Transcript Cap. 7 Le rette Rette complanari Cosa significa complanare? Letteralmente che condividono lo stesso piano Consideriamo le seguenti rette r ed s Queste due rette giacciono sullo.

Cap. 7 Le rette
Rette complanari
Cosa significa complanare?
Letteralmente che condividono
lo stesso piano
Consideriamo le seguenti rette
r ed s
Queste due rette giacciono
sullo stesso piano a
Definiamo complanari due rette che
giacciono sullo stesso piano
Rette
complanari
Si incontrano in
un punto
sono
Rette incidenti
casi particolari
Rette
perpendicolari
Non si
incontrano mai
sono
Rette parallele
casi particolari
Rette coincidenti
Rette incidenti
Due rette complanari posso
incontrarsi in un punto
Consideriamo la figura
seguente
Le rette r ed s, appartenenti al
piano a incontrano nel punto P
Due rette appartenenti ad un piano a
si dicono incidenti se si incontrano
in un punto
Perpendicolare ad una retta data passante
per un suo punto
Consideriamo 2 rette incidenti a
e b che si incontrano in modo
da dare origine a quattro angoli
congruenti nel punto D
Chiamiamo queste rette
perpendicolari
Quale sarà la definizione di
rette perpendicolari?
Due rette sono perpendicolari quando
incontrandosi formano quattro angoli retti
b ┴ a ┴ simbolo di perpendicolarità
Leggiamo che la rette a è perpendicolare alla retta b
Costruzione di una perpendicolare
È data una retta r e un punto P
si di essa
Prendo un compasso di
apertura a piacere e punto su P
e faccio due archi sulla retta e
trovo i punti A e B
Punto su A con apertura di
compasso AB e faccio due
archi sopra e sotto la retta r
Punto in B e ripeto l’operazione
I due archi si incontrano nei punti C e
D
La retta s passante per i punti CPD
sarà perpendicolare alla retta r nel
punto P
Per rispondere a questa domanda ce ne dobbiamo fare
un’altra:
Quante volte posso fare l’operazione precedente su una
retta?
Siccome il punto lo posso mettere dove voglio e la retta
ha infiniti punti le perpendicolari saranno infinite
Data una retta r sul piano alfa
esistono infinite rette
perpendicolari ad essa
Perpendicolare ad una retta
passante per un punto
E data una retta r e un punto P
appartenenti entrambe al piano a con P
non appartenente ad r r et P a e P r
Quante perpendicolari ad r passanti per P
posso tracciare?
La prima domanda che mi posso fare è
questa: quante rette passano per un
punto?
Dai postulati di Euclide sappiamo che per un
punto passano infinite rette
Ora ci possiamo fare la seguente domanda:
quante di queste rette somo perpendicolari ad r?
È facile vedere che ci sarà una sola retta che
partendo da P risulterà perpendicolare ad r
Perché?
Solo una taglia r formando angoli congruenti
Data una retta r ed un punto P esterno
ad essa e appartenente al medesimo
piano, dal punto P posso tracciare una
ed una sola retta perpendicolare ad r
Piede della perpendicolare
Consideriamo una retta r e
una sua perpendicolare
Le due rette si
incontreranno nel punto P
Tale punto prende il nome di
piede della perpendicolare
Si dice piede della
perpendicolare il
punto in cui retta e
perpendicolare si
incontrano
s
P
r
Rette parallele
Consideriamo due rette r e s
appartenente ad un piano a e
non eventi alcun punto in
comune
Chiamiamo queste due rette
parallele
r
s
a
Due rette si dicono parallele se
sono complanari e se non hanno
alcun punto in comune
Dire che due rette parallele non hanno alcun punto in comune non è una
definizione perché per le rette sghembe vale la stessa cosa, quindi la
proposizione non ha un significato univoco!!!!!
Retta parallela ad una retta data e
passante per un punto
E data una retta r e un punto P appartenenti entrambe al piano alfa
con P non appartenente ad r r et P ε e P ε r
Quante parallele ad r passanti per P posso tracciare?
Infinite
Delle infinite rette passanti per P solo una non incontrerà la retta r
Data una retta r e un punto P esterno
ad essa esiste una ed una sola retta
parallela ad r passante per P
s
r
P
Rette coincidenti
Consideriamo la retta r appartenente al piano a
Immaginiamo ora di disegnare si di essa un’altra retta s
Cosa possiamo vedere?
Le due rette toccano esattamente gli stessi punti del
piano
In linguaggio specifico abbiamo che i punti dell’una sono
anche punti dell’altra
Due rette sono coincidenti se condividono gli
stessi punti del piano
s
Proiezione di un punto su una retta
Proiettare significa buttare
avanti una cosa, potremmo
pensare di lanciare P contro
una retta, ma in che modo?
Consideriamo una retta r e un
punto P sterno ad essa
appartenenti entrambi al piano
a
Conduciamo la perpendicolare
s ad r passante per il punto P
Tale retta incontra la retta R
nel punto O
Il punto O è la proiezione di P
su r
P
s
O
r
a
La proiezione di un
punto su una retta è il
punto in cui la sua
perpendicolare
passante per il punto
taglia la retta
Proiezione di un segmento su
una retta: premesse
Siccome il segmento contiene
infiniti punti per proiettarlo io
doveri compiere infinite volte
l’operazione precedente
Questo è assurdo
La successiva diapositiva farà
vedere come risolvere il
problema
Proiezione di un segmento su una
retta
Consideriamo una retta r e una
segmento P appartenenti entrambi
al piano a
Per proiettare in segmento sulla
retta basta proiettare i suoi
estremi sulla retta r
Troviamo i punti A’ e B’
B
A
A’
Il segmento A’B’ sarà la
proiezione di AB su r
Per proiettare un segmento su una retta basta trovare le
proiezioni dei suoi due punti estremi e prendere in
considerazione il segmento risultante
B’
r
a
Punto medio di un segmento
Medio significa ciò che è nel mezzo tra
due estremi
Riferito ad un segmento sarà quel punto
che è equidistante (cioè che ha la stessa
distanza) dagli estremi
Il punto medio di un segmento è
quel punto che lo divide in due
parti congruenti
A
M
B
Asse di un segmento
Consideriamo il
segmento AB e sia M il
suo punto medio
Consideriamo ora la
perpendicolare ad AB
passante per M
Chiamiamo questa
perpendicolare asse
del segmento
L’asse di un segmento è il luogo
geometrico dei punti equidistanti dai suoi
http://www.math.it/cabri/asse.htm
estremi
Luogo geometrico
Ma che bestia è…….
Il luogo geometrico è dato dall’insieme dei
punti del piano che hanno una qualche
proprietà
Es. punti equidistanti dai vertici di un
segmento
Rette sghembe
Consideriamo un piano a
una retta ad esso
complanare e una retta s che
incontra il pano nel punto P
Com’è la retta s rispetto al
piano a
Si tratta di una retta incidente
Come sono le rette r ed s
Hanno punti in comune?
No allora sono parallele? No!
È stato dimostrato che
esistono rette che non
hanno punti in comune e
che non sono parallele
s
P
r
a
Due rette che non
hanno punti in
comune e che
appartengono a
piani diversi si
dicono sghembe
Fascio di rette
Esistono due tipi di fasci di rette
Il fascio di rette proprio
Il fascio di rette improprio
Fascio proprio di rette
Consideriamo un punto P in un
piano a
Come sappiamo per il punto P del
piano passano infinite rette
Se ci troviamo in una situazione
zerodimensionale quante rette
passano per il punto P?
Se ci troviamo in una situazione
unidimensionale quante rette
passano per il punto P?
P
a
Definiamo fascio proprio di rette l’insieme
delle rette passanti per il punto P
Fascio improprio di rette
Consideriamo una retta r appartenente al piano a
Come sappiamo esistono infinite rette parallele ad r
Si definisce fascio improprio di rette
l’insieme delle infinite rette parallele fra
loro
Distanza
Consideriamo due oggetti A e B
Possiamo unirli con varie linee di
diversa lunghezza
Nessuna di queste è la distanza
Proviamo a tracciare la linea più
corta possibile
Essa risulterà immancabilmente
un segmento
Definiamo distanza fra
due oggetti la
lunghezza del
segmento che li unisce
A
B
Dal punto di vista della
lunghezza delle varie linee
che caratteristica avrà
questo segmento?
Distanza di un punto da una retta
Consideriamo una retta r e un
punto P sterno ad essa
appartenenti entrambi al piano a
Dal punto posso tracciare diversi
segmenti che arrivano sulla retta r
Ancora una volta dobbiamo trovare
quello più piccolo per avere la
distanza
Conduciamo la perpendicolare ad r
passante per il punto P
Tale retta incontra la retta R nel
punto O
La distanza di P da r è data dalla
lunghezza del segmento PO
P
s
O
r
a
La distanza di un
punto da una retta è
data dalla lunghezza
del segmento
perpendicolare che
unisce il punto alla
retta
Distanza fra due rette parallele
Consideriamo due rette parallele r
ed s appartenenti al piano a
Tracciamo la perpendicolare alla
retta r ed s
Tale retta taglierà le due rette
parallele nei punti A e B
Si dice distanza fra le due rette la
lunghezza del segmento AB
perché è perpendicolare ad
entrambe le rette
t
A
s
B
r
Distanza fra rette parallele
Si definisce distanza di due rette parallele la
lunghezza del segmento perpendicolare alle
rette date e che ha come suoi estremi punti
appartenenti alle due rette
a
Rette parallele tagliate da una trasversale
Consideriamo due rette r ed s
tagliate da una trasversale t e
appartenenti al piano a
Si formano 8 angoli numerati da
1a8
Sapendo che gli angoli opposti
al vertice sono congruenti quali
saranno gli angoli uguali?
Gli angoli 1, 2, 6, 8 sono esterni
Gli angoli 3, 4, 5, 6 sono interni
Le coppie 3,6 e 4,5 si trovano
uno da una parte e una dall’altra
perciò sono alterni interni e
sono formate da angoli
congruenti
t
1
3
5
7
2
s
4
6
r
8
a
Le coppie 1,8 e 2,7 si
trovano uno da una parte
e una dall’altra perciò
sono alterni esterni e
sono formate da angoli
congruenti
Contributi esterni
Gli angoli che stanno dalla stessa
parte di t si dicono coniugati
I gruppi di angoli coniugati sono
1, 3, 5, 7 e 2, 4, 6, 8.
Le coppie 3,5 e 4,6 si dicono
coniugati interni
Le coppie 1,7 e 2,8 si dicono
coniugati esterni
La caratteristica delle coppie
coniugate è quella di essere
supplementari
Quando due angoli si dicono
supplementari?
Gli angoli che occupano posizioni
analoghe si dicono corrispondenti
t
1
3
5
7
2
s
4
6
r
8
a
Sono corrispondenti le
seguenti coppie: 1,5;2,6;
3,7 e 4,8
Le coppie corrispondenti
sono formate da angoli
congruenti
Quello che abbiamo
detto vale per tutte le
coppie di rette tagliate
da una trasversale?
Riassumiamo
Le coppie di angoli
alterni interni e alterni
esterni sono congruenti
Le coppie coniugate
interne ed esterne sono
supplementari
Le coppie di angoli
corrispondenti sono
congruenti
t
1
3
5
7
2
s
4
6
r
8
a
… e se non sono parallele?
…. A voi l’interpretazione
della figura
Aguzzate l’ingegno e datevi
da fare
Come sono gli angoli alterni
interni o esterni?
Come sono gli angoli
corrispondenti?
Come sono gli angoli
coniugati interni o esterni
Quali angoli sono congruenti
e perché
t
1
3
5
7
2
4
6
8
a
Quali angoli sono
supplementari e
perché?
s
Definizione di rette parallele
In base a quanto detto e compreso
possiamo dire che:
Due rette si dicono parallele se
tagliate da una trasversale formano
coppie di angoli alterni interni e
alterni esterni congruenti; coppie
coniugate interne ed esterne
supplementari coppie di angoli
corrispondenti congruenti