Transcript JENIS-JENIS MATRIKS Budi Murtiyasa Jurusan Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Surakarta design by budi murtiyasa ums.

JENIS-JENIS MATRIKS
Budi Murtiyasa
Jurusan Pendidikan Matematika
Universitas Muhammadiyah Surakarta
2008
design by budi murtiyasa ums
2008
JENIS-JENIS MATRIKS
Matriks Echelon
(i) setiap baris yang semua unsurnya nol (jika ada) terletak sesudah
baris yang mempunyai unsur tidak nol
(ii) pada setiap baris yang mempunyai elemen tidak nol; elemen tidak
nol yang pertama harus terletak di kolom sebelah kanan elemen
tidak nol baris sebelumnya.
 3 1 9 0 2
 

E =  0 0  7 1 7 
 gg 
0 0
0 4 2
 

 0 0
0 0 0 
 



F
 =ggg



0

0
0

0

2
0
0
0
1 0

9 2
0 0

0 0 
1  3 2 0 


G = 0 0 7  2
0 0 0 4 


Elemen (unsur) tidak nol pertama dari suatu baris disebut unsur utama
atau elemen pivot
3, -7, 4 disebut elemen pivot dr matriks E; 2, 9 elemen pivot matriks F;
1, 7, 4 elemen pivot matriks G.
design by budi murtiyasa ums
2008
Matriks Segitiga
Untuk setiap matriks persegi A berdimensi nxn
•Matriks segitiga atas, jika untuk semua i > j, aij = 0.
 a 11

A=  0
 0

 0

a 12
...
a 22
...
0
...
0
...
a1 n 

a2n 
... 

a nn 
2  3 0


B = 0 1 1
0 0 4


C=
 2

 0
 0

 0

3 

0 1  5
0 3 7 

0 0 0 
1 0
•Matriks segitiga bawah, jika untuk semua i < j, aij = 0.
A=
 a 11

 a 21
 ...

a
 n1
0
...
a 22
...
...
...
an2
...
0 

0 
0 

a nn 
 2 0 0


H =  1 3 0
 7 0 9


design by budi murtiyasa ums
2008
K=
 3

1
 0

 0

0
0
2
0
1
3
0
4
0

0
0

7 
Matriks Diagonal
Matriks persegi A berdimensi nxn dengan aij = 0 untuk semua i > j dan i < j.
D=
 d 11

 0
 0

 0

D=
4

0
0

0

0 

.. 0 
.. 0 

.. d nn 
0
..
d 22
0
0
0
0
7
0
0
0
0
0
0 

0 
0 

 5 
D = diag(d11, d22, …, dnn)
Atau
D = diag(4,7,0,-5)
Jika D = diag(d11, d22, …, dnn) dengan d11 = d22 = … = dnn = k, maka
matriksnya disebut matriks skalar
S=
4

0
0

0
4
0
0

0
4 
design by budi murtiyasa ums
2008
Matriks Identitas
Dari matriks skalar jika k = 1, matriknya disebut matriks identitas.
1 0

I2 = 
0 1
3

Andaikan B =  4
0

1

I3 =  0
0

 1

2 
5 
0
1
0
0

0
1 
B I2 = B
Dan
I3 B = B
Matriks Komutatif
Dua matriks persegi A dan B yg berdimensi sama disebut
komutatif (commute) jika berlaku AB = BA.
Sebaliknya, disebut anti komutatif (anti-commute) jika berlaku
AB = - BA.
design by budi murtiyasa ums
2008
Matriks Periodiks
Matriks persegi A yang berlaku Ak+1 = A, dengan k bilangan bulat postip.
Untuk k = 1, berarti A2 = A, maka A disebut idempoten.
Matriks Nilpoten
Matriks persegi A yang berlaku Ap = 0, untuk p bilangan bulat positip.
Matriks Invers
Andaikan A dan B dua matriks persegi berdimensi sama sehingga berlaku :
AB = BA = I, maka B disebut invers A, atau A invers B.
B = A-1
A = B-1
A A-1 = A-1 A = I
B-1 B = B B-1 = I
design by budi murtiyasa ums
2008
Matriks yang mempunyai invers disebut matriks nonsingular atau
matriks yang invertibel.
Sifat :
(A-1)-1 = A
(AB)-1 = B-1 A-1
Matriks involuntory
Matriks persegi A sedemikian hingga berlaku A2 = I.
design by budi murtiyasa ums
2008
Tranpose Matriks
Matriks A = (aij) berdimensi mxn, tranposenya adalah
AT = (aji) yg berdimensi nxm.
Sifat-sifat :
1. (AT)T = A
2. (A + B)T = AT + BT
3. (AB)T = BT AT
design by budi murtiyasa ums
2008
Matriks Simetri
Matriks persegi A = (aij) sehingga berlaku AT = A.
aij = aji
Untuk sembarang matriks persegi A, berlaku : (A + AT) adalah simetri
Untuk sembarang A berdimensi mxn, maka (A AT) adalah simetri.
Matriks Simetri Miring
Matriks persegi A = (aij) sehingga berlaku AT = -A.
aij = - aji
Untuk sembarang matriks persegi A, berlaku : (A – AT) adalah simetri miring
design by budi murtiyasa ums
2008
Conjugate Matriks
Matriks dengan elemen-elemen bilangan kompleks
A = (aij)
A  ( a ij )
8 
 2  3i  4  5 i
A=
 7 i  3  2 i 6  9 i 


8 
 2  3i  4  5 i

A  
  7i  3  2i 6  9i 
Sifat-sifat :
1.
2.
3.
kA  k A
4.
A  A
5.
(A  B)  A  B
( AB )  A B
( A)  ( A )
T
Catatan : Notasi
design by budi murtiyasa ums
2008
T
( A)  ( A )
T
T
AH
Jika A dan B conformable untuk operasi penjumlahan atau perkalian :
1. (AH)H = A
2. (kA)H = k AH
3. (A + B)H = AH + BH
4. (AB)H = BH AH
design by budi murtiyasa ums
2008
Matriks Hermitian
Matriks persegi A sedemikian hingga AH = A.
A
  3
 
 gg  1  2 i
=
 
  i
1  2i
5
 4  7i
  3
 
H
A = gg  1  2 i
 
  i
i


 4  7i 

8

1  2i
5
 4  7i
A
  3
1  2i
i 
 

5
 4  7i 
= g  1  2 i
 


i

4

7
i
8

 
i


 4  7i 
8 
=A
Untuk sembarang matriks persegi A berlaku (A + AH) adalah Hermitian
design by budi murtiyasa ums
2008
Matriks Skew-Hermitian (Hermitian Miring)
Matriks persegi A sedemikian hingga AH = – A.
A
  2i
 
g 3i
= 
   5  4i
3i
0
2  7i

  2i


AH =gg   3  i

 5  4i


5  4i 

 2  7i 
 8 i 
3i
0
 2  7i
A
 5  4i 

2  7i 
8 i 

  2i


=gg  3  i

  5  4i


3i
0
2  7i
5  4i 

 2  7i 

8i

= –A
Untuk sembarang matriks persegi A berlaku (A – AH) adalah Skew-Hermitian
design by budi murtiyasa ums
2008
Matriks Ortogonal
Matrik persegi A sedemikian hingga A AT = I = AT A.
Karenanya, jika A ortogonal maka A-1 = AT
B
 
 
 1
= g  0
 
 
 0
 

0
1
0
3
2
3
4
1
4
2









B BT = I ; jadi B ortogonal
design by budi murtiyasa ums
2008
Matriks Uniter
Matrik persegi A sedemikian hingga A AH = I = AH A.
Karenanya, jika A uniter maka A-1 = AH
design by budi murtiyasa ums
2008
Matriks Normal
Matrik persegi A sedemikian hingga A AT = AT A.
Matrik persegi A sedemikian hingga A AH = AH A.
design by budi murtiyasa ums
2008