Transcript Rubik’s Cube & Wiskunde 80 jaar KUN Reünistendag De Wortel, 17 mei 2003 Marko van Eekelen [email protected] UHD Functionele Programmeertalen, Informatica, KUN Afgestudeerd KUN-Wiskunde, 1981

Rubik’s Cube & Wiskunde
80 jaar KUN
Reünistendag De Wortel, 17 mei 2003
Marko van Eekelen
[email protected]
UHD Functionele Programmeertalen, Informatica, KUN
Afgestudeerd KUN-Wiskunde, 1981
1
Geschiedenis
Erno Rubik, Department of Interior Design,
Academy of Applied Arts and Crafts, Boedapest
• Magic Cube, eerste idee 1974,
patent 1975, eerste exemplaren 1977
• Rubik’s Cube, eerste industrieel export uit
Hongarije, may 1980
• 1981, David Singmaster’s Cube Notes
• 1981, Scientific American, D. Hofstadter
• 1981, Museum of modern art, New York
• 1981, Nederlandse Kubus Club (NKC)
• 1982, Oxford English Dictionary
• 1980-1982: 100 miljoen exemplaren
2/25
3/25
Mijn ervaringen
• een weekend in oktober en een vakantie in
december 1980
• 2e bij het 1e open
Draaikubuskampioenschap van ZuidHolland, 11 juli ’81
• 1e bij “De Eerste de Beste” en wereldrecord
in het Guiness Book of Records, 21 aug ’81
• 1e bij de Open Nederlandse Kubus
Kampioenschappen, 28 aug ’81
Ongeveer een halve minuut per kubus
4/25
TV
1981
• De eerste de beste (TROS)
• TV-verslag van Radiokampioenschap
(KRO)
• MIES (AVRO)
Bij ‘herhaling’…
• Triviant (TROS)
• Het gevoel van … (KRO)
• De tijd van ons leven (KRO)
• De televisiejaren (NCRV)
5/25
Vreemde gevolgen
• Allerlei krantenartikelen, ook WN-bulletin
• Gratis friet in een snackbar
• Gevraagd
– om op een beurs voor een verzekeringsmaat- schappij
‘op te treden’
– om op een feest van een groot IT-bedrijf ‘op te treden’
– om op een middelbare school een demonstratie te geven
– om een plaat te maken met Ad Visser
– om een video te maken met Dolf Brouwers
• Zelfs gevraagd voor TV-Privé, maar dat ging me
toen als linkse student toch écht te ver!
6/25
Tetraeder
• Afstudeerscriptie 1981
• met Bernard van Houtum
• Op papier uitgezocht
–
–
–
–
–
aantal standen (3.732.480)
oplossingsmethode
ordes (max 90), aantal standen per orde
karakterisatie van de groepsstructuur
gebruik makend van duale karakter
• Geen fysieke vorm en geen simulatie
7/25
Groepen
Zij G een verzameling
met een afbeelding (de groepsoperatie)
*:GxGxG
(g1,g2)  g1 * g2
Dan is G een groep d.e.s.d.a.
1.
G is gesloten onder *
 g, h  G [ g * h  G ]
2.
* is associatief
 g,h,k  G [ ( g * h) * k = g * (h * k) ]
3.
Er is een eenheidselement (Identiteit)
 Id  G  g  G [ Id * g = g * Id = g ]
4.
Elk element heeft een inverse
 g  g  g-1  G [ g * g-1 = g-1 * g = Id ]
Eigenschappen
van groepen
8/25
• Elk element g uit een groep heeft een orde
n waarvoor geldt: gn = 1
n is dan altijd een deler van het aantal
elementen van de groep
• Twee elementen g en h commuteren desda
g*h=h*g
• De commutator van g en h is
g * h * g-1 * h-1
• De geconjugeerde van g door h is
h-1 * g * h
Geconjugeerden van g vormen equivalentieklasse
9/25
Even wat notatie
Met de klok mee (als je tegen het
desbetreffende centrum aankijkt):
U (up), D (down), L (left), R (right), F (front),
B (back)
Tegen de klok in:
U’,D’,L’,R’,F’,B’
Halve slagen:
U2,D2,L2,R2,F2,B2
Slices (schijven):
RL’, R’L, FB’, …
10/25
Rubik’s groep
Zij
X de verzameling van alle genummerde kleine
gekleurde vierkantjes van de kubus
SX de verzameling van alle volledige rijtjes van
elementen van X (alle permutaties over X).
R,L,U,D,F,B verwisselingen van een aantal kanten
Dan is Rubik’s groep de permutatiegroep
gegenereerd door {R,L,U,D,F,B}  SX
De groepsoperatie is dan het samenstellen van
verwisselingen
Eigenschappen van
Rubik’s groep
11/25
• De blokjes kunnen op
8!*38*12!*212=519.024.039.293.878.272.000
manieren in elkaar gezet worden
• De groep heeft 43.252.003.274.489.856.000
elementen (1/12 is slechts door draaien
bereikbaar vanuit start)
• Op hele-kubus-symmetrie na zijn er
901.083.404.981.813.616 (Turner&Gold ’85)
• Er is geen element van orde 13.
• Max orde is 1260 (bv. RU2D’BD’)
12/25
Equivalenties
UU
UUU
L’R
L2U2
(U)-1
(RU)-1
RR’
U2 U2
= U2
= U’
= RL’
= U2L2
= U’
= U’R’
= Id
= Id
Wat
kun je gebruiken?
Algemeen
• Roteren
• Spiegelen
Groepen
• Geconjugeerde
• Commutatoren
• Inverse
• Permutaties samenstellen
• Orde
13/25
Conjugeren
moet je leren
• Een bekende actie op een andere plaats
uitvoeren
Voorbeeld:
L2U2 L2U2 L2U2
verwisselt 4 randblokjes, 2 aan 2 in boven en linkervlak
In permutatienotatie: (lf,lb)(uf,ub)
Kan zonder los te laten! (Singmaster greep)
Conjugeren:
(BF’U) L2U2 L2U2 L2U2 (BF’U)-1 = (uf,ub)(ur,ul)
verwisselt 2 aan 2 in bovenvlak
(B2DU’LUF’U) L2U2 L2U2 L2U2 (B2DU’LUF’U)-1 = (uf+,ub+)(ur,ul)
verwisselt en draait 2 randblokjes in het bovenvlak!
14/25
Centrum
van een groep
Het centrum van een groep G is de subgroep
Centrum(G) die bestaat uit die elementen van G die
met alle elementen van G commuteren m.a.w:
Centrum(G) = { z  G | z * g = g * z,  g  G}
Een viertal eigenschappen:
1.
2.
3.
4.
z  Centrum (G)   gG [ g * z * g-1 = z ]
G [Id  Centrum(G)]
Centrum (G) = G  G is commutatief
Centrum (Rubik) = {Id, Superflip}
Superflip =
de operatie die elk randblokje op zijn
eigen plaats draait
R’U2BL’FU’BDFUD’LD2F’RB’DF’U’B’UD’
24 kwartslagen (Mike Reid, minimaal Jerry Bryan ‘95)
15/25
Diameter
van de groep
•
16/25
Diameter is “de langste afstand die je (in
kwartslagen gerekend) eventueel af zou moeten
leggen als je altijd de kortste weg zou weten”
• 1981
– David Singmaster,ondergrens 18 (kwartslagen)
– Morwen Thistlethwaite, bovengrens 52 (1981, later 45)
• Mike Reid
(1998) ondergrens 26 (kwartslagen): superflip4spot
(1995) bovengrens 42 (kwartslagen)
• Implementaties God’s algoritme (het algoritme wat de
kortste weg naar de beginstand gebruikt)
(naar idee van Herbert Kociemba):
Mike Reid, Rich Korf, Dik Winter
18 slagen (halve slagen inbegrepen) is te doen
17/25
Een oplossing
Conjugeren, spiegelen, inverteren en roteren
Elk blokje heeft vaste plaats tussen de centra
Kies eerste kleur bijvoorbeeld wit
•
•
•
•
•
Eerst witte laag, dan tweede laag
Hoeken verwisselen
Hoeken draaien
Randen verwisselen
Randen draaien
18/25
De eerste laag
Wit boven houden
Eerst randblokjes 1 voor 1
op de goede plaats, in de juiste orientatie
Nu wit onder houden
Dan hoeken van bovenlaag naar benedenlaag
op de goede plaats, in de juiste orientatie
Roteer de kubus en draai bovenvlak zodat het gat
rechtsonder zit en:
– wit aan de zijkant, linksvoor:
RU’R’
– wit aan de zijkant, rechtsachter:
F’UF
– wit boven, rechtsvoor:
RU’R’ U F’UF
19/25
De middelste laag
Wit onder houden
Maar 4 middenblokjes, zet ze 1 voor 1 goed
Roteer de kubus en draai bovenvlak zodat het gat rechtsmidden zit
en:
– De voorkleur boven, middenachter: F’UF U RU’R’
– De voorkleur opzij, links:
RUR’ U’ F’UF
Eventuele Optimalisatie:
Doe voor je de hoeken van de eerste laag goed zet,
– eerst de eerste 3 blokjes van de middenlaag,
– dan is er een gootje ontstaan waardoor je 1 voor 1 de hoeken van
de eerste laag kunt plaatsen, zoals eerder beschreven
je moet wel steeds door aan het ondervlak te draaien de juiste
plaats onder het gootje brengen
- vervolgens doe je alleen het vierde middenblokje zoals boven
beschreven
20/25
De laatste laag…
Hoeken verwisselen
L’URU’LUR’
RUR’URU2R’
(A-,C,D-,B-,)
A a
d
D c
(A+,C+)(B+,D)
(A-,C,D-,B-,) (A+,C+)(B+,D) = A D (B,C)
Dus
L’URU’LUR’ RUR’URU2R’
(B,C)
Ofwel (R’R annihilatie en met effect op randen erbij)
L’URU’LU2R’URU2R’
(B,C) (b,c)
B
b
C
21/25
De laatste laag…
Hoeken draaien
RUR’URU2R’
Gespiegelde daarvan is
L’U’LUL’U2L
(A+,C+)(B+,D)
A a
d
D c
(A-,C)(B-,D-)
(A+,C+)(B+,D) (A-,C)(B-,D-) = A+DDus
RUR’URU2R’ L’U’LUL’U2L
A +D -
Met effect op randen erbij
RUR’URU2R’ L’U’LUL’U2L
A +D -
B
b
C
22/25
De laatste laag…
Randen verwisselen 2 aan 2
???
Singmaster grip
L2U2 L2U2 L2U2
(a,c)(b,d)
(a,c)(lb,lf)
A a
d
D c
lb = left-back, lf = left-front
Conjugeren:
(BF’U) L2U2 L2U2 L2U2 (BF’U)-1 = (a,c)(b,d)
Dus
BF’U L2U2 L2U2 L2U2 U’FB’
(a,c)(b,d)
Ofwel
BF’U L2U2 L2U2 L2UFB’
(a,c)(b,d)
B
b
C
23/25
De laatste laag…
Randen verwisselen 3-cykel
???
Small slicer
U2 LR’ F2 L’R
(a,b,c)
(a,df,c)
df = down-front
Conjugeren:
(R’D’) U2 LR’ F2 L’R (R’D’)-1 = (a,b,c)
Dus
R’D’ U2 LR’ F2 L’R DR
(a,c)(b,d)
(a,b,c) roteren geeft (b,c,d)
(a,b,c)(b,c,d) = (a,c)(b,d)
Etcetera….
A a
d
D c
B
b
C
24/25
De laatste laag…
Randen draaien
A a
d
D c
???
a+ b+
Slicing around
RL’ B RL’ D RL’ F2 R’L D R’L B R’L U2 a+c+
Lijkt moeilijk maar als je na de eerste 3 slices elke keer de
kubus zo draait dat achter boven wordt (+) en bij de tweede
3 slices de kubus elke keer zo draait dat boven weer achter
wordt (-) dan wordt de serie eenvoudig:
RL’ + URL’ + URL’ + U2R’L - UR’L - UR’L - U2
a+c+
Conjugeren:
(R’F’)RL’BRL’DRL’F2R’LDR’LBR’LU2(R’F’)-1
a+b+
Meer slicing:
bestudeer R’L B R’L D R’L F RL’ U
U2 en weer R’L B R’L D R’L F RL’ U
a+b+c+d+
B
b
C
25/25
Literatuur
Wiskunde:
• Adventures in Group Theory
David Joyner
• mathworld.wolfram.com/RubiksCube.html
Wiskunde + spelen:
• hedgehog.math.arizona.edu/~reid/Rubik/
• cff.helm.lu
Spelen:
• www.speedcubing.com
• www.rubiks.com