Transcript Untuk mhsw mata kuliah Matematika I, bisa mendownload materi

MATEMATIKA I
MATRIX DAN DETERMINAN
RETNO ANGGRAINI
Definisi Matrix
Matrix adalah kumpulan angka yang
disusun berdasarkan baris dan kolom
1
3
5
2
4
6
Ordo Matrix adalah ukuran matrix yang
menunjukkan jumlah baris dan jumlah
kolom
Contoh : {A} dgn ordo 2x3 = memiliki 2
baris dan 3 kolom
{
}
OPERASIONAL MATRIX
PENJUMLAHAN MATRIX : {A} +{B}
yaitu penjumlahan antar dua atau lebih
matrix dgn ordo matrix yg sama
PENGURANGAN MATRIX : {A}-{B}
yaitu penguranan antar dua atau lebih
matrix dgn ordo matrix yg sama
PERKALIAN MATRIX
1. Dengan skalar : n.{A}
2. Antar Matrix : {A}.{B}
Membentuk matrix
Contoh dlm Sistem Persamaan linear
20 x1 + 3 x2 = 3
10 x1 - 5 x2 = 5
maka dapat dibentuk matrix
20 3
x1 = 3
10 -5
x2
5
{
}{ } { }
ILMU HITUNG MATRIX
Penjumlahan Matrix
{A}+{B} = {C}
Pengurangan Matrix
{A} – {B} = {C}
Perkalian Matrix dengan skalar
n.{A} = {nA)}
Perkalian antar matrix
{A}x{B} = {C}
SIFAT PENJUMLAHAN DAN
PENGURANGAN MATRIX
{A} + {B} = {B} + {A}
{A} + ({B}+{C}) = ([A}+{B}) + {C}
{A} + 0 = {A}
{A} + {-A} = 0
{A} – {B} ≠ {B} – {A}
{A} - ({B}-{C}) ≠ ([A}-{B}) - {C}
{A} - 0 = {A}
MATRIX KHUSUS
Matrix segitiga
a. Segitiga Atas
b. Segitiga Bawah
Matrix Diagonal
Matrix Identitas
{
{
1 2 3
0 1 4
0 0 5
1 0 0
0 5 0
0 0 4
{
}
{
}
1 0 0
0 1 0
0 0 1
}
1 0
2 1
3 2
0
0
0
}
SIFAT PERKALIAN MATRIX
 PERKALIAN SKALAR
c({A}+{B}) = c{A} + c{B}
(c+k) {A} = c{A} + k{A}
c(k{A}) = (ck) {A}
{I} {A} = {A}
 PERKALIAN MATRIX
(k{A}){B} = k (AB) = A (kB)
A(BC) = (AB) C
(A+B) C = AC + BC
C (A+B) = CA + CB
AB ≠ BA
AB = 0 bukan berarti A atau
B atau keduanya = 0
TRANSPOSE MATRIX
Tranpose matrix adalah penukaran posisi
pada matrix. Baris menjadi kolom dan
kolom menjadi baris
{A} bxk : {A}T = {A} kxb
Contoh :
{A} =
{
1 2
2 4
3 6
3
5
7
}
{ A }T =
{
1 2
2 4
3 5
3
6
7
}
SIFAT TRANSPOSE MATRIX
 (A+B)T = AT + BT
(AT)T = A
l (A)T = (lA)T
(AB)T =BT AT
INVERS MATRIX
Invers matrix adalah kebalikan dari suatu
matrix
1
-1
Disimbolkan {A} = A
Dimana {A}-1 = 1 {adjoin}
Det
DETERMINAN
 Determinan merupakan
besaran skalar yang
berhubungan dengan matrix
 Disimbolkan det{A) atau IAI
 Matrix ordo 2x2
{A} = { a b }
c d
det{A} = ad – bc
 Matrix ordo 3x3
a b c
{A} = { d e f }
det{A}
g h i
a b c
=I d e f
g h i
I
a b
d e
g h
dgn ke kanan + kekiri -
CONTOH DETERMINAN
METODE PERHITUNGAN
DETERMINAN
 MATRIX ORDO 2X2
ad - bc
 MATRIX ORDO 3X3
aturan sarrus : perkalian menyilang. Dgn
pemberian tanda arah kekanan (+) arah kekiri (-)
 MATRIX ORDO NXN
- Ekspansi Baris
- Ekspansi Kolom
Ekspansi Baris
Mereduksi salah satu baris untuk
memperkecil ordo matrix, guna menentukan
matrix minor dan menghitung determinan dari
matrix
Contoh reduksi baris
{
2 3 4
3 5 6
4 6 8
{
2 3 4
3 5 6
4 6 8
} {
} {
3 5 6
4 6 8
2 3 4
• 6 8
}
Mereduksi baris pertama
Untuk kemudian dijadikan
Pivot untuk perhitungan
determinan
}
Mereduksi baris kedua
Untuk kemudian dijadikan
Pivot untuk perhitungan
determinan
Determinan dgn Metode Ekspansi Kolom
Jika suatu matrix {A} =
{
a11
a21
a31
a12
a22
a32
a13
a23
a33
}
Maka Determinan dari matrix {A} dengan
reduksi kolom pertama adalah :
IAI = ∑ aji.(-1)i+j Aji
dimana :
aji nilai matrix pada posisi ij yang direduksi
Aji matrix yang telah terduksi
Contoh
Ekspansi Kolom
Mereduksi salah satu kolom untuk
memperkecil ordo matrix, guna menentukan
matrix minor dan menghitung determinan dari
matrix
Contoh reduksi kolom
{
2 3 4
3 5 6
4 6 8
{
2 3 4
3 5 6
4 6 8
} {
} {
2 3
3 5
4 6
3 4
5 6
6 8
}
}
Mereduksi kolom ketiga
Untuk kemudian dijadikan
Pivot untuk perhitungan
determinan
Mereduksi kolom pertama
Untuk kemudian dijadikan
Pivot untuk perhitungan
determinan
Determinan dgn Metode Ekspansi Baris
Jika suatu matrix {A} =
{
a11
a21
a31
a12
a22
a32
a13
a23
a33
}
{A} =
Maka Determinan dari matrix {A} dengan
reduksi baris pertama adalah :
IAI = ∑ aij.(-1)i+j Aij
dimana :
aij nilai matrix pada posisi ij yang direduksi
Aij matrix yang telah terduksi
Contoh
SIFAT SIFAT DETERMINAN
 Harga determinan akan tetap walaupun posisi matrix
berubah baris menjadi kolom atau kolom menjadi baris
(Transpose matrix)
 Jika dua baris atau kolom di tukarkan tempatnya maka
nilainya menjadi (-)
 Jika ada dua baris/kolom yang identik maka harga
determinannya akan = 0
 Jika elemen salah satu baris atau kolom semua dikalikan
dengan faktor yang sama maka nilai determinanya pun
akan dikalikan dgn faktor yang sama pula
 Jika elemen salah satu baris/kolom ditambah/dikurangi
dgn kelipatan elemen baris atau kolom lain maka nilai
determinannya akan tetap
ADJOIN MATRIX BUJUR SANGKAR
Matrix yang berkenaan dengan perhitungan
invers matrix
Langkah pembentukan adjoint matrix
1. Membentuk matrix Kofaktor {C}
{C} =
{
A11 A12 A13
A21 A22 A32
A31 A32 A33
}
2. Mentranspose matrix kofaktor {C}T
{
{C}T =
A11 A21 A31
A12 A22 A32
A13 A23 A33
}
Contoh
INVERS MATRIX
 Merupakan kebalikan dari matrix
1
Invers Matrix = {A}-1 =
{adjoin}
det
 Pembentukan Invers Matrix
1. Hitung determinan A = IAI
2. Bentuk matrix C yg elemenya adalah
kofaktor elemen IAI
3. Bentuk Transpose matrix C = {C}T
4. Membagi dgn determinan A = IAI
5. Akan terbentuk invers matrix
Contoh