Transcript Propriedades dos Determinantes
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Matemática – Ensino Médio
Prof. Ilydio Pereira de Sá
Propriedades dos Determinantes
1 3 2
0 5 0
4 7 8
Slide 2
OBSERVAÇÃO:
As propriedades dos determinantes, que discutiremos
a seguir, são válidas para determinantes associados à
matrizes quadradas de ordem n. No entanto, nos
exemplos e demonstrações que se seguem,
utilizaremos matrizes quadradas de ordem 2 e 3,
para facilitar a compreensão.
Slide 3
PROPRIEDADE 1: FILA NULA
Se TODOS os elementos de uma fila (linha ou coluna) de uma
matriz quadrada forem iguais a ZERO, o determinante dessa
matriz também será igual a ZERO.
EXEMPLO:
0 3 2
A= 0 15 0 , logo, det A = 0
0 7 8
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PROPRIEDADE 2: FILAS IGUAIS
Se os elementos correspondentes de duas filas (linhas ou
colunas) de uma matriz quadrada forem iguais, o
determinante dessa matriz será igual a ZERO.
EXEMPLO:
A=
1
2
1
3 2
1 −4 = 2 + 12 − 12 − 2 + 12 − 12 = 0
3 2
A primeira e a terceira linhas são iguais!!
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PROPRIEDADE 3: MULTIPLICAÇÃO DE UMA FILA POR UM
NÚMERO REAL
Se todos os elementos de uma fila (linha ou coluna) de uma
matriz quadrada forem multiplicados por um mesmo número
real k, então o determinante dessa matriz também ficará
multiplicado por k.
EXEMPLO:
A=
1
2
1
1 2
0 −4 verifique que det (A) = 16
2 −2
Se multiplicarmos, por exemplo, a primeira linha da
matriz por 2, o determinante da nova matriz será igual
a 16 x 2 = 32.
2 2 4
B= 2 0 −4 verifique que det (B) = 32
1 2 −2
Slide 6
PROPRIEDADE 4: FILAS PROPORCIONAIS
Se os elementos correspondentes de duas filas (linhas ou
colunas) de uma matriz quadrada forem proporcionais, o
determinante dessa matriz será igual a ZERO.
EXEMPLO:
0 1 −2
A= 1 1 3 Observe que essa propriedade nada
0 2 −4
mais é do que uma consequência das duas
propriedades anteriores. Veja:
0
Det (A) = 2 . Det. 1
0
1 −2
1 3 =2.0=0
1 −2
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PROPRIEDADE 5: MULTIPLICAÇÃO DE UMA MATRIZ POR
UM NÚMERO REAL
Se uma matriz quadrada de ordem n for multiplicada por um
número real k, então o determinante dessa matriz ficará
multiplicado por kn, ou seja, det (k.A) = kn . A.
Observe que essa propriedade equivale a multiplicar por k as n
linhas da matriz inicial.
EXEMPLO:
A=
0
1
1
2.A=
1 −2
1 3 verifique que det. (A) = -2
2 3
0
2
2
2 −4
2 6 verifique que det (2A) = -16
4 6
Det (2A) = 2.2.2. (-2) ou 23 . (-2) = -16
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PROPRIEDADE 6: DETERMINANTE DA TRANSPOSTA
O determinante de uma matriz quadrada A é igual ao
determinante de sua transposta At, ou seja,
det (A) = det (At).
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PROPRIEDADE 7: TROCA DE FILAS PARALELAS
Se trocarmos a posição de duas filas (linhas ou colunas)
paralelas de uma matriz quadrada, o determinante da
nova matriz obtida é o simétrico da matriz original.
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EXEMPLOS:
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PROPRIEDADE 8: DETERMINANTE DE UMA
MATRIZ TRIANGULAR
O determinante de uma matriz triangular é igual ao
PRODUTO dos elementos de sua diagonal principal.
EXEMPLO:
3 1 −2
A= 0 1 3 (A) = 9, que é o produto dos
0 0 3
elementos da diagonal principal.
Slide 12
PROPRIEDADE 9: TEOREMA DE BINET
O determinante de um produto de matrizes quadradas, de
mesma ordem, é igual ao produto dos determinantes dessas
matrizes, ou seja, sejam A e B duas matrizes quadradas de
mesma ordem, então det (A . B) = det (A) . det (B)
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PROPRIEDADE 10: DETERMINANTE DA
INVERSA DE UMA MATRIZ
O determinante da inversa de uma matriz quadrada A é igual ao
inverso do determinante dessa matriz A, ou seja, det (A-1) =
1
det(A)
(OBS: dessa propriedade concluímos que, se uma matriz é invertível,
então det (A) 0).
Verifique que essa propriedade é uma consequência do Teorema de
Binet combinado com a definição de matriz inversa, ou seja:
A . A-1 = I (identidade) , logo, aplicando o teorema de Binet, teremos:
Det (A) . Det (A-1) = Det (I). Sabemos que o det (I) = 1, logo,
Det (A) . Det (A-1) = 1 ou que Det (A-1) =
1
det(A)
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PROPRIEDADE 11: FILA COMO SOMA DE DUAS OU
MAIS PARCELAS
Se uma matriz quadrada A tem todos os elementos de uma de suas
filas (f) igual à uma soma de duas parcelas, então podemos calcular o
determinante dessa matriz A através da soma dos determinantes
associados a duas outras matrizes.
Em cada uma dessas novas matrizes, cada elemento correspondente
à fila f ficará substituído por uma das suas parcelas iniciais.
𝑎
𝑑
det
𝑥+𝑦
𝑏
𝑒
𝑚+𝑛
𝑐
𝑎
𝑓
= det 𝑑
𝑤+𝑧
𝑥
𝑏
𝑒
𝑚
𝑎
𝑐
𝑓 + det 𝑑
𝑦
𝑤
𝑏
𝑒
𝑛
𝑐
𝑓
𝑧
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PROPRIEDADE 12: TEOREMA DE JACOBI
Se substituirmos uma fila qualquer
uma matriz quadrada A pela soma
que lhe seja paralela, multiplicada
não nulo (combinação linear), o
matriz permanecerá o mesmo.
(linha ou coluna) de
dessa fila com outra
por um número real
determinante dessa
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Como consequência do Teorema de Jacobi, podemos
inferir que, se uma matriz quadrada tiver uma de suas
filas como combinação linear de outras duas, o
determinante dessa matriz será nulo.
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Exemplo: Verifique, pela propriedade anterior, que o determinante
associado à matriz A será igual a zero.
2
A = −1
3
2 3
2 4
6 10
Observe que a terceira linha é uma combinação linear das duas
primeiras, ou seja, ela é igual à primeira linha multiplicada por 2 e
somada com a segunda linha. (L3 = 2. L1 + L2)
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PROPRIEDADE 13: DETERMINANTE ESPECIAL DE
VANDERMONDE
Trata-se de um caso muito particular de determinante de uma
matriz quadrada de ordem n, onde todas as suas linhas são
constituídas pelas potências de 0 a (n – 1) de n números reais,
que são as bases dessa matriz de Vandermonde.
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O cálculo do determinante de Vandermonde pode ser
feito, de forma prática, efetuando-se os produtos das
diferenças entre os termos da base e os termos
antecedentes da segunda linha da matriz, ou seja:
D = (b – a).(c – a) ... (l – a). (c – b). ....(k – b). (l – b). ..(k – c). (l – c)...(l – k)
Slide 20
Exemplo: Calcule o determinante associado à matriz:
Pelo que vimos, trata-se de uma matriz de Vandermonde,
logo, podemos calcular o seu determinante pela regra
prática, ou seja:
Det. (D) = (3 – 5) . (2 – 5). (2 – 3). (4 – 5). (4 – 3). (4 – 2) =
= (-2) . (-3). (-1) . (-1) . (1) . (2) = 12
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MENOR COMPLEMENTAR E COFATOR DE UM ELEMENTO
DE UMA MATRIZ QUADRADA
O menor complementar de um elemento aij de uma matriz
quadrada A é igual ao determinante da matriz que se obtém
quando suprimimos a linha i e a coluna j, desse elemento.
Representaremos o menor complementar do elemento aij por
Dij.
Por exemplo, na matriz A, mostrada acima, o menor
complementar do elemento a23 = 7 será igual a:
Slide 22
O cofator (Cij) de um elemento aij de uma matriz
quadrada A é igual ao produto do menor complementar
por (-1)i+j, ou seja: Cij= (-1)i+j x Dij
Definições: A matriz formada pelos cofatores de TODOS
os elementos de uma matriz quadrada é denominada de
Matriz Cofatora e a transposta da matriz Cofatora é
denominada de Matriz Adjunta (Adj (A)).
Exemplo: Obtenha a matriz cofatora e a matriz adjunta da
matriz A mostrada acima.
Slide 23
Solução:
Primeiramente teremos que obter os cofatores dos
elementos dessa matriz.
C11 = (-1)2.
0 7
3
= −42 C12 = (-1)3.
6 5
2
7
3
= −1 C13 = (-1)4.
5
2
0
= 18
6
C21 = (-1)3.
3
6
1
= −9
5
C22 = (-1)4.
1
2
1
=3
5
3
=0
6
C31 = (-1)4.
3
0
1
= 21
7
C32 = (-1)5.
1
3
1
1
= −4 C33 = (-1)6.
7
3
C23 = (-1)5.
1
2
3
= −9
0
Slide 24
Logo, a matriz cofatora de A, será:
Cof A =
−42 −1
−9
3
21 −4
18
0
−9
Dessa forma, como a matriz adjunta é a
transposta da matriz cofatora, teremos:
Adj A =
−42 −9 21
−1
3 −4
18
0 −9
Slide 25
IMPORTANTE:
Regra Prática para a determinação da inversa de uma
matriz quadrada
Uma forma alternativa para obtermos a inversa de uma
matriz quadrada e sem a necessidade de resolvermos um
sistema com muitas incógnitas é usar a seguinte relação:
Adj (A)
-1
A =
Det (A)
No exercício anterior, determinamos a matriz adjunta da
matriz A.
Adj A =
−42 −9 21
−1
3 −4
18
0 −9
Slide 26
Se calcularmos o determinante da matriz A, teremos:
Det (A) = 42 + 18 – 42 – 45 = -27
A inversa da matriz A será obtida dividindo-se todos os
elementos da matriz adjunta pelo determinante de A.
A−1
=
−42
−27
−1
−27
18
−27
−9
−27
3
−27
0
−27
21
−27
−4
−27
−9
−27
=
14
9
1
27
2
−
3
1
3
1
−
9
0
−
7
9
4
27
1
3
Como exercício, sugiro que você faça agora a
multiplicação da matriz A pela matriz A−1 e verifique se
esse produto será igual à matriz identidade.
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TEOREMA DE LAPLACE
O determinante de uma matriz quadrada é igual à soma
dos produtos dos elementos de uma fila (linha ou coluna)
pelos seus respectivos cofatores.
A vantagem do uso do teorema de Laplace é que ele é
geral e permite sempre o cálculo do determinante
através do uso de uma matriz de menor ordem.
Por exemplo, se desejarmos calcular o determinante da
matriz A, mostrada no exercício anterior, usando o
teorema de Laplace, teremos:
Slide 28
TEOREMA DE LAPLACE
Para facilitar, vamos trabalhar apenas com a segunda
linha da matriz pois ela inclui um elemento igual a zero.
De acordo com o teorema de Laplace, teremos:
3 1
1 3
Det (A) = 3.(-1)2+1.
+ 0 + 7.(-1)2+3.
=
6 5
2 6
Det (A) = -27 + 0 = -27
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REGRA PRÁTICA DE CHIÓ
Trata-se de um método prático que utilizamos para reduzir
a ordem de uma matriz quadrada, sem alterar o valor de
seu determinante. Usamos esse método quando o
primeiro elemento da matriz (a11) é igual a 1.
Nos casos em que esse primeiro elemento não é igual a 1,
podemos usar as propriedades estudadas, como o
teorema de Jacobi, para tornar esse elemento igual a 1.
A regra prática deve obedecer aos seguintes passos:
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1. Suprimimos a primeira linha e a primeira coluna da
matriz dada.
2. De cada elemento restante na matriz, subtraímos o
produto dos dois elementos suprimidos que estavam
na mesma linha e coluna do elemento em questão.
3. A nova matriz obtida por esse processo, que terá
ordem n – 1, tem o seu determinante igual ao da
matriz inicial e, como tem menor ordem, poderá ser
calculado pelos métodos tradicionais, como a regra
de Sarrus.
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Exemplo: Calcular o determinante associado à matriz A,
quadrada, de 4ª ordem:
Seguindo o roteiro, como temos o primeiro elemento igual a
1, podemos aplicar a regra de Chió e transformar essa matriz
de ordem 4, numa outra, de ordem 3, e que terá o mesmo
determinante.
Vamos eliminar a primeira linha e a primeira coluna dessa
matriz.
Slide 32
De cada um dos elementos que
sobraram, vamos subtrair o PRODUTO
dos elementos eliminados que estejam
na mesma linha e na mesma coluna do
elemento restante.
Iremos obter uma nova matriz, que será:
Agora, temos uma matriz de ordem 3 e que possui o mesmo
determinante da matriz inicial (de ordem 4). Podemos
calcular esse determinante por Sarrus (faça os cálculos).
Você deverá obter o resultado igual a 64 (verifique!)
Matemática – Ensino Médio
Prof. Ilydio Pereira de Sá
Propriedades dos Determinantes
1 3 2
0 5 0
4 7 8
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OBSERVAÇÃO:
As propriedades dos determinantes, que discutiremos
a seguir, são válidas para determinantes associados à
matrizes quadradas de ordem n. No entanto, nos
exemplos e demonstrações que se seguem,
utilizaremos matrizes quadradas de ordem 2 e 3,
para facilitar a compreensão.
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PROPRIEDADE 1: FILA NULA
Se TODOS os elementos de uma fila (linha ou coluna) de uma
matriz quadrada forem iguais a ZERO, o determinante dessa
matriz também será igual a ZERO.
EXEMPLO:
0 3 2
A= 0 15 0 , logo, det A = 0
0 7 8
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PROPRIEDADE 2: FILAS IGUAIS
Se os elementos correspondentes de duas filas (linhas ou
colunas) de uma matriz quadrada forem iguais, o
determinante dessa matriz será igual a ZERO.
EXEMPLO:
A=
1
2
1
3 2
1 −4 = 2 + 12 − 12 − 2 + 12 − 12 = 0
3 2
A primeira e a terceira linhas são iguais!!
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PROPRIEDADE 3: MULTIPLICAÇÃO DE UMA FILA POR UM
NÚMERO REAL
Se todos os elementos de uma fila (linha ou coluna) de uma
matriz quadrada forem multiplicados por um mesmo número
real k, então o determinante dessa matriz também ficará
multiplicado por k.
EXEMPLO:
A=
1
2
1
1 2
0 −4 verifique que det (A) = 16
2 −2
Se multiplicarmos, por exemplo, a primeira linha da
matriz por 2, o determinante da nova matriz será igual
a 16 x 2 = 32.
2 2 4
B= 2 0 −4 verifique que det (B) = 32
1 2 −2
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PROPRIEDADE 4: FILAS PROPORCIONAIS
Se os elementos correspondentes de duas filas (linhas ou
colunas) de uma matriz quadrada forem proporcionais, o
determinante dessa matriz será igual a ZERO.
EXEMPLO:
0 1 −2
A= 1 1 3 Observe que essa propriedade nada
0 2 −4
mais é do que uma consequência das duas
propriedades anteriores. Veja:
0
Det (A) = 2 . Det. 1
0
1 −2
1 3 =2.0=0
1 −2
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PROPRIEDADE 5: MULTIPLICAÇÃO DE UMA MATRIZ POR
UM NÚMERO REAL
Se uma matriz quadrada de ordem n for multiplicada por um
número real k, então o determinante dessa matriz ficará
multiplicado por kn, ou seja, det (k.A) = kn . A.
Observe que essa propriedade equivale a multiplicar por k as n
linhas da matriz inicial.
EXEMPLO:
A=
0
1
1
2.A=
1 −2
1 3 verifique que det. (A) = -2
2 3
0
2
2
2 −4
2 6 verifique que det (2A) = -16
4 6
Det (2A) = 2.2.2. (-2) ou 23 . (-2) = -16
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PROPRIEDADE 6: DETERMINANTE DA TRANSPOSTA
O determinante de uma matriz quadrada A é igual ao
determinante de sua transposta At, ou seja,
det (A) = det (At).
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PROPRIEDADE 7: TROCA DE FILAS PARALELAS
Se trocarmos a posição de duas filas (linhas ou colunas)
paralelas de uma matriz quadrada, o determinante da
nova matriz obtida é o simétrico da matriz original.
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EXEMPLOS:
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PROPRIEDADE 8: DETERMINANTE DE UMA
MATRIZ TRIANGULAR
O determinante de uma matriz triangular é igual ao
PRODUTO dos elementos de sua diagonal principal.
EXEMPLO:
3 1 −2
A= 0 1 3 (A) = 9, que é o produto dos
0 0 3
elementos da diagonal principal.
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PROPRIEDADE 9: TEOREMA DE BINET
O determinante de um produto de matrizes quadradas, de
mesma ordem, é igual ao produto dos determinantes dessas
matrizes, ou seja, sejam A e B duas matrizes quadradas de
mesma ordem, então det (A . B) = det (A) . det (B)
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PROPRIEDADE 10: DETERMINANTE DA
INVERSA DE UMA MATRIZ
O determinante da inversa de uma matriz quadrada A é igual ao
inverso do determinante dessa matriz A, ou seja, det (A-1) =
1
det(A)
(OBS: dessa propriedade concluímos que, se uma matriz é invertível,
então det (A) 0).
Verifique que essa propriedade é uma consequência do Teorema de
Binet combinado com a definição de matriz inversa, ou seja:
A . A-1 = I (identidade) , logo, aplicando o teorema de Binet, teremos:
Det (A) . Det (A-1) = Det (I). Sabemos que o det (I) = 1, logo,
Det (A) . Det (A-1) = 1 ou que Det (A-1) =
1
det(A)
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PROPRIEDADE 11: FILA COMO SOMA DE DUAS OU
MAIS PARCELAS
Se uma matriz quadrada A tem todos os elementos de uma de suas
filas (f) igual à uma soma de duas parcelas, então podemos calcular o
determinante dessa matriz A através da soma dos determinantes
associados a duas outras matrizes.
Em cada uma dessas novas matrizes, cada elemento correspondente
à fila f ficará substituído por uma das suas parcelas iniciais.
𝑎
𝑑
det
𝑥+𝑦
𝑏
𝑒
𝑚+𝑛
𝑐
𝑎
𝑓
= det 𝑑
𝑤+𝑧
𝑥
𝑏
𝑒
𝑚
𝑎
𝑐
𝑓 + det 𝑑
𝑦
𝑤
𝑏
𝑒
𝑛
𝑐
𝑓
𝑧
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PROPRIEDADE 12: TEOREMA DE JACOBI
Se substituirmos uma fila qualquer
uma matriz quadrada A pela soma
que lhe seja paralela, multiplicada
não nulo (combinação linear), o
matriz permanecerá o mesmo.
(linha ou coluna) de
dessa fila com outra
por um número real
determinante dessa
Slide 16
Como consequência do Teorema de Jacobi, podemos
inferir que, se uma matriz quadrada tiver uma de suas
filas como combinação linear de outras duas, o
determinante dessa matriz será nulo.
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Exemplo: Verifique, pela propriedade anterior, que o determinante
associado à matriz A será igual a zero.
2
A = −1
3
2 3
2 4
6 10
Observe que a terceira linha é uma combinação linear das duas
primeiras, ou seja, ela é igual à primeira linha multiplicada por 2 e
somada com a segunda linha. (L3 = 2. L1 + L2)
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PROPRIEDADE 13: DETERMINANTE ESPECIAL DE
VANDERMONDE
Trata-se de um caso muito particular de determinante de uma
matriz quadrada de ordem n, onde todas as suas linhas são
constituídas pelas potências de 0 a (n – 1) de n números reais,
que são as bases dessa matriz de Vandermonde.
Slide 19
O cálculo do determinante de Vandermonde pode ser
feito, de forma prática, efetuando-se os produtos das
diferenças entre os termos da base e os termos
antecedentes da segunda linha da matriz, ou seja:
D = (b – a).(c – a) ... (l – a). (c – b). ....(k – b). (l – b). ..(k – c). (l – c)...(l – k)
Slide 20
Exemplo: Calcule o determinante associado à matriz:
Pelo que vimos, trata-se de uma matriz de Vandermonde,
logo, podemos calcular o seu determinante pela regra
prática, ou seja:
Det. (D) = (3 – 5) . (2 – 5). (2 – 3). (4 – 5). (4 – 3). (4 – 2) =
= (-2) . (-3). (-1) . (-1) . (1) . (2) = 12
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MENOR COMPLEMENTAR E COFATOR DE UM ELEMENTO
DE UMA MATRIZ QUADRADA
O menor complementar de um elemento aij de uma matriz
quadrada A é igual ao determinante da matriz que se obtém
quando suprimimos a linha i e a coluna j, desse elemento.
Representaremos o menor complementar do elemento aij por
Dij.
Por exemplo, na matriz A, mostrada acima, o menor
complementar do elemento a23 = 7 será igual a:
Slide 22
O cofator (Cij) de um elemento aij de uma matriz
quadrada A é igual ao produto do menor complementar
por (-1)i+j, ou seja: Cij= (-1)i+j x Dij
Definições: A matriz formada pelos cofatores de TODOS
os elementos de uma matriz quadrada é denominada de
Matriz Cofatora e a transposta da matriz Cofatora é
denominada de Matriz Adjunta (Adj (A)).
Exemplo: Obtenha a matriz cofatora e a matriz adjunta da
matriz A mostrada acima.
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Solução:
Primeiramente teremos que obter os cofatores dos
elementos dessa matriz.
C11 = (-1)2.
0 7
3
= −42 C12 = (-1)3.
6 5
2
7
3
= −1 C13 = (-1)4.
5
2
0
= 18
6
C21 = (-1)3.
3
6
1
= −9
5
C22 = (-1)4.
1
2
1
=3
5
3
=0
6
C31 = (-1)4.
3
0
1
= 21
7
C32 = (-1)5.
1
3
1
1
= −4 C33 = (-1)6.
7
3
C23 = (-1)5.
1
2
3
= −9
0
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Logo, a matriz cofatora de A, será:
Cof A =
−42 −1
−9
3
21 −4
18
0
−9
Dessa forma, como a matriz adjunta é a
transposta da matriz cofatora, teremos:
Adj A =
−42 −9 21
−1
3 −4
18
0 −9
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IMPORTANTE:
Regra Prática para a determinação da inversa de uma
matriz quadrada
Uma forma alternativa para obtermos a inversa de uma
matriz quadrada e sem a necessidade de resolvermos um
sistema com muitas incógnitas é usar a seguinte relação:
Adj (A)
-1
A =
Det (A)
No exercício anterior, determinamos a matriz adjunta da
matriz A.
Adj A =
−42 −9 21
−1
3 −4
18
0 −9
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Se calcularmos o determinante da matriz A, teremos:
Det (A) = 42 + 18 – 42 – 45 = -27
A inversa da matriz A será obtida dividindo-se todos os
elementos da matriz adjunta pelo determinante de A.
A−1
=
−42
−27
−1
−27
18
−27
−9
−27
3
−27
0
−27
21
−27
−4
−27
−9
−27
=
14
9
1
27
2
−
3
1
3
1
−
9
0
−
7
9
4
27
1
3
Como exercício, sugiro que você faça agora a
multiplicação da matriz A pela matriz A−1 e verifique se
esse produto será igual à matriz identidade.
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TEOREMA DE LAPLACE
O determinante de uma matriz quadrada é igual à soma
dos produtos dos elementos de uma fila (linha ou coluna)
pelos seus respectivos cofatores.
A vantagem do uso do teorema de Laplace é que ele é
geral e permite sempre o cálculo do determinante
através do uso de uma matriz de menor ordem.
Por exemplo, se desejarmos calcular o determinante da
matriz A, mostrada no exercício anterior, usando o
teorema de Laplace, teremos:
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TEOREMA DE LAPLACE
Para facilitar, vamos trabalhar apenas com a segunda
linha da matriz pois ela inclui um elemento igual a zero.
De acordo com o teorema de Laplace, teremos:
3 1
1 3
Det (A) = 3.(-1)2+1.
+ 0 + 7.(-1)2+3.
=
6 5
2 6
Det (A) = -27 + 0 = -27
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REGRA PRÁTICA DE CHIÓ
Trata-se de um método prático que utilizamos para reduzir
a ordem de uma matriz quadrada, sem alterar o valor de
seu determinante. Usamos esse método quando o
primeiro elemento da matriz (a11) é igual a 1.
Nos casos em que esse primeiro elemento não é igual a 1,
podemos usar as propriedades estudadas, como o
teorema de Jacobi, para tornar esse elemento igual a 1.
A regra prática deve obedecer aos seguintes passos:
Slide 30
1. Suprimimos a primeira linha e a primeira coluna da
matriz dada.
2. De cada elemento restante na matriz, subtraímos o
produto dos dois elementos suprimidos que estavam
na mesma linha e coluna do elemento em questão.
3. A nova matriz obtida por esse processo, que terá
ordem n – 1, tem o seu determinante igual ao da
matriz inicial e, como tem menor ordem, poderá ser
calculado pelos métodos tradicionais, como a regra
de Sarrus.
Slide 31
Exemplo: Calcular o determinante associado à matriz A,
quadrada, de 4ª ordem:
Seguindo o roteiro, como temos o primeiro elemento igual a
1, podemos aplicar a regra de Chió e transformar essa matriz
de ordem 4, numa outra, de ordem 3, e que terá o mesmo
determinante.
Vamos eliminar a primeira linha e a primeira coluna dessa
matriz.
Slide 32
De cada um dos elementos que
sobraram, vamos subtrair o PRODUTO
dos elementos eliminados que estejam
na mesma linha e na mesma coluna do
elemento restante.
Iremos obter uma nova matriz, que será:
Agora, temos uma matriz de ordem 3 e que possui o mesmo
determinante da matriz inicial (de ordem 4). Podemos
calcular esse determinante por Sarrus (faça os cálculos).
Você deverá obter o resultado igual a 64 (verifique!)