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:: Questões resolvidas de MATEMÁTICA.
Fred Tavares
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Espero que possa ajudar de forma
fácil e rápida.
Um GRANDE abraço e bom
estudo.
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Como estudar
Matemática
O estudante que se prepara para um teste tem
de dominar as ferramentas básicas da
Matemática, que vai usar sempre.
Fred Tavares
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Como enfrentar todos os assuntos durante o
ano?
Cada pessoa tem o seu método de estudar,
mas uma coisa não dá para deixar de lado: o
esforço.
O estudante precisa usar todos os recursos
possíveis.
Tem de estudar teoria, aprender conceitos,
entender os exemplos que são dados e
estudar sempre escrevendo.
Matemática não dá para estudar só lendo.
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Como estudar
Matemática
Fred Tavares
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Um conselho: não se deve ficar um período
inteiro tentando resolver um exercício que não
sai. É contraproducente. Perdeu mais de 10,
15 minutos num exercício, põe de lado e
registra: "não sei fazer este". Depois tenta de
novo. Se ainda aí não conseguir resolver,
deve pedir ajuda ao professor, ao plantonista
ou a um colega. O pedido de ajuda correto
deve ser no sentido de a outra pessoa dar
dicas, orientação para resolver a questão – e
não buscar a resposta pronta e desenvolvida.
Abraços
Fred Tavares
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Equação do 1º grau
Fred Tavares
(UFPB) Qual a solução da equação abaixo:
2(2x+7) + 3(3x-5) = 3(4x+5) -1
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Aplicando a propriedade distributiva:
2(2x+7) + 3(3x-5) = 3(4x+5) -1
4x+14+9x-15=12x+15-1
4x+9x-12x=15-1+15-14 (juntando os termos
semelhantes)
x=15
Portanto V={15}
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Equação do 1º grau
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(Unb) Uma torneira A enche sozinha
um tanque em 10h, uma torneira B, enche o
mesmo tanque sozinha em 15h.
Em quanta horas as duas torneiras juntas
encherão o tanque?
Sendo V a capacidade do tanque em 1 hora:
“A” enche V/10 do tanque;
“B” enche V/15 do tanque
A e B enchem juntas: V/10 + V/15 = V/6
Sendo t o tempo em que as duas juntas
enchem o tanque: V/6.t = V
Portanto t = 6horas
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Equação do 1º grau
(UFPR) Determine a expressão da função
representada pelo gráfico abaixo:
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Uma equação do 1º grau
y=ax+b
Pelo gráfico, concluímos:
Quando x=0, y=2 ponto (0,2)
Quando y=0, x=-4 ponto (0,-4)
Substituindo os valores em y=ax+b:
2=a.0+b
0 = -4a + 2
b=2
a = 1/2
Logo, a expressão é y = 1/2x+2.
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Função Composta
(UFBA) Se f(g(x)) = 5x – 2 e f(x) = 5x + 4,
determine a função g(x).
Para esse caso basta substituir o x por g(x)
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f(x) = 5x + 4
f(g(x)) = 5.g(x) + 4 = 5x – 2.
Logo, teremos:
5.g(x) + 4 = 5x – 2
5.g(x) = 5x – 2 – 4
g(x) = (5x – 6)
5
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Geratriz
(UFBA) Qual a fração geratriz de
0,39191... ?
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Seja x = 0,39191... Podemos escrever:
10x = 3,9191...
1000x = 391,9191...
Subtraindo membro a membro, vem:
1000x – 10x = 391,9191... – 3,9191...
990x = 388
x = 388/990 = 194/495,
que é a fração geratriz procurada.
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MMC
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(UEFS) Hoje, A e B estão de folga do trabalho.
Sabendo-se que A tem folga de 6 em 6 dias e B,
de 4 em 4 dias e que a folga dos dois coincide
sempre a cada x dias, pode-se concluir que o
valor de x é:
Tratar-se de um problema de MMC - mínimo
múltiplo comum.
Então, MMC(4,6) = 12
4,6
2,3
1,3
1,1
2
2
3
12
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Geometria Espacial
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(UNICAMP) O número de faces de um poliedro
convexo de 20 arestas é igual ao número de
vértices. Determine o número de faces do
poliedro.
V + F = A + 2 dica ( Vamos Fazer = Amor a 2 )
É dado que A = 20 e V = F. Logo, substituindo,
fica:
V+F=A+2
F + F = 20 + 2 ;
logo, 2F = 22 e daí conclui-se que F = 11.
Portanto, o poliedro possui 11 faces.
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Raciocínio
Fred Tavares
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Um casal foi casar a filha.
p: O padre perguntou a jovem.
Filha quantos anos você tem?
j: A jovem respondeu.
Tenho a metade da idade de minha mãe.
p: O padre virou-se para a mãe da jovem e
perguntou.
Quantos anos a senhora tem?
m: A mulher respondeu.
Sou 10 anos mais nova do que meu marido.
p: O padre virou-se para o marido da senhora e
perguntou-lhe.
Quantos anos o senhor tem?
h: O Homem respondeu.
A soma das nossas três idades é igual a um
século.
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Raciocínio
Fred Tavares
Resolução:
O ponto de partida é a idade da mãe que
é igual a “x”
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x + x + x + 10 = 100
2
x + 2x + 2x + 20 = 200
(tirando o mínimo)
5x = 200 - 20
5x = 180
x = 180 : 5
x = 36 anos, a idade da mãe
18 anos, a idade da filha
46 anos, a idade do pai
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Raciocínio
Um tijolo pesa um quilo mais meio tijolo.
Quanto pesa um tijolo e meio?
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1tijolo = 1 kg + ½ tijolo
1tijolo – ½ tijolo = 1 kg
½ tijolo = 1kg
se ½ tijolo pesa 1 kg, logicamente 1 tijolo pesa 2 kg, e um tijolo
e meio, ou seja, 1 ½ tijolo pesa 3 kg.
Um prisioneiro encontra-se em uma cela de duas
portas(saídas), a da liberdade(L) e a do fuzilamento(F), e em
cada porta tem um guarda, sendo que um deles só fala a
verdade e o outro só fala mentira, porém o prisioneiro não
sabe quem fala a verdade nem o que mente. Qual a pergunta
que ele deve fazer a qualquer um dos guardas para ganhar
a liberdade?
Basta fazer a pergunta para os dois guardas.
Como vimos no enunciado do problema, tem um guarda que
só fala mentira, portanto se o prisioneiro chegar para ele e
perguntar ... Se eu perguntar para o seu colega qual a porta da
liberdade, que porta ele vai indicar? Ele apontar para a porta (F).
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Raciocínio
Fred Tavares
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(UFPB) Quantas vezes 100 é maior que 20?
O referencial neste caso é 20, portanto apure a diferença
entre os números dados, em seguida divida o resultado
apurado pelo referencial, ou seja:
100 – 20 = 80
80 : 20 = 4, portanto 100 é 4 vezes maior que 20,
ou na forma percentual, 100 é 400% maior que 20.
Existe uma outra maneira de resolver este problema,
através de uma equação:
20(x + 1) = 100
x + 1 = 100 : 20
x+1=5
x=5–1
x = 4, mais uma vez, 100 é 4 vezes maior que 20.
Qual a metade de dois mais dois?
A metade de 2 é igual a 1, somado com 2 é igual a 3
½x2+2=1+2=3
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Regra de Três
Fred Tavares
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(UEPB) Ao participar de um treino de Fórmula 1, um corredor
imprimindo a velocidade média de 180 Km/h fez um certo
percurso em 20s. Se a sua velocidade média fosse de 200
Km/h, qual seria o tempo gasto no mesmo percurso?
(Km/h=quilômetro por hora, s=segundo).
Representaremos o tempo procurado pela letra T.
De acordo com os dados do problema, temos:
Velocidade (Km/h)
180
200
Tempo (s)
20
T
Relacionamos grandezas inversamente proporcionais:
Quando a velocidade aumenta o tempo diminui.
Conhecidos três valores, podemos obter um quarto valor T.
Os números 180 e 200 aparecem na mesma ordem que
apareceram na tabela, enquanto que os números 20 e T
aparecem na ordem inversa da ordem que apareceram na
tabela acima. Assim 180.20=200.T, donde segue que
200T=3600 e assim T=3600/200=18. Se a velocidade do
corredor for de 200 Km/h ele gastará 18s para realizar o
mesmo percurso.
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(FUVEST) Num programa transmitido diariamente, uma
Análise Combinatória emissora de rádio toca sempre as mesmas dez músicas, mas
nunca na mesma ordem. Para esgotar todas as prováveis
seqüências dessas músicas serão necessários
Fred Tavares
aproximadamente:
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a) 10 dias
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b) Um século
c) 10 anos
d) 100 séculos
e) 10 séculos
Trata-se de um problema de permutações simples, ou seja,
calcular o número de permutações simples de 10 elementos.
Da teoria, teremos:
P10 = 10! = 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1
Portanto serão necessários 10! (fatorial de 10) dias, para
esgotar todas as possibilidades. Vamos converter esse número
em anos e, para isto vamos dividir por 360 dias (o mais exato
seria dividir por 365 dias = 1 ano, mas o problema pede uma
solução aproximada). Logo, vem:
10!/360 = 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1/360 = 10080 dias ou 100 séculos
Logo, serão necessários 100 séculos para esgotar todas as
possibilidades, o que nos leva à alternativa D.
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Análise Combinatória (UNICAMP) Uma mesa de quatro pernas pode oscilar. Já uma
mesa de três pernas está sempre firme. Explique.
Funções
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As três pernas determinam um único plano. Já as quatro
pernas podem determinar mais de um plano, rigorosamente
C4,3 = 4 planos, ocorrendo nesse caso, oscilação.
Obs: C4,3 = nº de combinações de 4 elementos, taxa 3.
Cn,p = ___n!____
p!(n-p)!
dica para decorar: Comigo não pode,
não pode, não pode.
(FFT) Sejam os conjuntos A = {0, 1, 2}, B = {0, 1, 2, 3, 4} e a
função f: A em B, f(x) = x². Encontre o conjunto imagem
fazendo os diagramas.
F(x) = x2
F(0) = 02 = 0
F(1) = 12 = 1
F(2) = 22 = 4
Temos:
No nosso exemplo a Im = { 0, 1, 4}
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Expressões
(FUVEST) Qual o valor da expressão a³-3a²x²y², para a=10,
x=3 e y=1?
Basta que você substitua cada variável por seu valor.
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a³ - 3 a² x² y²
103 – 3.102.32.12 = 1000 – 3.100.9.1 = 1000 – 2700 = -1700
(UNICAMP) Por definição (f+g)(x)=f(x)+g(x). Realizar a soma
das funções f e g é o mesmo que obter os valores de f+g em
todos os pontos do domínio comum a ambas as funções.
Consideremos as funções reais:
f={(1,2),(2,3),(3,4),(4,5)}
g={(1,5),(2,2),(3,3),(4,1)}
Qual o valor da função f+g?
Logo temos: (f+g)(x)=f(x)+g(x).
(f+g)(1)=f(1)+g(1) = 2 + 5 = 7
(f+g)(2)=f(2)+g(2) = 3 + 2 = 5
(f+g)(3)=f(3)+g(3) = 4 + 3 = 7
(f+g)(4)=f(4)+g(4) = 5 + 1 = 6
Resposta {(1,7),(2,5),(3,7),(4,6)}
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Funções
Porcentagem
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( UNESP) Sejam as funções f(x)=2x-4 e g(x)=3x+a. Se f(1)g(0)=6, quanto vale f(2)+5g(7)=?
Para f(x), vamos substituir 1 no valor de x e para g(x) vamos
substituir 0.
f(1) = 2.1-4=-2
g(0) = 3.0+a=a
Logo, fazendo a subtração f(1) – g(0) = 6 → -2 - a = 6 →
a = -8
(Mack) Um pintor pintou 30% de um muro e outro pintou 60%
do que sobrou. A porcentagem do muro que falta pintar
é:
a) 10% b) 15% c) 23% d) 28% e) 33%
Resolução
1) 60% de 70% = 42%
2) 100% – 42% – 30% = 28%
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Análise Combinatória
Funções Exponencial
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(Mack) 12 professores, sendo 4 de matemática, 4 de geografia
e 4 de inglês, participam de uma reunião com o objetivo de
formar uma comissão que tenha 9 professores, sendo 3 de
cada disciplina. O número de formas distintas de se compor
essa comissão é:
Resolução
Dos 4 professores de cada uma das três disciplinas,
serão escolhidos sempre 3 professores. O número
total de comissões possíveis com 9 professores
sendo 3 de cada disciplina é:
C4;3 . C4;3 . C4;3 = 43 = 64
(FUVEST) Se 2m = 3, então log254 é igual a:
Resolução
2m = 3 logo m = log23
Então: log254 = log2 (2 . 33) = log22 + 3 . log23 = 1 + 3 . m
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Escala
Funções
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(FUVEST) Um mapa está numa escala 1:20 000 000, o que
significa que uma distância de uma unidade, no mapa,
corresponde a uma distância real de 20 000 000 de unidades.
Se no mapa a distância entre duas cidades é de 2 cm , então
a distância real entre elas é de:
Se o mapa está na escala de 1:20 000 000 então a distância
de 2cm entre duas cidades corresponde a uma
distância real de 40 000 000 cm, ou seja, 400 km.
Paula digita uma apostila em 2 horas, enquanto Ana o
faz em 3 horas. Se Paula iniciar o trabalho, digitando
nos primeiros 50 minutos, o tempo necessário para
Ana terminar a digitação da apostila é:
Seja T o trabalho de digitar a apostila, e x o tempo, em
minutos, necessário para Ana terminar a digitação iniciada
por Paula. Tem-se que:
Paula digita T em 2 horas e portanto T/120 por minuto.
Ana digita T em 3 horas e portanto T/180 por minuto.
Assim sendo, (T/120). 50 + (T/180). x = T
150 T + 2T x = 360 T então x = 105
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Porcentagem
Probabilidade
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(UFBA) Num grupo de 400 pessoas, 70% são não-fumantes.
O número de fumantes que devemos retirar do grupo,
para que 80% das pessoas restantes sejam não-fumantes,
é:
I) O número de não-fumantes do grupo inicial é de
70% de 400 pessoas = (70 . 400):100 = 280 pessoas.
II) Seja x o número de fumantes que devemos retirar
deste grupo. Para que o número de não-fumantes
passe a ser de 80% das pessoas restantes, devemos
ter:
280 = 80% (400 – x) então x = 50
(UFRN) Considere a seqüência (2 , 3 , ..., 37), de números
primos maiores que 1 e menores que 40. Escolhidos ao
acaso dois deles, a probabilidade de serem ímpares
consecutivos é:
A seqüência dos números primos, entre 1 e 40, é:
B = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37}
Existem 5 pares de dois primos ímpares consecutivos
em B:(3; 5), (5; 7), (11; 13), (17; 19) e (29; 31)
Existem C12,2 = 66 duplas de elementos de B
Então a probabilidade procurada é P = 5/66
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Produtos Notáveis
Regra de Três
( DICA) Calcule 41x39 usando um produto notável.
(40+1)(40-1) = 40² -1² = 1.599
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FATORAÇÃO
ax+2a = a(x+2)
a²-b² = (a+b)(a-b)
a² - 4ab + 4b² = (a-2b)²
2x²-2 = 2(x²-1) = 2(x+1)(x-1)
(UFCE) Um certo setor de uma empresa tem várias máquinas,
todas com o mesmo custo operacional por hora. Se o custo de
operação de 3 delas, em 2 dias, funcionando 6 horas por dia, é
de R reais, então o custo de operação em reais de 2 delas, em
4 dias, funcionando 5 horas por dia, é igual a?
Por regra de três composta temos:
x = R . 2/3 . 4/2 . 5/6 = 10R/9
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Porcentagem
Combinatória
(UFBA) Na compra a prazo de um aparelho eletrodoméstico, o
total pago por uma pessoa foi R$ 672,00. A entrada teve valor
correspondente a 1/6 do total, e o restante foi pago em 4
parcelas, cujos valores formaram uma progressão aritmética
crescente de razão R$ 40,00.O valor da última prestação foi?
Fred Tavares
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Valor total: R$ 672,00
Entrada: 1/6 de R$ 672,00 = R$ 112,00
Valor financiado em P.A.: R$ 560,00 com razão R$ 40,00
Logo temos (x, x + 40, x + 80, x + 120).
Então x + x + 40 + x + 80 + x + 120 = 560
Portanto x = 80 reais.
A 4a prestação é x + 120, isto é, R$ 200,00.
(UFPB) Em uma Olimpíada, a delegação de um país A se
apresentou com 10 atletas e a de um país B, com 6 atletas. Os
alojamentos da Vila Olímpica eram para quatro pessoas, e um
deles foi ocupado por 2 atletas de A e 2 atletas de B. O
número de maneiras distintas de formar esse grupo de 4
atletas era de ?
Análise Combinatória, temos a fórmula da combinação
C10, 2 . C6, 2 = 45 . 15 = 675
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Geometria Espacial
Equações
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(CEFET) Uma pessoa comprou um vasilhame para armazenar
água em sua casa e, colocar
0,256 m3 de água,
constatou que a parte ocupada correspondia a apenas 40%
da capacidade total. Se esse vasilhame tem o formato de um
cilindro circular reto e altura de 1 m, então o raio de sua base,
em metros, é
0,256 _______ 40%
V
V = 0,64 m3
_______100%
O volume de um cilindro é
(área da base) x altura
R2 . 1 = 0,64 R = 0,8m
(CEFET) O valor de x que é solução, nos números reais, da
equação 1/2 + 1/3 + 1/4 = x/48 é igual a:
6+4+3 = x
12
48
então
13 = x
12
48
x = 52
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Logaritmos
Complexos
Polinômios
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(UFPR) Considere a função real de variável real, definida por
f(x) = 3 + 2–x. Então f( log2 5 ) é igual a:
Esta questão é extremamente simples e requer do
vestibulando habilidade no uso de exponenciais e logaritmos.
f(log2 5 ) = 3 + 2[–log25] = 3 + 2 [log2(1/5)] = 3 + 1/5 = 16/5
(UEPB) O polinômio P(x) = 2x3 – x2 + ax + b, em que a e b
são números reais, possui o número complexo i como uma de
suas raízes. Então o produto ab é igual a:
Basta usar o Teorema de D’Alembert.
P(i) = 2i3
– i2 + ai + b = 0
substituindo P(–i) = 2(–i)3 – (–i)2 – ai + b = 0
Ou seja: –2i + 1 + ai + b = 0
2i + 1 – ai + b = 0 pela igualdade 1 + b = 0 b = – 1,
logo – 2i + 1 + ai – 1 = 0 a = 2.
Portanto, ab = – 2
Slide 27
Progressão
Aritmética
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(FUVEST) Uma seqüência de números reais é dita uma
progressão aritmética de segunda ordem quando a seqüência
formada pelas diferenças entre termos sucessivos for uma
progressão aritmética. Assinale a alternativa na qual se
encontra parte de uma progressão aritmética de segunda
ordem.
A)
B)
C)
D)
E)
(0, 5, 12, 21, 23)
(6, 8, 15, 27, 44)
(-3, 0, 4, 5, 8)
(7, 3, 2, 0, -1)
(2, 4, 8, 20, 30)
A)
(5, 7, 9, 2)
Esta questão é interessante,
B)
(2, 7 12, 17)
pois requer dos concorrentes
C)
( 3, 4, 1, 3)
habilidade de leitura
D)
(–4, –1, –2, –1)
compreensiva e posterior
E)
(2, 4, 12, 10)
aplicação de um conceito.
Construindo as seqüências das
diferenças obtemos:
Claramente vemos que apenas (2, 7, 12, 17) representa uma
parte de uma progressão aritmética. Portanto apenas a
seqüência (6, 8, 15, 27, 44) contém parte de uma P. A. de
segunda ordem.
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Análise Combinatória
(FUVEST) A quantidade de números inteiros,positivos e
ímpares, formados por três algarismos distintos, escolhidos
dentre os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, é igual a:
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É interessante notar que os algarismos escolhidos têm que
ser distintos. Formemos um dos números pedidos sob a forma
XYZ. Há 5 escolhas possíveis para Z pois XYZ é ímpar. Para
X, há 8 escolhas possíveis, pois o zero não pode ser
escolhido. Escolhidos X e Z, restam para Y 8escolhas dentre
os 10 algarismos oferecidos.
Logo, há 885 = 320 números.
João tinha 20 bolinhas de gude e queria distribuí-las entre ele
e 3 amigos de modo que cada um ficasse com um número par
de bolinhas e nenhum deles ficasse com o mesmo número
que o outro. Com quantas bolinhas ficou cada menino?
Resposta: Se o primeiro menino ficar com 2 bolinhas,
sobrarão 18 bolinhas para os outros 3 meninos. Se o segundo
receber 4, sobrarão 14 bolinhas para os outros dois meninos.
O terceiro menino receberá 6 bolinhas e o quarto receberá 8
bolinhas.
Slide 29
Aritmética Básica
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Na Páscoa, um comerciante de Ovos de Páscoa fez a seguinte
promoção:
1 ovo = R$ 6,00
2 ovos = R$ 11,00
3 ovos = R$ 15,00
4 ovos = R$ 18,00
Um cliente realizou uma compra sob certas circunstâncias.
Quantos ele pagou pela compra de 11 ovos?
Quantos ele pagaria se comprasse 177 ovos?
Sem promoção, quanto ele pagaria a mais pela compra dos
177 ovos?
Resposta: Para comprar 11 ovos ele dividiu 11 por 4 para obter
o maior número múltiplo de 4 e o resto da divisão será 3, assim
ele usou a decomposição: 11=4+4+3.
Custo=R$18,00+R$18,00+R$15,00=R$51,00.
Para comprar 177 ovos, ele deve dividir 177 por 4 para obter o
maior número múltiplo de 4 e o resto da divisão será 1, assim:
177=4×44+1
Custo=44×R$18,00+R$6,00=R$798,00.
Slide 30
Divisores
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(UnB) Para obter os divisores de um número natural a, basta
saber quais os elementos que, multiplicados entre si, têm por
resultado o número a. Com base nessa afirmação, obtenha o
conjunto de divisores de cada um dos números: 13, 18. 25, 32
e 60.
Resposta: D(13)={1,13}, D(18)={1,2,3,6,9,18}, D(25)={1,5,25},
D(60)={1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60} e D(32)={1,2,4,8,16,32}.
Obtivemos apenas alguns números naturais que,
multiplicados entre si, têm por resultado 32:
1×32=32; 2×16=32; 4×8=32, 8×4=32, 16×2=32, 32×1=32.
(FFT) De que forma explícita podemos escrever o conjunto de
todos os múltiplos de um número natural n?
Resposta: O conjunto dos números naturais é
N={0,1,2,3,4,5,...}. Se n é um número para o qual queremos
obter os múltiplos, então a multiplicação de n por cada
elemento de N será: M(n)={0,n,2n,3n,4n,...}.
Slide 31
Exponencial
Fred Tavares
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(UEA) Resolver a inequação 4x-1+ 4x– 4x+1> –11/4
Resolução:
A inequação pode ser escrita 4x/4 + 4x – 4x.4 > - 11/4
Multiplicando ambos os lados por 4 temos:
4x + 4.4x – 16.4x > -11, ou seja:
(1+4 – 16).4x > –11 ⇒ –11.4x > –11 e daí 4x < 1
Porém, 4x < 1 ⇒ 4x < 40.
Como a base (4) é maior que 1, obtemos:
4x < 40 ⇒ x < 0
Portanto S = IR– (reais negativos)
(UEA) O gráfico de f(x) = ax2 intersecta a curva y = 2x no
ponto P de abscissa 1. O gráfico de f passa pelo ponto:
Fazendo a igualdade ax2 = 2x
Para x = 1, teremos que a = 2;
Logo f(2) = 2.22 = 8 . O que nos leva a concluir que f passa
pelo ponto Q(2,8)
Slide 32
Logaritmos
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(UEA) Supondo m > 0 e m ≠ 1, o valor de logm2
a:
Resolução:
Logm2
3
m
= Log 2
m
Resposta: 1/6
m1/3 = (1/3)/2 = 1/3 x 1/2
3
m é igual
:: Questões resolvidas de MATEMÁTICA.
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Espero que possa ajudar de forma
fácil e rápida.
Um GRANDE abraço e bom
estudo.
Slide 2
Como estudar
Matemática
O estudante que se prepara para um teste tem
de dominar as ferramentas básicas da
Matemática, que vai usar sempre.
Fred Tavares
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Como enfrentar todos os assuntos durante o
ano?
Cada pessoa tem o seu método de estudar,
mas uma coisa não dá para deixar de lado: o
esforço.
O estudante precisa usar todos os recursos
possíveis.
Tem de estudar teoria, aprender conceitos,
entender os exemplos que são dados e
estudar sempre escrevendo.
Matemática não dá para estudar só lendo.
Slide 3
Como estudar
Matemática
Fred Tavares
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Um conselho: não se deve ficar um período
inteiro tentando resolver um exercício que não
sai. É contraproducente. Perdeu mais de 10,
15 minutos num exercício, põe de lado e
registra: "não sei fazer este". Depois tenta de
novo. Se ainda aí não conseguir resolver,
deve pedir ajuda ao professor, ao plantonista
ou a um colega. O pedido de ajuda correto
deve ser no sentido de a outra pessoa dar
dicas, orientação para resolver a questão – e
não buscar a resposta pronta e desenvolvida.
Abraços
Fred Tavares
Slide 4
Equação do 1º grau
Fred Tavares
(UFPB) Qual a solução da equação abaixo:
2(2x+7) + 3(3x-5) = 3(4x+5) -1
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Aplicando a propriedade distributiva:
2(2x+7) + 3(3x-5) = 3(4x+5) -1
4x+14+9x-15=12x+15-1
4x+9x-12x=15-1+15-14 (juntando os termos
semelhantes)
x=15
Portanto V={15}
Slide 5
Equação do 1º grau
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(Unb) Uma torneira A enche sozinha
um tanque em 10h, uma torneira B, enche o
mesmo tanque sozinha em 15h.
Em quanta horas as duas torneiras juntas
encherão o tanque?
Sendo V a capacidade do tanque em 1 hora:
“A” enche V/10 do tanque;
“B” enche V/15 do tanque
A e B enchem juntas: V/10 + V/15 = V/6
Sendo t o tempo em que as duas juntas
enchem o tanque: V/6.t = V
Portanto t = 6horas
Slide 6
Equação do 1º grau
(UFPR) Determine a expressão da função
representada pelo gráfico abaixo:
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Uma equação do 1º grau
y=ax+b
Pelo gráfico, concluímos:
Quando x=0, y=2 ponto (0,2)
Quando y=0, x=-4 ponto (0,-4)
Substituindo os valores em y=ax+b:
2=a.0+b
0 = -4a + 2
b=2
a = 1/2
Logo, a expressão é y = 1/2x+2.
Slide 7
Função Composta
(UFBA) Se f(g(x)) = 5x – 2 e f(x) = 5x + 4,
determine a função g(x).
Para esse caso basta substituir o x por g(x)
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f(x) = 5x + 4
f(g(x)) = 5.g(x) + 4 = 5x – 2.
Logo, teremos:
5.g(x) + 4 = 5x – 2
5.g(x) = 5x – 2 – 4
g(x) = (5x – 6)
5
Slide 8
Geratriz
(UFBA) Qual a fração geratriz de
0,39191... ?
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Seja x = 0,39191... Podemos escrever:
10x = 3,9191...
1000x = 391,9191...
Subtraindo membro a membro, vem:
1000x – 10x = 391,9191... – 3,9191...
990x = 388
x = 388/990 = 194/495,
que é a fração geratriz procurada.
Slide 9
MMC
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(UEFS) Hoje, A e B estão de folga do trabalho.
Sabendo-se que A tem folga de 6 em 6 dias e B,
de 4 em 4 dias e que a folga dos dois coincide
sempre a cada x dias, pode-se concluir que o
valor de x é:
Tratar-se de um problema de MMC - mínimo
múltiplo comum.
Então, MMC(4,6) = 12
4,6
2,3
1,3
1,1
2
2
3
12
Slide 10
Geometria Espacial
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(UNICAMP) O número de faces de um poliedro
convexo de 20 arestas é igual ao número de
vértices. Determine o número de faces do
poliedro.
V + F = A + 2 dica ( Vamos Fazer = Amor a 2 )
É dado que A = 20 e V = F. Logo, substituindo,
fica:
V+F=A+2
F + F = 20 + 2 ;
logo, 2F = 22 e daí conclui-se que F = 11.
Portanto, o poliedro possui 11 faces.
Slide 11
Raciocínio
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Um casal foi casar a filha.
p: O padre perguntou a jovem.
Filha quantos anos você tem?
j: A jovem respondeu.
Tenho a metade da idade de minha mãe.
p: O padre virou-se para a mãe da jovem e
perguntou.
Quantos anos a senhora tem?
m: A mulher respondeu.
Sou 10 anos mais nova do que meu marido.
p: O padre virou-se para o marido da senhora e
perguntou-lhe.
Quantos anos o senhor tem?
h: O Homem respondeu.
A soma das nossas três idades é igual a um
século.
Slide 12
Raciocínio
Fred Tavares
Resolução:
O ponto de partida é a idade da mãe que
é igual a “x”
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x + x + x + 10 = 100
2
x + 2x + 2x + 20 = 200
(tirando o mínimo)
5x = 200 - 20
5x = 180
x = 180 : 5
x = 36 anos, a idade da mãe
18 anos, a idade da filha
46 anos, a idade do pai
Slide 13
Raciocínio
Um tijolo pesa um quilo mais meio tijolo.
Quanto pesa um tijolo e meio?
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1tijolo = 1 kg + ½ tijolo
1tijolo – ½ tijolo = 1 kg
½ tijolo = 1kg
se ½ tijolo pesa 1 kg, logicamente 1 tijolo pesa 2 kg, e um tijolo
e meio, ou seja, 1 ½ tijolo pesa 3 kg.
Um prisioneiro encontra-se em uma cela de duas
portas(saídas), a da liberdade(L) e a do fuzilamento(F), e em
cada porta tem um guarda, sendo que um deles só fala a
verdade e o outro só fala mentira, porém o prisioneiro não
sabe quem fala a verdade nem o que mente. Qual a pergunta
que ele deve fazer a qualquer um dos guardas para ganhar
a liberdade?
Basta fazer a pergunta para os dois guardas.
Como vimos no enunciado do problema, tem um guarda que
só fala mentira, portanto se o prisioneiro chegar para ele e
perguntar ... Se eu perguntar para o seu colega qual a porta da
liberdade, que porta ele vai indicar? Ele apontar para a porta (F).
Slide 14
Raciocínio
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(UFPB) Quantas vezes 100 é maior que 20?
O referencial neste caso é 20, portanto apure a diferença
entre os números dados, em seguida divida o resultado
apurado pelo referencial, ou seja:
100 – 20 = 80
80 : 20 = 4, portanto 100 é 4 vezes maior que 20,
ou na forma percentual, 100 é 400% maior que 20.
Existe uma outra maneira de resolver este problema,
através de uma equação:
20(x + 1) = 100
x + 1 = 100 : 20
x+1=5
x=5–1
x = 4, mais uma vez, 100 é 4 vezes maior que 20.
Qual a metade de dois mais dois?
A metade de 2 é igual a 1, somado com 2 é igual a 3
½x2+2=1+2=3
Slide 15
Regra de Três
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(UEPB) Ao participar de um treino de Fórmula 1, um corredor
imprimindo a velocidade média de 180 Km/h fez um certo
percurso em 20s. Se a sua velocidade média fosse de 200
Km/h, qual seria o tempo gasto no mesmo percurso?
(Km/h=quilômetro por hora, s=segundo).
Representaremos o tempo procurado pela letra T.
De acordo com os dados do problema, temos:
Velocidade (Km/h)
180
200
Tempo (s)
20
T
Relacionamos grandezas inversamente proporcionais:
Quando a velocidade aumenta o tempo diminui.
Conhecidos três valores, podemos obter um quarto valor T.
Os números 180 e 200 aparecem na mesma ordem que
apareceram na tabela, enquanto que os números 20 e T
aparecem na ordem inversa da ordem que apareceram na
tabela acima. Assim 180.20=200.T, donde segue que
200T=3600 e assim T=3600/200=18. Se a velocidade do
corredor for de 200 Km/h ele gastará 18s para realizar o
mesmo percurso.
Slide 16
(FUVEST) Num programa transmitido diariamente, uma
Análise Combinatória emissora de rádio toca sempre as mesmas dez músicas, mas
nunca na mesma ordem. Para esgotar todas as prováveis
seqüências dessas músicas serão necessários
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aproximadamente:
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a) 10 dias
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b) Um século
c) 10 anos
d) 100 séculos
e) 10 séculos
Trata-se de um problema de permutações simples, ou seja,
calcular o número de permutações simples de 10 elementos.
Da teoria, teremos:
P10 = 10! = 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1
Portanto serão necessários 10! (fatorial de 10) dias, para
esgotar todas as possibilidades. Vamos converter esse número
em anos e, para isto vamos dividir por 360 dias (o mais exato
seria dividir por 365 dias = 1 ano, mas o problema pede uma
solução aproximada). Logo, vem:
10!/360 = 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1/360 = 10080 dias ou 100 séculos
Logo, serão necessários 100 séculos para esgotar todas as
possibilidades, o que nos leva à alternativa D.
Slide 17
Análise Combinatória (UNICAMP) Uma mesa de quatro pernas pode oscilar. Já uma
mesa de três pernas está sempre firme. Explique.
Funções
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As três pernas determinam um único plano. Já as quatro
pernas podem determinar mais de um plano, rigorosamente
C4,3 = 4 planos, ocorrendo nesse caso, oscilação.
Obs: C4,3 = nº de combinações de 4 elementos, taxa 3.
Cn,p = ___n!____
p!(n-p)!
dica para decorar: Comigo não pode,
não pode, não pode.
(FFT) Sejam os conjuntos A = {0, 1, 2}, B = {0, 1, 2, 3, 4} e a
função f: A em B, f(x) = x². Encontre o conjunto imagem
fazendo os diagramas.
F(x) = x2
F(0) = 02 = 0
F(1) = 12 = 1
F(2) = 22 = 4
Temos:
No nosso exemplo a Im = { 0, 1, 4}
Slide 18
Expressões
(FUVEST) Qual o valor da expressão a³-3a²x²y², para a=10,
x=3 e y=1?
Basta que você substitua cada variável por seu valor.
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a³ - 3 a² x² y²
103 – 3.102.32.12 = 1000 – 3.100.9.1 = 1000 – 2700 = -1700
(UNICAMP) Por definição (f+g)(x)=f(x)+g(x). Realizar a soma
das funções f e g é o mesmo que obter os valores de f+g em
todos os pontos do domínio comum a ambas as funções.
Consideremos as funções reais:
f={(1,2),(2,3),(3,4),(4,5)}
g={(1,5),(2,2),(3,3),(4,1)}
Qual o valor da função f+g?
Logo temos: (f+g)(x)=f(x)+g(x).
(f+g)(1)=f(1)+g(1) = 2 + 5 = 7
(f+g)(2)=f(2)+g(2) = 3 + 2 = 5
(f+g)(3)=f(3)+g(3) = 4 + 3 = 7
(f+g)(4)=f(4)+g(4) = 5 + 1 = 6
Resposta {(1,7),(2,5),(3,7),(4,6)}
Slide 19
Funções
Porcentagem
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( UNESP) Sejam as funções f(x)=2x-4 e g(x)=3x+a. Se f(1)g(0)=6, quanto vale f(2)+5g(7)=?
Para f(x), vamos substituir 1 no valor de x e para g(x) vamos
substituir 0.
f(1) = 2.1-4=-2
g(0) = 3.0+a=a
Logo, fazendo a subtração f(1) – g(0) = 6 → -2 - a = 6 →
a = -8
(Mack) Um pintor pintou 30% de um muro e outro pintou 60%
do que sobrou. A porcentagem do muro que falta pintar
é:
a) 10% b) 15% c) 23% d) 28% e) 33%
Resolução
1) 60% de 70% = 42%
2) 100% – 42% – 30% = 28%
Slide 20
Análise Combinatória
Funções Exponencial
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(Mack) 12 professores, sendo 4 de matemática, 4 de geografia
e 4 de inglês, participam de uma reunião com o objetivo de
formar uma comissão que tenha 9 professores, sendo 3 de
cada disciplina. O número de formas distintas de se compor
essa comissão é:
Resolução
Dos 4 professores de cada uma das três disciplinas,
serão escolhidos sempre 3 professores. O número
total de comissões possíveis com 9 professores
sendo 3 de cada disciplina é:
C4;3 . C4;3 . C4;3 = 43 = 64
(FUVEST) Se 2m = 3, então log254 é igual a:
Resolução
2m = 3 logo m = log23
Então: log254 = log2 (2 . 33) = log22 + 3 . log23 = 1 + 3 . m
Slide 21
Escala
Funções
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(FUVEST) Um mapa está numa escala 1:20 000 000, o que
significa que uma distância de uma unidade, no mapa,
corresponde a uma distância real de 20 000 000 de unidades.
Se no mapa a distância entre duas cidades é de 2 cm , então
a distância real entre elas é de:
Se o mapa está na escala de 1:20 000 000 então a distância
de 2cm entre duas cidades corresponde a uma
distância real de 40 000 000 cm, ou seja, 400 km.
Paula digita uma apostila em 2 horas, enquanto Ana o
faz em 3 horas. Se Paula iniciar o trabalho, digitando
nos primeiros 50 minutos, o tempo necessário para
Ana terminar a digitação da apostila é:
Seja T o trabalho de digitar a apostila, e x o tempo, em
minutos, necessário para Ana terminar a digitação iniciada
por Paula. Tem-se que:
Paula digita T em 2 horas e portanto T/120 por minuto.
Ana digita T em 3 horas e portanto T/180 por minuto.
Assim sendo, (T/120). 50 + (T/180). x = T
150 T + 2T x = 360 T então x = 105
Slide 22
Porcentagem
Probabilidade
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(UFBA) Num grupo de 400 pessoas, 70% são não-fumantes.
O número de fumantes que devemos retirar do grupo,
para que 80% das pessoas restantes sejam não-fumantes,
é:
I) O número de não-fumantes do grupo inicial é de
70% de 400 pessoas = (70 . 400):100 = 280 pessoas.
II) Seja x o número de fumantes que devemos retirar
deste grupo. Para que o número de não-fumantes
passe a ser de 80% das pessoas restantes, devemos
ter:
280 = 80% (400 – x) então x = 50
(UFRN) Considere a seqüência (2 , 3 , ..., 37), de números
primos maiores que 1 e menores que 40. Escolhidos ao
acaso dois deles, a probabilidade de serem ímpares
consecutivos é:
A seqüência dos números primos, entre 1 e 40, é:
B = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37}
Existem 5 pares de dois primos ímpares consecutivos
em B:(3; 5), (5; 7), (11; 13), (17; 19) e (29; 31)
Existem C12,2 = 66 duplas de elementos de B
Então a probabilidade procurada é P = 5/66
Slide 23
Produtos Notáveis
Regra de Três
( DICA) Calcule 41x39 usando um produto notável.
(40+1)(40-1) = 40² -1² = 1.599
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FATORAÇÃO
ax+2a = a(x+2)
a²-b² = (a+b)(a-b)
a² - 4ab + 4b² = (a-2b)²
2x²-2 = 2(x²-1) = 2(x+1)(x-1)
(UFCE) Um certo setor de uma empresa tem várias máquinas,
todas com o mesmo custo operacional por hora. Se o custo de
operação de 3 delas, em 2 dias, funcionando 6 horas por dia, é
de R reais, então o custo de operação em reais de 2 delas, em
4 dias, funcionando 5 horas por dia, é igual a?
Por regra de três composta temos:
x = R . 2/3 . 4/2 . 5/6 = 10R/9
Slide 24
Porcentagem
Combinatória
(UFBA) Na compra a prazo de um aparelho eletrodoméstico, o
total pago por uma pessoa foi R$ 672,00. A entrada teve valor
correspondente a 1/6 do total, e o restante foi pago em 4
parcelas, cujos valores formaram uma progressão aritmética
crescente de razão R$ 40,00.O valor da última prestação foi?
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Valor total: R$ 672,00
Entrada: 1/6 de R$ 672,00 = R$ 112,00
Valor financiado em P.A.: R$ 560,00 com razão R$ 40,00
Logo temos (x, x + 40, x + 80, x + 120).
Então x + x + 40 + x + 80 + x + 120 = 560
Portanto x = 80 reais.
A 4a prestação é x + 120, isto é, R$ 200,00.
(UFPB) Em uma Olimpíada, a delegação de um país A se
apresentou com 10 atletas e a de um país B, com 6 atletas. Os
alojamentos da Vila Olímpica eram para quatro pessoas, e um
deles foi ocupado por 2 atletas de A e 2 atletas de B. O
número de maneiras distintas de formar esse grupo de 4
atletas era de ?
Análise Combinatória, temos a fórmula da combinação
C10, 2 . C6, 2 = 45 . 15 = 675
Slide 25
Geometria Espacial
Equações
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(CEFET) Uma pessoa comprou um vasilhame para armazenar
água em sua casa e, colocar
0,256 m3 de água,
constatou que a parte ocupada correspondia a apenas 40%
da capacidade total. Se esse vasilhame tem o formato de um
cilindro circular reto e altura de 1 m, então o raio de sua base,
em metros, é
0,256 _______ 40%
V
V = 0,64 m3
_______100%
O volume de um cilindro é
(área da base) x altura
R2 . 1 = 0,64 R = 0,8m
(CEFET) O valor de x que é solução, nos números reais, da
equação 1/2 + 1/3 + 1/4 = x/48 é igual a:
6+4+3 = x
12
48
então
13 = x
12
48
x = 52
Slide 26
Logaritmos
Complexos
Polinômios
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(UFPR) Considere a função real de variável real, definida por
f(x) = 3 + 2–x. Então f( log2 5 ) é igual a:
Esta questão é extremamente simples e requer do
vestibulando habilidade no uso de exponenciais e logaritmos.
f(log2 5 ) = 3 + 2[–log25] = 3 + 2 [log2(1/5)] = 3 + 1/5 = 16/5
(UEPB) O polinômio P(x) = 2x3 – x2 + ax + b, em que a e b
são números reais, possui o número complexo i como uma de
suas raízes. Então o produto ab é igual a:
Basta usar o Teorema de D’Alembert.
P(i) = 2i3
– i2 + ai + b = 0
substituindo P(–i) = 2(–i)3 – (–i)2 – ai + b = 0
Ou seja: –2i + 1 + ai + b = 0
2i + 1 – ai + b = 0 pela igualdade 1 + b = 0 b = – 1,
logo – 2i + 1 + ai – 1 = 0 a = 2.
Portanto, ab = – 2
Slide 27
Progressão
Aritmética
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(FUVEST) Uma seqüência de números reais é dita uma
progressão aritmética de segunda ordem quando a seqüência
formada pelas diferenças entre termos sucessivos for uma
progressão aritmética. Assinale a alternativa na qual se
encontra parte de uma progressão aritmética de segunda
ordem.
A)
B)
C)
D)
E)
(0, 5, 12, 21, 23)
(6, 8, 15, 27, 44)
(-3, 0, 4, 5, 8)
(7, 3, 2, 0, -1)
(2, 4, 8, 20, 30)
A)
(5, 7, 9, 2)
Esta questão é interessante,
B)
(2, 7 12, 17)
pois requer dos concorrentes
C)
( 3, 4, 1, 3)
habilidade de leitura
D)
(–4, –1, –2, –1)
compreensiva e posterior
E)
(2, 4, 12, 10)
aplicação de um conceito.
Construindo as seqüências das
diferenças obtemos:
Claramente vemos que apenas (2, 7, 12, 17) representa uma
parte de uma progressão aritmética. Portanto apenas a
seqüência (6, 8, 15, 27, 44) contém parte de uma P. A. de
segunda ordem.
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Análise Combinatória
(FUVEST) A quantidade de números inteiros,positivos e
ímpares, formados por três algarismos distintos, escolhidos
dentre os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, é igual a:
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É interessante notar que os algarismos escolhidos têm que
ser distintos. Formemos um dos números pedidos sob a forma
XYZ. Há 5 escolhas possíveis para Z pois XYZ é ímpar. Para
X, há 8 escolhas possíveis, pois o zero não pode ser
escolhido. Escolhidos X e Z, restam para Y 8escolhas dentre
os 10 algarismos oferecidos.
Logo, há 885 = 320 números.
João tinha 20 bolinhas de gude e queria distribuí-las entre ele
e 3 amigos de modo que cada um ficasse com um número par
de bolinhas e nenhum deles ficasse com o mesmo número
que o outro. Com quantas bolinhas ficou cada menino?
Resposta: Se o primeiro menino ficar com 2 bolinhas,
sobrarão 18 bolinhas para os outros 3 meninos. Se o segundo
receber 4, sobrarão 14 bolinhas para os outros dois meninos.
O terceiro menino receberá 6 bolinhas e o quarto receberá 8
bolinhas.
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Aritmética Básica
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Na Páscoa, um comerciante de Ovos de Páscoa fez a seguinte
promoção:
1 ovo = R$ 6,00
2 ovos = R$ 11,00
3 ovos = R$ 15,00
4 ovos = R$ 18,00
Um cliente realizou uma compra sob certas circunstâncias.
Quantos ele pagou pela compra de 11 ovos?
Quantos ele pagaria se comprasse 177 ovos?
Sem promoção, quanto ele pagaria a mais pela compra dos
177 ovos?
Resposta: Para comprar 11 ovos ele dividiu 11 por 4 para obter
o maior número múltiplo de 4 e o resto da divisão será 3, assim
ele usou a decomposição: 11=4+4+3.
Custo=R$18,00+R$18,00+R$15,00=R$51,00.
Para comprar 177 ovos, ele deve dividir 177 por 4 para obter o
maior número múltiplo de 4 e o resto da divisão será 1, assim:
177=4×44+1
Custo=44×R$18,00+R$6,00=R$798,00.
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Divisores
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(UnB) Para obter os divisores de um número natural a, basta
saber quais os elementos que, multiplicados entre si, têm por
resultado o número a. Com base nessa afirmação, obtenha o
conjunto de divisores de cada um dos números: 13, 18. 25, 32
e 60.
Resposta: D(13)={1,13}, D(18)={1,2,3,6,9,18}, D(25)={1,5,25},
D(60)={1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60} e D(32)={1,2,4,8,16,32}.
Obtivemos apenas alguns números naturais que,
multiplicados entre si, têm por resultado 32:
1×32=32; 2×16=32; 4×8=32, 8×4=32, 16×2=32, 32×1=32.
(FFT) De que forma explícita podemos escrever o conjunto de
todos os múltiplos de um número natural n?
Resposta: O conjunto dos números naturais é
N={0,1,2,3,4,5,...}. Se n é um número para o qual queremos
obter os múltiplos, então a multiplicação de n por cada
elemento de N será: M(n)={0,n,2n,3n,4n,...}.
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Exponencial
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(UEA) Resolver a inequação 4x-1+ 4x– 4x+1> –11/4
Resolução:
A inequação pode ser escrita 4x/4 + 4x – 4x.4 > - 11/4
Multiplicando ambos os lados por 4 temos:
4x + 4.4x – 16.4x > -11, ou seja:
(1+4 – 16).4x > –11 ⇒ –11.4x > –11 e daí 4x < 1
Porém, 4x < 1 ⇒ 4x < 40.
Como a base (4) é maior que 1, obtemos:
4x < 40 ⇒ x < 0
Portanto S = IR– (reais negativos)
(UEA) O gráfico de f(x) = ax2 intersecta a curva y = 2x no
ponto P de abscissa 1. O gráfico de f passa pelo ponto:
Fazendo a igualdade ax2 = 2x
Para x = 1, teremos que a = 2;
Logo f(2) = 2.22 = 8 . O que nos leva a concluir que f passa
pelo ponto Q(2,8)
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Logaritmos
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(UEA) Supondo m > 0 e m ≠ 1, o valor de logm2
a:
Resolução:
Logm2
3
m
= Log 2
m
Resposta: 1/6
m1/3 = (1/3)/2 = 1/3 x 1/2
3
m é igual