פעילויות בסיסיות על קבוצות - מושגים אוסף של איברים לעיתים מסודרים לינארית )1 לכל a=b ,a b )2 טרנזיטיביות b>c, a>b : a>c דוגמה
Download ReportTranscript פעילויות בסיסיות על קבוצות - מושגים אוסף של איברים לעיתים מסודרים לינארית )1 לכל a=b ,a b )2 טרנזיטיביות b>c, a>b : a>c דוגמה
פעילויות בסיסיות על קבוצות -מושגים
אוסף של איברים לעיתים מסודרים לינארית )1לכל a=b ,a<b : a, bאו a>b
)2טרנזיטיביות b>c, a>b
: a>c
דוגמה :שלמים ,ממשיים ,אותיות.
-חברות:
x
A, x A
-קבוצה ריקה:
בד”כ אותיות קטנות = איברים ,גדולות = קבוצות-x y
חסר משמעות
-תת קבוצה (מוכל)A B :
1
-קבוצת על:
A
B
-הכלה ממש:
A B
-פעולות:
A B, A B, A–B
Data Structures, CS, TAU - 4.1
מבני נתונים אבסטרקטיים לקבוצות
UNION (A, B, C)
INTERSECTION (A, B, C)
DIFFERENCE (A, B, C)
MERGE (A, B, C) = disjoint set UNION
)(לא מוגדר אם הקבוצות אינן זרות
MEMBER (x, A)
MAKENULL (A)
INSERT (x, A)
DELETE (x ,A)
ASSIGN (A, B)
MIN (A)
EQUAL (A, B)
FIND (X)
2
Data Structures, CS, TAU - 4.2
ייצוגים של קבוצות
(CLR: 12.1 - Direct address Table)
ווקטור ביטים.1
טוב לקבוצה צפופה
Const N
type
SET = packed array[1…N] of boolean
:יתרונות
DELETE, MEMBER, INSERT = O(1)
UNION, INTERSECTION, DIFF = O(N)
גודלה של הקבוצה האוניברסליתN
INTEGERS- מאברי התחום לMAPPING נבצע: עבור קבוצה כללית אם הקבוצה אינה צפופה:חסרונות
3
Data Structures, CS, TAU - 4.3
ייצוגים של קבוצות (המשך)
)2רשימה מקושרת
אין בעיות של גודל קבוצה האיברים לא צריכים להיות תת קבוצה של קבוצה אוניברסלית סופית. -ביצוע איחוד ,חיתוך ,וחיסור:
אם הרשימות אינן ממוינות -
)O(N2
אם ממויינות:
למצוא איבר בודד: למצוא Nאיברים: -אבל כולם ביחד:
) O( N
)O(N2
) O( N
4
Data Structures, CS, TAU - 4.4
ייצוגים של קבוצות (המשך)
השיטה :ריצה משולבת על שתי הרשימות .כל פעם מקדמים את הקטן.
אחרת
טיפול זנבות:
חיתוך :הכנס לחיתוך וקדם שניהם
קדם הקטן
השמט
איחוד :הכנס לאחוד וקדם שניהם
קדם קטן והכנס לאחוד
צרף
חיסור :קדם שניהם
קדם קטן (הכנס)
צרף (השמט)
זהים
סיבוכיות :O(N) -כי בכל פעולה מתקדמים באחד
5
Data Structures, CS, TAU - 4.5
מילון
מבנה נתונים להחזקת קבוצות שבו רוצים
INSERT, DELETE, MEMBER
7
Data Structures, CS, TAU - 4.6
יישום המילון
)1רשימה מקושרת
– Bit Vector )2מאוד יעיל אם התחום מוגבל וקטן
)3מערך -טוב רק אם אין הרבה דינמיות (שינוי מבנה)
אם לא ממויין:
אם ממויין:
)INS = O(1
)INS = O(N
)DEL = O(N
)DEL = O(N
)MEM = O(N
)MEM = O(logN
8
Data Structures, CS, TAU - 4.7
HASH TABLEליישום המילון
יישום מערך (- O(N
ווקטור ביטים ) - O(1אבל מוגבל בגודל.
HASHבממוצע זמן קבוע ואין מגבלת גודל כמו בווקטור הביטים. HASHפתוח(Chaining) :
נחזיק Bסלים שבהם נאחסן את האיברים )(Buckets גישה לכל סל ב O(1) -חפוש בסל לינארי.- Overflowברשימות
0
1
פונקצית :Hash
B-1
עבור כל ערך h(x) , xהוא ערך הפונקציה ונופל בתחום .0, 1, …B-1
הכנסת איבר:
)1חישובh(x)o
)2הכנסתו ברשימה המתאימה
9
Data Structures, CS, TAU - 4.8
)Open Addressing( סגורHASH
משתמשים רק בטבלה
) Overflow (בלי רשימות
0
1
Bucket Table
B-1
: גורמת התנגשותh(x) אם
h3(x) ( ואח”כrehash) h2(x) מחשבים
: Linear Hashing דוגמה פשוטה
Hi(x) = (h(x)+i) mod B
0
1
2
3
4
5
6
a b c d e f
3 4 2 3 6 0
f
c
a
b
d
e
10
Data Structures, CS, TAU - 4.9
בדיקת חברות ( )MEMBERב HASH-סגור
-בדוק h1(x), h2)x(…oוהשווה את האיבר הנמצא עם x
בדיקה עד שנמצא “ריק” (צריך ערך ל”ריק”) -אם השמטות אסורות בישום ,אזי ריק
xאיננו.
-אבל :אם השמטות מותרות :ריק
איננו!
דוגמה:
)Ins (a, 1), Ins (b, 1), Ins (c, 1
)Del (b
)Member (c
נצטרך לסמן ” “deletedבמקום שהושמט
א) בחיפוש של איבר -לפסוח עליו
ב) בהכנסה -ניתן להשתמש בו
11
Data Structures, CS, TAU - 4.10
a
b
c
0
1
2
3
ביצועים של Hashפתוח ()Chaining
נתון:
Bסלים
Nאיברים
= load factor
N/B
נניח :הכנסה של כל איבר פעם אחתבממוצע יש בכל סל N/Bאיברים)
)
B
N
1
(
N
(
לכן כל N/2האיברים האחרונים דורשים כל-אחד כ1+N/B -פעולות (הכנסת איבר לרשימה ממוינת)
וסה”כ כל Nהאיברים דורשים:
-אזי אם
N B
אם חיפוש בשכיחות דומה:
))
B
סה”כ
( N ( 1 N
) ( N
)]
B
( N [ 1 N
12
Data Structures, CS, TAU - 4.11
ביצועים של Hashפתוח ( - )Chainingהמשך
הנחות:
:SIMPLE UNIFORM HASHING (1
לכל מפתח יש אותה הסתברות ליפול בכל תא אחרי שהופעלה
עליו פונקצית ה HASH-ללא תלות במפתחות אחרים.
)2פונקצית HASHמחושבת ב ) O(1זמן.
בפונקציות HASHההגדרה “לכל מפתח יש אותה הסתברות ליפול
בכל תא" אינה במובן של מפתח (ערך) ספציפי ,כי:
עבור פונקציה נתונה מפתח נתון ייפול בדיוק בתא אחד!
הגדרה שכן תופסת:
לכל התאים
לכל מפתח k
Prob(h(k)=j) = 1/B
J= 0, 1, …B-1
1
P k)( j0,1,. B1
kh(: k)j B
כלומר :עבור מפתח אקראי ההסתברות ליפול בכל תא הינה
13
Data Structures, CS, TAU - 4.12
1
B
דוגמאות לפונקציות HASH
)1אם
:1
0k
אז h(k) = k Bמקיימת את הנחה ()1
)2אם kמספרים שלמים:
( h(k) = k mod Bעדיף לקחת Bראשוני)
)h(k) = B (kA mod 1
)3אם kשלמים:
Bראשוני ,
החלק השבור של kA
0<A<1
Knuthממליץ:
0.5180 ...
)5 1
2
(A
14
Data Structures, CS, TAU - 4.13
UNIVERSAL HASHING
משתמש “זדוני” יכול לבחור nמפתחות ,כולם לתוך אותו סל.ממוצע זמן חיפוש
) ( n
נכון עבור כל פונקצית Hashקבועה. דרך מניעה יחידה:בחירת פונקציה באקראי לא תלויה במפתחות.
בגלל אקראיות האלגוריתם יתנהג שונה בכל ריצה (על אותו ) input inputמסויים אינו יכול “לסבול” באופן תמידי. -עבור כל inputההסתברות לבצועים גרועים קטנה (וזהה לקלטים אחרים דומים)
15
Data Structures, CS, TAU - 4.14
- UNIVERSAL HASHINGהמשך
H -אוסף סופי של פונקציות Hashשממפות תחום Uל Bסלים }{0, 1,…B-1
Hנקרא אוניברסלי אם:
h כל ש ) h(x )=h(yהינו |H| / B
x, y מספר הפונקציות H
לכל U
כלומר :אם פונקציה נבחרת אקראית מH -
אזי סיכוי ההתנגשות של xו yהינו 1/B
משפט
אם hנבחרת מאוסף אוניברסלי של פונקציות hashומשמשת להכניס
N
Nמפתחות לתוך טבלה בגודל B ,B,
אזי תוחלת מס’ ההתנגשויות הקשורות במפתח xהינה קטנה מ .1
16
Data Structures, CS, TAU - 4.15
הוכחת המשפט
הוכחה:
יהי:
אם z, yמתנגשים
1
=Cyz
אחרת
לכן:
0
E[Cyz] = 1
B
)כי z, yמתנגשים בהסתברות
1
B
)
יהי Cxמס’ ההתנגשויות הכולל של X
אזי:
1
E [ Cx ] E [ Cxy ]( N 1) 1
B
y x
17
Data Structures, CS, TAU - 4.16
בחירת קבוצה אוניברסלית
בחר Bראשוני. -פרק xל r+1בתים
)x=(x0, x1,…xr
דרישה :ערך כל byteקטן מB- יהי } a={a0, …arרצף של אברים נלקחים}{0, 1,…B-1
באקראי מהקבוצה
ha
ונגדירH :
r
ha ( x )( ai xi ) mod B
i 0
H Br 1
18
Data Structures, CS, TAU - 4.17
} H { ha
a
משפט
האוסף Hהוא אוסף אוניברסלי של פונקציות Hash
הוכחה:
x
ניקח שני מפתחות שונים כלשהם yבלי הגבלת הכלליות נניח x0 y0-נסתכל על בחירה שרירותית של a1, a2,…ar
טענה :עבור הבחירה הנ”ל ישנו בדיוק a0בודד המקיים )h(x)=h(y
הוכחה :כדי שיתקיים ) h(x)=h(yחייב להתקיים:
r
) a0 ( x0 yo ) ai ( xi yi )(mod B
i 1
a0w z
אבל Bהוא ראשוני ולכן יש 0 a0 B
יחידי הפותר את המשוואה a0w=z
וזה נכון כי אם a0’w=z, a0w=zאז
(a0-a0’(w=0 mod Bבניגוד לראשוניות של B
19
Data Structures, CS, TAU - 4.18
המשך ההוכחה
לכן יש בדיוק B rערכים של } {a0, …arשעבורם xו yמתנגשים לכל ()x,y -היות ומס’ הערכים של } a={a0, …anהוא בדיוק Br1
xו y-מתנגשים בדיוק בהסתברות:
1
B
Br 1
Hאוניברסלית
20
Data Structures, CS, TAU - 4.19
Br
הערכת ביצועים Hashסגור ()OPEN ADDRESSING
Bסלים Nאיברים (כרגע בטבלה) Hashלינארי:
אם התנגשנו
סיכוי התנגשות שניה גבוה (כבר נפלנו באזור “מועד”)
נניח :פונקצית rehashשולחת בצורה אקראית.
“אמונה” :זה הטוב ביותר
21
Data Structures, CS, TAU - 4.20
המשך- הערכת ביצועים
N
N
N
:הסתברות לפחות להתנגשות אחת
B
B
B
N 1
N 1
( N
:הסתברות לפחות לשתי התנגשויות
B 1
B 1
B
... N i 1
B i 1
: התנגשויותi הסתברות לפחות ל
)i
: גדוליםN, B עבור
1
iPr[ i failures ]
הצלחה
i 1
Pr[ i failures ] Pr[ At least i failures ]
i1
i1
:ממוצע
:אבל
N
1 ( N )i 1 B
B
B
N
B N
1
i 1
B
22
Data Structures, CS, TAU - 4.21
המשך- הערכת ביצועים
:ב
N ( N 1)...( N i 1)
B 1
(N
)i אם נדייק ונחליף
B
B ( B 1)...( B i 1)
חשבון מסובך ייתן
B 1 N
:1, 2,…M כמה עולה להכניס האיברים
M 1
1
B1
M
B1 N
N 0
:בממוצע
M 1
B
1
d xB [ ln Bln (BM 1) ]
M
B x
M
0
B
M
ln( B
B M 1
)
23
Data Structures, CS, TAU - 4.22
הערכת ביצועים -המשך
למלא את הטבלה יקח logB :בממוצע לאיבר
אבל למלא (M=0.9B) : 90%
10/9 ln10
כלומר:
מילוי הטבלה – פונקציה B -כל שבר שונה מ – 1 -לא תלויים בB-
בדיקת חברות
לאיבר שלא קיים -כמו הכנסה לאיבר שקיים -כמו הממוצע עד כהקיים:
B M 1
לא קיים:
ln B
M
B
B 1 M
24
Data Structures, CS, TAU - 4.23
B 1
הערכת ביצועים -המשך
הערה:
אם Mאחוז ( )של – Bאזי יעילות הכנסה היא:
1
ln 1
1
B B
ln B
לא תלוי ב!!!B-
כלומר:
למלא 90%מ 1000
למלא 90%מ109 -
אבל למלא הכל
שווה!!
lnB
סיבה :השבריר האחרון של המילוי שבו אורך השרשרות
פרופורציונלי למספר הסלים – קובע.
25
Data Structures, CS, TAU - 4.24
1
פתרון התנגשויות Rehash
)1לינארי:
)2
)hi(x) = h(x) + i (mod B
בעייתי כי גורם התקבצות.
)hi(x) = h(x) + C i (mod B
אם Bמתחלק ב ( Cאו גורם משותף)
דוגמא B=50
: C=20
גרוע מאוד מכיוון שיחזור על עצמו!!!
Ci = 20, 40, 10, 30, 50, 20...
לכן :צריך ש Bו Cבלי גורם משותף.
אבל -תופעת ההתקבצות לא נפתרת.
סיבה :התקבצות נובעת מכך ש hiמחושבת כפונקציה של המקום בטבלה ולא
של מס’ ההתנגשויות ) – (iכל מי שנופל על אותו תא מקבל את אותה ]!! [hi
26
Data Structures, CS, TAU - 4.25
פתרון התנגשויות - Rehashהמשך
)3יותר טוב:
)hi(x) = h(x) + di (mod B
כש diהינו פרמוטציה של
דוגמא : B=5
1, 2, … B-1
d1=4, d2=1, d3=2, d4=3
מונע שכל מי שנופל על ) h(xיפול באותה השרשרת.( כמובן לא מונע שבעלי ) h(xזהה יפלו על שרשרת זהה! )
הערה :סתם פרמוטציה אינה טובה.
לדוגמא:
d1=1, d2=2, d3=3, d4=4
27
Data Structures, CS, TAU - 4.26
רה-ארגון
-טבלה מלאה בעיה
רה-ארגון
כשמבנה הנתונים מתמלא (חוקי אצבע):
טבלה פתוחה:
אם N2Bכדאי להכפיל הגודל ולהעתיק.
טבלה סגורה:
אם N > 0.9B
במקרה של DELETIONSכשכמות
המקומות הפנויים קטן
][0.1B
28
Data Structures, CS, TAU - 4.27
תורי עדיפויות PRIORITY QUEUES
)(CLR CH7, pp140
קבוצות עם הפעולות:
INSERT
DELETEMIN
דוגמה :תור שבו נכנסות פעולות לפי סדר ,אבל יוצאות לא ב FIFOאלא לפי עדיפות.
“דוגמה מהחיים” :ג’ובים במחשב (עם עדיפויות שונות)
יישומים:
)1רשימה מקושרת לא מסודרת
הכנסה ):O(1
שליפה ):O(N
)2רשימה מקושרת מסודרת
הכנסה ):O(N
שליפה ):O(1
29
Data Structures, CS, TAU - 4.28
)(N/2פעולות
עץ מוסדר חלקית HEAP
עץ בינארי ,מאוזן ככל האפשר
(רק ברמה התחתונה חסרים).
הורה קטן מילדיו
דוגמה:
3
5
10
13
15
6
10.5
12
שימו לב :אין קשר בין צומת לדודיו!!!
(למשל)10 – 8 ,
30
Data Structures, CS, TAU - 4.29
11
9
8
ביצוע INSERT
.1הוסף הערך החדש ב”סוף העץ”
.2עדכן מבנה העץ ע”י הצפת הערך החדש כלפי מעלה
השווה אותו עם אביו והחלף אם קטן ממנו
-עד שהעץ “מיושב”
טענה אינדוקטיבית:
בכל רגע כל צומת (פרט למוכנס) גדול מכל אבותיו הקדמונים.
3
5
10
13
15
7
6
10.5
12
11
9
31
Data Structures, CS, TAU - 4.30
8
ביצוע DELETEMIN
.1החזר את ערך השורש.
.2החלף השורש עם העלה האחרון והשמט עלה אחרון.
" .3השקע” את השורש כלפי מטה עד שהעץ יהיה “נורמלי”.
בהשקעה -החלף עם הבן הקטן ביותר.
12
3
5
10
15
13
6
10.5
12
11
32
Data Structures, CS, TAU - 4.31
9
8
ביצוע DELETEMIN
בהשקעה -החלף עם הבן הקטן ביותר.
5
3
12 5
10
15
13
6
10.5
12
11
33
Data Structures, CS, TAU - 4.31
9
8
DELETEMIN ביצוע
5
6
12
8
3
5
10
6
10.5
9
11
13
15
12
34
Data Structures, CS, TAU - 4.31
DELETEMIN ביצוע
5
6
8
12
8
3
5
10
6
10.5
9
11
13
15
12
35
Data Structures, CS, TAU - 4.31
יישום העץ
נוח ליישם במערך
עץ כמעט מלא
שבו iהוא אב של 2iושל 2i+1
ביישום זה:
(שורש) MINנמצא בA[1] - עלה אחרון נמצא בA[Last] - אינפורמציה משפחתית ע”י הכפלה/חלוקה ב.2 -סבוכיות הפעולות:
עץ בינארי -עומקו
מס’ הצמתים הינו
lo g2 N
N 2n11
לכן סיבוכיות של INSERT, DELETEMIN
היא O (lo g N ) :
2
36
Data Structures, CS, TAU - 4.32
שימושים
מיון איברים
-הכנס Nאיברים
)O(NlogN
-בצע DELETEMINשל Nאיברים
)O(NlogN
תור עדיפויות דינאמי.
37
Data Structures, CS, TAU - 4.33
יחסים רב-ערכיים ורבי רשימות
)(Many to Many Relationships & Multilists
דוגמה ליחס רב-רב ערכי:
CS103
CS104
x
x
CS102
CS101
x
x
x
x
x
x
x
x
x
מיפוי בין סטודנטים והקורסים בהם הם משתתפים.
38
רוצים לדעת בד”כ:
לכל קורס -רשימת סטודנטים
לכל סטודנט -רשימת קורסים
Data Structures, CS, TAU - 4.34
אברהם
יצחק
יעקב
יוסף
שרה
רבקה
רחל
לאה
יישום במערך בינארי
HASH
CS101 CS102 CS103
7 6 5 4 3 2 1
1 0 1
0 1 0 1
ישום:
.1האינפורמציה כמטריצה בינארית.
.2מיפוי משמות למטריצה טבלת)(Hash
בעיה :דלילות המטריצה.
דוגמה 500 :קורסים 10,000 ,תלמידים.
39
Data Structures, CS, TAU - 4.35
1
2
3
4
5
6
אברהם
יצחק
יעקב
פתרון באמצעות Multilist
רשימת
קורסים
CS103
CS102
CS101
אברהם
יצחק
יעקב
רשימת סטודנטים
לשם מציאת האנפורמציה הדרושה:
אפשרות א’ :השתמש באחרון של כל רשימה כדי לפנות חזרה לאבי הרשימה.
סבוכיות:
למציאת כל הקורסים של סטודנט הלוקח kקורסים נצטרך לרוץ על-פני kרשימות.
אפשרות ב’ :החזר מצביע מכל רשומת הרשמה לקורס המתאים ולסטודנט המתאים.
יישום דומה :מטריצה דלילה.
40
Data Structures, CS, TAU - 4.36
מבני נתוני כפולים להגברת היעילות
במקרים רבים :נוח לבצע חלק מהפעולות במבנה אחד וחלק באחר.
לעיתים :שמירת כמה מבנים תייעל ביצועים.
41
Data Structures, CS, TAU - 4.37