Transcript תיאוריה של היבטים פרקטיים אודות הוכחות בסביבת תוכנה סימבולית - גרפית נורית זהבי וגיורא מן 1 מכון ויצמן למדע Chais 2010

‫תיאוריה של היבטים פרקטיים אודות‬
‫הוכחות‬
‫בסביבת תוכנה סימבולית‪-‬גרפית‬
‫נורית זהבי וגיורא מן‬
‫‪1‬‬
‫מכון ויצמן למדע‬
‫‪Chais 2010‬‬
‫מטרות המחקר‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫בדיקת האפשרות לפתח תיאוריה‪-‬של‪-‬פרקטיקה‬
‫(פרקסאולוגיה) להוראה אודות הוכחות בגיאומטריה‬
‫אנליטית בסביבת ‪.CAS‬‬
‫ב‪Computer Algebra System -‬‬
‫הבנת תפקיד סרגלי גרירה *‬
‫בגישור בין מתמטיקה ניסיונית והוכחה דדוקטיבית‪.‬‬
‫* סרגלי גרירה מאפשרים להדגים‪ ,‬באופן דינמי‪ ,‬את השפעת שינוי ערכו של‬
‫פרמטר בביטוי אלגברי על צורת הייצוג הגרפי של הביטוי‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪Chais 2010‬‬
‫מתודולוגיה‬
‫‪‬‬
‫בירור עמדות של מורים לגבי הצורך שתלמידים יוכיחו‬
‫בדרך אלגברית תוצאות המתקבלות על‪-‬ידי התנסות‬
‫דינמית עם סרגלי גרירה‪.‬‬
‫‪‬‬
‫ניתוח הצדקות והוכחות של מורים לגבי תוצאות לא‬
‫מוכרות המתקבלות תוך התנסות עם סרגלי גרירה‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪Chais 2010‬‬
Proofs and dynamic geometry
Hanna (ESM, 2000)
 Experimental work with dynamic geometry could
lead educators to question the need for analytical
proofs.
(Laborde; Drijvers)
 The key role of proofs in the classroom is to
promote mathematical understanding.
 Exploration of a problem can lead one to grasp its
structure and its ramification, but cannot yield an
explicit understanding of every link!
Chais 2010
4
‫תיאוריה של פרקטיקה דידקטית‬
‫)‪Praxeology (Chevallard‬‬
‫‪‬‬
‫הגישה האנתרופולוגית של שוואלר משמשת את החוקרים‬
‫הצרפתים שעוסקים בפיתוח למידה בסביבת תוכנות‬
‫‪.CAS‬‬
‫‪‬‬
‫לפי גישה זו פרקטיקה מאופיינת על‪-‬ידי שלושה מרכיבים‪:‬‬
‫משימות בנושא הנלמד‪ ,‬שיטות לביצוע המשימות ודיון‬
‫מבוסס‪-‬תיאוריה על שיטות הביצוע‪.‬‬
‫‪‬‬
‫הנחה מרכזית בגישה האנתרופולוגית היא כי הידע תלוי‬
‫בשותפים לסביבה הלימודית בה צומח הידע (מתמטיקה‬
‫של‪ ) ...‬ומרכיביה נבנים תוך אינטראקציה בין השותפים‪.‬‬
‫‪5‬‬
‫‪Chais 2010‬‬
‫‪ :Duval‬מיון ייצוגים סמיוטיים וטרנספורמציות בתוך‬
‫ייצוג (‪ )treatment‬ובין ייצוגים (‪)conversion‬‬
‫‪‬‬
‫לפי דובל קשיים קוגניטיביים בהבנת מתמטיקה נובעים‬
‫מהצורך לשלב ייצוגים סמיוטיים ולהפעיל עליהם‬
‫טרנספורמציות‪ :‬טיפולים והמרות‪.‬‬
‫‪‬‬
‫הקושי העיקרי הוא בהמרות בין ייצוגים ובמיוחד בהמרות‬
‫לא חופפות )‪( .(non-congruent conversions‬זיהוי‬
‫של אותו אובייקט המיוצג בשני רגיסטרים‪ ).‬לדוגמא‪:‬‬
‫הייצוג המילולי "קבוצת הנקודות שעבורן שיעור ‪ y‬ושיעור‬
‫‪ x‬הם בעלי סימן זהה" מתורגמת לייצוג אלגברי ‪x  y  0‬‬
‫(המרה לא חופפת)‬
‫‪6‬‬
‫‪Chais 2010‬‬
‫הוכחת משפטים בגיאומטריה אנליטית בסביבת‬
‫תוכנה מתמטית‪ :‬המוטיבציה למחקר‬
‫שאלה 'תמימה' של מורים בהשתלמות‪" :‬האם אפשר לשרטט‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫מנקודה במישור זוג משיקים ל ‪ , x  y  1‬אחד לכל זרוע?"‬
‫‪4‬‬
‫‪9‬‬
‫המורים דרשו לראות הוכחה להתנהגות המשיקים!‬
‫‪7‬‬
‫‪Chais 2010‬‬
Symbolic computation in CAS
a=3, b=2
x2 y 2
 2 1
2
a b
x1  x 2  0
4 X  9Y  0 !
2
2
Chais 2010
2
2
2
2
(Y   X  Y  X )  (Y   X  Y  X )
3
3
3
3
8
‫השתלמות‪ :‬הוראת מתמטיקה בחטיבה העליונה‬
‫עבודה עצמית‪ :‬משיקים להיפרבולה‬
‫שם המורה‪............... :‬‬
‫נתונה היפרבולה שמשוואתה‬
‫האם דרך כל נקודה במישור‪ ,‬שאינה על‬
‫האסימפטוטות‪ ,‬עוברים שני משיקים‬
‫להיפרבולה? הסבירו‪.‬‬
‫האם שני משיקים להיפרבולה העוברים‬
‫דרך נקודה מסוימת‪ ,‬משיקים לאותה‬
‫זרוע של ההיפרבולה? הסבירו‪.‬‬
‫‪9‬‬
‫‪Chais 2010‬‬
‫‪x y 1‬‬
‫השתלמות‪ :‬הוראת מתמטיקה בחטיבה העליונה‬
‫עבודה עצמית‪ :‬משיקים להיפרבולה‬
‫שם המורה‪............... :‬‬
‫פתחו קובץ לאנימציה‬
‫האם דרך כל נקודה במישור‪ ,‬שאינה‬
‫על האסימפטוטות‪ ,‬עוברים שני‬
‫משיקים להיפרבולה? הסבירו‪.‬‬
‫האם שני משיקים להיפרבולה‬
‫העוברים דרך נקודה מסוימת‪,‬‬
‫משיקים לאותה זרוע של‬
‫ההיפרבולה? הסבירו‪.‬‬
‫דרגו צורך‬
‫בהוכחה אלגברית‬
‫‪10‬‬
‫צריך ‪6‬‬
‫‪5‬‬
‫‪Chais 2010‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫לא צריך‬
‫הקובץ מכיל את הביטויים שיצרו את האנימציה‪.‬‬
‫השלימו מעברים בין שלבי ההוכחה והוסיפו הסברים‪.‬‬
‫היעזרו בביטויים עבור שיעורי נקודות ההשקה‬
‫להוכחת הממצאים באנימציה‪.‬‬
‫מה עמדתכם‪ ,‬עתה‪ ,‬לגבי הצורך בהצדקה אלגברית לתשובות‬
‫שהתקבלו ע"י האנימציה? סמנו מספר מ ‪ 1‬עד ‪6‬‬
‫‪11‬‬
‫‪Chais 2010‬‬
‫שאלות המחקר‬
‫שאלת מחקר ‪1‬‬
‫משימה ‪ 2‬נותנת הכוונה להוכחה (בעזרת הביטויים)‪.‬‬
‫האם בעקבות משימה ‪ 2‬ישנו המורים את דירוג‬
‫עמדתם לגבי הצורך לבקש מתלמידים להוכיח‬
‫אלגברית את התוצאות הגיאומטריות שהתקבלו בדרך‬
‫גרפית?‬
‫שאלת מחקר ‪2‬‬
‫מה תרומתם של הסברי המורים במשימה ‪ 1‬לתכנון‬
‫משימות ושיטות ביצוע לחקירת התנהגות המשיקים?‬
‫‪12‬‬
‫‪Chais 2010‬‬
‫שאלות המחקר‬
‫שאלת מחקר ‪3‬‬
‫בהינתן הביטויים האלגבריים לשיעורי נקודות ההשקה‪:‬‬
‫א‪ .‬האם המורים יגיעו להוכחה?‬
‫ב‪ .‬האם נקבל יותר מהוכחה אחת?‬
‫ג‪ .‬כיצד נמיין את ההוכחות?‬
‫(מתייחסת למשימה ‪(2‬‬
‫שאלת מחקר ‪4‬‬
‫כיצד תורם מיון הטרנספורמציות של ייצוגים לפי דובל‬
‫לניתוח ההוכחות?‬
‫‪13‬‬
‫‪Chais 2010‬‬
Distribution of teachers’ rating )n = 43)
Part (a)
1-2
3-4
5-6
3
2
1
6
2
6
7
15
4
6
12
22
14
20
Part (b)
1-2
U
3-4
5-6
H
9
Chais 2010
14
‫מורה ‪ : U‬משימה ‪1‬‬
‫שיפועי משיקים (המורה שרטט את המשיקים ידנית)‬
‫‪Rating: 3‬‬
‫"התלמידים צריכים ללמוד לתקשר במוסכמות של הדיסציפלינה"‬
‫‪15‬‬
‫‪Chais 2010‬‬
‫מורה ‪ :H‬משימה ‪1‬‬
‫נקודות חיתוך של משיקים (השרטוט בעזרת התוכנה בשני צבעים)‬
‫‪Rating: 2‬‬
‫"ההדגמה ברורה ומסבירה היטב"‬
‫‪16‬‬
‫‪Chais 2010‬‬
‫שאלת המחקר השלישית‪ :‬מיון ההוכחות‬
‫קריטריונים למיון‬
‫(א) סוגי התובנות בבסיס השיטות לההוכחה‪:‬‬
‫שיטה המבוססת על תובנה אריתמטית‪-‬גיאומטרית )‪(n=10‬‬
‫שיטה שנקודת המוצא שלה היא תובנה סימבולית )‪(n=8‬‬
‫שיטה המסתמכת על תובנה סימבולית‪-‬גרפית )‪(n=5‬‬
‫(ב) מנגנוני התוכנה אשר שולבו במהלך ההוכחה‪:‬‬
‫‪ ,------‬גרפי‪ ,‬סימבולי‪ ,‬סימבולי‪-‬גרפי‬
‫‪17‬‬
‫‪Chais 2010‬‬
Rating: 4
‫גיאומטרית‬-‫ תובנה אריתמטית‬:U ‫מורה‬
Sign Check
If X > 0, Y > 0
Then:
x1 - pos/pos
y1 – pos/pos
x2 - pos/pos
y2 – pos/pos
X•Y < 1 (under sqr)
X*Y >1
Two tangents to
one branch
‫גישה 'נאיבית' דידקטית‬
Chais 2010
18
Rating: 4
‫גיאומטרית‬-‫ תובנה אריתמטית‬:U ‫מורה‬
If X > 0, Y < 0
Then:
x1 - neg/neg
y1 – pos/pos
x2 - pos/neg
y2 – neg/pos
Two tangents to two
branches
‫טרנספורמציות של ייצוגים‬
Chais 2010
19
‫ תובנה סימבולית‬:H ‫מורה‬
Rating: 6
Reflection: Symbol Sense (a + b)(a – b)
(1  1  X  Y)  ( 1  X  Y  1)  X  Y
1 1 X Y 1 X Y 1
TP1  [
,
]
Y
X
1 X Y 1 1 1 X Y
TP 2  [
,
]
Y
X
X
x1 x2 
Y
‫המרה לא חופפת מייצוג גרפי‬
X
X
 0 or  0
Y
Y
‫טיפול בתוך ייצוג אלגברי‬
x1  x2  0 or x1  x2  0
‫ בהתאמה‬.... ‫ – אז‬....‫אם‬
Chais 2010
20
‫דיון וסיכום‬
‫‪Symbol Sense in the messy expressions‬‬
‫מיון הטרנספורמציות לפי דובל משמעותי לניתוח ההוכחה במקרה הכללי‬
‫‪21‬‬
‫‪Chais 2010‬‬
‫עיצוב הפרקטיקה‪ :‬מיקוד על המרות בין ייצוגים‬
‫‪ ‬בשונה מטיפול ידני‪ ,‬הטיפול על‪-‬ידי ה‪ CAS -‬מתבצע בשלב אחד‪.‬‬
‫התוכנה מאפשרת הוכחה במספר שלבים קטן‪ ,‬ואז המיקוד של‬
‫הלומד הוא על המעברים בין השלבים ולא על הפרטים הטכניים‬
‫של כל שלב‪.‬‬
‫‪ ‬השימוש האינטנסיבי המשולב במנגנון הסימבולי ובמנגנון הגרפי‬
‫(המרה בין רגיסטרים)‪ ,‬שסרגל הגרירה מאפשר (משפחה‬
‫פרמטרית של המרות)‪ ,‬יוצר תובנה סימבולית שלא התאפשרה‬
‫בעבר למרבית התלמידים‪ .‬תובנה זאת מתבטאת בכך שלא רק‬
‫שניתן לזהות איכותית את ההשפעה של שינוי ערך הפרמטר על‬
‫הצורה הגיאומטרית‪ ,‬אלא גם ללמוד להסביר כמותית את סיבת‬
‫השינוי‪.‬‬
‫‪22‬‬
‫‪Chais 2010‬‬
‫פרקסאולוגיה אודות הוכחות בסביבה‬
‫סימבולית‪-‬גרפית‬
‫משימות‬
‫‪‬‬
‫זיהוי נושא מתאים (על‪-‬ידי המפתחים‪-‬חוקרים);‬
‫‪‬‬
‫ניסוח שאלות מובילות (על‪-‬ידי המפתחים והמורים);‬
‫‪‬‬
‫תכנון התנסויות דינמיות (על‪-‬ידי המפתחים והמורים);‬
‫משימות שצומחות מחקירת המורים את השאלות המובילות‪.‬‬
‫‪23‬‬
‫‪Chais 2010‬‬
‫פרקסאולוגיה אודות הוכחות בסביבה‬
‫סימבולית‪-‬גרפית‬
‫שיטות לביצוע משימות הוכחה‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪24‬‬
‫בניית הנוסחאות עבור הכלי הדינמי (סרגל גרירה)‬
‫על‪-‬ידי המפתחים ו‪/‬או על‪-‬ידי הלומדים;‬
‫התנסות והעלאת השערות;‬
‫הצדקה ברמות שונות;‬
‫מאמץ להגיע להוכחה שמתבססת על הנוסחאות‬
‫שיצרו את ההתנסות הדינמית‪.‬‬
‫‪Chais 2010‬‬
‫פרקסאולוגיה אודות הוכחות בסביבה‬
‫סימבולית‪-‬גרפית‬
‫הבסיס התיאורטי‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪25‬‬
‫ההתנסות הדינמית מובילה להשערות אצל הלומדים‬
‫ולניסיון להצדקתן;‬
‫בניית הוכחה אלגברית מבוססת על הנוסחאות‬
‫שמשמשות בחלק הדינמי;‬
‫ניתוח המעברים בהוכחה בעזרת המיון של דובל יכול‬
‫לתרום לדרכי ההוראה;‬
‫מגוון המשימות‪ ,‬שיטות הביצוע וההוכחות תלוי‬
‫בשותפים בסביבה החינוכית המסוימת (שוולאר)‪.‬‬
‫‪Chais 2010‬‬