Transcript Kuliah_8(integer programming)

Integer Programming
Pendahuluan
 Dalam penerapannya, teknik optimasi sering menggunakan
variable yang bukan bertipe real, tetapi menggunakan tipe
variable yang lain seperti integer atau biner (yang merupakan
bagian tipe variable integer)
 Dalam kasus seperti ini, bentuk permasalahan optimasi
adalah:
min f ( x )
dengan kendala :
Ax  b , x  0
 Selain fungsi kendala tersebut, dalam proses penyelesaiannya
beberapa atau seluruh variable harus bernilai integer nonnegatif ( x  Z )
i
Metode Branch and Bound (1)
 Terdiri dari beberapa sub-permasalahan, penyelesaian dan
analisis keadaan optimal dari setiap sub-permasalahan sampai
pada penyelesaian optimal permasalahan utama.
 Prinsip metode ini adalah:
 Dalam penentuan titik optimal x(0), ada dua keadaan yang
terjadi,
 Jika x(0) memenuhi semua kendala, maka titik tersebut merupakan
penyelesaian sementara dan sub-permasalahan diabaikan.
 Jika x(0) tidak memenuhi semua kendala, maka pilih salah satu dari variable
berikut ini,
(0)
xi

 ( k , k  1), k  Z , i  I
Dan tambahkan ke sub-permasalahan yang ada dan dianalisis pada titik
“percabangan” tersebut yang diperoleh dengan menambahkan pada
fungsi kendala xi ≤ k untuk cabang yang satu, dan xi ≥ k+1
Metode Branch and Bound (2)
 Setelah diperoleh titik penyelesaian sementara x*, sub-
permsalahan yang telah diperoleh sebenarnya dianalisis
dengan prosedur berikut ini:
 Jika cx*≤ cx(0), sub-permasalahan tersebut tidak digunakan lagi,
karena tidak menghasilkan nilai penyelesaian yang lebih baik,
pilih sub-permasalahan yang lain.
 Jika cx*> cx(0) dan memenuhi syarat-syarat fungsi kendala
secara keseluruhan, x* merupakan penyelesaian sementara yang
baru menggantikan x(0) dan sub-permasalahan lainnya dianalisis
 Jika cx*> cx(0) dan tidak memenuhi syarat-syarat fungsi kendala
secara keseluruhan, buatlah percabangan baru sesuai prosedur
percabangan.
Metode Branch and Bound (3)
Contoh I
 Soal:
 Minimize Z=3x2 + 2x3
 Dengan fungsi kendala:
 2x1 + 2x2 − 4x3 = 5
 4x2 + 2x3 ≤ 3
 xi ≥ 0, x1, x3 ∈ Z (integer)
Penyelesaian Contoh I (1)
 Persoalan dengan variable real adalah:
Min Z  3 x 2  2 x 3
Dengan fungsi kendala :
2 x1  2 x 2  4 x 3  5
4 x2  2 x3  3
x1 , 2 , 3  0
 Memiliki titik solusi optimum di (5/2,0,0)
 Karena x1 bukan merupakan integer, maka percabangan harus
dibuat berdasarkan nilai x1 tersebut.
 Sampai pada tahap ini masih belum diperoleh titik solusi
sementara
Penyelesaian Contoh I (2)
 Hasil percabangan adalah berupa dua sub-permasalahan
berikut ini:
Min Z  3 x 2  2 x 3
Dengan fungsi kendala :
2 x1  2 x 2  4 x 3  5
4 x2  2 x3  3
x1  2 , x 2 , 3  0
Memiliki titik solusi
(2,1/2,0)
dengan nilai Z = 3/2
Hasil ini memenuhi kendala
dan digunakan sebagai titik
solusi sementara
 Dan
Min Z  3 x 2  2 x 3
Dengan fungsi kendala :
2 x1  2 x 2  4 x 3  5
4 x2  2 x3  3
x1  3 , x 2 , 3  0
Memiliki titik solusi (3,0,1/4)
dengan nilai Z = ½
Titik solusi ini belum memenuhi
kendala tetapi nilai Z lebih baik,
jadi harus dilakukan percabangan
Penyelesaian Contoh I (3)
 Hasil percabangan berikutnya adalah:
Min Z  3 x 2  2 x 3
Dengan fungsi kendala :
2 x1  2 x 2  4 x 3  5
4 x2  2 x3  3
x1  3 , x 3  0 , x 2  0
Sub-permasalahan ini bersifat infeasible
(tidak memiliki solusi)
Hal ini disebabkan pada saat nilai x3 = 0
tidak memenuhi semua kendala.
Dengan demikian sub-permasalahan ini
dihilangkan
 Dan
Min Z  3 x 2  2 x 3
Dengan fungsi kendala :
2 x1  2 x 2  4 x 3  5
4 x2  2 x3  3
x1  3 , x 3  1, x 2  0
Memiliki titik solusi (9/2,0,1)
dengan nilai Z = 2
Hasil nilai Z ini memiliki nilai yang lebih
besar dari titik solusi sementara (tidak
lebih baik), jadi sub-permasalahan ini
dihilangkan
Penyelesaian Contoh I (4)
 Dengan demikian, tidak ada lagi sub-permasalahan yang harus
dianalisis dan hanya diperoleh satu titik solusi sementara,
maka titik solusi sementara tersebut merupakan titik solusi
yang optimum dari permasahan pokok.
 Jadi penyelesaiannya adalah:
 Titik optimum terjadi di titik (2,1/2,0)
 Dengan nilai Z sebesar 3/2