Netzwerke und Perkolation Christian Tutsch Physik, Würzburg 1. Netzwerkmodelle 2. Metabolische Vernetzung 3. Perkolation 4. Evolution.
Download ReportTranscript Netzwerke und Perkolation Christian Tutsch Physik, Würzburg 1. Netzwerkmodelle 2. Metabolische Vernetzung 3. Perkolation 4. Evolution.
Netzwerke und Perkolation Christian Tutsch Physik, Würzburg 1. Netzwerkmodelle 2. Metabolische Vernetzung 3. Perkolation 4. Evolution 1 Random Graph Theory Paul Erdös, Alfréd Rényi um 1960 N Knoten i mit ki Bindungen P(ki k ) CNk 1 pk (1 p) N 1k P(k ) e pN ( pN ) k k! Barabási, Rev. Mod. Phys. 74, 47 (2002) Q: Eigenschaft des Graphen (existieren Dreiecke, Größe, …). für viele Q eine pc (N ) E 0 für lim PN , p (Q) N 1 für p( N ) pc ( N ) 0 p( N ) pc ( N ) 2 Small World Modell Watts, Strogatz 1998 Start mit N Knoten, K Nachbarbindungen Ändere jede Bindung mit p Barabási, Rev. Mod. Phys. 74, 47 (2002) Skalierung der Pfadlänge l Abkürzungen für große p kleine p: l ~ N große p: l ~ ln N Schwelle p 2 NK * crossover-Länge N N N * l ~ N , N N * l ~ ln N 3 Eigenschaften Exponentielle Abnahme der Verknüpfungshäufigkeit, keine hochvernetzten Strukturen statisch, kein Wachstum zufällige Verknüpfungen, keine Gewichtung der Knoten 4 Beispiele Schauspieler Versorgungsnetze World Wide Web Scaling in nicht-menschlichen Netzen? 5 Konstruktion eines realeren Netzes Starte mit m0 Knoten Wachstum: In jedem Zeitschritt 1 neuer Knoten m m0 -fach verlinken Bevorzugte Verknüpfung: Wichtung nach Verknüpfungszahl existierender Knoten (ki ) ki j kj 6 reales (?) Netz Ergebnis nach der Zeit t: m0+t Knoten m∙t Verknüpfungen Barabási, Science 286, 509 (1999) P(k) ~ k-g mit g = 2.9±0.1 skalenfreier, stationärer Zustand 7 Simulationen Sind sowohl Wachstum wie auch bevorzugte Verknüpfung notwendige Kriterien? Modell A: Gleichverteilte Verknüpfungswkt. 1 m0 t 1 Ergebnis: Große Cluster treten nicht auf, P(k ) ~ e k 8 Simulationen Modell B: Start mit N nichtverknüpften Knoten, dann (ki ) ki j kj Ergebnis: Anfangs Verhalten nach Potenzgesetz, dann Sättigung Wachstum und bevorzugte Verknüpfung sind notwendige Kriterien. 9 Metabolische Vernetzung Funktionalität von biologischen Zellen: Modulierung in Untereinheiten (Organellen, Botenstoffe) Andererseits: Betrachtung als biochemisches Netzwerk mit Vielzahl von Wechselwirkungen, skalenfrei g = 2.2 hochvernetzte Knoten: Pyruvat, Coenzym A Barabási, Science 297, 1551 (2002) Vereinbarkeit von Skalenfreiheit und Modularität? 10 Clusterkoeffizient ci 2n ki (ki 1) n: Anzahl der Verbindungen, die die nächsten Nachbarn von Knoten i direkt verknüpfen 1 N c ci N i 1 mittlerer Clusterkoeffizient als Maß für die Modularität eines Netzes n 6 ci 1 n 3 ci 1 2 n 0 ci 0 43 Organismen untersucht: c eine Größenordnung höher unabhängig von Clustergröße 11 Hierarchische Netze heuristische Lösung: hierarchisches Netz: skalenfrei, Cluster als Knoten g 2.26 c 0.6 c unabhängig von der Größe, aber: c(k ) ~ k 1 Modell: 4er Modul ki=4, ci=1/2 16er Modul ki=13, ci=2/16 64er Modul ki=40, ci=2/40 12 Einführung Perkolation Anzahldichte von s-Clustern: ns Wahrsch.verteilug für Punkte: s ns Adami, Introduction To Artificial Life, Springer (1998) Momente der Verteilung: Besetzungswahrsch. p s s ns mittlere Clustergröße S 1 2 s ns s p 13 Experiment p = 0.50 p = 0.58 p = 0.59 14 einige Größen Stärke des unendlichen Clusters 1 p s sns pP 1 Korrelationsfunktion g r 0 p (r ) S p Korrelationslänge g p ( ) 1 e implizite Definition 2 ( p) g p (r) er 2 r r g p ( r ) r g p (r ) 15 Das Bethe-Gitter „Cayley-Baum“ l=3 Oberfläche, Volumen l=2 l=1 S (l ) z( z 1)l 1 , S ~ V Korrelationsfunktion g p (l ) z ( z 1) l 1 l groß p el ln p ( z 1) l Perkolationsschwelle 1 pc z 1 Koordinationszahl z = 3 16 Das Bethe-Gitter Perkolationswahrscheinlickeit 1 p pc P0 2 1 2 p 1 p pc P 2 p2 l=3 l=2 l=1 Koordinationszahl z = 3 17 Scaling um pc Forderung: weitere Kenngrößen folgen Potenzgesetzen, Einführung universeller kritischer Exponenten. Umfang: t (s) z ( z 2)(s 1) Clusterdichte: ns ( p) gs p s (1 p) z ( z 2)( s1) für p pc : ns ( p) ~ s e Clustergröße: S 1 g p (l ) pc s ( p pc ) 2 l 1 S ~ p pc g 1, 1 2 5 2 ( 3) 1 p 1 p ~ p pc g unabhängig von z 18 RGT und Perkolation N Knoten, p pc N pc 1 N P 0 Cluster = Bäume größter Cluster ln(N ) Bethe-Perkolation pc 1 z 1 Cluster = Fraktale g p (r) e-r/ skaliert mit ln(N ) p pc 23 einziger riesiger Cl. ~ N p pc riesiger Cl. mit komplexer Struktur, Schleifen ns ~ s 5 2 , größter Cl. ~ N 2 3 unendlicher Cluster ist kompakt 19 Evolution Hinweis auf Scaling in taxonomischen Verteilungen Evolution durch Perkolation auf Bethe-Gitter beschreibbar? Gen-Raum euklidischer, hochdimensionaler Raum Abstand Anzahl der benötigten 1-Schritt-Mutationen Anzahl nächster Nachbarn Anzahl möglicher 1-Schritt-Mutationen Genome: Länge l, Alphabet D ( D 1) l Nachbarn dim 1 ( D 1) l 2 20 Evolution l groß, keine Schleifen Bethe-Gitter mit z ( D 1) l pc 1 1 1 1 ~ z 1 ( D 1) l 1 ( D 1) l l Wie groß ist die Besetzungswahrscheinlichkeit? ns ( p) ~ s exp( p pc 1 Bethe s) s 5 2 exp[( p 1 ) 2 s] ( D 1)l 1 Messung der Verteilung Abweichungen vom Potenzverhalten? 21 Taxonomie Häufigkeitsverteilungen der Größe biologischer Gattungen Burlando, Journal of Theor. Biology 146, 99 (1990) 22 Fraktale Dimension Messungen der Größe von Fraktalen liefern unendliche Reihen bei Reduzierung der Skaleneinheit F ( ) ~ D Ergebnisse: Ähnliches D für gleiche Spezies Unterschied marin / kontinental 23 Was wollte ich erreichen? Verschiedene Ansätze zum Verständnis von Netzen Vielversprechend: Dynamisches Modell Hierarchisches Modell Perkolation: Anderer Blickwinkel Evolution: Bethe – Perkolation, skalenfrei 24 References Barabási, Science 286, 509 (1999) Barabási, Rev. Mod. Phys. 74, 47 (2002) Barabási, Science 297, 1551 (2002) Burlando, Journal of Theor. Biology 146, 99 (1990) Adami, Introduction To Artificial Life, Springer (1998) 25