Transcript Presentació - cosmolinux

Energia potencial gravitatòria
1
Treball
Treball realitzat per una força constant que provoca
un desplaçament
W =
F⋅r = F⋅r⋅cos
2
Treball
Treball realitzat per una força que provoca un
desplaçament
r2

W r  r =∫r 
F  r ⋅d r
1
2
1
3
Treball
2
Quan una força fa treball sobre un objecte,
la seva velocitat pot canviar. Suposem que
actua la força Fg.
1
r2

r2

1
1
W r  r =∫r 
F g  r ⋅d r =m ∫r
1
2
v
d v
⋅d r =m∫v v dv
dt
2
1
1
1
2
2
W r  r = m v 2− m v 1
2
2
1
2
4
Treball
Suposem que estem a la
superfície de la terra i volem
aixecar un cos fins a una
certa alçada.
Volem calcular el treball
necessari per aixecar un cos
des d'una alçada h1 fins a
una alçada h2.
r2
r2
1
1
W ' r  r =∫r 
F  r ⋅d r =−∫r 
F g  r ⋅d r
1
2
5
Treball
r2
W ' r  r =−∫r 
F g  r ⋅d r
1
2
1
Anem a calcular aquest treball en el cas que estem a la
superfície de la terra, sota l'acció de la força de la
gravetat Fg = -mgz. Si estem aixecant un cos a la
superfície de la terra des d'una alçada h1 fins a una
alçada h2 tindrem que:
h2
W ' h  h =−∫h mgz⋅dz=mgh 2−mgh1
1
2
1
Aquest resultat indica que el treball no depen del camí seguit per
aixecar el cos, només depèn de les alçades inicial i final.
6
2
Treball i Energia
Quan una força fa treball sobre un objecte, la
seva velocitat pot canviar i la seva posició
també. Suposem que actua la força Fg.
1
1
1
2
2

∫r F g  r ⋅d r = 2 m v 2− 2 m v 1 ≡ E c  r 2 −E c  r 1 
r2

1
r2

−∫r 
F g  r ⋅d r = mg h2 −mg h1 ≡ E p  
r 2 − E p  
r1
1
Ec
r 1 E p  
r1 = E c  
r 2 E p  
r 2
E  r1  = E  r2 
E  r  ≡ E c  r E c  r 
7
Energia Potencial Gravitatòria
Forces Conservatives
Diem que una força és conservativa quan
el treball necessari per portar un cos d'un
punt a un altre no depèn de la trajectòria.
La força gravitatòria és una força
conservativa i les forces elèctriques també.
r2

W r  r =−∫r 
F g  r ⋅d r =mgh 2−mgh1
1
2
1
Només per a forces conservatives es
poden definir energies potencials, que són
funcions només depenen de les
8
coordenades de cada punt.
Energia Potencial Gravitatòria
Forces Conservatives
Per a calcular la funció energia potencial,
calculem el treball necessari per portar
una massa m des del punt 1 al punt 2.
M
r2

W r  r =−∫r 
F g  r ⋅d r
1
2
1
Mm

F g =G 2 u
r
Mm
Mm
W r  r =−G
G
=E p r 2 −E p r 1 
r2
r1
1
2
9
Energia Potencial Gravitatòria
∞
W r  r = E p r 2 −E p r 1 
1
M
2
Mm
E p r  = −G
r
Mm
Mm
W ∞ r =−G
G
=E p r 
r
∞
L'energia potencial al punt r correspon al treball necessari
per portar la massa m des de l'infinit fins al punt r
10
Energia i Trajectòries
1
Mm
2
E = m v −G
2
r
E4
E3
r
E2
E− E p r = E c ≥0
E4 correspon a un cos que no està
lligat i que segueix una trajectòria
hiperbòlica.
E3 correspon a un cos amb energia
total zero. No està lligat i la
trajectòria és parabòlica.
E1
Ep(r)
E2 i E1 corresponen a cossos que
no poden escapar i que segueixen
trajectòries el·líptiques
11
Velocitat d'escapament
Els cossos que tenen una energia E = 0 són els cossos que
tenen la mínima energia necessària per escapar-se d'un camp
gravitatori. Si partim de la superfície terrestre, la velocitat
necessària per escapar és:
1
Mm
2
E = m v e −G
= 0
2
rT

2GM
v e=
=  2gr T ≃11.2 km/ s
rT
12
Energia potencial d'un sistema
de masses
m1
m2
m3
m4
Si la distància entre les
masses es coneguda,
com calculem l'energia
necessària per forma
aquest sistema de
masses?
13
Potencial gravitatori
m1
m2
∞
r12
m1 m 2
E p=−G
r 12
Si treballem amb moltes
masses, m2, m3, etc. es
convenient definir l'energia
potencial per unitat de
massa, que anomenem
potencial gravitatori.
m1
El treball que hem de fer per portar la
massa 2 des de l'infinit fins a una
distancia r12 és Ep.
m1
V =−G
r 12
m2=1kg
r12
∞
14
Potencial gravitatori
creat per un sistema de
masses
.P
m1
m2
m3
m1
m2
m3
V  P =−G
−G
−G
r 1P
r 2P
r 3P
15