Transcript Vektor Vektor memiliki besaran dan arah. Beberapa besaran fisika yang dinyatakan dengan vektor seperti : perpindahan, kecepatan dan percepatan. Skalar hanya memiliki besaran saja, contoh : temperatur,

Vektor
Vektor memiliki besaran dan arah.
Beberapa besaran fisika yang
dinyatakan dengan vektor seperti :
perpindahan, kecepatan
dan percepatan.
Skalar hanya memiliki besaran saja,
contoh : temperatur, tekanan, energi,
massa dan waktu.
B E S A R A N
Skalar
Vektor
massa, waktu,
jarak
kecepatan, percepatan,
gaya
Vektor direpresentasikan dengan simbol anak panah
Arah
Besar
Penulisan vektor
Vektor
Fˆ
F = |F| Fˆ
vektor satuan
Vektor
atau
F = F
besar vektor
2
Penjumlahan Vektor
s  a b
Mengikuti hukum :
• Komutatif
:
a b  b a
Assosiatif :
(a  b )  c  a  (b  c )
Vektorb adalah vektor yang memiliki
besaran yang sama dengan vektor
b
tetapi berlawanan arah, bila
dijumlahkan akan menghasilkan :
(b )  (b )  0
PENJUMLAHAN VEKTOR
DENGAN JJ. GENJANG
A
A
-A
B
A+B=?
-A+B ?
B
B
-A
PENJUMLAHAN VEKTOR
DENGAN POLIGON
A
A+B+C ?
A
B
C
C
-B
B
A+(-B)+C ?
-A+B-C=?
C
A
CONTOH LAIN
SIFAT VEKTOR
PENJUMLAHAN DENGAN
F =10 N GRAFIS
1
30O
F2=10 N
X
Y
120O
30O
1 cm mewakili 2 N
PENJUMLAHAN DENGAN
COSINUS
 V2  2.V1.V2 . cos 
VV
21
2
2
θ

HASIL RESULTAN DAPAT
DIHITUNG DENGAN RUMUS
COSINUS:
R=
V1  V2  2.V1.V2 . cos 
2
R
2
V1
V1  V2  2.V1.V2 . cos 
2
2
KOMPONEN VEKTOR
FY
Contoh: F= 10 N,
ao=
30
Maka komponen vektor F adalah
FX= F COS ao
1
O=
10
.
3  5 3N
= 10. COS 30
2
FY= F SIN ao
= 10. SIN 30O
= 10. (1/2)=5 N
F
aO
FX
y
F2
MENJUMLAH VEKTOR
SECARA
ANALITIS
F2sin2
F1sin1
2
F1
3
F3cos3
F2cos2
1
x
F1cos1
F3sin3
F3
Vektor
Sudut
F1
F2
F3



Jumlah
Komponen pd sumbu
X
Y
F1cos
F1sin
F2cos
F2sin
F3cos
F3sin
RX =…..
RY = ….
R=
RX2 + RY2
CONTOH PENJUMLAHAN
VEKTOR SECARA ANALISIS
.
Y
B
A
60O
30O
45O
C
ARAH VEKTOR R:
Tan θ=Ry/Rx
X
KONSEP PENTING:
- URAIKAN SETIAP
VEKTOR MENJADI
KOMPONENNYA
- BUAT TABEL DAN ISI
- JUMLAHKAN
KOMPONEN VEKTOR
YANG KEARAH
SUMBU-X(DEMIKIAN
PADA SUMBU-Y)
- HITUNG RESULTAN
(R), DAN ARAHNYA
R=
RY  R X
2
2
ANALISIS PADA TABEL
VEKTOR
NILAI
VEKTOR
(SATUAN)
A
SUDUT
KOMP.
VEKTOR -X
KOMP.
VEKTOR - Y
20
30O
10√3
10
B
20
120O
-10
10√3
C
40
225O
-20√2
-20√2
JIKA √2=1,4 DAN √3=1,7
MAKA JUMLAH RESULTANTE SBB
RRX=…….
RY=
=-21
RY…….
=-1
X
HITUNG BESAR R
DAN ARAHNYA?
BESAR R=√(-21)2+(-1)2
=√441+1
=√442
= 21,…. SATUAN
ARAH R
TAN AO=RY/RX
= (-1/-21)
= …..
AO=…..
EXERCISE
1.
Tentukan Resultante dari :
a. – A – B (Jajaran genjang)
b. – A – B + C (Poligon)
c. – A + B (Grafis)
2.
Tiga buah vektor gaya masing-masing 20 N, 5 N, dan 20 N
membentuk sudut 60o, 150o, dan 315o terhadap sumbu X
positif, tentukan:
a. gambarnya
b. komponen-komponen vektornya
c. tabel analisis vektornya
d. Resultante dan arahnya
Komponen vektor
• merupakan proyeksi vektor pada sumbu sistem
koordinat
Komponen vektor : a ax  a cos dan ay  a sin 
disebut komponen skalar atau komponen
Besar vektor a: a  a  a
2
x
2
y
dan
ax
tan  
ay
Khusus untuk penjumlahan 2 vektor (a dan b),
besar vektor s dapat dicari dengan rumus :
s  a2  b2  2ab cos
Dalam perhitungan vektor dibutuhkan rumus
trigonometri :
Dalil cosinus : a 2  b 2  c 2  2 bc cos 
b 2  a 2  c 2  2 ac cos 
c 2  a 2  b 2  2 ab cos 
Dalil sinus :
a
b
c


sin  sin  sin 
Vektor satuan:
Vektor satuan pada arah positif sumbu x, y dan z
diberi tanda : iˆ, ˆj dan kˆ
Kita dapat tulis vektor a dan b sebagai berikut :
a  axiˆ  ay ˆj
b  bxiˆ  by ˆj
disebut komponen vektor
Penjumlahan vektor dengan komponen
s  a  b , setiap komponen s sama dengan
komponen a  b
s x  a x  bx
s y  a y  by
s z  az  bz
Perkalian vektor :
• Perkalian vektor dengan skalar :
Jika vektor a dikalikan dengan skalar s akan
menghasilkan vektor baru dengan besar nilai
absolute s dengan arah a jika s positif, dan
berlawanan arah jika s negatif. Vektor a dibagi
dengan s berarti kita mengkalikan a dengan 1/s.
• Perkalian vektor dengan vektor :
Menghasilkan skalar : Scalar Product
Dikenal sebagai : Dot product
a.b  ab cos 
Dituliskan secara komponen bagian sebagai berikut :
a.b  (a cos  )(b)  (a)(b cos  )
Scalar product berlaku hukum komutatif
a.b  b.a
Jika ditulis dalam vektor satuan, maka perkalian scalar :
a.b  (axiˆ  ay ˆj  az kˆ).(bxiˆ  by ˆj  bz kˆ)
Diperoleh hasil akhir sebagai berikut :
a.b  axbx  ay by  az bz
Menghasilkan vector : Vector Product
Dikenal sebagai : Cross Product
a xb c
Dengan besar c adalah :
c  ab sin 
a
Besaran
xb
ditulis a x b  0 jikaa // b
b
dan maksimum a
jika
Arah dari vektor ctegak lurus bidang yang berisi vektor
a dan b dikenal sebagai hukum tangan kana
b x a  (a x b )
Penulisan dalam vektor satuan :
a x b  (axiˆ  a y ˆj  az kˆ) x (bxiˆ  by ˆj  bz kˆ)
axiˆ x bxiˆ  axbx (iˆ x iˆ)  0
axiˆ x by ˆj  axby (iˆ x ˆj )  axby kˆ
Hasil akhir :
a x b  (aybz  by az )iˆ  (azbx  bz ax ) ˆj  (axby  bx ay )kˆ
Latihan soal :
• Dua buah vektor a dan b bertitik tangkap sama
saling mengapit dengan sudut  . Jika besar vektor a
dua kali vektor b dan a  b  3 a  b , hitung  !
2
2
a

b

a

b
 2 ab cos
Jawab :
a  b  a 2  b2  2 ab cos
a2  b2  2 ab cos  
3 a2  b2  2 ab cos 
16 b 2 cos   10 b 2
  51,320
• Dua buah vektor yang besarnya 8 dan 15 satuan saling
mengapit dengan sudut 45. Hitung besar resultannya dan
sudut antara resultan dengan vektor pertama.
Jawab :
r  v12  v22  2 v1v2 cos 450
r
458, 7
r  21, 4 satuan
Sudut antara resultan dengan vektor pertama dapat dicari
dengan 2 cara : dalil cosinus atau dalil sinus
Dalil Cosinus : v22  v12  r 2  2v1r cos 
297, 7  342, 4 cos    =29,60
Dalil Sinus :
v2
r

sin  sin 1350
15(0, 707)
sin  
  =29,70
21, 4
ˆ
j4 k
• Diketahui 3 buah vektor a  1 iˆ  3 ˆ
ˆ
b  1 iˆ  2 ˆ
j2 k
ˆ
c  3 iˆ  1 ˆ
j 3 k
Hitung besar vektor r dan sudut antara vektor ini dengan sumbu z
jika r  2a  b  c. Hitung juga sudut antara vektora dan b !
Jawab :
r  (2)iˆ  (7) ˆj  (13)kˆ  r  (2) 2  (7) 2  (13) 2  14,9 satuan
• Suatu vektor a dalam bidang xy mempunyai besar 5
satuan dan arahnya
terhadap sumbu x positif. Vektor
2520
b
mempunyai besar 4 satuan dan arahnya searah sumbu y.
Hitung besar perkalian titik dan perkalian silang kedua
vektor tersebut.
Jawab :
0
2520  90
 1620 antara kedua vektor tersebut adalah:
Sudut
terkecil
Sehingga
diperoleh :
a . b  ab cos   (5)(4) cos1620  19 satuan
a x b  ab sin   (5)(4) sin1620  6,18 satuan
VEKTOR SATUAN
Vektor dapat dituliskan dalam vektor-vektor satuan. Sebuah
vektor satuan mempunyai magnitudo/ukuran yang besarnya
sama dengan satu (1). Vektor satuan dalam sistem
koordinat kartesis dinyatakan dengan i, j dan k yang saling
tegaklurus.
Vektor A dapat ditulis:
y

A  Ax iˆ  Ay ˆj  Az kˆ
A
atau
A  Ax i  Ay j  Az k
j
k
z
i
x
dan

A
Aˆ 
A
PERKALIAN VEKTOR
• Perkalian titik
A.B = AB cos 
A.B = AxBx + AyBy + AzBz
• Perkalian Silang
C=AxB
C = AB sin 
Cx = AyBz – AzBy
Cy = AzBx – AxBz
Cz = AxBy – AyBz
B

A
C
B

A
ALJABAR VEKTOR
Kesamaan vektor
Penjumlahan vektor
Pengurangan vektor
Perkalian vektor dengan
bilangan real
Kesamaan Vektor
Misalkan:
a = a1i + a2j + a3k dan
b = b1i + b2j + b3k
Jika: a = b , maka a1 = b1
a2 = b2 dan
a3 = b3
Contoh
Diketahui:
a = i + xj - 3k dan
b = (x – y)i - 2j - 3k
Jika a = b, maka x + y = ....
Jawab:
a = i + xj - 3k dan
b = (x – y)i - 2j - 3k
a=b
1=x-y
x = -2; disubstitusikan
1 = -2 – y;  y = -3
Jadi x + y = -2 + (-3) = -5
Penjumlahan Vektor
 a1 
 b1 
Misalka a   a  da b   b 
 2
 2
n:
b 
a  n
 3
 3
Jika: a + b = c , maka
vektor
 a1  b1 


c   a 2  b2 
a b 
 3 3
Contoh
p
 3 
Diketah a   - 2p b   6 
 
 
ui:
 3
 -1 
  - 5   
 
da
c   4q 
n
2
 
Jika a + b = c , maka p –
q =....
jawab:
=c
a+b
 3   p    5
     
 - 2p   6    4q 
 -1   3  2 
     
 3  p    5

  
   2 p  6   4 q 
 (1)  3   2 

  
 3  p    5

  
  2 p  6   4 q 
+
p
 (1)  3



3
2

  
= -5  p = -
8
-2p + 6 = 4q
16 + 6 = 4q
22 = 4q  q =
5½;
Jadi p – q = -8 –
5½
= -13½
Pengurangan
Vektor
Misalkan:
a = a1i + a2j +
a3k dan
b = b1i + b2j +
b3k a - b = c , maka
Jika:
c =(a1 – b1)i + (a2 – b2)j
+ (a3 - b3)k
Perhatikan
Ygambar:
B(2,
4)
b
vektor AB - 2 
3
 
=
A(4,1vektor
posisi:
)
a
titik
A(4,1)
X
O
 4
adalah:
a   
1
 2
b   
titik B(2,4)
 4
adalah:
vektor AB  - 2 
3
=
 
 4
a   
1
 2
b   
 4
 2 4
b  a       
4   1
Jadi secara
umum:
- 2
   AB
3
AB  b  a
Contoh
1
Diketahui titik-titik A(3,5,2)
dan
B(1,2,4). Tentukan
komponenJawab: vektorABAB
ba
komponen
1  3   2
  2
     
 
 2  -  5     3  Jadi AB    3 
 4  2  2 
 2 
     
 
Contoh
2
Diketahui
titik-titik
P(1,3,0)
dan Q(1,2,-2).
Tentukan panjang
vektor PQ
(atau jarak P ke Q)
Jawab:
1
 
 p2
P(1,2,-2)
  2
 
  1
 
 q3
Q(0
1,3,0)
 
 - 1  1    2 
     
 3  -  2   1 
0   - 2   2 
PQ = q – p =
2 
 
PQ  1 
  2
 
PQ  2  (1)  (2)
2
Jadi PQ  9  3
2
2
Perkalian Vektor dengan Bilangan Real
 a1 
Misalka a   a  dan
 2  m = bilangan
n:
a 
 3  real
Jika: c = m.a,
 a1   m.a1 
maka
  

c  m a 2    m.a 2 
 a   m.a 
3
 3 
Contoh
2
2
  da
 
Diketah
a   - 1
b   - 1
ui:
6 n
4
 
 
Vektor x yang memenuhi
a – 2x = 3b adalah....
Jawab: x1   2   x1   2 








misalx   x 2     1  2 x   3  1
x 
 3
6
 
2
x 
 3
 4
 