Slide 1

7. Oscilacije









Oscilacije su oblik kretanja koji je široko
rasprostranjen u prirodi i tehnici.
kretanje klatna časovnika,
oscilovanje atoma i molekula u kristalnoj
rešetki,
oscilovanje vazdušnih stubova, membrane
zvučnika, zategnute žice kod muzičkih
instrumenata
naizmenične struje.
1


Slide 2

Svako kretanje koje se ponavlja u jednakim
vremenskim intervalima naziva se periodičnim, a
ako se kretanje odvija stalno po istoj putanji,
onda se naziva oscilatorno.










Neamortizovano oscilovanje je ono koje se odvija sa
konstantnom amplitudom.
Amortizovano oscilovanje tela ili sistema je ono kod
koga se amplituda smanjuje u toku vremena.

Zadržaćemo se na najprostijem obliku
mehaničkih oscilacija.
Promene oscilatornih veličina sa vremenom
opisuju sinusnim ili kosinusnim zakonom.
Takvo oscilatorno kretanje se naziva
harmonijsko.


Slide 3

7.1 Harmonijske oscilacije

x0
0

0'

-x 0

F   k x


Slide 4

m a  F   k  x

m  x   k  x

x  

k

x

m

k



2

m



 sopstvena kružna frekvencija oscilatora
x   2  x  0


Slide 5

x  x 0 cos(  t   0 )

y  y 0 sin(  t   0 )









x,y - elongacija (ma koje udaljenje od

ravnotežnog položaja)
x0 ,y0,- amplituda (najveće udaljenje od
ravnotežnog položaja)
 =  t+0 - faza oscilovanja
0 - početna faza
2

- kružna frekvencija
T
T - period oscilovanja


Slide 6

y
y0
ry

r




rx

x









T /4
 /2

T /2

3T /4
3  /2

T



-y 0

x  x 0 sin

2
T

t

2

t ( )


Slide 7



2

 

T
2

m



T



period

k

T  2

k
m

m
k



frekvencija

 

1
T

 

1

k

2

m


Slide 8

Primer Kružna frekvencija oscilacija je 4 rad/s. Koliki
su period i linearna frekevencija?


Slide 9



Т=

 =



1
T

2


= 0,5s

= 2Hz

Primer Ako se period uveća za 0,4s, frekvencija se
smanji 3 puta. Koliki je period oscilovanja u oba
slučaja?


Slide 10

T 0=

=

1
0

T  T0  T =

1


0
3









T0 = 0,2s ; T = 0,6s
Primer Koeficijent elastičnosti opruge je
k=20N/m a masa tela koje osciluje na toj
opruzi je 0,2kg. Koliki su:
a. period oscilovanja?
b. linearna frekvencija oscilovanja?
c. kružna frekvencija oscilovanja?


Slide 11

a.

T = 2

m

 0 , 628 s

k





b.  = 1,6Hz
c.  = 10 rad/s
Primer Da bi se period oscilovanja
materijalne tačke mase m = 0,2kg
udvostručio, za koliko je potrebno
uvećati masu tela koje osciluje?


Slide 12

T = 2

m

;2  T = 2 

m + m

k
2=

k

m + m

; 4=

m


m = 3m = 0,6 kg

m + m
m

;


Slide 13

7.2 Brzina i ubrzanje harmonijskog oscilatora
v'  const

y

v'
vy

vx
r


x

v   v sin(   t   )
v   r   x 0


Slide 14

v    x 0 sin(   t   )

v

dx
dt



   x 0 sin(   t   )

ubrzanje

y
ax
a'
ay

r


x

a x  a   a' cos(   t   )

a    r   x0
2

2


Slide 15

a    x 0 cos(   t   )
2

a

d

2

dt

x
2

   x 0 cos(   t   )
2

a   x
2

x  x 0 cos(  t   0 )

F  ma   m  x
2


Slide 16

v0

x ,v ,a

a0
x0

0
-x 0
-a 0
-v 0

T/4

T/2

3 T/4

T

t


Slide 17

Primer Nacrtati grafik brzine pri harmonijskom
oscilovanju u osnovnom periodu:
v=-3 sin (3t+ /2) (m/s)


Primer Nacrtati grafik ubrzanja pri harmonijskom
oscilovanju u osnovnom periodu:
a=0,5 cos (3t - /2) (m/s2)


Slide 18

7.3 Energija harmonijskog oscilatora
Ek 

Ep 

1
2

1

mv

2



2

kx

1
2

2



1
2

m  x 0 sin
2

2

2

( t   )

m  x 0 cos (  t   )
2

E  Ek  E p 

2

1
2

2

m x0
2

2


Slide 19

E ,E k ,E p
E
/

E
Ep

Ek

/

0

/

T/4

T /2

3 T/4

T

t


Slide 20

Materijalna tačka mase 0,1kg osciluje po zakonu:
x = 5 sin /4 t (cm)
Odrediti kinetičku energiju, potencijalnu energiju,
ukupnu energiju, brzinu i ubrzanje za t=2s.


Slide 21







Ep = 0,77 10-4 J
Ek = 0 J
E = 0,77 10-4 J
v= 0 m/s
a= 3,9 10-2 m/s2


Slide 22

7.4 Matematičko klatno


l
T
x

h



s

Fn

F

Q



Q  mg

F  m  g sin 

sin  

x
l


Slide 23

x

F   mg

l

ma   mg

x
l

a  g

x
l



g
l

T  2

l
g


Slide 24

Primer Naći odnos dužina dva matematička klatna ako
je odnos njihovih perioda 2.


Slide 25

l1

=4

l2



Primer Naći odnos perioda dva
matematička klatna ako je odnos
njihovih dužina 4.


Slide 26

T1

2

T2



7.5 Slaganje oscilacija istih frekvencija

k1

m1

k2

m2


Slide 27

x  x1  x 2

x 1  x 01 cos  t   1 
x 2  x 02 cos  t   2 
x  x 0 cos  t   

x 0 cos  t     x 01 cos  t   1   x 02 cos  t   2 
cos      cos  cos   sin  sin 

x 0 cos   x 01 cos  1  x 02 cos  2
x 0 sin   x 01 sin  1  x 02 sin  2


Slide 28

tg  

x 01 sin  1  x 02 sin  2
x 01 cos  1  x 02 co s  2

x 0  x 01  x 02  2 x 01 x 02 ( cos  1 cos  2  sin  1 sin  2 )
2

2

2

cos  cos   sin  sin   cos    
2
x0



2
x 01



2
x 02

 2   1  2 n  ; n  0 ,1 ,2 ,...

 2 x 01 x 02 cos  2   1 

x 0  x 01  x 02

 2   1  ( 2 n  1 )  ; n  0 ,1 ,2 ,...

x 0  x 01  x 02


Slide 29

7.6 Prigušene oscilacije
x

t

x

t


Slide 30

x 01

 ;
2

x 02

x 02

  ; ...

x 03

3

x 0p



qp

x 0q

( q  p )ln   ln x 0 p  ln x 0 q

ln   

logaritamski dekrement
 stepen amortizacije



Q faktor predstavlja odnos energije

prethodne oscilacije prema promeni
energije sledeće oscilacije
Q 

E1
E1  E 2


Slide 31

7.7 Prinudne oscilacije i rezonancija
F ( t )  F ( 0 )cos  t


F(0) - amplituda sile,



 - prinudna kružna frekvencija.

ma  F t   F
 m  x  F ( 0 )sin  t  kx
2

x

F (0)
k  m

2

sin  t


Slide 32

F (0)
x

m
2
0



2

sin  t

F (0)
x0 p 




m

0  
2

2

Praktično amplituda prinudnih oscilacija bi bila
beskonačno velika za , tj. kada se frekvencija
prinudne sile izjednači sa sopstvenom frekvencijom
oscilatora.
Kod realnih oscilatora, koji faktički postoje, govori se
o maksimalnoj amplitudi. Ova pojava, koja se
ispoljava u maksimalnom povećanju amplitude
prinudnih oscilacija pod dejstvom spoljašnje
periodične sile, naziva se rezonancija.