Transcript MATRIX  a11 a  21    a n1 a12  a1n  a 22  a 2 n       a n 2  a nn.

MATRIX
 a11
a
 21
 

a n1
a12  a1n 
a 22  a 2 n 


 

a n 2  a nn 
1
Matrix

Matrix : kumpulan bilangan yang disajikan secara
teratur dalam baris dan kolom yang membentuk
suatu persegi panjang, serta termuat diantara
sepasang tanda kurung.
 a11

 a21
A


a
 m1
Atau a
a11
A
21
 

am1
a12
a22

am 2
 a1n 
 a2 n 

 

 amn 
a12
a22

am 2
 a1n 

 a2 n 

 

 amn 
Baris
 a11
a
21

A
 

am1
a12
a22

am 2
Kolom
Matrix berukuran m x n
atau berorde m x n
 a1n 

 a2 n 

 

 amn 
Unsur Matrix
Jika ( m = n ) dinamakan
matrix bujursangkar (square
matrix)
Vektor


Vektor : bentuk matrix khusus yang hanya
mempunyai satu baris atau satu kolom.  vektor
baris (berbaris tunggal) dan vektor kolom
(berkolom tunggal)
Contoh :
vektorbaris a  2 4 -5
b  6 3 7
 3


Vektorkolomc  6
2
5


d   7 
 9 
Kesamaan matrix dan vektor

Dua matrix dikatakan sama apabila keduanya berorde sama dan semua unsur
yang terkandung di dalamnya sama (aij = bij, untuk setiap i dan j)
contoh :
 2  3 5
 2  3 5
 2 3 5
A
B
C



8
2
4
8
2
4
8
2
4






maka A  B, A  C, B  C

Dua buah vektor dikatakan sama apabila keduanya sejenis, sedimensi dan
semua unsur yang terkandung di dalamnya sama.
Contoh :
a  2  3 5
b  2  3 5
 2
 2  Maka a = b,
u  4 v   3
u ≠ v, a ≠ u ≠ v
8 
 5 
dan b ≠ u ≠ v

Matrix dapat dikatakan sebagai kumpulan vektor 
Amxn adalah matrix A yang merupakan kumpulan dari m
buah vektor baris dan n buah vektor kolom.
2  3 5
A
adalah matrixyangmerupakan

8 2 4 
kumpulandari vektor- vektor
2
- 3 5
8
2 4
2  3 5
dan  ,  ,  
8   2   4 
Pengoperasian Matrix dan Vektor

Penjumlahan dan Pengurangan
Dua buah matrix hanya dapat dijumlahkan dan
dikurangkan apabila keduanya berorde sama.
A + B = C dimana cij = aij + bij

Berlaku kaidah Komutatif : A + B = B + A
Kaidah Asosiatif : A + (B + C) = (A + B) + C = A + B
+C

Perkalian Matrix dengan Skalar


λA = B dimana
λaij
Contoh :
bij =
 2 4
A

5
6


 3
3.2 3.4  6 12
maka A  3 A  B  



3
.
5
3
.
6
15
18

 

Kaidah Komutatif : λA = A λ
Kaidah Distributif : λ(A+B) = λA + λB
Perkalian
Antar
 Dua buah
matrixMatrix
hanya dapat dikalikan apabila

jumlah kolom dari matrix yang dikalikan sama
dengan jumlah baris dari matix pengalinya.
Amxn x Bnxp = Cmxp
1 2 5 7 1.5  2.6 1.7  2.8 17 23
3 4 6 8  3.5  4.6 3.7  4.8  39 53


 
 

Kaidah Asosiatif
: A(BC) = (AB) C = ABC
Kaidah Distributif
: A(B+C) = AB + AC
(A + B) C = AC + BC
Perkalian Matrix dengan Vektor

Sebuah matrix yang bukan berbentuk vektor hanya
dapat dikalikan dengan sebuah vektor kolom, dengan
catatan jumlah kolom matrix sama dengan dimensi
vektor kolom yang bersangkutan, hasilnya adalah
berupa sebuah vektor kolom baru.

Amxn x Bnx1 = Cmx1
n>1
1 2 7 1.7  2.8 23
3 4 8  3.7  4.8  53

  
  
Bentuk-bentuk Khas Matrix


Matrix Satuan / Identitas : Matrix bujursangkar yang
semua unsur pada diagonal utamanya adalah angka
1 sedangkan unsur lainnya nol.
Contoh
1 0 
I2  

0 1 
1 0 0 


I 3  0 1 0 
0 0 1
Marix Diagonal


Matrix diagonal adalah matrix bujursangkar yang
semua unsurnya nol kecuali pada diagonal utama.
Contoh :
Matrix Identitas
3 0
0 5 


3 0 0 
 0 3 0  1 0 

 0 1 


0 0 4
Matrix Nol


Matrix nol : Matrix yang semua unsurnya NOL.  0
Contoh :
02x 2
0 0
0 0 0

02x3  


0 0
0 0 0
Matrix Ubahan (transpose)


Matrix ubahan ialah matrix yang merupakan hasil
pengubahan matrix lain yang sudah ada sebelumnya,
dimana unsur-unsur barisnya menjadi unsur-unsur
kolom dan sebaliknya.
Amxn=[aij] matrix ubahannya A′nxm =[aji]
2 3
A

1 4
2 1 
A'  

3 4
(A′) ′ = A
Matrix Simetrik


Matrix simetrix adalah matrix bujursangkar yang
sama dengan ubahannya.
A = A′
1 3
A

3
7


1 3
A'  

3
7


AA′ = AA = A2
Matrix simetrik miring (skew
symmetric)


Matrik ini merupakan matrix bujursangkar yang sama
dengan negatif ubahannya.
A = -A′ atau A′ = -A
 0 5  4
 0  5 4
 0 5  4
A   5 0  2 A'   5
0 2 -A'   5 0  2
 4 2 0 
 4  2 0
 4 2 0 
Matrix Balikan (inverse matrix)
Matrix balikan : matrix yang apabila dikalikan dengan
suatu matrix bujursangkar menghasilkan sebuah natrik
identitas.
A  balikannya adalah A-1
AA-1 = I
A-1 = adj.A  |A|
Bentuk khas yang lain




Matrix skalar : matrix diagonal yang unsurnya
sama atau seragam (λ). Jika λ = 1  matrix
identitas
Matrix ortogonal : matrix yang apabila dikalikan
dengan matrix ubahannya menghasilkan matrix
identitas (AA′=I)
Matrix singular : matrix bujursangkar yang
determinannya sama dengan nol. Matrik
semacam ini tidak memiliki inverse
Matrix non-singular : matrix bujusangkar yang
determinannya tidak nol, memiliki balikan
(inverse)
Latihan

Dumairy Hal 298 – 300 dan 308 – 309