Transcript Transformasi Koordinat - Blog at UNY dot AC dot ID

Mekanika Teknik IV Metode Matrik
TRANSFORMASI KOORDINAT
Pendahuluan
 Analisis bidang 1 dimensi
 Memahami dasar analisis dengan matrik
 Memahami cara merangkai elemen-elemen
struktur agar dapat dianalisis dengan metode
matrik
 Menyelesaikan sistem persamaan analisis dengan
matrik
 Analisis bidang 2 dimensi?
Pendahuluan
Struktur rangka 2D, dengan 2 elemen
dan 3 node (titik kumpul), terletak pada
sumbu global X-Y.
Masing-masing elemen memiliki
kemiringan relatif terhadap sumbu X.
Masing-masing titik 1 dan 2
merupakan tumpuan sendi.
Gaya yang bekerja pada titik nodal
nomor 3 memiliki arah terhadap sumbu
global X-Y
Pendahuluan
Masing-masing elemen dipisahkan dari
struktur, kemudian masing-masing titik
nodal diberikan notasi orientasi derajat
kebebasan terhadap sumbu globalnya.
Masalah baru yang muncul adalah :
Masalah …
Teori Transformasi Koordinat
 3 macam metode transformasi koordinat,
yakni :
 Translasi  memindahkan titik asal, atau
menggeser sumbu
 Skala
 Rotasi  memutar sumbu terhadap suatu sudut
tertentu
Translasi
Titik A awalnya direferensikan terhadap
suatu sumbu cartesian X-Y, sehingga
memiliki koordinat A(x,y).
Sumbu cartesian X-Y tersebut kemudian
digeser sejauh dx (dalam arah X) dan
sejauh dy (dalam arah Y).
Sumbu cartesian X-Y menjadi sumbu
cartesian X’Y’, sehingga titik A
direferensikan terhadap sumbu cartesian
X’Y’ (sumbu baru) memiliki koordinat:
A(x  dx, y  dy).
Rotasi
R
 -

Titik P, awalnya direferensikan terhadap sumbu cartesian X-Y, memiliki koordinat P(x,y).
Sumbu cartesian X-Y kemudian diputar pada sudut  (berlawanan arah jarum jam)
menjadi sumbu cartesian X’Y’.
Koordinat titik P sekarang terhadap sumbu cartesian X’Y adalah P(x’, y’).
Bagaimanakah mereferensikan posisi titik A saat ini terhadap posisi lamanya P(x,y) ?
x  R cos 
y  R sin 
sin       sin  cos   cos  sin 
cos       cos  cos   sin  sin 
x '  R cos       R  cos  cos   sin  sin    R cos  cos   R sin  sin 
y '  R sin       R  sin  cos   cos  sin    R sin  cos   R cos  sin 
x '  x cos   y sin 
y '   x sin   y cos 
 x '   cos 
  
 y '    sin 
sin    x 
 
cos    y 
y
y2
y2
x2
2
y1
y1
x2
x1

x1
x
 Pada titik 1
F x 1  F x 1 cos   F y 1 sin 
F y 1   F x 1 sin   F y 1 cos 
 Pada titik 2
F x 2  F x 2 cos   F y 2 sin 
F y 2   F x 2 sin   F y 2 cos 
 F x 1   cos 

 
 F y 1    sin 


F
 0
 x2 
 F y 2   0


sin 
0
cos 
0
0
cos 
0
 sin 
Bentuk secara umum : …
F   T F 
  F x1 


0
  F y1 


sin    F x 2 

cos    F y 2 

0
 cos 

 sin 
T   
 0

 0
sin 
0
cos 
0
0
cos 
0
 sin 


0

sin  

cos  
Salah satu sifat unik yang dimiliki oleh matriks [T] yaitu [T]-1 = [T]T
Analogi dengan persamaan {F} = [T]{F}, dapat diambil :
   T  
0
F    K  
T F    K  
T
T
e
T  T F   T  K  
T
e
F   T  K  
F   T  K T    K
K   T  K T 
T
e
e
T
e
e
 