Transcript Les multiperspectives du lemme de Yoneda pour comprendre la musique Alexandre Grothendieck Guerino Mazzola U & ETH Zürich [email protected] www.encyclospace.org.

Les multiperspectives
du
lemme de Yoneda
pour
comprendre la musique
Alexandre Grothendieck
Guerino Mazzola
U & ETH Zürich
[email protected]
www.encyclospace.org
• Lemme de Yoneda
• Exemples dans la musique
• Isomorphisme Riemann-Fux
• Lemme de Yoneda
• Exemples dans la musique
• Isomorphisme Riemann-Fux
Préfaisceaux ensemblistes sur une catégorie C:
F: C  Ens: A ~> F(A)
A@F
avec des applications de transition
A = adresse
f A@F
„point de F à valeur
dans A“
u@F: B@F  A@F pour u: A  B
ayant ces propriétés: 1A@F = 1A@F
v: A  B, u: B  C
u·v: A  C
(u·v)@F = v@F · u@F
préfaisceaux = foncteurs contravariants
Morphismes de préfaisceaux sont les transformations naturelles
h: F  G
Propriétés: Pour toute adresse A, on a une application d‘ensembles
A@h: A@F  A@G
de sorte qu‘on ait le diagramme commutatif suivant pour
tout morphisme u: A  B dans C:
B@F
B@h
u@F
A@F
B@G
u@G
A@h
A@G
C@ = catégorie des préfaisceaux sur C
Exemple: Préfaisceaux représentables.
Pour un objet X de C, on définit
@X: C  Ens
A@X = Hom(A,X) = hX(A)
Cette application X ~> @X définit le foncteur de Yoneda:
@: C  C@
g: X  Y
A@g: A@X  A@Y: u ~> g·u
@: Hom(X,Y)  Hom(@X,@Y)
Lemme de Yoneda
Le functeur @: C  C@ est pleinement fidèle:
@: Hom(X,Y) ≈ Hom(@X,@Y)
En particulier, X ≈ Y si et seuelement si @X ≈ @Y
C@
@C
C
Esquisse de la preuve. Le lemme découle d‘un énoncé plus général:
Pour tout objet X de C et pour tout préfaisceau F de C@, on a une
bijection
a: X@F  Hom(@X, F)
Pour tout f X@F et tout morphisme g:A  X de C, on pose
a(f)(g) = g@F(f)
Son inverse est
b: Hom(@X, F) X@F
ayant pour la transformation naturelle q: @X  F la valeur
b(q) = X@q(IdX)
Finalement, prendre F = @Y, d‘où lemme de Yoneda.
Alexandre Grothendieck
Euclide d‘Alexandrie:
punctus est cuius pars
nulla est
C = Mod:
• Modules A,B,... = objets (adresses);
• morphismes (di)affines
g: A  B
g = Tb ·f
f:A  B (di)linéaire
Tb: B  B: x ~> b+x
g(x) = Tb ·f(x) = b+f(x)
A@B = TB ·Lin(A,B)
A=0
0@B = TB ·Lin(0,B) ª B
Ens
produits cartésiens X  Y
réunions disjointes X Y
ensembles puissance XY
charactéristiques c:X —> 2
pas d‘„algèbre“
Mod@
F: Mod —> Ens
préfaisceaux
ont toutes ces
propriétés
@Mod
sommes directes A≈B
possède de l‘„algèbre“
pas d‘ensembles puissance
pas de charactéristiques
• Lemme de Yoneda
• Exemples dans la musique
• Isomorphisme Riemann-Fux
Classes d‘hauteurs (demi-tons) tempérées
0
5
4
2
O={
11
0
x
1
2
10
9
7
}
11
Objet (zéro)
ponctuel
d‘Euclide
3
9
8
4
7
6
5
Ÿ12 ª 0@Ÿ12
Ÿ12
Ÿ12
S
A@B = TB ·Lin(A,B)
A = Ÿ11, B = Ÿ12 (R = Ÿ)
série: S  Ÿ11@Ÿ12 = TŸ12 ·Lin(Ÿ11, Ÿ12)
ª Ÿ1212
I
II
III
IV
V
VI
VII

}
objet ponctuel
d‘Euclide
T
II
F
F
F
T
F
Ÿ12 =
F
T
F
F
F
objet de vérité (booléen)
pour ensembles
= 2

O={
F
F
T
accord =
morphisme de
Ÿ12 dans objet de
vérité
• Lemme de Yoneda
• Exemples dans la musique
• Isomorphisme Riemann-Fux
Accords circulaires
do
Ÿ12
do = 0
 (p) = 3p+7


{do, (do), 2(do),...}
= {do, mi, sol}
= triade majeure
sol

mi
On a un modèle de l‘harmonie de Hugo Riemann:
tons auto-adressés
x: O Ÿ12
O={
}
O
x
objet ponctuel
d‘Euclide
x: Ÿ12 Ÿ12
z: Ÿ12 Ÿ12
z Ÿ12@Ÿ12
Modèle de l‘harmonie de Riemann (Noll 1995)
triade de dominante {sol, si, re}
triade de tonique {do, mi, sol}
Dt
Tc
f
Trans(Dt,Tc) = < fŸ12@Ÿ12 | f: Dt Tc >
Ÿ12  Ÿ3 Ÿ4
11
0
1
10
z ~> (z mod 3, -z mod 4)
4.u+3.v <~ (u,v)
2
3
9
8
4
7
6
5
8
11
4
3
7
0
5
6
2
9
1
10
Ÿ12
Ÿ12[e]= Ÿ12[X]/(X2)
c+e.d
c
c+e. Ÿ12
Dichotomie consonance-dissonance
Ÿ12 = K D
disjoint, #K = #D = 6
K = {0, 3, 4, 7, 8, 9}, D ={1, 2, 5, 6, 10, 11}
Ke = Ÿ12 +e.{0,3,4,7,8,9} = intervalles consonants
De = Ÿ12 +e.{1, 2, 5, 6, 10, 11} = intervalles dissonants
a + e.b
Ke = Ÿ12 +e.{0,3,4,7,8,9} = consonances
T e.2.5
De = Ÿ12 +e.{1,2,5,6,10,11} = dissonances
Ÿ12  Dt, Tc
Ÿ12
 0 @ Ÿ12
changer adresse
tons constants
Trans(Dt,Tc)
Ke, De
intervalles unisson
Ÿ12 ƒ Ÿ[e]  Ÿ12[e]
 0 @ Ÿ12[e]
Ÿ12 @ Ÿ12
ƒe
ext. scalaires
ƒe
changer adresse
intervalles constants
(Ÿ12 @ Ÿ12) ƒ Ÿ[e]  Ÿ12 [e] @ Ÿ12 [e]
Trans(Ke,Ke)
Ke, De
ƒe
Ÿ12
ch.ad
Ÿ12[e]
Trans(Dt,Tc) = Trans(Ke,Ke)|ƒe
Ÿ12 @ Ÿ12
Trans(Dt,Tc)
ch.ad
Ÿ12 [e] @ Ÿ12 [e]
ƒe
Trans(Ke,Ke)
Birkhäuser 2002
1368 pages, hardcover
incl. CD-ROM
ISBN 3-7643-5731-2
English