Transcript Prostor stanja

Modeliranje dinamike sustava
Prostor stanja
Studeni 2013
Modeliranje dinamickih sustava
Model je reprezentacija dinamike sustava (procesa) koji se koristi u svrhu:
• analize procesa (razumjevanje, predvidjanje) simulacijama,
• analiticke/numericke analize odredjenih svojstava sustava (npr. analiza
stabilnosti sustava, odredjivanje “najgoreg moguceg” ponasanja sustava)
• sintezu i) strukture ili parametara sustava, ii) regulatora,
•…
Modeliranje ima svoju svrhu!
Kakav model cemo koristiti ovisi prvenstveno o tome na koja pitanja trazimo
odgovore.
Modeliranje dinamickih sustava
Matematicki modeli – opis sustava jednadzbama
1) Algebarske jednadzbe
-“trenutan” odnos medju varijablama
(f=k q
 sila u opruzi)
2) Differencijalne jednadzbe
-Važno je vremensko ponašanje varijabli
- Stvari se ne dešavaju trenutno (imaju memoriju, spremike (energije), “za promjenu
treba vremena”)
Primjeri:
- glavobolja ne nestaje odmah cim uzmemo aspirin
- kondenzator se moze isprazniti spajanjem otpornika – ali ne trenutno
- stiskanjem pedale gasa postize se veca brzina – ali ne trenutno
- temperatura u sobi ne naraste isti tren kad smo ukljucili grijanje
- investicije ne nose trenutnu zaradu, vec ovaj proces ima svoju dinamiku
Za dinamicke sustave ima smisla pitati “u kojem su trenutno stanju”?
U sirem smislu, i ucenje je dinamicki proces…
Modeliranje dinamickih sustava
U ovom predavanju:
- zanimaju nas dinamicki modeli (prvenstveno elektricnih sustava)
- zanima nas ponasanje sustava u smislu: kako ulazne varijable odredjuju
vrijednosti izlaznih varijabli (tj. izlazne varijable = one koje nas iz nekog
razloga zanimiju)
- modele cemo prikazivati u prostoru stanja  uvode se varijable stanja,
kao “unutrasnje” varijable sustava (ulaz i izlaz su “vezani” preko “unutrasnjih”
varijabli)
Modeliranje dinamickih sustava
mq  c(q)  kq  0
“Nasljeđe mehaničara” (povijesno):
Kepler, Newton: gibanje planeta, gravitacija, Newtonovi aksiomi
Jedan od trijmufa Newtonove mahanike: gibanje planeta moze se predvidjeti uz
poznavanje trenutnih polozaja i brzina (to je dovoljno informacija za proracunati
buducnost, a sve sto trebamo znati o proslosti “sadrzano je” u polozajima i
brzinama.)
Napomena: ovdje se radi o autonomnom sustavu; nema vanjskih pobuda (ulaza)
Modeliranje dinamickih sustava
mq  c(q)  kq  0
fazni portret
(phase portrait)
Stanje sustava (vektor stanja sustava; varijable stanje sustava):
= skup svih varijabli koje koje potpuno definiraju gibanje sustava (koje su dovoljne
za prdvidjanje buducnosti sustava)
Za sustava sa gornje slike:
q(t )
vektor stanja: x(t )  

q
(
t
)


Skup svih mogucih vrijednosti vektora stanja: prostor stanja
Modeliranje dinamickih sustava
Modeliranje dinamickih sustava
fazni portret
(phase portrait)
Autonoman sustav:
mq  c(q)  kq  0
Neautonoman sustav (ima vanjske ulaze; vanjske pobude, poremecaje):
mq  c(q)  kq  f
Modeliranje dinamickih sustava
“Nasljeđe elektricara” (povijesno):
-Sinteza elektronickih pojacala naglasavala je promatranje/definiranje
sustava kao ponasanje izmedju ulaznih i izlaznih varijabli
- Sustavi su promatrani kao “uredjaji” koji transformiraju ulaze u izlaze
- Pogodno za “slaganje” kompliciranih sustava od jednostavnijih djelova
(televizor od prijeminika, demodulatora, pojacala, zvucnika,…)
Modeliranje dinamickih sustava
Metode analize ulazno-izlaznih (linearnih, vremenski invarijantnih) modela:
- odziv na “step funkciju”; odziv u frekvensijskom podrucju
Prostor stanja
Nasljeđe mehanicara i elektricara postupno se ujedinjavanju u reprezentaciji ulaznoizlaznih sustava u obliku modela prostora stanja (eng.: state space representation of
input/output systems)  uglavnom kroz razvoj automatske regulacije.
mq  cq  kq  u
u
q(t )
vektor stanja: x(t )  

q
(
t
)


yq
izlaz
 x1   q 
x  
 x2   q 
 x1   q 
x  
 x2   q 
ulaz
Prostor stanja
Nasljeđe mehanicara i elektricara postupno se ujedinjavanju u reprezentaciji ulaznoizlaznih sustava u obliku modela prostora stanja (eng.: state space representation of
input/output systems)  uglavnom kroz razvoj automatske regulacije.
mq  cq  kq  u
u
q(t )
vektor stanja: x(t )  

q
(
t
)


yq
izlaz
 x1   q 
x  
 x2   q 
x2


x
q
 1   

x  
c
k
 x2   q    x2  x1  u 
m
 m

y  x1
ulaz
Prostor stanja
Nasljeđe mehanicara i elektricara postupno se ujedinjavanju u reprezentaciji ulaznoizlaznih sustava u obliku modela prostora stanja (eng.: state space representation of
input/output systems)  uglavnom kroz razvoj automatske regulacije.
mq  cq  kq  u
u
ulaz
q(t )
vektor stanja: x(t )  

q
(
t
)


yq
izlaz
 0
 x1  
x    k
 2 
 m
1 
 x1  0

c       u,

 x2  1 
m
 x1 
y   0 1    0  u
 x2 
Prostor stanja
u
 0
 x1  
x    k
 2 
 m
1 
 x1  0

c       u,

 x2  1 
m
 x1 
y   0 1    0  u
 x2 
x  Ax  Bu
y  Cx  Du
Model linearnog vremenski invarijantnog
sustava u prostoru stanja
Prostor stanja
x  Ax  Bu
y  Cx  Du
Model linearnog vremenski invarijantnog
sustava u prostoru stanja
x  A(t ) x  B(t )u
y  C (t ) x  D(t )u
x  f ( x, u)
y  g ( x, u)
x
n
n
Model linearnog vremenski promjenjvog
sustava u prostoru stanja
Model nelinearnog sustava u prostoru stanja
= vektor prostora stanja
= red sustava
Prostor stanja
u
 0
x
 1 
x    k
 2 
 m
1 
 x1  0

c       u,

 x2  1 
m
 x1 
y   0 1    0  u
 x2 
 x1   q(t ) 
vektor prostora stanja: x(t )     

x
q
(
t
)

 2 
Red sustava?
Koliko ovaj sustav ima spremnika energije?
Prostor stanja
u
 0
x
 1 
x    k
 2 
 m
1 
 x1  0

c       u,

 x2  1 
m
 x1 
y   0 1    0  u
 x2 
 x1   q(t ) 
vektor prostora stanja: x(t )     

x
q
(
t
)

 2 
Red sustava?
2
Koliko ovaj sustav ima spremnika energije? 2
Prostor stanja
u
 0
x
 1 
x    k
 2 
 m
1 
 x1  0

c       u,

 x2  1 
m
 x1 
y   0 1    0  u
 x2 
 x1   q(t ) 
vektor prostora stanja: x(t )     

x
q
(
t
)

 2 
1 2
kq
2
q je varijabla stanja
1
Ek  mq 2
2
q je varijabla stanja
Ep 
Prostor stanja
u
 0
x
 1 
x    k
 2 
 m
1 
 x1  0

c       u,

 x2  1 
m
 x1 
y   0 1    0  u
 x2 
 x1   q(t ) 
vektor prostora stanja: x(t )     

x
q
(
t
)

 2 
Broj spremnika energije u sustavu odredjuje njegov red (broj varijabli stanja)
Prostor stanja
u
 0
x
 1 
x    k
 2 
 m
1 
 x1  0

c       u,

 x2  1 
m
 x1 
y   0 1    0  u
 x2 
 x1   q(t ) 
vektor prostora stanja: x(t )     

x
q
(
t
)

 2 
Broj spremnika energije u sustavu odredjuje njegov red (broj varijabli stanja)
mq  cq  kq  u
= diferencijalna jednadzba drugog reda (nije slucajnost)
Jos o modeliranju
Jos o modeliranju
Jos o modeliranju
Kojeg reda je ovaj sustav?
Sto su varijable stanja?
Jesu li varijable stanja jednoznacno odredjene?
Kojeg reda je ovaj sustav?
Sto su varijable stanja?
Jesu li varijable stanja jednoznacno odredjene? – NISU. Vidjet cemo zasto (i
primjere) kasnije
Jos o modeliranju
Modeliranje dinamickih sustava (mehatronika)
• R resistance
• L inductance
• J moment of inertia
• B mechanical damping
Modeliranje dinamickih sustava (mehatronika)
• R resistance
• L inductance
• J moment of inertia
• B mechanical damping

0
vc  
i    1
 L 
 L
1
1

v


C
c
    C  i
 
R i
  L 0 
L 

v 
y   0 1  c   0  i
 iL 
vc 
x    , u  i, y  iL
 iL 
x  Ax  Bu
y  Cx  du
Reprezentacija dinamike sustava u prostoru stanja nije jednoznacna

0
vc  
i    1
 L 
 L
1
1

v


C
c
    C  i
 
R i
  L 0 
L 

v 
y   0 1  c   0  i
 iL 
vc 
x    , u  i, y  iL
 iL 
x  Ax  Bu
y  Cx  du
Reprezentacija dinamike sustava u prostoru stanja nije jednoznacna
vc  iL 
x
 , u  i, y  iL
v

i
 c L
Jednadzbe prostora stanja?

0
vc  
i    1
 L 
 L
1
1

v


C
c
    C  i
 
R i
  L 0 
L 

v 
y   0 1  c   0  i
 iL 
vc 
x    , u  i, y  iL
 iL 
x  Ax  Bu
y  Cx  du
Reprezentacija dinamike sustava u prostoru stanja nije jednoznacna
vc  iL 
x
 , u  i, y  iL
v

i
 c L
1 1  vc 
x
, u  i, y  iL



1 1  iL 
Jednadzbe prostora stanja?
x  Tx, T 
nn
je regularna matrica
x  Ax  Bu
y  Cx  Du
Reprezentacija dinamike sustava u prostoru stanja nije jednoznacna
x  Tx, T 
nn
je regularna matrica
x  Ax  Bu
y  Cx  Du
Reprezentacija dinamike sustava u prostoru stanja nije jednoznacna
x  Tx, T 
nn
je regularna matrica
x  Tx  x  T 1 x, x  T 1x
x  Ax  Bu
y  Cx  Du
Reprezentacija dinamike sustava u prostoru stanja nije jednoznacna
x  Tx, T 
nn
je regularna matrica
x  Tx  x  T 1 x, x  T 1x
x  Ax  Bu  T 1x  AT 1x  Bu 
x  TAT 1 x  TBu
x  Ax  Bu
y  Cx  Du
Reprezentacija dinamike sustava u prostoru stanja nije jednoznacna
x  Tx, T 
nn
je regularna matrica
x  Tx  x  T 1 x, x  T 1x
x  Ax  Bu  T 1x  AT 1x  Bu 
y  Cx  Du  y  CT 1x  Du
x  TAT 1 x  TBu
x  Ax  Bu
y  Cx  Du
Reprezentacija dinamike sustava u prostoru stanja nije jednoznacna
x  Tx, T 
nn
je regularna matrica
x  Tx  x  T 1 x, x  T 1x
x  Ax  Bu  T 1x  AT 1x  Bu 
y  Cx  Du  y  CT 1x  Du
x  Ax  Bu
A  TAT 1 , B  TB
y  Cx  Du
C  CT 1 , D  D
x  TAT 1 x  TBu

0
vc  
i    1
 L 
 L
1
1
C  vc   
  C i
 
R i
  L 0 
L 

v 
y   0 1  c   0  i
 iL 
v  i 
x   c L  , u  i, y  iL
vc  iL 
v 
x   c  , u  i, y  iL
 iL 
1 1  vc 
x
, u  i, y  iL ,



1 1  iL 
x  Ax  Bu
y  Cx  du
T
1
0.5 0.5 


0.5 0.5
T
 1 1 R 1 
1 1 R 1  


   
 2 L L C 
2


L L C 
1

A  TAT 
,
 1  1 R 1  1  1 R 1 
    
    
 2  L L C  2  L L C 
1
C 
B  TB    ,
1
 C 
1
C  CT 1  
2
DD0
1
2 

0
vc  
i    1
 L 
 L
1
1
C  vc   
  C i
 
R i
  L 0 
L 

v 
y   0 1  c   0  i
 iL 
v 
x   c  , u  i, y  iL
 iL 
 1 1 R 1 
1 1 R 1  
1


  




 x1 
2 L L C 
2  L L C    x1   2 


  i
 


 x2   1   1  R  1  1   1  R  1    x2   1 
 



 2 
 2  L L C  2  L L C 
1
y
2
1   x1 
 0i
2   x2 
x  Ax  Bu
y  Cx  du
 x  v  i 
x   1    c L  , u  i, y  iL
 x2  vc  iL 
x  Ax  Bu
y  Cx  Du
ODE viseg reda i prostor stanja
u
mq  cq  kq  u
= diferencijalna jednadzba drugog reda
1 
 0
 x1  
 x1  0

c       u,
x    k

 2 
 x2  1 
m
 m
 x1 
y   0 1    0  u
 x2 
Prostor stanja dimenzije 2.
Model drugug reda.
ODE viseg reda i prostor stanja
dny
d n1 y
d n2 y
 a1 n1  a2 n2 
n
dt
dt
dt
 y 
 dy 
 x1  

 x   dt 
 2  d2y 
x   x3    2 
   dt 
  

 xn   n 1 
d y
 dt n 1 
 an y  u
Difernecijalna jednadzba n-tog reda
moze se zapisati u obliku prostora
stanja (vektorska dif. jednadzba
prvog reda) n-tog reda (n =
dimenzija vektors stanja)
 dy 
 dt 
 2 
x2
d y 
 dt 2  
x3

 3 
x  d y  
x4
 dt 3  

 

  a1 xn  a2 xn 1 
dny
 n
 dt 
y  x1
 0 
 0 
  
  0  u
  
  
 an x1  1 
ODE viseg reda i prostor stanja
dny
d n1 y
d n2 y
 a1 n1  a2 n2 
n
dt
dt
dt
 x1   0
x   0
 2  
 x3  
x


 
 xn 1   0

 
 xn   an
 an y  u
1
0
0
1
0
0
0
an 1 an  2
x
A
y  1 0 0
0 0 x
C
Difernecijalna jednadzba n-tog reda
moze se zapisati u obliku prostora
stanja (vektorska dif. jednadzba
prvog reda) n-tog reda (n =
dimenzija vektors stanja)
a2
0   x1  0 
0   x2  0 
 
  x3  0 

   u
0 
  
1   xn 1  0 

  
a1   xn  1 
x
B
Primjer
 x1 (t ) 
 x (t ) 
y (t )  1 0 0 0  2   0 u (t )
 x3 (t ) 


x
(
t
)
 4 
Modeliranje dinamickih sustava
Modeli u zapisu prostora stanja imaju neka znacajna svojstva, npr.:
- kad stanja imaju fizikalnu interpretaciju, daju dublji uvid u strukturu sustava
- mnoge simulacijske metode (numericki ODE rjesavaci) temelje se na
ovakvom zapisu
- razvijene numericke metode analize (npr. stabilnost) i sinteze regulatora
(LQR, H_inf, MPC)