Transcript Използване на комплексни числа при изчисляване на

ЛЕКЦИЯ 6
Използване на комплексни числа
при изчисляване на електрични вериги
Представяне на синусоидални функции
като проекции на въртящи се вектори
С усложняване на електричните вериги се затруднява използуването на
тригонометрична форма за пресмятане, и е необходимо да се използва метод позволяващ
пресмятане на електрични вериги с променлив ток, което да е аналогично алгебрино
на пресмятане на вериги с постоянен ток. Такъв удобен метод за пресмятане е
методът на комплексните амплитуди (комплексен метод), който се основава на смяна
на разглеждането на синусоидални функции с разглеждане на въртящи се вектори.
Изобразяване на
вектор посредством
комплексно число
Всяка точка в комплексната равнина може да се
представи посредством радиус-вектора на тази точка, тоест
вектора началото на който съвпада с координатното начало, а края
се намира в точка, отговаряща на зададено комплексно число.
Съответно може да се запише:
[1]
където:
– големина (модул), - фаза (аргумент),
(в електротехниката на се използува
, понеже - ток)
Вектор, въртящ се в положителна посока (обратна
на часовниковата стрелка), с ъглова скорост
може да се
представи като:
,
[2]
където
е комплексната амплитуда, представляваща
дадения вектор в момента
.
Въртящ се вектор
Множителят
представлява оператор на въртене, така
че умножение на комплексната амплитуда
с
означава завъртане на вектора
на ъгъл
в положителна
посока.
От [1] и [2] следва че:
Съответно:
където символите
и
на комплексна функция.
и
означават имагинерна и реална части
,
Ако две синусоидални функции имат една и съща честота, то съответстващите на
тези функции вектори се въртят с еднаква ъглова скорост и затова ъглите между тях
остават непроменени.
На Фигурата са показани
две синусоидални функции:
с еднаква ъглова честота
Функцията
изпреварва
по фаза функцията
, при което
фазовата разлика е равна на
разликата от началните фази:
Фазово отместване:
а) между синусоиди, б) между вектори
Ъгълът между двата вектора показани на Фигурата, е равен на тази фазова разлика.
Диаграма, изобразяваща съвкупност от вектори, построени с отчитане на
взаимната им ориентация по фаза се нарича векторна диаграма.
Ако на двете синусоидални функции отговарят
комплексните амплитуди
то на сумата от двете
синусоидални функции отговаря комплексната амплитуда
. От графичното построение следва че:
Събиране на вектори
Закони на Ом и Кирхоф в комплексна форма
Последователно свързване на
Втория закон на Кирхоф:
се записва като:
Последователно свързани
Допускаме че в това уравнение са известни
синусоидалното напрежение
на веригата, докато токът е неизвестен.
[3]
и
Тъй като тук се разглежда установеният режим на синусоидалния ток, решението
на диференциалното уравнение трябва да е от вида:
където
са неизвестните амплитуда и начална фаза на тока.
Нека зададеното синусоидално напрежение се символизира с комплексната
функция
, а търсеният синусоидален ток – с комплексната функция
Комплексните амплитуди на напрежението и тока са равни съответно на:
Събирането, диференцирането и интегрирането на синусоидалните функции в
уравнението [3] се заменят със същите математични операции с имагинерните части на
комплексните функции:
[4]
Операциите с имагинерните части могат да бъдат заменени с операции със
самите комплексни функции, с последващо отделяне на имагинерната част на резултата.
Това се обяснява с комутативността на операциите събиране, изваждане, диференциране
и интегриране относно символната операция
. Тоест [4] се преобразува в:
Това уравнение се удовлетворява във всеки момент време, което означава че
изразите в скобите също трябва да са равни. Извършване на диференцирането и
интегрирането води до:
[5]
Разделяне на всички части на уравнението [5] с множителя
Изваждане на
зад скоби води до:
дава уравнението:
,
[6]
където
е условно означение за комплексното
съпротивление на разглежданата електрична верига.
Уравнението [6] представлява закона на Ом за комплексните амплитуди.
Разделяне на двете страни на [6] с
дава закона на Ом за комплексните ефективни
стойности:
[7]
Разделяне нда двете страни с показва че:
Комплексното съпротивление на електрична верига е равно на отношението на
комплексното напрежение на дадената верига към комплексния ток в тази верига.
Комплексното съпротивление е представено в алгебрична форма в [6]. Същата
величина може да се запише в тригонометрична и показателна (полярна) форма като:
Тук
веригата, а
(модул на комплексното число ) представлява пълното съпротивление на
- аргумент на комплексното число , тоест:
От [6], комплексната амплитуда на тока е:
където
е началната фаза на тока. Следователно търсеният ток може да се
запише в тригонометрична форма като:
[8]
Паралелно свързване на
Ползувайки разсъждения, аналогични на тези за последователно свързване
на
, може да се получат законите на Ом и Кирхоф в комплексна форма за
електрична верига, състояща се от паралелно свързани елементи
.
От втория закон на Кирхоф:
Ограничаване записа на това уравнение до
комплексните ефективни стойности, които са
пропорционални на комплексните амплитуди води до:
[9]
Паралелно свързани
където
е токът в съпротивлението
(съвпада по фаза с напрежението
е токът в индуктивноста (закъснява от напрежението с
е токът в капацитета (изпреварва напрежението с
),
и
,
Изразът
е условно означение за комплексната проводимост на електричната верига, а
са активната и реактивната проводимост на веригата.
[10]
[11]
Сътветно,
представлява закона на Ом за комплексните ефективни стойности. Разделяне на двете
страни на това уравнение с
показва че комплексната проводимост на електрична
верига е равна на отношението на комплексния ток в дадената верига
към комплексното напрежение на нейните изводи.
Тригонометричната и показателната (полярна) форми на комплексната проводимост
имат вида:
[12]
Тук
е модул на комплексното число
което представлява пълната
проводимост на веригата, а
е аргумента на комплексното число , при което:
От [11] следва че комплексния ток е равен на:
[13]
което отговаря на синусоидален ток:
Зависимост между съпротивленията
и проводимостите на участък от верига
При зададено комплексно съпротивление
верига, комплексната проводимост за същия участък е:
на някой участък от
[14]
Обратно на това, при зададена комплексна проводимост
някой участък от верига, комплексното съпротивление за същия участък е:
на
[15]
Изразите [14] и [15] показват че реактивното съпротивление
и реактивната
проводимост
на един и същ участък от верига имат еднакъв знак.
Комплексна форма на записване на мощноста
Допускаме че през електрична верига протича синусоидален ток, при което
положителните направления на тока и на напрежението на изводите на веригата се
приемат да съвпадат.
Комплексните ефективни ток и
напрежение са:
Фазовото отместване на тока спрямо
напрежението е равно на разликата в
началните им фази:
Илюстрация на: а) положителнителните
посоки на напрежението и тока,
б) комплексните ефективни напрежение и ток
Оттук следва че:
Да умножим
величина
спрегната с :
с комплексната
[16]
Тъй като напрежението
може да се представи като сума от активна и реактивна
компоненти:
, то почленно умножаване на тези компоненти с
дава активната и реактивната мощности:
Трийгълник на мощностите
в комплексната равнина
В съответствие с [16], комплексната величина
определя реалната част на ефективната мощност и
имагинерната част на реактивната мощност
постъпващи във веригата.
Модулът на е равен на пълната мощност. се
нарича комплексна мощност.