Transcript Mean-Variance Analysis TIØ4137 Financial Optimization and Risk Management Context of risk-return portfolio optimization Portfolio optimization Implementation performance  Dynamics New information min E Q( x, r ) x risk T x   n x.

Mean-Variance Analysis
TIØ4137
Financial Optimization and Risk Management
Context of risk-return portfolio
optimization
Portfolio optimization
Implementation
performance

Dynamics
New information
min E Q( x, r )
x
risk
T x  
n
x 1, xi 0
i
1 i
Market data
Statistical
processing
TIØ4137
Financial Optimization and Risk Management
Hovedpunkter
• Studere (performance) for porteføljer med
hensyn på utbytte (forventet profitt) og
risiko (varians)
• Formulere klassisk kvadratisk
programmeringsmodell
TIØ4137
Financial Optimization and Risk Management
3.2 Mean-Variance Optimering
• Markowitz 1952
• Trade-off mellom porteføljens utbytte og risiko
• Basis for mange risk management verktøy brukt
i dag
• Mean-Variance analyse som
– positivt verktøy: Støtter hypotese om hvordan
finansielle markeder eller inverstorer oppfører seg.
Eksempel: CAPM
– normativt verktøy: Beslutningsstøtte, konstruksjon av
effektive porteføljer
TIØ4137
Financial Optimization and Risk Management
Effektiv portefølje
• Maximalt forventet utbytte gitt en øvre
begrensning for risiko
eller
• Minimal risiko for et gitt forventet utbytte
TIØ4137
Financial Optimization and Risk Management
3.2.1 Kanonisk formulering
• Bestem optimal
proporsjonal allokering xi for aktiva nr. i
n
xi  1
hvor

i 1
slik at krav for effektiv portefølje er tilfredsstilt
• Forventet utbytte for portefølje:
n
R( x; r )   ri xi
i 1
• Varians:
n
n
i 1
i'
 2 ( x)   [( R( x; r )  R( x; r )) 2 ]   ii ' xi xi '
Matriseform:
 2 ( x)  xT Qx
TIØ4137
Financial Optimization and Risk Management
Maksimer forventet utbytte
Max
R ( x; r )
s.t.
 2 ( x)  
n
x
i 1
i
1
• ω: øvre grense for risiko
• Ikke-lineær restriksjon  vanskelig å løse
TIØ4137
Financial Optimization and Risk Management
Minimer varians
Min
1 2
 ( x)
2
s.t.
R( x; r )  
n
x
i 1
i
1
μ: nedre restriksjon for forventet utbytte
• Lineære restriksjoner
TIØ4137
Financial Optimization and Risk Management
Minimer varians (forts.)
• Analytisk løsning ved kvadratisk programmering:
x*    Q 1   1Q 11
  Lagrange-multiplikator for restriksjon for
forventet utbytte
 1 Lagrange-multiplikator for
normaliseringsskranken
• Variering av μ tilsvarer generering av ulike
porteføljer
TIØ4137
Financial Optimization and Risk Management
Minimer varians (forts.)
•
Efficient frontier:
• Porteføljen med lavest varians: Global
minimum variance portfolio
TIØ4137
Financial Optimization and Risk Management
Minimering av varians ved
risikofritt aktiva
1 2
 ( x)
2
Min
s.t.  (r
n
i 1
i
 rf ) xi    rf
xf: beholdning av risikofritt aktiva
• Analytisk løsning:
x*    Q 1 (   rf )
n
x  1   xi*
*
f
TIØ4137
i 1
Financial Optimization and Risk Management
Minimering av varians ved
risikofritt aktiva
• One-fund Theorem:
Når det finnes et risikofritt aktiva i mengden av mulige
investeringsmuligheter, vil enhver effektiv portefølje bli representert
ved en kombinasjon av det risikofrie aktiva og en enste portefølje T
med risiko
• Portefølje T: Tangency portfolio
• Efficient frontier utvides med et lineært segment,
stigningstall  rT  rf  /  T (Sharpe ratio)
TIØ4137
Financial Optimization and Risk Management
Efficient frontier
• Multi-objective nonlinear program: Målfunksjon
er vektet kombinasjon av utbytte og risiko
2
Min  ( x)  (1   ) R( x; r )
n
s.t.  xi  1
i 1
x X
• λ: Vekting av risiko. For hver verdi av λ finnes
en optimal portefølje
• X: Mengde av lovlige løsninger
TIØ4137
Financial Optimization and Risk Management
Generelle formuleringer
• Eksplisitte forutsetninger for generering av meanvariance efficient frontiers:
– Investorer vurderer kun forventet utbytte og varians for
porteføljen
– Investorer velger porteføljen med lavest mulig varians for et gitt
utbytte
– Investeringen skjer over en periode, som tilsvarer
risikohorisonten til modellen
• Implisitte forutsetninger i den kanoniske modellen:
– Investorer kan selge short
– Investorenes beslutninger påvirker ikke markedspris, og
likviditetsrisiko fanges ikke opp
– Investeringer i deler av aksjer mulig
– Ingen transaksjonskostnader/skatter
TIØ4137
Financial Optimization and Risk Management
Restriksjon på short sale
• Short salg ekskludert ved å kun tillate positive posisjoner
xi  0 for alle i.
• Uten short salg: Mange variabler settes til null
• Maximum grense for investert beløp i én aktiva
0  xi  xi
for alle i
x : vektor for øvre grenser
– Feil i estimering av utfall og kovarianser  porteføljen trekkes mot
overestimerte aktiva. Max restriksjon minsker denne feilen
– Markedspriser påvirkes i større grad ved trading av store
posisjoner
TIØ4137
Financial Optimization and Risk Management
Generelle restriksjoner
• Politiske/ regulatoriske krav begrenser investeringen i
spesielle sett av aktiva. Eks:
– Begrense kreditt- og valutarisiko
– Begrense likviditetsrisiko i små markeder
• Beskrives vha lineære restriksjoner på formen
n
aij xi  b j
evt.  eller =

i 1
for risikokategorier j = 1,...,K
aij = 0
hvis aktiva i ikke tilhører risikokategori j

hvis aktiva i tilhører risikokategori j
1
TIØ4137
Financial Optimization and Risk Management
We developed capability to compute efficiently VaR-optimal portfolios
Now what?
- Serious experiments with portfolios of interest to
institutional investor
- 8 Morgan Stanley equity price indices for US, UK, Italy,
Japan, Argentina, Brasil, Mexico, Russia
- 8 J.P. Morgan bond indices for the same markets
- time range: January 1, 1999 – May 15, 2002
- totally 829 daily price data
- A nice set to test risk management ideas: 11 September
2001, Argentinian crisis July 2001, …
- more than 80000 mean-VaR optimization problems
solved
TIØ4137
Financial Optimization and Risk Management
Turbulent times …
J.P. Morgan Bond Indices (Developed Markets and EMBI+ for
Emergin Markets) Argentina JPEMAR Index USD
250.0000
200.0000
150.0000
100.0000
50.0000
TIØ4137
Financial Optimization and Risk Management
865
811
757
703
649
595
541
487
433
379
325
271
217
163
109
55
1
0.0000
Turbulent times …
Morgan Stanley Equity Indices* USA MSDUUS Index USD
1600.0000
1400.0000
1200.0000
1000.0000
800.0000
600.0000
400.0000
200.0000
TIØ4137
Financial Optimization and Risk Management
881
826
771
716
661
606
551
496
441
386
331
276
221
166
111
56
1
0.0000
Risk-return tradeoff
performance
in-sample efficient frontier

out of sample image of efficient frontier
risk
Past contains no information about the future
TIØ4137
Financial Optimization and Risk Management
In sample mean-variance frontier and its out of
sample image
12
10
return (%)
8
6
4
2
0
TIØ4137
0
1
2
3
4
StDev (%)
5
6
Financial Optimization and Risk Management
7
8
Out of sample drift of in sample mean-variance
frontier
6
5
return (%)
4
3
2
1
0
TIØ4137
0
0.5
1
1.5
2
2.5
StDev (%)
3
3.5
4
Financial Optimization and Risk Management
4.5
5
Straighforward rebalancing
1.35
1.3
transaction costs 1%
no transaction costs
target return
out of sample return
1.25
Portfolio value
1.2
1.15
1.1
1.05
1
0.95
24/04/00
02/08/00
10/11/00
18/02/01
29/05/01
06/09/01
15/12/01
Date
TIØ4137
Financial Optimization and Risk Management
25/03/02
03/07/02
Partial rebalancing
1.35
1.3
transaction costs 1%
no transaction costs
target return
out of sample return
1.25
Portfolio value
1.2
1.15
1.1
1.05
1
0.95
24/04/00
02/08/00
10/11/00
18/02/01
29/05/01
06/09/01
15/12/01
Date
TIØ4137
Financial Optimization and Risk Management
25/03/02
03/07/02
Partial rebalancing: low risk portfolio
1.6
transaction costs 1%
no transaction costs
target return
out of sample return
Portfolio value
1.5
1.4
1.3
1.2
1.1
1
0.9
24/04/00
02/08/00
10/11/00
18/02/01
29/05/01
06/09/01
15/12/01
Date
TIØ4137
Financial Optimization and Risk Management
25/03/02
03/07/02
Partial rebalancing: medium risk
portfolio
1.6
transaction costs 1%
no transaction costs
target return
out of sample return
Portfolio value
1.5
1.4
1.3
1.2
1.1
1
0.9
24/04/00
02/08/00
10/11/00
18/02/01
29/05/01
06/09/01
15/12/01
Date
TIØ4137
Financial Optimization and Risk Management
25/03/02
03/07/02
Partial rebalancing: high risk portfolio
1.6
transaction costs 1%
no transaction costs
target return
out of sample return
Portfolio value
1.5
1.4
1.3
1.2
1.1
1
0.9
24/04/00
02/08/00
10/11/00
18/02/01
29/05/01
06/09/01
15/12/01
Date
TIØ4137
Financial Optimization and Risk Management
25/03/02
03/07/02
Fraction of US bonds in high risk
portfolio
70
60
Fraction of asset in portfolio (%)
50
40
30
20
10
0
02/08/00
10/11/00
18/02/01
29/05/01
06/09/01
15/12/01
25/03/02
Date
TIØ4137
Financial Optimization and Risk Management
03/07/02
Fraction of Argentinian bonds in high risk portfolio
9
8
Fraction of asset in portfolio (%)
7
6
5
4
3
2
1
0
02/08/00
10/11/00
18/02/01
29/05/01
06/09/01
15/12/01
25/03/02
Date
TIØ4137
Financial Optimization and Risk Management
03/07/02