10D#10
求 a, b, c, d
及
求 x, y 及 
d
紅色直線為
附加直線
c
b

a
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