Transcript ppsx
Slide 1
Podstawy
analizy matematycznej
III
Andrzej Marciniak
Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na
Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich
zastosowań w przemyśle" POKL.04.01.02-00-189/10
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Slide 2
Całki nieoznaczone
Funkcją pierwotną funkcji f (x ) w przedziale a < x < b
nazywamy każdą taką funkcję F (x ), której pochodna
F’ (x ) równa się danej funkcji f (x ) dla każdego x
z przedziału a < x < b.
Całką nieoznaczoną (nieokreśloną ) funkcji f (x ),
oznaczaną symbolem
f (x )dx ,
nazywamy wyrażenie F (x ) + C , gdzie F (x ) oznacza
funkcję pierwotną funkcji f (x ), a C oznacza dowolną
stałą. Mamy zatem
f (x )dx = F (x ) + C , gdzie F’ (x ) = f (x ).
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
2
Slide 3
Całki nieoznaczone
Podstawowe wzory rachunku całkowego:
x a dx = x a +1/(a + 1) + C , a 1, x >0
(gdy liczba a jest naturalna, to warunek x > 0 odpada;
gdy a oznacza liczbę całkowitą ujemną, to x 0)
dx /x = ln|x | + C , x 0
e x dx = e x + C
a x dx = a x / lna + C , a > 0, a 1
cosx dx = sinx + C
sinx dx = cosx + C
dx /cos 2x = tgx + C , cosx 0
dx /sin 2x = ctgx + C , sinx 0
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
3
Slide 4
Całki nieoznaczone
Podstawowe wzory rachunku całkowego (cd.):
dx /(1 x 2)1/2 = arcsinx + C = arccosx + C’
dx /(x 2 + 1) = arctgx + C = arcctgx + C’
sinhx dx = coshx + C
coshx dx = sinhx + C
dx / cosh 2x = tghx + C
dx / sinh 2x = ctghx + C
dx /(1 + x 2)1/2 = arsinhx + C = ln[x + (x 2 + 1)1/2] + C
dx /(x 2 1)1/2 = arcoshx + C = ln|x + (x 2 1)1/2| + C
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
4
Slide 5
Całki nieoznaczone
Własności:
[f (x ) + g (x )]dx = f (x )dx + g (x )dx ,
af (x )dx = a f (x )dx ,
jeśli funkcje u i v są funkcjami zmiennej x mającymi ciągłe
pochodne rzędu pierwszego, to
udv = uv vdu
(jest to wzór na całkowanie przez części ),
jeśli dla a x b funkcja u = g (x ) jest funkcją mającą ciągłą
pochodną i A g (x ) B, a funkcja f (u ) jest ciągła w
przedziale [A , B ] , to
f (g (x ))g’ (x )dx = f (u )du ,
przy czym po scałkowaniu prawej strony należy podstawić
u = g (x ) (jest to wzór na całkowanie przez podstawienie ).
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
5
Slide 6
Całki nieoznaczone
Przykład 1. Obliczyć całkę
I = x (x 1)(x 2)dx.
Po wykonaniu mnożenia w funkcji podcałkowej otrzymujemy całkę
z wielomianu:
I = (x 3 3x 2 + 2x )dx = x 3dx 3 x 2dx + 2 xdx
= x 4/4 3x 3/3 + 2x 2/2 + C = x 4/4 x 3 + x 2 + C.
Przykład 2. Obliczyć całkę
I = (x 2 + a 2)xdx.
Całkę tę można obliczyć dwoma sposobami. Rozkładając ją na dwa
składniki mamy
I = x 3dx + a 2 x 2dx = x 4/4 + a 2x 2/2 + C.
Można także zastosować podstawienie x 2 + a 2 = u , skąd przez
zróżniczkowanie otrzymujemy
2xdx = du , tj. xdx = (1/2)du.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
6
Slide 7
Całki nieoznaczone
Stosując wzór na całkowanie przez podstawienie mamy
I = (1/2) udu , skąd I = u 2/4 + C’
i uwzględniając podstawienie ostatecznie otrzymujemy
I = (x 2 + a 2)2/4 + C’.
Przykład 3. Obliczyć całkę
I = xdx / (x 2 + a 2) n , a 0.
Licznik różni się tylko czynnikiem stałym od różniczki wyrażenia x 2 + a 2,
więc stosujemy podstawienie x 2 + a 2 = u , przy czym u > 0. Po
zróżniczkowaniu mamy xdx = (1/2)du i dla n 1 mamy
I = (1/2) du /u n = (1/2)u n + 1/(n + 1) + C = 1/[2(n 1)u n 1] + C.
Powracając do zmiennej x ostatecznie otrzymujemy
I = 1/[2(n 1)(x 2 + a 2) n 1] + C , a 0 i n 1.
Gdy n = 1, to I = (1/2)ln(x 2 + a 2) + C.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
7
Slide 8
Całki nieoznaczone
Przykład 4. Obliczyć całkę
I = dx /(2x 3)1/2.
Zakładamy, że x > 3/2. Wykonujemy podstawienie (2x 3)1/2 = t , skąd
2x 3 = t 2 i po zróżniczkowaniu mamy dx = tdt (t > 0). Po podstawieniu
do całki otrzymujemy
I = tdt /t = dt = t + C = (2x 3)1/2 + C .
Przykład 5. Obliczyć całkę
I = sinx cosx dx.
Całkę tę można wyznaczyć trzema sposobami. Jeśli wykonamy
podstawienie t = sinx , to po zróżniczkowaniu mamy cosx dx = dt . Zatem
sinx cosx dx = tdt = t 2/2 + C = (1/2)sin 2x + C .
Możemy także skorzystać z wzoru sinx cosx = (1/2)sin2x. Wówczas
sinx cosx dx = (1/2) sin2x dx .
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
8
Slide 9
Całki nieoznaczone
Jeśli teraz wykonamy podstawienie 2x = u, to dx = (1/2)du i mamy
sinx cosx dx = (1/2) sinu (1/2)du = (1/4) sinu du = (1/4) cosu + C’
= (1/4) cos2x + C’ .
Wykonując podstawienie cosx = t i różniczkując otrzymamy sinx dx = dt.
Zatem
sinx cosx dx = tdt = (1/2)t 2 + C” = (1/2)cos 2x + C”.
Otrzymaliśmy trzy różne wyniki, ale nie ma w tym sprzeczności, bo różnica
każdych dwóch wyników jest stała. Mamy
(1/2) sin 2x [(1/4) cos2x ] = (1/2) sin 2x + (1/4) cos2x
= (1/4)(2sin 2x + cos2x ) = (1/4)(2sin 2x +1 2sin 2x ) = 1/4,
czyli C = C’ + 1/4. Podobnie można pokazać, że C = C” + 1/2.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
9
Slide 10
Całki nieoznaczone
Przykład 6. Obliczyć całkę
e x sinx dx.
Całkujemy przez części przyjmując
u = sinx , dv = e x dx , skąd du = cos x dx , v = e x dx = e x.
Otrzymujemy
e x sinx dx = e x sinx e x cosx dx .
Całkę po prawej stronie znowu całkujemy przez części. Mamy
e x cosx dx = e x cosx + e x sinx dx
i po podstawieniu do wzoru (1) otrzymujemy
e x sinx dx = e x sinx e x cosx e x sinx dx ,
skąd
2 e x sinx dx = e x sinx e x cosx .
Zatem ostatecznie
e x sinx dx = e x (sinx e x cosx )/2 + C .
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
(1)
10
Slide 11
Całki nieoznaczone
Przykład 7. Obliczyć całkę
arctgx dx .
Całkujemy przez części podstawiając
u = arctgx , dv = dx , skąd du = dx /(x 2 + 1), v = dx = x .
Mamy
arctgx dx = x arctgx xdx /(x 2 + 1).
Całkę po prawej stronie obliczamy podstawiając x 2 + 1 = t , skąd
xdx = (1/2)dt . Zatem
xdx /(x 2 + 1) = (1/2)dt /t = (1/2) ln|t | = (1/2) ln(x 2 + 1).
Ostatecznie mamy
arctgx dx = x arctgx (1/2) ln(x 2 + 1) + C .
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
11
Slide 12
Całki funkcji wymiernych
Całka funkcji wymiernej ma postać
(an x n + an1 x n1 + a0)/(bm x m + bm1x m1 + b0) dx . (1)
Można wykazać, że całka funkcji wymiernej jest równa pewnej kombinacji
liniowej funkcji wymiernej, logarytmu funkcji liniowej, logarytmu funkcji
kwadratowej o wykładniku ujemnym oraz arcustangensa funkcji liniowej.
Przy obliczaniu całki postaci (1) postępujemy następująco:
jeśli n m , to licznik dzielimy przez mianownik i funkcję
podcałkową przedstawiamy jako sumę wielomianu oraz
funkcji wymiernej, w której stopień licznika jest mniejszy niż
stopień mianownika,
jeżeli n < m , to funkcję podcałkową rozkładamy na ułamki
proste , tj. na wyrażenia postaci
A /(ax + b )k oraz (Bx + C )/(cx 2 + dx + e )p , gdzie k , p N .
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
12
Slide 13
Całki funkcji wymiernych
Przykład 1. Obliczyć całkę
(cx + d )/(ax + b ) dx , a 0 i ax + b 0.
Dzielimy licznik przez mianownik:
(cx + d )/(ax + b ) = c /a +(d bc /a )/(ax + b ) ,
a więc
(cx + d )/(ax + b ) dx = (c /a ) dx + (d bc /a ) dx /(ax + b )
= cx /a + (ad bc )/a 2 ln|ax + b | + C .
Jeśli licznik jest pochodną mianownika, to korzystamy z wzoru
f’ (x )dx /f (x ) = ln|f (x )| + C .
Przykład 2. Obliczyć całkę
I = (6x 1)/(3x 2 x + 2) dx .
Zauważmy, że mianownik jest zawsze większy od zera. Ponieważ licznik
jest pochodną mianownika, więc I = ln(3x 2 x + 2) + C .
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
13
Slide 14
Całki funkcji wymiernych
Przykład 3. Obliczyć całkę
dx /(2x 2 + 9x 5) .
Mianownik ma pierwiastki 5 i 1/2, a więc
2x 2 + 9x 5 = (2x 1)(x + 5).
Zakładamy x 5 i x 1/2. Funkcję podcałkową rozkładamy na sumę
ułamków prostych
1/(2x 2 + 9x 5) A /(2x 1) + B /(x + 5),
(1)
skąd otrzymujemy
1 (A + 2B )x + (5A B ).
Ponieważ tożsamość ma zachodzić dla każdej wartości x, więc mamy
równania A + 2B =0 oraz 5A B = 1, a stąd A = 2/11 i B = 1/11.
Rozkład (1) ma zatem postać
1/(2x 2 + 9x 5) (2/11)/(2x 1) (1/11)/(x + 5).
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
14
Slide 15
Całki funkcji wymiernych
Mamy więc
dx /(2x 2 + 9x 5) = (2/11) dx /(2x 1) (1/11) dx /(x + 5)
= (2/11) (1/2) ln|2x 1| (1/11) ln|x + 5| + C
= (1/11) ln|(2x 1)/(x + 5)| + C .
Przykład 4. Obliczyć całkę
(9x 5)dx /(9x 2 6x + 1).
Ponieważ 9x 2 6x + 1 = (3x 1)2, więc (zakładając, że x 1/3) szukamy
rozkładu postaci
(9x 5)/(9x 2 6x +1) A /(3x 1)2 + B /(3x 1).
Rozwiązując tę tożsamość otrzymujemy A = 2 i B = 3. Zatem
(9x 5)dx /(9x 2 6x + 1) = 2 dx /(3x 1)2 + 3 dx /(3x 1)
= 2 (1)/[3(3x 1)] + 3 (1/3) ln|3x 1| + C
= 2/[3(3x 1)] + ln|3x 1| + C .
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
15
Slide 16
Całki funkcji niewymiernych
Jeżeli funkcja podcałkowa jest funkcją wymierną potęg
zmiennej x o wykładnikach postaci m /n , gdzie liczby m i n są
liczbami naturalnymi względem siebie pierwszymi, to
wykonujemy podstawienie x = t N , gdzie N oznacza wspólny
mianownik ułamków postaci m /n .
Przykład 1. Obliczyć całkę
I = dx /(x 1/2 + x 1/3) , x >0.
Funkcja podcałkowa jest funkcją wymierną zmiennych x 1/2 i x 1/3.
Wspólnym mianownikiem ułamków 1/2 oraz 1/3 jest 6 i dlatego
podstawiamy x = t 6, skąd dx = 6t 5dt , x 1/2 = t 3, x 1/3 = t 2. Mamy
I = 6t 5dt /(t 3 + t 2) = 6 t 3dt /(t + 1) = 6 [t 2 t + 1 1/(t + 1)]dt
= 6[(1/3)t 3 (1/2)t 2 + t ln(t + 1)] + C
= 2t 3 3t 2 + 6t 6ln(t + 1) + C
= 2x 1/2 3x 1/3 + 6x 1/6 6ln(x 1/6 + 1) + C .
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
16
Slide 17
Całki funkcji niewymiernych
Jeżeli funkcja podcałkowa jest funkcją wymierną zmiennej x
oraz potęg dwumianu ax + b lub funkcji homograficznej
(ax + b )/(cx + d ), gdzie ad bc 0,
o wykładnikach postaci m /n , gdzie liczby m oraz n są liczbami
naturalnymi względem siebie pierwszymi, to w pierwszym
przypadku wykonujemy podstawienie
ax + b = t N ,
a w drugim przypadku (ax + b )/(cx + d ) = t N ,
gdzie N oznacza wspólny mianownik ułamków postaci m /n .
Podstawowymi całkami funkcji niewymiernych, do których
wiele innych da się sprowadzić są
dx /(1 x 2)1/2 = arcsinx + C
oraz
dx /(x 2 + k )1/2 = ln|x + (x 2 + k )1/2| + C .
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
17
Slide 18
Całki oznaczone
Niech funkcja f (x ) będzie ograniczona w przedziale
domkniętym [a , b ] i wykonajmy P1 , P2 , … , Pm , …
różnych podziałów przedziału [a , b ] na części, gdzie
podział Pm jest dokonany za pomocą nm 1 liczb x1 , x2 ,
… , xn 1 , gdzie
m
a = x0 < x1 < x2 < … < xn 1 < xn = b.
m
m
Przedziały [xi1 , xi ] (i = 1, 2, … , nm ) nazywamy
przedziałami cząstkowymi podziału Pm , a ich długości
oznaczymy przez xi . Niech m oznacza największą
liczbę xi , czyli długość najdłuższego przedziału
cząstkowego podziału Pm . Ciąg {Pm } nazywamy
normalnym ciągiem podziałów, jeżeli lim m = 0.
n
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
18
Slide 19
Całki oznaczone
Niech
nm
Sm = f (ci )xi .
i=1
(1)
Jeżeli ciąg {Sm } jest dla m zbieżny i do tej samej granicy
przy każdym normalnym ciągu podziałów {Pm } niezależnie od
wyboru punktów ci , to funkcję f (x ) nazywamy funkcją
całkowalną w przedziale [a , b ] , a granicę ciągu (1)
nazywamy całką oznaczoną funkcji f (x ) w granicach od a do b
i oznaczamy symbolem
b
F (x )dx .
a
Jeżeli w przedziale [a , b ] jest f (x ) 0, to pole obszaru
ograniczonego łukiem krzywej y = f (x ), odcinkiem osi Ox
oraz prostymi x = a i x = b jest równe całce oznaczonej.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
19
Slide 20
Całki oznaczone
Jeżeli a b c , to
c
b
c
a
b
f (x )dx = f (x )dx + f (x )dx .
a
b
b
f (x )dx = k f (x )dx .
a
b
a
b
b
(f (x ) + g (x )dx = f (x )dx + g (x )dx .
a
a
a
Jeżeli funkcje u i v są funkcjami ciągłymi zmiennej x mającymi
ciągłe pochodne, to (wzór na całkowanie przez części )
b
b
udv = [uv ]ab vdu .
a
a
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
20
Slide 21
Całki oznaczone
Jeżeli funkcja g’ (x ) jest funkcją ciągłą, funkcja g (x ) jest
funkcją rosnącą w przedziale [a , b ] , a funkcja f (u ) jest
funkcją ciągłą w przedziale [g (a ), g (b )] , to (wzór na
całkowanie przez podstawienie dla całek oznaczonych )
b
g (b )
f (g (x ))g’ (x )dx = f (u )du .
a
Przykład 1. Obliczyć
g (a )
/2
x sinx dx .
0
Na podstawie wzoru na całkowanie przez części mamy
/2
/2
/2
0
0
0
x sinx dx = x d (cosx ) = [x cosx ]0/2 + cosx dx = [sin x ]0/2 = 1.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
21
Slide 22
Całki oznaczone
Przykład 2. Obliczyć
/2
sin2x cosx dx .
0
Stosujemy wzór na całkowanie przez podstawienie przyjmując sinx = u .
Mamy
/2
1
sin2x cosx dx = u 2du = [(1/3)u 3]01 = 1/3.
0
0
Przykład 3. Obliczyć pole obszaru ograniczonego łukiem krzywej
y = x 3 + x 2 2x ,
odcinkiem osi Ox oraz rzędnymi w punktach x = 2 i x = 2.
Pole podanego obszaru jest równe
2
P = |x 3 + x 2 2x |dx .
2
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
22
Slide 23
Całki oznaczone
Aby obliczyć całkę, musimy znać znaki wartości funkcji y = x 3 + x 2 2x
w przedziale [2, 2]. W tym celu znajdujemy pierwiastki równania
x 3 + x 2 2x = x (x 2 + x 2) = 0.
Mamy x 1 = 2, x 2 = 0 i x 3 = 1. Przedział [2, 2] rozbijamy na trzy
przedziały: [2, 0], [0, 1] i [1, 2]. W pierwszym i trzecim przedziale
funkcja ma znak nieujemny, a w drugim – niedodatni. Zatem
0
1
2
2
0
1
P = (x 3 + x 2 2x )dx (x 3 + x 2 2x )dx + (x 3 + x 2 2x )dx
= [(1/4)x 4 + (1/3)x 3 x 2]20 [(1/4)x 4 + (1/3)x 3 x 2]01
+ [(1/4)x 4 + (1/3)x 3 x 2]12 = (8/3) + (5/12) + (37/12) = 37/6 .
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
23
Podstawy
analizy matematycznej
III
Andrzej Marciniak
Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na
Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich
zastosowań w przemyśle" POKL.04.01.02-00-189/10
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Slide 2
Całki nieoznaczone
Funkcją pierwotną funkcji f (x ) w przedziale a < x < b
nazywamy każdą taką funkcję F (x ), której pochodna
F’ (x ) równa się danej funkcji f (x ) dla każdego x
z przedziału a < x < b.
Całką nieoznaczoną (nieokreśloną ) funkcji f (x ),
oznaczaną symbolem
f (x )dx ,
nazywamy wyrażenie F (x ) + C , gdzie F (x ) oznacza
funkcję pierwotną funkcji f (x ), a C oznacza dowolną
stałą. Mamy zatem
f (x )dx = F (x ) + C , gdzie F’ (x ) = f (x ).
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
2
Slide 3
Całki nieoznaczone
Podstawowe wzory rachunku całkowego:
x a dx = x a +1/(a + 1) + C , a 1, x >0
(gdy liczba a jest naturalna, to warunek x > 0 odpada;
gdy a oznacza liczbę całkowitą ujemną, to x 0)
dx /x = ln|x | + C , x 0
e x dx = e x + C
a x dx = a x / lna + C , a > 0, a 1
cosx dx = sinx + C
sinx dx = cosx + C
dx /cos 2x = tgx + C , cosx 0
dx /sin 2x = ctgx + C , sinx 0
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
3
Slide 4
Całki nieoznaczone
Podstawowe wzory rachunku całkowego (cd.):
dx /(1 x 2)1/2 = arcsinx + C = arccosx + C’
dx /(x 2 + 1) = arctgx + C = arcctgx + C’
sinhx dx = coshx + C
coshx dx = sinhx + C
dx / cosh 2x = tghx + C
dx / sinh 2x = ctghx + C
dx /(1 + x 2)1/2 = arsinhx + C = ln[x + (x 2 + 1)1/2] + C
dx /(x 2 1)1/2 = arcoshx + C = ln|x + (x 2 1)1/2| + C
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
4
Slide 5
Całki nieoznaczone
Własności:
[f (x ) + g (x )]dx = f (x )dx + g (x )dx ,
af (x )dx = a f (x )dx ,
jeśli funkcje u i v są funkcjami zmiennej x mającymi ciągłe
pochodne rzędu pierwszego, to
udv = uv vdu
(jest to wzór na całkowanie przez części ),
jeśli dla a x b funkcja u = g (x ) jest funkcją mającą ciągłą
pochodną i A g (x ) B, a funkcja f (u ) jest ciągła w
przedziale [A , B ] , to
f (g (x ))g’ (x )dx = f (u )du ,
przy czym po scałkowaniu prawej strony należy podstawić
u = g (x ) (jest to wzór na całkowanie przez podstawienie ).
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
5
Slide 6
Całki nieoznaczone
Przykład 1. Obliczyć całkę
I = x (x 1)(x 2)dx.
Po wykonaniu mnożenia w funkcji podcałkowej otrzymujemy całkę
z wielomianu:
I = (x 3 3x 2 + 2x )dx = x 3dx 3 x 2dx + 2 xdx
= x 4/4 3x 3/3 + 2x 2/2 + C = x 4/4 x 3 + x 2 + C.
Przykład 2. Obliczyć całkę
I = (x 2 + a 2)xdx.
Całkę tę można obliczyć dwoma sposobami. Rozkładając ją na dwa
składniki mamy
I = x 3dx + a 2 x 2dx = x 4/4 + a 2x 2/2 + C.
Można także zastosować podstawienie x 2 + a 2 = u , skąd przez
zróżniczkowanie otrzymujemy
2xdx = du , tj. xdx = (1/2)du.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
6
Slide 7
Całki nieoznaczone
Stosując wzór na całkowanie przez podstawienie mamy
I = (1/2) udu , skąd I = u 2/4 + C’
i uwzględniając podstawienie ostatecznie otrzymujemy
I = (x 2 + a 2)2/4 + C’.
Przykład 3. Obliczyć całkę
I = xdx / (x 2 + a 2) n , a 0.
Licznik różni się tylko czynnikiem stałym od różniczki wyrażenia x 2 + a 2,
więc stosujemy podstawienie x 2 + a 2 = u , przy czym u > 0. Po
zróżniczkowaniu mamy xdx = (1/2)du i dla n 1 mamy
I = (1/2) du /u n = (1/2)u n + 1/(n + 1) + C = 1/[2(n 1)u n 1] + C.
Powracając do zmiennej x ostatecznie otrzymujemy
I = 1/[2(n 1)(x 2 + a 2) n 1] + C , a 0 i n 1.
Gdy n = 1, to I = (1/2)ln(x 2 + a 2) + C.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
7
Slide 8
Całki nieoznaczone
Przykład 4. Obliczyć całkę
I = dx /(2x 3)1/2.
Zakładamy, że x > 3/2. Wykonujemy podstawienie (2x 3)1/2 = t , skąd
2x 3 = t 2 i po zróżniczkowaniu mamy dx = tdt (t > 0). Po podstawieniu
do całki otrzymujemy
I = tdt /t = dt = t + C = (2x 3)1/2 + C .
Przykład 5. Obliczyć całkę
I = sinx cosx dx.
Całkę tę można wyznaczyć trzema sposobami. Jeśli wykonamy
podstawienie t = sinx , to po zróżniczkowaniu mamy cosx dx = dt . Zatem
sinx cosx dx = tdt = t 2/2 + C = (1/2)sin 2x + C .
Możemy także skorzystać z wzoru sinx cosx = (1/2)sin2x. Wówczas
sinx cosx dx = (1/2) sin2x dx .
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
8
Slide 9
Całki nieoznaczone
Jeśli teraz wykonamy podstawienie 2x = u, to dx = (1/2)du i mamy
sinx cosx dx = (1/2) sinu (1/2)du = (1/4) sinu du = (1/4) cosu + C’
= (1/4) cos2x + C’ .
Wykonując podstawienie cosx = t i różniczkując otrzymamy sinx dx = dt.
Zatem
sinx cosx dx = tdt = (1/2)t 2 + C” = (1/2)cos 2x + C”.
Otrzymaliśmy trzy różne wyniki, ale nie ma w tym sprzeczności, bo różnica
każdych dwóch wyników jest stała. Mamy
(1/2) sin 2x [(1/4) cos2x ] = (1/2) sin 2x + (1/4) cos2x
= (1/4)(2sin 2x + cos2x ) = (1/4)(2sin 2x +1 2sin 2x ) = 1/4,
czyli C = C’ + 1/4. Podobnie można pokazać, że C = C” + 1/2.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
9
Slide 10
Całki nieoznaczone
Przykład 6. Obliczyć całkę
e x sinx dx.
Całkujemy przez części przyjmując
u = sinx , dv = e x dx , skąd du = cos x dx , v = e x dx = e x.
Otrzymujemy
e x sinx dx = e x sinx e x cosx dx .
Całkę po prawej stronie znowu całkujemy przez części. Mamy
e x cosx dx = e x cosx + e x sinx dx
i po podstawieniu do wzoru (1) otrzymujemy
e x sinx dx = e x sinx e x cosx e x sinx dx ,
skąd
2 e x sinx dx = e x sinx e x cosx .
Zatem ostatecznie
e x sinx dx = e x (sinx e x cosx )/2 + C .
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
(1)
10
Slide 11
Całki nieoznaczone
Przykład 7. Obliczyć całkę
arctgx dx .
Całkujemy przez części podstawiając
u = arctgx , dv = dx , skąd du = dx /(x 2 + 1), v = dx = x .
Mamy
arctgx dx = x arctgx xdx /(x 2 + 1).
Całkę po prawej stronie obliczamy podstawiając x 2 + 1 = t , skąd
xdx = (1/2)dt . Zatem
xdx /(x 2 + 1) = (1/2)dt /t = (1/2) ln|t | = (1/2) ln(x 2 + 1).
Ostatecznie mamy
arctgx dx = x arctgx (1/2) ln(x 2 + 1) + C .
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
11
Slide 12
Całki funkcji wymiernych
Całka funkcji wymiernej ma postać
(an x n + an1 x n1 + a0)/(bm x m + bm1x m1 + b0) dx . (1)
Można wykazać, że całka funkcji wymiernej jest równa pewnej kombinacji
liniowej funkcji wymiernej, logarytmu funkcji liniowej, logarytmu funkcji
kwadratowej o wykładniku ujemnym oraz arcustangensa funkcji liniowej.
Przy obliczaniu całki postaci (1) postępujemy następująco:
jeśli n m , to licznik dzielimy przez mianownik i funkcję
podcałkową przedstawiamy jako sumę wielomianu oraz
funkcji wymiernej, w której stopień licznika jest mniejszy niż
stopień mianownika,
jeżeli n < m , to funkcję podcałkową rozkładamy na ułamki
proste , tj. na wyrażenia postaci
A /(ax + b )k oraz (Bx + C )/(cx 2 + dx + e )p , gdzie k , p N .
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
12
Slide 13
Całki funkcji wymiernych
Przykład 1. Obliczyć całkę
(cx + d )/(ax + b ) dx , a 0 i ax + b 0.
Dzielimy licznik przez mianownik:
(cx + d )/(ax + b ) = c /a +(d bc /a )/(ax + b ) ,
a więc
(cx + d )/(ax + b ) dx = (c /a ) dx + (d bc /a ) dx /(ax + b )
= cx /a + (ad bc )/a 2 ln|ax + b | + C .
Jeśli licznik jest pochodną mianownika, to korzystamy z wzoru
f’ (x )dx /f (x ) = ln|f (x )| + C .
Przykład 2. Obliczyć całkę
I = (6x 1)/(3x 2 x + 2) dx .
Zauważmy, że mianownik jest zawsze większy od zera. Ponieważ licznik
jest pochodną mianownika, więc I = ln(3x 2 x + 2) + C .
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
13
Slide 14
Całki funkcji wymiernych
Przykład 3. Obliczyć całkę
dx /(2x 2 + 9x 5) .
Mianownik ma pierwiastki 5 i 1/2, a więc
2x 2 + 9x 5 = (2x 1)(x + 5).
Zakładamy x 5 i x 1/2. Funkcję podcałkową rozkładamy na sumę
ułamków prostych
1/(2x 2 + 9x 5) A /(2x 1) + B /(x + 5),
(1)
skąd otrzymujemy
1 (A + 2B )x + (5A B ).
Ponieważ tożsamość ma zachodzić dla każdej wartości x, więc mamy
równania A + 2B =0 oraz 5A B = 1, a stąd A = 2/11 i B = 1/11.
Rozkład (1) ma zatem postać
1/(2x 2 + 9x 5) (2/11)/(2x 1) (1/11)/(x + 5).
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
14
Slide 15
Całki funkcji wymiernych
Mamy więc
dx /(2x 2 + 9x 5) = (2/11) dx /(2x 1) (1/11) dx /(x + 5)
= (2/11) (1/2) ln|2x 1| (1/11) ln|x + 5| + C
= (1/11) ln|(2x 1)/(x + 5)| + C .
Przykład 4. Obliczyć całkę
(9x 5)dx /(9x 2 6x + 1).
Ponieważ 9x 2 6x + 1 = (3x 1)2, więc (zakładając, że x 1/3) szukamy
rozkładu postaci
(9x 5)/(9x 2 6x +1) A /(3x 1)2 + B /(3x 1).
Rozwiązując tę tożsamość otrzymujemy A = 2 i B = 3. Zatem
(9x 5)dx /(9x 2 6x + 1) = 2 dx /(3x 1)2 + 3 dx /(3x 1)
= 2 (1)/[3(3x 1)] + 3 (1/3) ln|3x 1| + C
= 2/[3(3x 1)] + ln|3x 1| + C .
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
15
Slide 16
Całki funkcji niewymiernych
Jeżeli funkcja podcałkowa jest funkcją wymierną potęg
zmiennej x o wykładnikach postaci m /n , gdzie liczby m i n są
liczbami naturalnymi względem siebie pierwszymi, to
wykonujemy podstawienie x = t N , gdzie N oznacza wspólny
mianownik ułamków postaci m /n .
Przykład 1. Obliczyć całkę
I = dx /(x 1/2 + x 1/3) , x >0.
Funkcja podcałkowa jest funkcją wymierną zmiennych x 1/2 i x 1/3.
Wspólnym mianownikiem ułamków 1/2 oraz 1/3 jest 6 i dlatego
podstawiamy x = t 6, skąd dx = 6t 5dt , x 1/2 = t 3, x 1/3 = t 2. Mamy
I = 6t 5dt /(t 3 + t 2) = 6 t 3dt /(t + 1) = 6 [t 2 t + 1 1/(t + 1)]dt
= 6[(1/3)t 3 (1/2)t 2 + t ln(t + 1)] + C
= 2t 3 3t 2 + 6t 6ln(t + 1) + C
= 2x 1/2 3x 1/3 + 6x 1/6 6ln(x 1/6 + 1) + C .
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
16
Slide 17
Całki funkcji niewymiernych
Jeżeli funkcja podcałkowa jest funkcją wymierną zmiennej x
oraz potęg dwumianu ax + b lub funkcji homograficznej
(ax + b )/(cx + d ), gdzie ad bc 0,
o wykładnikach postaci m /n , gdzie liczby m oraz n są liczbami
naturalnymi względem siebie pierwszymi, to w pierwszym
przypadku wykonujemy podstawienie
ax + b = t N ,
a w drugim przypadku (ax + b )/(cx + d ) = t N ,
gdzie N oznacza wspólny mianownik ułamków postaci m /n .
Podstawowymi całkami funkcji niewymiernych, do których
wiele innych da się sprowadzić są
dx /(1 x 2)1/2 = arcsinx + C
oraz
dx /(x 2 + k )1/2 = ln|x + (x 2 + k )1/2| + C .
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
17
Slide 18
Całki oznaczone
Niech funkcja f (x ) będzie ograniczona w przedziale
domkniętym [a , b ] i wykonajmy P1 , P2 , … , Pm , …
różnych podziałów przedziału [a , b ] na części, gdzie
podział Pm jest dokonany za pomocą nm 1 liczb x1 , x2 ,
… , xn 1 , gdzie
m
a = x0 < x1 < x2 < … < xn 1 < xn = b.
m
m
Przedziały [xi1 , xi ] (i = 1, 2, … , nm ) nazywamy
przedziałami cząstkowymi podziału Pm , a ich długości
oznaczymy przez xi . Niech m oznacza największą
liczbę xi , czyli długość najdłuższego przedziału
cząstkowego podziału Pm . Ciąg {Pm } nazywamy
normalnym ciągiem podziałów, jeżeli lim m = 0.
n
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
18
Slide 19
Całki oznaczone
Niech
nm
Sm = f (ci )xi .
i=1
(1)
Jeżeli ciąg {Sm } jest dla m zbieżny i do tej samej granicy
przy każdym normalnym ciągu podziałów {Pm } niezależnie od
wyboru punktów ci , to funkcję f (x ) nazywamy funkcją
całkowalną w przedziale [a , b ] , a granicę ciągu (1)
nazywamy całką oznaczoną funkcji f (x ) w granicach od a do b
i oznaczamy symbolem
b
F (x )dx .
a
Jeżeli w przedziale [a , b ] jest f (x ) 0, to pole obszaru
ograniczonego łukiem krzywej y = f (x ), odcinkiem osi Ox
oraz prostymi x = a i x = b jest równe całce oznaczonej.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
19
Slide 20
Całki oznaczone
Jeżeli a b c , to
c
b
c
a
b
f (x )dx = f (x )dx + f (x )dx .
a
b
b
f (x )dx = k f (x )dx .
a
b
a
b
b
(f (x ) + g (x )dx = f (x )dx + g (x )dx .
a
a
a
Jeżeli funkcje u i v są funkcjami ciągłymi zmiennej x mającymi
ciągłe pochodne, to (wzór na całkowanie przez części )
b
b
udv = [uv ]ab vdu .
a
a
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
20
Slide 21
Całki oznaczone
Jeżeli funkcja g’ (x ) jest funkcją ciągłą, funkcja g (x ) jest
funkcją rosnącą w przedziale [a , b ] , a funkcja f (u ) jest
funkcją ciągłą w przedziale [g (a ), g (b )] , to (wzór na
całkowanie przez podstawienie dla całek oznaczonych )
b
g (b )
f (g (x ))g’ (x )dx = f (u )du .
a
Przykład 1. Obliczyć
g (a )
/2
x sinx dx .
0
Na podstawie wzoru na całkowanie przez części mamy
/2
/2
/2
0
0
0
x sinx dx = x d (cosx ) = [x cosx ]0/2 + cosx dx = [sin x ]0/2 = 1.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
21
Slide 22
Całki oznaczone
Przykład 2. Obliczyć
/2
sin2x cosx dx .
0
Stosujemy wzór na całkowanie przez podstawienie przyjmując sinx = u .
Mamy
/2
1
sin2x cosx dx = u 2du = [(1/3)u 3]01 = 1/3.
0
0
Przykład 3. Obliczyć pole obszaru ograniczonego łukiem krzywej
y = x 3 + x 2 2x ,
odcinkiem osi Ox oraz rzędnymi w punktach x = 2 i x = 2.
Pole podanego obszaru jest równe
2
P = |x 3 + x 2 2x |dx .
2
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
22
Slide 23
Całki oznaczone
Aby obliczyć całkę, musimy znać znaki wartości funkcji y = x 3 + x 2 2x
w przedziale [2, 2]. W tym celu znajdujemy pierwiastki równania
x 3 + x 2 2x = x (x 2 + x 2) = 0.
Mamy x 1 = 2, x 2 = 0 i x 3 = 1. Przedział [2, 2] rozbijamy na trzy
przedziały: [2, 0], [0, 1] i [1, 2]. W pierwszym i trzecim przedziale
funkcja ma znak nieujemny, a w drugim – niedodatni. Zatem
0
1
2
2
0
1
P = (x 3 + x 2 2x )dx (x 3 + x 2 2x )dx + (x 3 + x 2 2x )dx
= [(1/4)x 4 + (1/3)x 3 x 2]20 [(1/4)x 4 + (1/3)x 3 x 2]01
+ [(1/4)x 4 + (1/3)x 3 x 2]12 = (8/3) + (5/12) + (37/12) = 37/6 .
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
23