Transcript Pemet e Kerkimit Binar Leksion 9 Perkufizime  Një pemë (tree) është një strukturë të dhënash e kapshme duke filluar nga rrënja (root).

Pemet e Kerkimit Binar
Leksion 9
Perkufizime

Një pemë (tree) është një strukturë të dhënash
e kapshme duke filluar nga rrënja (root). Çdo
nyje (node) është ose një gjethe (leaf) ose një
nyje e brendshme (internal node).

Një nyje e brendshme ka një bir (child)ose më
shumë dhe quhet prindi (parent) i nyjeve bija të
veta.

Të gjithë bijtë e të njëjtës nyje janë të të njëjtit
brez (siblings).

Rrënja është elementi i dallueshëm fillestar ose
bazë i një peme. Rrënja është i vetmi element që
nuk ka prind.
Perkufizime

Një nyje është një njësi reference në një strukturë të
dhënash.

Një gjethe është një element fundor i një peme. Një
gjethe është një element pa bij. Ndryshe, një gjethe
quhet nyje e jashtme (external node) ose nyje
fundore (terminal node).

Një nyje e brendshme është një nyje peme që ka një
ose më shumë bij (nyje bija). Një nyje e brendshme
është një nyje peme që nuk është gjethe.
Perkufizime

Një bir është një element i pemës i cili referohet
nga elementi prind. Çdo element përveç rrënjës
është biri i ndonjë prindi.

Prindi i një nyjeje është nyja e pemës
konceptualisht sipër ose më afër rrënjës se nyja
dhe e cila ka një lidhje (link) me nyjen. Sipas
përkufizimit një nyje prind është një nyje e
brendshme.

Një lidhje është një referencë, shënjues
(pointer) apo mënyrë kapjeje për tek një tjetër
pjesë e strukturës së të dhënave. Shpesh, një
adresë kujtese.
Një nyje në një pemë e cila ka të njëjtin prind me
një nyje tjetër quhet e të njëjtit brez me të.
Perkufizime

Një pemë binare (binary tree) është një pemë
me të shumtën dy bij për çdo nyje.

Një pemë e kërkimit binar (binary search
tree) është një pemë binare ku çdo nënpemë e
majtë e nyjes ka çelësa më të vegjël se çelësi
(key) i nyjes dhe çdo nënpemë e djathtë ka
çelësa më të mëdhenj se çelësi i nyjes.

Një nënpemë është pema bijë e një nyjeje.

Një çelës është pjesa e një grupi të dhënash me
anë të së cilës ai (grupi i të dhënave) renditet,
indeksohet, referohet etj.
program pemet_BST;
{Ky eshte nje program ne Pascal qellimi i te cilit eshte ilustrimi i pemeve te}
{ kerkimit binar (Binary Search Tree – BST)}
const
max_lartesi_BST = 32
{lartesia maksimale e pemes BST – nje peme BST}
{mund te kete maksimalisht 2lartesia elemente} ;
type
{E deklarojme pemen e kerkimit binar – BST - si tip te dhenash rekursiv }
{bazuar ne perkufizimin: Nje peme e kerkimit binar – BST - eshte boshe}
{ose perbehet prej rrenjes, nenpemes (BST) se saj te majte dhe te nenpemes }
{(BST) se saj te djathte}
tip_elementi
peme
nyje_peme
= integer;
= ^nyje_peme;
= record
element : tip_elementi;
lidhje
: array [1..2] of peme;
end;
tabele_peme =record
rrenja
: peme;
numri
: integer;
end;
var
p : peme ;
t : tabele_peme;
procedure inicializo (var t : tabele_peme);
{kjo procedure krijon nje peme te kerkimit binar – BSTboshe}
begin {inicializo}
t.rrenja
:= nil;
t.numri
:= 0 ;
end {inicializo};
function bosh (var
p : peme) : boolean;
{ky funksion kthen true n.q.s. pema BST p eshte boshe
dhe false ne te kundert}
begin {bosh}
bosh := p = nil;
end {bosh};
procedure bredhje_pararendore (p : peme);
{bredhje ne te gjithe elementet e nenpemes p – metoda pararendore
(pre-order)}
begin
if not bosh(p) then
begin
writeln (p^.element);
bredhje_pararendore (p^.lidhje[1]) ;
bredhje_pararendore (p^.lidhje[2]) ;
end
end {bredhje_pararendore};
procedure bredhje_pasrendore (p : peme);
{bredhje ne te gjithe elementet e nenpemes p – metoda pasrendore
(post-order)}
begin
if not bosh(p) then
begin
bredhje_pasrendore (p^.lidhje[1]) ;
bredhje_pasrendore (p^.lidhje[2]) ;
writeln (p^.element);
end
end {bredhje_pasrendore};
procedure bredhje_nder_rendore (p : peme);
{bredhje ne te gjithe elementet e nenpemes p – metoda nderrendore (in-order)}
begin
if not bosh(p) then
begin
bredhje_nder_rendore (p^.lidhje[1]) ;
writeln (p^.element);
bredhje_nder_rendore (p^.lidhje[2]) ;
end
end {bredhje_nder_rendore};
function numri (p : peme) : integer;
{ky funksion kthen numrin e elementeve te nenpemes p}
begin {numri}
if p = nil then
numri := 0
else
numri := numri (p^.lidhje[1]) + 1 + numri (p^.lidhje[2]);
end {numri};
procedure lexo_BST (var p : peme; var t : tabele_peme);
{shton elementet ne nje peme te tipit BST, duke u bazuar pikerisht ne }
{ cilesite e pemes se kerkimit binar – BST}
var
{ne elm ruajme elementin per tu shtuar, akoma tregon nese kemi }
{ akoma elemente per shqyrtim; ugjet tregon elementi kandidat per t’u }
{ shtuar ekziston ne peme apo jo; p eshte shenjuesi mbi elementin e ri }
{ per tu shtuar dhe q prindi i tij (nese ka te tille) ne pemen t; drejtimi }
{ tregon kahun e vendndodhjes se p (birit te q)}
elm
: tip_elementi;
akoma, ugjet
: boolean;
q
: peme;
drejtimi : integer;
procedure perfto (var elm : tip_elementi; var akoma : boolean);
{perftojme elementin e rradhes dhe shqyrtojme nese ka akoma {elemente te
tjere}
const
fund = -1;
begin
readln (elm);
akoma := elm <> fund
end {perfto};
begin
{inicializimi}
elm := 0;
akoma := true;
perfto (elm, akoma);
while akoma do {derisa te mos kemi si input elm=-1}
begin
{bredhim pemen me ane te shenjuesit p duke ruajtur ne q prindin e }
{ p dhe tek drejtimi kahun e zbritjes ne pemen t}
q
:= nil;
p
:= t.rrenja;
ugjet
:= false;
while ((p <> nil) and not(ugjet)) do
if p^.element = elm then
ugjet := true {nese elementi tashme ekziston mos bej asgje}
else
begin
if p^.element > elm then
drejtimi := 1
else
drejtimi := 2;
q := p;
p := p^.lidhje[drejtimi]
end;
If not(ugjet) then
begin
new (p);
p^.element := elm;
p^.lidhje[1] := nil;
p^.lidhje[2] := nil;
if q <> nil then
q^.lidhje[drejtimi] := p
else
t.rrenja := p; {q=nil dmth shto ne rrenje}
t.numri := t.numri +1 ;
end ;
perfto (elm, akoma);
end;
end {lexo_BST};
begin {MAIN}
inicializo (t);
p := nil;
lexo_BST(p,t) ;
p := t.rrenja
bredhje_nder_rendore(p) ;
p := t.rrenja
numri(p) ;
end {MAIN}.
5
Krahasojm
e7m
e5; m
eqenese7eshtem
e
em
adhese5shqyrtojm
ebirinedjathtete5
3
2
8
4
7eshtem
eevogel se8prandaj
shqyrtojm
ebirinem
ajtete8
6
7
7
7
7eshtem
eem
adhese6por 6nukkabir te
djathteprandaj shto7si bir tedjathtete6
5
3
2
8
4
6
7
Shtim
i nenjepem
e
tekerkim
it binar

Nje efekt anesor i metodes se zakonshme te shtimit ne nje
peme te kerkimit binary (BST), sipas implementimit ne
proceduren e meparshme, eshte se elementet e shtuar me
vone tentojne te jene me larg nga rrenja dhe prandaj duhet
me shume kohe per ti gjetur ata ne krahasim me elementet
e shtuar para tyre. Nese te gjithe elementet kane te njejtat
gjasa per te qene kandidate te nje kerkimi atehere ky fakt
nuk eshte i rendesishem, por nese jemi ne rastet e disa
modeleve te perdorimit komun ku elementet e shtuar me
vone tentohen te kerkohen me shpesh se ata me te
hershem (nga kendveshtrimi i shtimit ne peme) atehere
kemi te bejme me nje problem jo te vogel.

Nje skeme alternative per shtimin, skeme e cila adreson
edhe problemin e siperpermendur, eshte skema e shtimit
nga rrenja. Sipas ketij algoritmi, nyja e re vendoset
gjithmone ne rrenje te pemes. Duke ndjekur nje seri
shtimesh te tilla nyjet e futura me vone kane tendence te
jene me afer rrenjes se nyjet e tjera.



Si nje perpjekje te pare per implementimin e
kesaj ideje, ne mund te perpiqemi ta bejme
nyjen e re si rrenje te pemes dhe ta kthejme
rrenjen e vjeter si nje nga bijte e saj.
Per fat te keq, ky perafrim apo ndonje tjeter i
ngjashem me te, nuk do te funksionoje sepse
nuk ka garanci qe nyjet ne pemen ekzistuese
kane te gjitha vlera me te medha apo me te
vogla se nyja e re.
Nje perafrim qe funksionon eshte kryerja e nje
shtimi konvencional si nje nyje gjethe sipas
algoritmit tashme te pershkruar te shtimit dhe
pastaj kryerja e nje serie rrotullimesh per ta
levizur nyjen e re drejt rrenjes.
Y
Njërrotullimështë
njëtransform
imi
thjeshtëi një
pem
ebinareqë
ngjanm
e:
X
a
X
c
b
a
Y
b
c
ku Xdhe Ypërfaqësojnë nyje dhe a, b dhe c përfaqësojnë nënpemë binare arbitrare që
mund të jenë boshe. Shigjetat vertikale (mbi Ydhe Xrespektivisht ne figurat majtas dhe
djathtas) tregojnësepem
et BSTsubjektetërrotullim
it m
undtëjenënënpem
ëtënjëpem
e
më të madhe. Një rrotullime ndryshon strukturën lokale të një peme të kërkimit binar pa
ndryshuar renditjenesaj sipasbredhjesndërrendore.
Rrotullim
et kanëvetitëem
ëposhtm
e:
Rrotullim
et ndryshojnëstrukturënenjëpem
ebinare. Nëveçanti, rrotullim
et m
undet që
shpesh, nëvarësi tëform
ëssëpem
ës, tëpërdorenpër tëndryshuar lartësinëenjëpjese
tënjëpem
ebinare.
Rrotullim
et ndryshojnë strukturënlokale të një pem
e binare. Çdo rrotullimi dhënë
ndikon vetëmmbi nyjen e rrotulluar dhe bijtë e saj të menjëhershëm. Paraardhësit e
nyjesdhebijtëebijvetësaj ngelintëpandryshuar.
Rrotullim
et nukendryshojnërenditjenenjëpem
ebinare. Nëqoftësenjëpem
ëbinare
ështënjëpem
ëekërkim
it binar paranjërrotullim
i atëherëajoështënjëpem
ëekërkim
it
binar pas rrotullim
it. Kështu, nem
undti përdorimtësigurtërrotullim
et për tërirregulluar
strukturënenjëpem
eBSTpaushqetësuar sem
undtëprishimrenditjenesaj.
4
2
1
5
3
Rrotullimdjathtasm
bi 4
2
3ngabir i
djathtei 2
behet bir i
m
ajtei 4;
4behet bir
i djathtei 2
1
4
3
5
2
1
3ngabir i
m
ajtei 4
behet bir i
dajthtei 2;
4
3
5
Rrotullimm
ajtasm
bi 2
4
2behet bir
im
ajtei 4
2
1
5
3
Rrotullim
m
ajtastek
3

1

1
5
3
2
Rrotullim
m
ajtastek
1
Rrotullim
djathtastek
5

1
5
6
4
4
3
2
4
6
3
2
4
1
5
5
3
6
2
6
Shtimi ne BST nga rrenja

Rregulli i pergjithshem ndjek modelin e treguar
ne prezantim. Neqoftese ne zbritem majtas nga
nje nyje x gjate kerkimit per shtim ne kryejme
nje rrotullim djathtas mbi x. Neqoftese zbritem
djathtas atehere rrotullojme majtas.

Implementimi i algoritmit bazohet ne
memorizimin e nyjeve te bredhura gjate kerkimit
te nje pike futjeje dhe me tej ne kryerjen e
rrotullimeve ne rend te kundert me bredhjen
fillestare.
Tentojm
etashnderrojm
enyjene
saposhtuar 4nerrenjetepem
es
1
1
Rrotullim
m
ajtastek3
5
5
4
3
6
6
3
2
4
2
Shtim
i nerrenjenenjepem
etekerkim
it binar
Tentojm
etashnderrojm
enyjene
saposhtuar 4nerrenjetepem
es
1
1
Rrotullim
djathtastek5
5
4
4
6
3
5
3
2
6
2
Shtim
i nerrenjenenjepem
etekerkim
it binar
Tentojm
etashnderrojm
enyjene
saposhtuar 4nerrenjetepem
es
1
4
Rrotullim
m
ajtastek1
4
3
2
1
5
3
5
6
6
2
Shtim
i nerrenjenenjepem
etekerkim
it binar
function shtim_BST_rrenja (var t : tabele_peme;
elm : tip_elementi) : peme;
{shton elementet ne nje peme te tipit BST - metoda e
shtimit nga rrenja}
var
ugjet : boolean;
k
: integer;
p, q : peme;
pa
: array [1 . . max_lartesi_BST] of peme;
da
: array [1 . . max_lartesi_BST] of integer;
begin
pa[1] := t.rrenja;
p
:= t.rrenja;
da[1] := 1 ;
k
:= 2 ;
ugjet := false;
while ((p <> nil) and not(ugjet)) do
if p^.element = elm then
ugjet := true
else
begin
{shqyrto rastin k>max_lartesi_BST}
pa[k] := p;
if p^.element > elm then
da[k] := 1
else
da[k] := 2;
p := p^.lidhje[da[k]];
k := k + 1;
end;
if not(ugjet) then
begin
new (p);
p^.element := elm;
p^.lidhje[1] := nil;
p^.lidhje[2] := nil;
pa[k-1]^.lidhje[da[k-1]] := p ;
{shqyrto rastin pema boshe pra t.rrenja=nil}
t.numri
:= t.numri +1 ;
while k > 2 do
begin
q := pa[k-1];
q^.lidhje[da[k-1]] := p^.lidhje[3-da[k-1]] ;
p^.lidhje[3-da[k-1]] := q ;
pa[k-2]^.lidhje[da[k-2]] := p;
k:=k-1;
end;
t.rrenja := p ;
end;
shtim_BST_rrenja := p
end {shtim_BST_rrenja};
function gjej (t : tabele_peme; var p, q : peme ; var d : integer ; elm : tip_elementi) :
boolean ;
{gjen vendndodhjen e nyjes se pemes me vlere elm ne pemen t duke ruajtur ne p}
{shenjuesin mbi kete nyje peme (ose nil nese ajo nuk ekziston), ne q prindin e p (ose }
{nil nese prindi nuk ekziston) dhe ne d kahun e birit (1 nese eshte bir i majte dhe/ose}
{2 nese eshte bir i djathte)}
var
ugjet : boolean;
begin
ugjet := false;
p := t.rrenja;
q := nil ;
while (not(ugjet) and (p <> nil)) do
if p^.element = elm then
ugjet := true
else
begin
if p^.element > elm then
d := 1
else
d := 2;
q := p;
p := p^.lidhje[d]
end ;
gjej := ugjet
end {gjej};

Pyetje?