Slide 1

Kruh a jeho částí
Mgr. Dalibor Kudela

Střední škola, Havířov-Šumbark, Sýkorova 1/613, příspěvková organizace
Tento výukový materiál byl zpracován v rámci akce EU peníze středním školám - OP VK 1.5.
Výuková sada – Matematika, DUM č.10


Slide 2

Kruh
Kruh se středem S a poloměrem r je množina všech bodů
roviny, které mají od středu S vzdálenost menší nebo rovnou r.

r
d

S r

2

d

2

S

S 

4


Slide 3

Řešený příklad
1) Vypočtěte obsah kruhu, je-li jeho obvod 168,5 cm.

Ze vzorce pro výpočet obvodu
kruhu vypočteme poloměr r.

r

Navrhněte řešení
S

o  2 r  r 

o

o
2

 26, 82 cm

S   r    26, 82  2259, 79 cm
2

2

2


Slide 4

Kruhová výseč
Kruhová výseč SAB v daném kruhu se středem S a poloměrem r
je průnik množiny všech bodů tohoto kruhu a množiny všech
bodů příslušného středového úhlu  .
S 

r

r

S



360

B



2

l

Vzorce pro
výpočet obsahu
kruhové výseče

S 

1

rl

2

S 

A
Úhel  je zadán v míře obloukové ( v radiánech)

1
2

r 
2


Slide 5

Řešený příklad
Vypočtěte obsah kruhové výseče, je-li dáno :
1) poloměr r = 12,4 cm a středový úhel   62 
2) poloměr r = 62,4 cm a příslušný kruhový oblouk l = 10,5 dm.

1)

r

S



S 

r

2

 

360

  1 2, 4

2

 6 2  8 3,1 9 cm

360

Navrhněte řešení

l

2)

S 

1
2

rl 

1
2

 62, 4  105  3276 cm

2

2


Slide 6

Kruhová úseč
Kruhová úseč SAB v daném kruhu se středem S a poloměrem r
je průnik množiny všech bodů tohoto kruhu a množiny všech
bodů poloroviny ohraničené sečnou příslušné kružnice.

B

S 

r

2

r
l

S 

1



 sin 



  úhel v m íře stupňové   
  úhel v m íře obloukové  rad 

A

 


180

sečna

2



 

180






Slide 7

Řešený příklad
Vypočtěte obsah kruhové úseče, je-li poloměr r = 8,4 cm
a středový úhel má velikost   76  .
Nejprve převedeme úhel  z míry stupňové do
míry obloukové.

r

S





 

 

180

l

S 
1
2


1
2

 76  1, 32645 rad

180

Navrhněte
řešení
1
r

2




2



 sin 



 8, 4   1, 3 2 6 4 5  sin 1, 3 2 6 4 5  
2

 8, 4  0, 3 5 6  1 2, 5 6 cm
2

2


Slide 8

Řešený příklad
Vypočtěte obsah kruhové úseče, je-li poloměr r = 8,4 cm
a středový úhel má velikost   76 .
Obsah kruhové úseče můžeme vypočíst i jako rozdíl obsahu kruhové výseče
a obsahu příslušného rovnoramenného trojúhelníku.
S 

r

2

 

360

S

1
2

r

v


l

x

r

2

 76  46, 8 cm

2

360

1  x
1
sin      x  sin  
2  r
2


  r  5,17 cm


Navrhněte jiné řešení

v  r  x  8, 4  5,17  v  6, 62 cm
2

S 

2

2

2xv
2

2



2

10, 34  6, 62

 12, 57 cm

2

2

Pozn. Odchylka výsledku s předcházejícím řešením je dána zaokrouhlováním.


Slide 9

Příklady k procvičení
Vypočtěte chybějící údaje kruhové výseče.

1) r  6, 5 cm ,   1 2 5  3 6 

S ?

2 ) S  2 3 6 cm ,   6 3  1 2 

r  ?

2

3) S  1 4 3 cm , r  1 2, 3 cm
2

4 ) S  1 2, 6 m , l  6 1 2 cm
2

5) r  2 4, 5 cm ,   1, 8 4 ra d

 ?
r ?

S ?


Slide 10

Řešení
1) S  4 6, 3 1 cm

2

2 ) r  2 0, 6 9 cm
3)   1 0 8  1 9 

4 ) r  4,1 2 m
5) S  5 5 5, 2 5 cm

2


Slide 11

Slovní úlohy
1. Vypočítejte obsah mezikruží, které je ohraničeno kružnicemi
o průměrech 50 mm a 32 mm.
2. Vypočítejte obsah plochy omezené kružnicí opsanou a kružnicí
vepsanou trojúhelníku o stranách a = 5 cm , b = 5,8 cm , c = 7,2 cm.
3. Kruh o poloměru r = 24,3 cm byl rozdělen na čtyři kruhové výseče,
jejichž obsahy jsou v postupném poměru 4 : 3 : 2 : 1. Vypočtěte
obsah nejmenší kruhové výseče.
4. Vzdálenost tětivy od středu kružnice je 6 cm, příslušný středový úhel
má velikost   60  . Vypočítejte obsah kruhové úseče.
5. Trojúhelníku ABC o stranách a = 15 cm, b = 17,4 cm , c = 21,6 cm je
opsaná kružnice. Vypočítejte obsahy Sa , Sb , Sc úsečí určených
stranami a , b , c.


Slide 12

Řešení
1) S  1 1 5 9 m m
2 ) S  3 3, 2 cm

2

2

3) S  1 8 5, 5 1 cm

4 ) S  4, 3 6 cm

2

2

5) S a  3 0, 9 3 cm , S b  5 2, 9 1 cm , S c  1 5 8,1 cm
2

2

2


Slide 13

POUŽITÁ LITERATURA
1. Sbírka úloh z matematiky , SPN Praha, 1986.
ISBN 2071
2. Matematika pro střední odborné školy a studijní obory středních
škol, SPN Praha, 1986
ISBN 5027