Transcript Koordinat titik

KOORDINAT TITIK
TRIGONOMETRI
Y
A(X,Y)
r
y
a
x
y
Sin a =
r
x
Cos a =
r
X
y
Tg a =
x
x
Cotg a =
y
Dalil Pitagoras : r = x 2 + y 2
2
MENENTUKAN SUDUT JURUSAN DAN JARAK
Arah Utara
aab
dab
B(Xb, Yb)
aab
aab
A
O
B”
(Xa, Ya)
A’
B’
Apabila diketahui Koordinat Titik A (Xa, Ya) dan B (Xb, Yb),
Xb - Xa
maka : Tg a = Xb - Xa
a = arc Tg
ab
ab
Yb - Ya
dan dari Rumus pitagoras diperoleh :d
ab
Yb - Ya
= (X AB ) 2 + (YAB ) 23
Menghitung azimut
Di dalam peta setiap titik letaknya dihitung dari dua
salib sumbu yang saling tegak lurus; yang horisontal
di-sebut sumbu X dan yang tegak disebut sumbu Y.
Perpotongan dari dua salib sumbu itu diberi angka
0 Sumbu X yang ada di sebelah kanan sumbu tegak
diberi tanda positif (+) dan yang di sebelah kiri
diberi tanda negatif (-). Sedangkan sumbu Y yang di
sebelah atas sumbu X diberi tanda positif (+) dan
sumbu Y ada di sebelah bawah sumbu X diberi
tanda negatif (-).
Kedudukan azimuth garis pada kwadran
α = Kedudukan sudut yang dibentuk oleh sumbu Y dan
garis bidik A
B
Pada gambar di atas, memperlihatkan kedudukan azimuth
garis A
B pada masing-masing kwadran. Untuk
menghitung azimuth garis pada masing-masing kwadran
berlaku persamaan sebagai berikut:
tg α A
B = (XB – XA)/(YB – YA)
αA
B = Azimut garis A
B
XA, YA = Koordinat titik A
XB, YB = Koordinat titik B
Pada kwadran I : α = α AB;
Pada kwadran II : α AB = 180°+ α;
Pada kwadran III : α AB = 180°+ α
Pada kwadran IV : α AB = 360°+ α
Contoh 1
Diketahui koordinat titik:
A : XA = 1000 m; YA = 1000 m
B : XB = 2000 m; YB = 2000 m
Ditanyakan Azimut A
B (α AB)
Penyelesaian:
dx = XB – XA = 2000 – 1000 = 1000 m
dy = YB – YA = 2000 – 1000 = 1000 m
tg α A
B = dx/dy = 1000/1000 = +1
dx = + dan dy = +
maka arah jurusan garis A B ada di kwadran I
α = 45°
AB = α; = 45°
Kedudukan garis A
α = sudut hasil perhitungan
α AB = Azimut garis A
B
α=αA
B
B pada kwadran I
Contoh 2
Diketahui koordinat titik:
A : XA = 1000 m; YA = -1000 m
B : XB = 2000 m; YB = -2000 m
Ditanyakan Azimut A
B (α AB)
dx = XB – XA = 2000 – 1000 = 1000 m
dy = YB – YA = -2000 – (-1000) = -1000 m
tg α A
B = dx/dy = 1000/-1000 = -1
dx = + dan dy = maka arah jurusan garis A B ada di kwadran II
α = -45°
α AB = 180 ° + α
= 180 ° + (-45°) = 135°
Kedudukan garis A
B pada kwadran II
Contoh 3
Diketahui koordinat titik: A : XA = -1000 m; YA = -1000 m
B : XB = -2000 m; YB = -2000 m
Ditanyakan Azimut A
B (α AB)
Penyelesaian:
dx = XB – XA = -2000 – (-1000) = -1000 m
dy = YB – YA = -2000 – (-1000) = -1000 m
tg α A
B = dx/dy = -1000/-1000 = +1
dx = - dan dy = - maka arah jurusan garis A
kwadran III
α = +45°
α AB = 180° + α = 180° + (+45 °) = 225°
B ada di
Kedudukan garis A
B pada kwadran III
Contoh 4
Diketahui koordinat titik: A : XA = -1000 m; YA = +1000 m
B : XB = -2000 m; YB = +2000 m
Ditanyakan Azimut A
B (α AB)
Penyelesaian
dx = XB – XA = -2000 – (-1000) = -1000 m
dy = YB – YA = +2000 – (1000) = +1000 m
Tg α A
B = dx/dy = -1000/+1000 = -1 dx = - dan dy = +
maka arah jurusan garis A
B ada di kwadran IV
α = -45°, α AB = 360 °+ α = 360° + (-45°) = 315°
Kedudukan garis A
B pada kwadran IV
Menghitung jarak
Menghitung jarak antara dua titik yang telah diketahui
koordinatnya, berlaku rumus sebagai berikut:
1). J = (Xn – Xn-1)/sin α n
2). J = (Yn – Yn-1)/cos α n
3). J = ((Xn – Xn-1) 2+ (Yn – Yn-1) 2) 1/2
Keterangan: n = Jumlah bilangan titik dari titik awal
Contoh 1
Diketahui koordinat titik: A : XA = 1000 m; YA = 1000 m
B : XB = 2000 m; YB = 2000 m
Ditanyakan jarak A
B (j A B)
Penyelesaian
dx = XB – XA = 2000 – 1000 = 1000 m
dy = YB – YA = 2000 – 1000 = 1000 m
tg α A
B = dx/dy = 1000/1000 = +1
dx = + dan dy = + maka arah jurusan garis A
kwadran I
α = 45° , α A
B = α = 45°
B ada di
1). J = dx/sin α A
2). J = dy/ cos
B=
αA
2
B
1000/sin45 ° = 1414,213562 m
= 1000/cos45° = 1414,213562 m
3). J = ((XB – XA) + (YB – YA) 2 )
2
1/2
= ((2000 – 1000) 2 +
(2000 – 1000) ) 1/2 = 1414,213562 m
Perhitungan jarak A
B pada kwadran I
Contoh 2
Diketahui koordinat titik: A : XA = 1000 m; YA = -1000 m
B : XB = 2000 m; YB = -2000 m
Ditanyakan jarak A
B (j A B)
Penyelesaian
dx = XB – XA = 2000 – 1000 = 1000 m
dy = YB – YA = -2000 – (-1000) = -1000 m
tg α A B = dx/dy = 1000/-1000 = -1
dx = + dan dy = - maka arah jurusan garis A
B ada di
kwadran II
α = - 45°, α A B = 180° + α = 180 ° + (-45°) = 135°
1). J = dx/sin α A
2). J = dy/cos α A
B = 1000/sin135° = 1414,213562 m
B = -1000/cos135 ° = 1414,213562 m
2
2
1/2
3). J = ((XB – XA) + (YB – YA) )
2
2 1/2
= ((2000 – 1000) + (-2000 – (- 1000) )
= 1414,213562 m
Latihan 1
Diketahui koordinat titik: A : XA = -1000 m; YA = -1000 m
B : XB = -2000 m; YB = -2000 m
Ditanyakan jarak A
B
Latihan 2
Diketahui koordinat titik: A : XA = -1000 m; YA = +1000 m
B : XB = -2000 m; YB = +2000 m
Ditanyakan jarak A
B
Menghitung koordinat titik
Koordinat suatu titik dapat dihitung apabila titik tersebut :
1. Diikatkan pada suatu titik yang diketahui koordinatnya
2. Jarak antara dua titik diukur
3. Azimut antara dua titik diketahui
Keterangan:
= Jarak garis A ke B yang diukur
αA
B = Azimut garis A
B
A = Titik yang telah diketahui koordinatnya
B = Titik yang dihitung koordinatnya
Untuk menghitung koordinat titik B terhadap titik A,
persamaannya adalah:
XB = XA + jA
B
x sin α A
YB = YA + jA
B
x cos α A
B
B
Contoh
Diketahui koordinat titik A : XA = -100 m; YA = +100 m
Jarak A
B (jA
B)
= 150 m; α A
B
= 315°
Ditanya koordinat titik B.
Penyelesaian:
XB = XA + jA
x sin α A
B
= -100 + 150 x sin 315 °
x cos α A
B
= 100 + 150 x cos 315 °
B
= -206,066 m
YB = YA + jA
= 206,066 m
B