6.4

Panjang Kurva Bidang

6.4. Panjang Kurva Bidang

• • Bagaimana menghitung panjang kurva bidang?

Pandang : a

6.4. Panjang Kurva Bidang

• Beberapa contoh 1. Grafik y=sin x, 0≤x≤  adalah sebuah kurva bidang 2. Grafik x = y 2 , -2≤y≤2 adalah sebuah kurva bidang 3. Lingkaran x 2 + y 2 dipikirkan sebagai = a 2 , dalam kasus dapat

y



f



a

2 

x

2 dan

x



f



a

2 

y

2 Persamaan lingkaran ini dapat ditulis dalam bentuk parametrik x = a cost , y = a sint, 0≤t≤2 

6.4. Panjang Kurva Bidang

• • Persamaan y=sin x, 0≤x≤ dapat ditulis dalam bentuk parametrik sebagai berikut:  dan x = y 2 , -2≤y≤2 y = sint x = t 0≤t≤  y = t x = t 2 -2≤t≤2 Sebuahn kurva bidang ditentukan oleh sepasang persamaan parametrik x=f(t), y=g(t), a≤t≤b, dengan fungsi f dan g diandaikan kontinu.

t dapat dianggap sebagai waktu yang bertambah dari a ke b, titik (x,y) menyelusuri suatu kurva di bidang.

6.4. Panjang Kurva Bidang

• • Contoh 1. Gambarlah kurva yang ditentukan oleh persamaan parametrik x=2t+1, y = t 2 , 0≤t≤3.

Definisi Suatu kurva bidang disebut mulus, jika kurva itu ditentukan oleh sepasang persamaan parametrik x = f(t), y = g(t), a≤t≤b, dengan f’ dan g’ ada dan kontinu pada [a,b], dan f’(t) dan g’(t) tidak bersama-sama nol pada selang (a,b).

6.4. Panjang Kurva Bidang

• Panjang Busur Bagaimana menghitung panjang kurva mulus yang diberikan secara parametrik oleh x=f(t), y = g(t), a≤t≤b?

Buatlah partisi selang [a,b] menjadi n selang bagian menggunakan titik-titik t i : a=t 0

6.4. Panjang Kurva Bidang

y x  s i  w i Gambar 6 Q i  y i 

w i

    

i i

2 Q i-1  x i  

f t

   

i f t i

 1  2  

g i t g t i

 1 2 

6.4. Panjang Kurva Bidang

• Gagasan.

Menghampiri kurva itu dengan ruas garis poligon yang ditunjukan, menghitung panjangnya, dan kemudian mengambil limitnya apabila norma partisi mendekati nol.

Khususnya, kita mengahmpiri panjang ruas ke-i dengan  w i  s i dari

6.4. Panjang Kurva Bidang

• Dengan menggunakan teorema nilai rata-rata untuk turunan, terdapat titik-titik (t i-1 , t i ) sedemikain sheingga

t i

dan

t

ˆ

i

dalam Dengan  t i = t i - t i-1.

g f t t

   

i i t i i

1 1  

g f

'   Karena Jadi, 

w i

 

w i



f

 '

t i

     

i i

2 

t i

2   

g

'

t

 

i



t i

  2  

f t

   

i f t i

 1  2

f

 

i

2  '  

g t

 

i

'

t

ˆ

t i i



t i



t i

2

i t



t i g t i

 1 2  Dan panjang total dari ruas garis poligon adalah

i n

  1 

w i



i n

  1

f

  2   

i

2 

t i

*

6.4. Panjang Kurva Bidang

• Panjang Busur (arc length) kurva L sebagai limit dari *.

• •

L



b a

 '

t

  2    2

dt



b a

   

dx dt

   2    

dy dt

   2

dt

Jika kurva ini diberikan oleh y=f(x) dengan a≤x≤b, x sebagai parameter maka

L



L



b a



b a

 1  1    

dy dx

     

dx dy

2   

dx

Jika kurva ini diberikan oleh x=g(y) dengan c≤y≤d, y sebagai parameter maka 2

dy

6.4. Panjang Kurva Bidang

• • • • Contoh 2. Carilah keliling lingkaran x 2 + y 2 = a 2 Contoh 3. Carilah panjang ruas garis dari A(0,1) ke B(5,13) Contoh 4. Gambarlah grafik kurva yang diberikan secara parametris oleh x=2cost, y=4sint, 0≤t≤  Contoh 5. Carilah panjang busur kurva y=x 3/2 dari titik (1,1) ke titik (4,8)

6.4. Panjang Kurva Bidang

• • Diferensial Panjang Busur Andaikan f fungsi yang terdiferensialkan secara kontinu pada [a,b]. Untuk masing-masing x dalam (a,b), definisikan s(x) dengan

s

 0

x

 1  

f

'  2

du

Maka s(x) merupakan panjang busur kurva y=f(u) dari titik (a,f(a)) ke (x,f(x)).

s

' 

ds dx

 1  

f

'  2  1 

dy dx

2 ds, diferensial panjang busur ds, dapat dihitung melalui

ds

 1 

dy dx

2

dx ds

 1 

dy dx

 2

dx

 1   

dx dy

  2

dy



dx

 2

dt



dy dt

2

dt

6.4. Panjang Kurva Bidang

• Luas Permukaan Benda Putar Luas kerucut terpancung dengan jari-jari alas r 1 dan r 2 serta tinggi miring l adalah A yang diberikan oleh : A = 2  ((r 1 +r 2 )/2)l = 2  (rata-rata jari-jari).(tinggi miring)

6.4. Panjang Kurva Bidang

• • Luas Permukaan Benda Putar.

Andaikan y=f(x), a≤x≤b. Buatlah partisi selang [a,b] menjadi n potong dengan menggunakan titik-titik a=x 0

Andaikan  andaikan y i s i menyatakan panjang potongan ke-I dan adalah koordinat y sebuah titik pada potongan ini. Apabila kurva ini diputar mengelilingi sumbu x, akan membentuk suatu permukaan.

Luas pita yang terbentuk dapat dihampiri dengan luas kerucut terpancung, yakni 2  y i  s i

6.4. Panjang Kurva Bidang

• Luas Permukaan Benda Putar adalah

A

 lim

p

 0

i n

  1 2 

y i



s i

 2 

b a



yds

 2 

b a



f

1  

f

'  2

dx