Transcript odp
Přednáška 10 Kroucení prutů 1) Kroucení prutu s kruhovým průřezem 2) Volné kroucení prutu s průřezem a) Masivním b) Tenkostěnným otevřeným c) Tenkostěnným uzavřeným 3) Ohybové (vázané) kroucení Příklady Copyright (c) 2011 Vít Šmilauer Czech Technical University in Prague, Faculty of Civil Engineering, Department of Mechanics, Czech Republic Permission is granted to copy, distribute and/or modify this document under the terms of the GNU Free Documentation License, Version 1.2 or any later version published by the Free Software Foundation; with no Invariant Sections, no Front-Cover Texts, and no Back-Cover Texts. A copy of the license is included in the section entitled "GNU Free Documentation License" found at http://www.gnu.org/licenses/ 1 Rovnoměrné kroucení kruhové tyče Původní poloha bodu y =r cos z =r sin x x x = L x y z Nová poloha bodu po natočení průřezu cos y v=r cos x =r cos −r x sin −r x ⋯ 2! sin z w=r sin x =r sin r x cos −r x 2 −⋯ 2! 2 y Posuny bodu, pokud jx << 1 v=r cos x −r cos ≈−r x sin =−z x w=r sin x −r sin ≈r x cos = y x y a a+jx z r z+w y+v z 2 Rovnoměrné kroucení kruhové tyče Pole posunů v x , y , z =−z x x w x , y , z= y x x Rovnoměrné kroucení x x x = L Pole deformací x x ∂u ∂ v xy = =−z =−z =−z ∂y ∂x dx L x x ∂w ∂u xz = = y = y =y ∂x ∂z dx L ∂v ∂w yz = =− x x x x =0 ∂z ∂y q - Poměrné (relativní) zkroucení V rovině xy nedochází ke smykovým deformacím. 3 Rovnoměrné kroucení kruhové tyče - napětí max =G R Pole napětí Smykové čáry (izolinie napětí) xy x , y , z =G xy =−G z y xz x , y , z =G xz =G y max =G R , = A A T [ 0 ,xy 0 [ 0 xy cos xz sin − xy sin cos xz sin xy cos xz sin 0 0 − xy sin cos xz sin 0 0 , xy ,xz 0 , xz ][ ][ ][ ] 0 xy xz 1 1 0 0 0 0 0 = 0 cos sin ⋅ xy 0 0 ⋅ 0 cos −sin = 0 −sin cos xz 0 0 0 sin cos 0 Rotace tenzoru napětí zde funguje stejně jako rotace vektoru napětí. xs = xz ' xy '=0 xz =xs cos z ] y xy =− xs sin R y a z r s xs =G r z 4 Vztah smykových napětí a kroutícího momentu Nenulové složky napětí xy x , y , z =−G z xz x , y , z =G y x y z M x =∫ xz y − xy z dA A M x =∫ G y 2G z 2 dA=G ∫ y 2 z 2 dA A A Polární moment setrvačnosti průřezu xy dA xz dA I p =∫ y 2 z 2 dA=∫ r 2 dA=I y I z A A M x =G I p Tuhost kruhového průřezu v kroucení Poměrné (relativní) zkroucení prutu 5 Příklad – ověřte ekvivalenci smykového napětí a Mx ● Kruhová tyč o poloměru R max =G R R dr M x =∫ 2 r ⋅ 0 obvod GR r ⋅ r dr R rameno napětí r R R R4 M x =∫ 2 G ⋅r dt=G 2 0 3 Vzorec s využitím polárního moment setrvačnosti průřezu R4 R4 R4 M x =G I p =G =G 4 4 2 6 Základní rovnice krouceného prutu [ ] d x x d GI p m x x =0 dx dx Natočení jx(x) dM x x mx x =0 dx d x x x x = dx Zkroucení qx(x) Vnější zatížení mx(x) M x x =GI p x x Moment Mx(x) Napětí txy, txz 7 Příklad - rovnoměrné kroucení kruhové tyče Určete průběh smykového napětí a průběh natočení 8 kNm x Ø 0,2 m G=80 GPa L=2 m Mx + 8 kNm + L + 1.27e-3 rad jx Mxx x x = =6.37e-4 rad/m GI p d x x x x = dx 6.37e-4 rad/m qx R4 4 I p =I y I z =2 =1.571e-4 m 4 x x =∫ x x dx =6.37e-4 x C 1 0 0 x L= =2⋅6.37e-4=1.27e-3 rad max =5.09 MPa y max =5.09 MPa x 0 =0 z max =G x x R=5.09 MPa 8 Deplanace průřezu ● ● ● Při kroucení obecně ztrácejí průřezy rovinnost, s výjimkou rotačně symetrických průřezů, tj. kruhu a mezikruží. Deplanace = ztráta rovinnosti průřezu Pole posunutí s uvážením funkce deplanace y(y,z) u y , z = x y , z Původní rovina průřezu před zkroucením. Funkce deplanace pro obdélníkový průřez 0,2 x 0,3 m. 9 Volné kroucení obecného průřezu ● Pro deplanační funkci lze odvodit Laplaceovu rovnici ∂2 y , z ∂ 2 y , z =0 2 2 ∂y ∂z ● Řešení rovnice pro obdélníkový průřez a okrajové podmínky viz dále. Odvození Laplaceovy rovnice: vyjdeme z pole posunů, uvažujeme nejprve rovnoměrné kroucení d x x ==konst. dx u x , y , z = y , z v x , y , z =−z x x w x , y , z= y x x yz = ∂v ∂w ∂z ∂y zx = ∂w ∂u ∂x ∂z ∂u ∂ v xy = ∂y ∂x ∂ xy x , y , z = −z ∂y xz x , y , z = ∂ y ∂z yz x , y , z =− x x x x=0 10 Volné kroucení obecného průřezu ● Pole napětí Cauchyho rovnice rovnováhy xy =G xy xz =G xz ∂ xy x , y , z =G −z ∂y xz x , y , z =G ● ∂ y ∂z ∂ x ∂ yx ∂ zx X =0 ∂x ∂y ∂z ∂ 2 y , z ∂ 2 y , z G =0 2 2 ∂y ∂z ∂2 y , z ∂2 y , z =0 2 2 ∂y ∂z 11 Okrajová podmínka Laplaceovy rovnice ● Smykové napětí na okraji průřezu působí ve směru tečny y ⊥ =0=n y xy n z xz ∂ ∂ xy =G − z , xz =G y ∂y ∂z ∂ ∂ ny nz =n y z −n z y ∂y ∂z ∂ =n y z −n z y ∂n xy ny z xz nz ⊥ =0 ∥ Na hranici je předepsána normálová derivace deplanační funkce (Neumannova podmínka) Řešení Laplaceovy rovnice pro obdélník b=0.2, h=0.3 m. 12 Volné kroucení obecného prutu ● Při známé deplanační funkci lze vyjádřit složky napětí Kroutící moment xy =G ● ∂ ∂ − z , xz =G y ∂y ∂z ∫ M x =∫ xz y − xy z dA=G A A ∂ ∂ y z y− z dA ∂z ∂y 2 2 Ik Moment tuhosti průřezu ve volném kroucení M x =G I k Tuhost průřezu ve volném kroucení Poměrné (relativní) zkroucení prutu 13 Volné kroucení masivního průřezu ● Přibližné řešení pro masivní průřez obecného tvaru A4 Ik≈ 40I p ● tmax je nutné určit přímo z deplanační funkce Přesné řešení pro obdélník z Laplaceovy rovnice xy h>b − xz = max xz =max max≈ b<h 3 9 Mx 2 2b h b h 192b Ik= 1− 5 3 h ∞ ∑ n= 0,1 ,... 2n1 h 1 tanh 5 2b 2n1 14 Volné kroucení úzkého obdélníka ● Ponecháme první člen sumy a za předpokladu b<<h b3h 192b h b3h b Ik≈ 1− 5 tanh = 1−0.63 3 2b 3 h h ● Smykové napětí je ve směru b rozloženo přibližně lineárně xy ≈0 Mx max = b Ik h Pozn. Napětí txy a txz je určeno z deplanační funkce. Výsledný moment od smykového napětí txz dává přesně polovinu momentu Mx. Druhou polovinu momentu Mx tvoří malé napětí txy, které ovšem působí na velkém rameni. max xz = max b 15 Volné kroucení otevřeného tenkostěnného průřezu Otevřený tenkostěnný průřez Střednice průřezu 200 mm h3=100 200 mm Mx h5=250 50 125 mm 175 mm 50 d3=d4=50 50 d1=50 h1=175 h4=100 d5=50 h2=175 d2=50 350 mm Moment tuhosti v kroucení je součtem momentů tuhosti z jednotlivých větví 1 3 Ik≈ ∑ h 3 n Mx max = max Ik Největší smykové napětí vzniká v nejtlustší větvi! 16 Příklad – tenkostěnný otevřený průřez Pro tenkostěnný průřez z předešlé stránky určete rozložení napětí a vzájemné natočení koncových průřezů. Prut je délkyM3 =12.95 m. kNm , G=80.77 GPa x 3 1 0.05 3 4 I k = ∑ h= 2⋅0.1752⋅0.1000.250=3.333e-5 m 3 n 3 Mx 12.95e-3 max = max= 0.05=19.43 MPa Ik 3.333e-5 Mx 12.95 −1 = = =4.81e-3 m GI k 80.77e+6⋅3.333e-5 3m Rozložení napětí po tloušťce střednic tmax=19.43 MPa tmax=19.43 MPa = ∫ dx =3⋅4.81e-3=1.44e-2 rad =0.83 o 0 17 Příklad – tenkostěnný otevřený průřez Simulace kroucení pomocí metody konečných prvků (kvadratické prostorové prvky brick). Díky vetknutí prutu je bráněno volné deplanaci. Vzájemné natočení krajních průřezu vychází o 22% menší, tj. 0.655o. Konzola délky 3 m. Deformace zvětšeny 50x. Deplanace průřezu ve 2 m od vetknutí. Deformace zvětšeny 500x. Posuny u udány v metrech. Smyková napětí. 18 Volné kroucení uzavřeného tenkostěnného průřezu ● Smykový tok je konstantní podél střednice průřezu, smykové napětí je rozloženo rovnoměrně po tloušťce Uzavřený tenkostěnný průřez Střednice průřezu : 2 s 2 dx −1 s1 dx=0 t xs=1 s1 = 2 s 2 1 s 1 dx d (s) dx s s x Smykový tok Mx t xs t xs t xs 2 s 2 dx x =0 Smykové napětí t xs Mx xs xs xs t xs xs = s Největší napětí vzniká v nejtenčí části! 19 Volné kroucení uzavřeného tenkostěnného průřezu Příspěvek segmentu střednice číslo n ke kroutícímu momentu s n T F n = xs n hn =t xs h n F n n =t xs hn n =t xs n hn F n Wn… Dvojnásobná plocha opsaná průvodičem Celkový kroutící moment M x =∑ F n n=t xs ∑ n n n =h n n n M x =t xs =t xs ∮ s ds 1. Bredtův vzorec 20 Volné kroucení uzavřeného tenkostěnného průřezu =2⋅plocha =2⋅plocha Z deplanační funkce uzavřeného průřezu lze odvodit 2. Bredtův vzorec Mx = GI k 2 Ik= ds ∮ s 2. Bredtův vzorec Moment tuhosti ve volném kroucení GIk … Torzní tuhost průřezu. U uzavřených průřezů řádově převyšuje torzní tuhost průřezů otevřených (při podobných tvarech průřezů). 21 Odvození 2. Bredtova vzorce ≈ x s, vs Mx ∂ u ∂ v s xs t xs xs = = = = ∂ s ∂ x G G G Střednice x ∂ vs v s ≈ x , = ∂x Mx ∂vs Mx ∂u = − = − ∂ s G ∂ x G s s s Integrace po obvodě průřezu musí vést ke stejnému posunu u, tj. C1=0. Mx M x ds u=∫ ds−∫ dsC 1= −C 1 ∫ G 0 0 G 0 M x ds M x ds 2 = , = , I k= ∮ ∮ G G Ik 2 ds ∮ s 22 Příklad – porovnání průřezů stejných ploch v kroucení 0.29 m 0.8 m 0.2 m Porovnejte Ik, q, Dj, tmax. Délka prutu 2 m, Mx = 3 kNm, G=15 GPa. 0.05 m 0.2 m Masivní průřez Úzký obdélník 0.21 m 0.29 m Uzavřený tenkostěnný průřez A=0.04 m 2 A=0.04 m 2 A=0.04 m 2 b3 h b Ik= 1−0.63 3 h A4 Ik≈ 40 I p =2⋅0.252=0.125 m 2 I k =32e-6 m 4 1 I p =2⋅ 0.24 =266.7e-6 m 4 12 ds 4⋅0.25 = ∮ s 0.04 =25 2 Mx = =62.5e-4 rad/m GI k Mx = =8.33e-4 rad/m GI k 4 Ik= =625e-6 m ds ∮ s Mx = =3.2e-4 rad/m GI k x = L=12.5e-3 rad Mx max≈ b=4.69 MPa Ik x = L=1.67e-3 rad 9M max≈ 2 x =1.69 MPa 2b h x = L=0.64e-3 rad t Mx max = xs = =0.60 MPa min min I k =240e-6 m 4 23 Příklad – porovnejte Ik, tmax následujících průřezů max max max R R R =0.1 R Kruhová tyč =0.1 R Kruhová trubka Rozříznutá trubka I k =I p = R 2 4 4 I k =I p = 4 R − 0.9 R 2 R I k =I p≈0.34 2 4 2R 1 1 3 3 4 I k = ⋅2 R = ⋅2 0.1 R 3 3 R4 I k =0.00133 2 max = Mx M R=2⋅ x3 Ip R max = Mx M R=5.82⋅ x3 Ip R max = Mx M = x 0.1 R Ik Ik Mx max =150⋅ R3 24 Ohybové (vázané) kroucení ● ● K ohybovému kroucení dochází, pokud průřezy nemohou volně deplanovat. Vznikají sekundární napětí sx, txy, txz. Tyto sekundární napětí jsou významé pro tenkostěnné průřezy, zejména otevřené. Možné příčiny omezení deplanace x Vetknutí ● Změna průřezu Osamělý kroutící moment Ohybové kroucení nastává v inženýrské praxi velmi často, volné kroucení naopak zřídka. 25 Otázky 1. Kterých šest složek napětí a deformace je nulových při volném kroucení? 2. Co označuje deplanační funkce? Jakým způsoben se vypočte na obecném průřezu? 3. Které průřezy nikdy nedeplanují, u kterých je deplanace naopak význačná? 4. Jaký je vztah mezi deplanační funkcí a momentem tuhosti ve volném kroucení? 5. Napište moment tuhosti ve volném kroucení pro masivní průřez, tenký obdélník, otevřený tenkostěnný průřez a tenkostěnný uzavřený průřez. 6. Učiňte totéž pro maximální smykové napětí. 7. Ve kterých částech tenkostěnných otevřených a uzavřených průřezů vzniká největší smykové napětí? 8. Které typy průřezů mají nejmenší moment tuhosti ve volném kroucení? 9. Co je ohybové (vázané) kroucení a za jakých podmínek vzniká? 10. Jak není prut namáhán, pokud vnější zatížení prochází středem smyku? Created 02/2011 in OpenOffice 3.2, Ubuntu 10.04 by Vít Šmilauer 26