TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČR Poznámky ve formátu PDF Mgr.
Download ReportTranscript TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČR Poznámky ve formátu PDF Mgr.
Slide 1
TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM
A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČR
Poznámky ve formátu PDF
Mgr. Martina Fainová
KOULE
KOULE
= množina bodů v prostoru, které mají od daného
pevného bodu S vzdálenost menší nebo rovnu
kladnému číslu r
= těleso, které vznikne rotací půlkruhu kolem
přímky, která obsahuje jeho průměr
Značení:
K(S;r)
S – střed koule
r – poloměr koule (SA, SB)
MM – průměr koule
hranice koule – kulová plocha
Kulová plocha
= množina bodů v prostoru, které mají od daného
pevného bodu S vzdálenost r > 0
– vznikne rotací půlkružnice
– střed koule je také středem kulové plochy
– kružnice kulové plochy ležící v rovině
procházející středem je hlavní kružnice
– kružnice kulové plochy, která neleží v rovině
procházející středem, je vedlejší kružnice
Vlastnosti koule
je dokonale symetrická
je středově souměrná podle středu S
je osově souměrná podle lib. přímky procházející středem S
je rovinově souměrná podle lib. roviny procházející S
povrch koule tvoří kulová plocha se stejným středem
a poloměrem
libovolným řezem koule je kružnice
Poznámka: Rotací kruhu kolem přímky, která
leží v rovině kruhu a kruh neprotíná, vznikne anuloid.
Kulový vrchlík
= část kulové plochy omezená její libov. kružnicí
= průnik kulové plochy a poloprostoru s hraniční
rovinou obsahující kružnici k
(tato rovina rozdělí kul. plochu na dva kul. vrchlíky)
kružnice = hrana kul. vrchlíku
– poloměr hraniční kružnice
r – poloměr kulové plochy
v – výška vrchlíku
Kulová úseč
= část koule omezená její libov. kružnicí
= průnik koule a poloprostoru, jehož hraniční
rovina protíná kouli v kruhu o poloměru
kul. vrchlík a kruh tvoří hranici kul. úseče
kruh = podstava kul. úseče
– poloměr podstavy
r – poloměr koule
v – výška kul. úseče
Kulová výseč
= sjednocení kulové úseče a rotačního kužele,
který má s kul. úsečí společnou podstavu
a jeho vrchol je středem příslušné koule
hranicí je plášť kužele a kulový vrchlík
– poloměr hraniční kružnice
r – poloměr koule
v – výška kul. výseče
Kulová vrstva, kulový pás
Kulový pás
= průnik kulové plochy a vrstvy s hraničními rovinami,
jejichž vzdálenosti od středu jsou menší než poloměr
Kulová vrstva
= průnik koule a vrstvy s hraničními rovinami, jejichž
vzdálenosti od středu jsou menší než poloměr koule
r – poloměr koule
O1,O2= středy hranič. kružnic
1,2 – poloměry hran. kružnic
v – výška kul. vrstvy (pásu)
Příklad:
a)
b)
Koule se středem S a poloměrem 15 cm je
položená na vodorovné rovině a osvětlena
zdrojem Z; SZ, |Z|=h =45 cm. Určete:
poloměr kružnice ohraničující osvětlenou část koule a výšku
osvětlené části koule,
obsah vrženého stínu koule na rovinu .
Řešení:
a) osvětlená část koule = kul. vrchlík o výšce v
∆STZ:
∆STO:
= (h-r) (r-v)
v = 7,5 (cm)
r2
r2
(r-v)2+2
=
= 13 (cm)
Z
h-r
EVo
r-v
T
r
S
b) vržený stín = obsah kruhu se středem O´
∆ZOT
∆ZO´T´
S = 2120 (cm2)
l
h
h 2r v
l = 26 (cm)
?l
ZT tečna kul. plochy
Cvičení
Př. 1: Kulová úseč má poloměr podstavy 8 cm a výšku
5 cm. Vypočtěte poloměr koule, jejíž částí je
8,9 cm
kulová úseč.
Př. 2: Ve vzdálenosti 10 cm od středu koule s poloměrem
20 cm veďte rovinu řezu. Vypočítejte poloměr řezu.
10 3
Př. 3: Je dána krychle s hranou délky a. Vypočítejte
poloměr koule, která je krychli opsaná a vepsaná.
a
3
2
,
a
2
Objem koule a jejích částí
Koule:
V
4
r
3
r - poloměr koule
3
Kulová úseč: V
v
6
Kulová výseč: V
Kulová vrstva: V
2
3
2
v
r v
3
6
3
podstavy úseče
v - výška úseče
r - poloměr koule
v - výška výseče
2
v
2
- poloměr
2
1
3 v
2
2
2
1, 2 - poloměry podstav vrstvy
v - výška vrstvy
Povrch koule a jejích částí
r - poloměr koule
S 4 r
Poznámka: Povrch koule = obsah kulové plochy se stejným r
2
Koule:
Kulový vrchlík nebo kulový pás:
S 2 rv
r - poloměr kulové plochy
v - výška vrchlíku (pásu)
Objem a povrch anuloidu:
V 2 r R
2
2
S 4 Rr
2
r - poloměr kruhu pro rotaci
R - vzdálenost středu kruhu od osy rotace
Nakloníme-li o 30 nádobu tvaru polokoule,
která byla zcela naplněna vodou, vyteče z ní
3,3 l vody. Kolik litrů vody v ní zůstane?
Příklad:
Řešení:
Zbytek vody v nádobě má tvar kulové úseče:
?
r1,v
V
v
6
V 5
3 r
2
1
1
24
?
v
2
r
3
r
2
2
2 3 3 r r 5 r 3
6
2
2 24
1,5 l
r
v
∆SAB je rovnostranný
r
v
2
r1
sin 60
r1
r
Při naklonění vyteče 3,3 l,
tj. V polokoule V úseče:
2
3
r
3
5
24
3
r
2
r 3 ,3 l
3
r1
1
24
r 0 ,3 l
3
Cvičení
Př. 1: Kolikrát se zmenší objem a povrch koule, jestliže
se její poloměr zmenší třikrát?
27, 9
Př. 2: Jakou hmotnost má planeta Země, je-li její
asi 5,991024 kg
průměrná hustota 5,52 g/cm3.
Př. 3: Jak vysoko musí být letec, má-li vidět 0,001
asi 12,7 km
zemského povrchu?
Př. 4: Vypočtěte objem a povrch kulové výseče, má-li
kul. úseč, která je částí výseče, poloměr podstavy
6 cm a výšku 2 cm.
V = 419 cm3; S = 314,16 cm2
Cvičení
Př. 5: Činka se skládá ze dvou koulí a spojovací tyče
délky 60 cm s průměrem 32 mm. Jaký je průměr
koulí, je-li hmotnost činky 50 kg a hustota
asi 17,8 cm
materiálu 7,8 g/cm3?
Př. 6: Vypočítejte povrch kulového vrchlíku a objem kul.
úseče, je-li poloměr koule 10 cm a výška kulové
úseče 6 cm.
S = 377 cm2, V = 904 cm3
Př. 7: Vypočtěte objem kulové vrstvy, mají-li podstavy
poloměry 13,2 cm a 10 cm a poloměr koule je
26 cm.
691 cm3
Slide 2
TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM
A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČR
Poznámky ve formátu PDF
Mgr. Martina Fainová
KOULE
KOULE
= množina bodů v prostoru, které mají od daného
pevného bodu S vzdálenost menší nebo rovnu
kladnému číslu r
= těleso, které vznikne rotací půlkruhu kolem
přímky, která obsahuje jeho průměr
Značení:
K(S;r)
S – střed koule
r – poloměr koule (SA, SB)
MM – průměr koule
hranice koule – kulová plocha
Kulová plocha
= množina bodů v prostoru, které mají od daného
pevného bodu S vzdálenost r > 0
– vznikne rotací půlkružnice
– střed koule je také středem kulové plochy
– kružnice kulové plochy ležící v rovině
procházející středem je hlavní kružnice
– kružnice kulové plochy, která neleží v rovině
procházející středem, je vedlejší kružnice
Vlastnosti koule
je dokonale symetrická
je středově souměrná podle středu S
je osově souměrná podle lib. přímky procházející středem S
je rovinově souměrná podle lib. roviny procházející S
povrch koule tvoří kulová plocha se stejným středem
a poloměrem
libovolným řezem koule je kružnice
Poznámka: Rotací kruhu kolem přímky, která
leží v rovině kruhu a kruh neprotíná, vznikne anuloid.
Kulový vrchlík
= část kulové plochy omezená její libov. kružnicí
= průnik kulové plochy a poloprostoru s hraniční
rovinou obsahující kružnici k
(tato rovina rozdělí kul. plochu na dva kul. vrchlíky)
kružnice = hrana kul. vrchlíku
– poloměr hraniční kružnice
r – poloměr kulové plochy
v – výška vrchlíku
Kulová úseč
= část koule omezená její libov. kružnicí
= průnik koule a poloprostoru, jehož hraniční
rovina protíná kouli v kruhu o poloměru
kul. vrchlík a kruh tvoří hranici kul. úseče
kruh = podstava kul. úseče
– poloměr podstavy
r – poloměr koule
v – výška kul. úseče
Kulová výseč
= sjednocení kulové úseče a rotačního kužele,
který má s kul. úsečí společnou podstavu
a jeho vrchol je středem příslušné koule
hranicí je plášť kužele a kulový vrchlík
– poloměr hraniční kružnice
r – poloměr koule
v – výška kul. výseče
Kulová vrstva, kulový pás
Kulový pás
= průnik kulové plochy a vrstvy s hraničními rovinami,
jejichž vzdálenosti od středu jsou menší než poloměr
Kulová vrstva
= průnik koule a vrstvy s hraničními rovinami, jejichž
vzdálenosti od středu jsou menší než poloměr koule
r – poloměr koule
O1,O2= středy hranič. kružnic
1,2 – poloměry hran. kružnic
v – výška kul. vrstvy (pásu)
Příklad:
a)
b)
Koule se středem S a poloměrem 15 cm je
položená na vodorovné rovině a osvětlena
zdrojem Z; SZ, |Z|=h =45 cm. Určete:
poloměr kružnice ohraničující osvětlenou část koule a výšku
osvětlené části koule,
obsah vrženého stínu koule na rovinu .
Řešení:
a) osvětlená část koule = kul. vrchlík o výšce v
∆STZ:
∆STO:
= (h-r) (r-v)
v = 7,5 (cm)
r2
r2
(r-v)2+2
=
= 13 (cm)
Z
h-r
EVo
r-v
T
r
S
b) vržený stín = obsah kruhu se středem O´
∆ZOT
∆ZO´T´
S = 2120 (cm2)
l
h
h 2r v
l = 26 (cm)
?l
ZT tečna kul. plochy
Cvičení
Př. 1: Kulová úseč má poloměr podstavy 8 cm a výšku
5 cm. Vypočtěte poloměr koule, jejíž částí je
8,9 cm
kulová úseč.
Př. 2: Ve vzdálenosti 10 cm od středu koule s poloměrem
20 cm veďte rovinu řezu. Vypočítejte poloměr řezu.
10 3
Př. 3: Je dána krychle s hranou délky a. Vypočítejte
poloměr koule, která je krychli opsaná a vepsaná.
a
3
2
,
a
2
Objem koule a jejích částí
Koule:
V
4
r
3
r - poloměr koule
3
Kulová úseč: V
v
6
Kulová výseč: V
Kulová vrstva: V
2
3
2
v
r v
3
6
3
podstavy úseče
v - výška úseče
r - poloměr koule
v - výška výseče
2
v
2
- poloměr
2
1
3 v
2
2
2
1, 2 - poloměry podstav vrstvy
v - výška vrstvy
Povrch koule a jejích částí
r - poloměr koule
S 4 r
Poznámka: Povrch koule = obsah kulové plochy se stejným r
2
Koule:
Kulový vrchlík nebo kulový pás:
S 2 rv
r - poloměr kulové plochy
v - výška vrchlíku (pásu)
Objem a povrch anuloidu:
V 2 r R
2
2
S 4 Rr
2
r - poloměr kruhu pro rotaci
R - vzdálenost středu kruhu od osy rotace
Nakloníme-li o 30 nádobu tvaru polokoule,
která byla zcela naplněna vodou, vyteče z ní
3,3 l vody. Kolik litrů vody v ní zůstane?
Příklad:
Řešení:
Zbytek vody v nádobě má tvar kulové úseče:
?
r1,v
V
v
6
V 5
3 r
2
1
1
24
?
v
2
r
3
r
2
2
2 3 3 r r 5 r 3
6
2
2 24
1,5 l
r
v
∆SAB je rovnostranný
r
v
2
r1
sin 60
r1
r
Při naklonění vyteče 3,3 l,
tj. V polokoule V úseče:
2
3
r
3
5
24
3
r
2
r 3 ,3 l
3
r1
1
24
r 0 ,3 l
3
Cvičení
Př. 1: Kolikrát se zmenší objem a povrch koule, jestliže
se její poloměr zmenší třikrát?
27, 9
Př. 2: Jakou hmotnost má planeta Země, je-li její
asi 5,991024 kg
průměrná hustota 5,52 g/cm3.
Př. 3: Jak vysoko musí být letec, má-li vidět 0,001
asi 12,7 km
zemského povrchu?
Př. 4: Vypočtěte objem a povrch kulové výseče, má-li
kul. úseč, která je částí výseče, poloměr podstavy
6 cm a výšku 2 cm.
V = 419 cm3; S = 314,16 cm2
Cvičení
Př. 5: Činka se skládá ze dvou koulí a spojovací tyče
délky 60 cm s průměrem 32 mm. Jaký je průměr
koulí, je-li hmotnost činky 50 kg a hustota
asi 17,8 cm
materiálu 7,8 g/cm3?
Př. 6: Vypočítejte povrch kulového vrchlíku a objem kul.
úseče, je-li poloměr koule 10 cm a výška kulové
úseče 6 cm.
S = 377 cm2, V = 904 cm3
Př. 7: Vypočtěte objem kulové vrstvy, mají-li podstavy
poloměry 13,2 cm a 10 cm a poloměr koule je
26 cm.
691 cm3
Slide 3
TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM
A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČR
Poznámky ve formátu PDF
Mgr. Martina Fainová
KOULE
KOULE
= množina bodů v prostoru, které mají od daného
pevného bodu S vzdálenost menší nebo rovnu
kladnému číslu r
= těleso, které vznikne rotací půlkruhu kolem
přímky, která obsahuje jeho průměr
Značení:
K(S;r)
S – střed koule
r – poloměr koule (SA, SB)
MM – průměr koule
hranice koule – kulová plocha
Kulová plocha
= množina bodů v prostoru, které mají od daného
pevného bodu S vzdálenost r > 0
– vznikne rotací půlkružnice
– střed koule je také středem kulové plochy
– kružnice kulové plochy ležící v rovině
procházející středem je hlavní kružnice
– kružnice kulové plochy, která neleží v rovině
procházející středem, je vedlejší kružnice
Vlastnosti koule
je dokonale symetrická
je středově souměrná podle středu S
je osově souměrná podle lib. přímky procházející středem S
je rovinově souměrná podle lib. roviny procházející S
povrch koule tvoří kulová plocha se stejným středem
a poloměrem
libovolným řezem koule je kružnice
Poznámka: Rotací kruhu kolem přímky, která
leží v rovině kruhu a kruh neprotíná, vznikne anuloid.
Kulový vrchlík
= část kulové plochy omezená její libov. kružnicí
= průnik kulové plochy a poloprostoru s hraniční
rovinou obsahující kružnici k
(tato rovina rozdělí kul. plochu na dva kul. vrchlíky)
kružnice = hrana kul. vrchlíku
– poloměr hraniční kružnice
r – poloměr kulové plochy
v – výška vrchlíku
Kulová úseč
= část koule omezená její libov. kružnicí
= průnik koule a poloprostoru, jehož hraniční
rovina protíná kouli v kruhu o poloměru
kul. vrchlík a kruh tvoří hranici kul. úseče
kruh = podstava kul. úseče
– poloměr podstavy
r – poloměr koule
v – výška kul. úseče
Kulová výseč
= sjednocení kulové úseče a rotačního kužele,
který má s kul. úsečí společnou podstavu
a jeho vrchol je středem příslušné koule
hranicí je plášť kužele a kulový vrchlík
– poloměr hraniční kružnice
r – poloměr koule
v – výška kul. výseče
Kulová vrstva, kulový pás
Kulový pás
= průnik kulové plochy a vrstvy s hraničními rovinami,
jejichž vzdálenosti od středu jsou menší než poloměr
Kulová vrstva
= průnik koule a vrstvy s hraničními rovinami, jejichž
vzdálenosti od středu jsou menší než poloměr koule
r – poloměr koule
O1,O2= středy hranič. kružnic
1,2 – poloměry hran. kružnic
v – výška kul. vrstvy (pásu)
Příklad:
a)
b)
Koule se středem S a poloměrem 15 cm je
položená na vodorovné rovině a osvětlena
zdrojem Z; SZ, |Z|=h =45 cm. Určete:
poloměr kružnice ohraničující osvětlenou část koule a výšku
osvětlené části koule,
obsah vrženého stínu koule na rovinu .
Řešení:
a) osvětlená část koule = kul. vrchlík o výšce v
∆STZ:
∆STO:
= (h-r) (r-v)
v = 7,5 (cm)
r2
r2
(r-v)2+2
=
= 13 (cm)
Z
h-r
EVo
r-v
T
r
S
b) vržený stín = obsah kruhu se středem O´
∆ZOT
∆ZO´T´
S = 2120 (cm2)
l
h
h 2r v
l = 26 (cm)
?l
ZT tečna kul. plochy
Cvičení
Př. 1: Kulová úseč má poloměr podstavy 8 cm a výšku
5 cm. Vypočtěte poloměr koule, jejíž částí je
8,9 cm
kulová úseč.
Př. 2: Ve vzdálenosti 10 cm od středu koule s poloměrem
20 cm veďte rovinu řezu. Vypočítejte poloměr řezu.
10 3
Př. 3: Je dána krychle s hranou délky a. Vypočítejte
poloměr koule, která je krychli opsaná a vepsaná.
a
3
2
,
a
2
Objem koule a jejích částí
Koule:
V
4
r
3
r - poloměr koule
3
Kulová úseč: V
v
6
Kulová výseč: V
Kulová vrstva: V
2
3
2
v
r v
3
6
3
podstavy úseče
v - výška úseče
r - poloměr koule
v - výška výseče
2
v
2
- poloměr
2
1
3 v
2
2
2
1, 2 - poloměry podstav vrstvy
v - výška vrstvy
Povrch koule a jejích částí
r - poloměr koule
S 4 r
Poznámka: Povrch koule = obsah kulové plochy se stejným r
2
Koule:
Kulový vrchlík nebo kulový pás:
S 2 rv
r - poloměr kulové plochy
v - výška vrchlíku (pásu)
Objem a povrch anuloidu:
V 2 r R
2
2
S 4 Rr
2
r - poloměr kruhu pro rotaci
R - vzdálenost středu kruhu od osy rotace
Nakloníme-li o 30 nádobu tvaru polokoule,
která byla zcela naplněna vodou, vyteče z ní
3,3 l vody. Kolik litrů vody v ní zůstane?
Příklad:
Řešení:
Zbytek vody v nádobě má tvar kulové úseče:
?
r1,v
V
v
6
V 5
3 r
2
1
1
24
?
v
2
r
3
r
2
2
2 3 3 r r 5 r 3
6
2
2 24
1,5 l
r
v
∆SAB je rovnostranný
r
v
2
r1
sin 60
r1
r
Při naklonění vyteče 3,3 l,
tj. V polokoule V úseče:
2
3
r
3
5
24
3
r
2
r 3 ,3 l
3
r1
1
24
r 0 ,3 l
3
Cvičení
Př. 1: Kolikrát se zmenší objem a povrch koule, jestliže
se její poloměr zmenší třikrát?
27, 9
Př. 2: Jakou hmotnost má planeta Země, je-li její
asi 5,991024 kg
průměrná hustota 5,52 g/cm3.
Př. 3: Jak vysoko musí být letec, má-li vidět 0,001
asi 12,7 km
zemského povrchu?
Př. 4: Vypočtěte objem a povrch kulové výseče, má-li
kul. úseč, která je částí výseče, poloměr podstavy
6 cm a výšku 2 cm.
V = 419 cm3; S = 314,16 cm2
Cvičení
Př. 5: Činka se skládá ze dvou koulí a spojovací tyče
délky 60 cm s průměrem 32 mm. Jaký je průměr
koulí, je-li hmotnost činky 50 kg a hustota
asi 17,8 cm
materiálu 7,8 g/cm3?
Př. 6: Vypočítejte povrch kulového vrchlíku a objem kul.
úseče, je-li poloměr koule 10 cm a výška kulové
úseče 6 cm.
S = 377 cm2, V = 904 cm3
Př. 7: Vypočtěte objem kulové vrstvy, mají-li podstavy
poloměry 13,2 cm a 10 cm a poloměr koule je
26 cm.
691 cm3
Slide 4
TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM
A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČR
Poznámky ve formátu PDF
Mgr. Martina Fainová
KOULE
KOULE
= množina bodů v prostoru, které mají od daného
pevného bodu S vzdálenost menší nebo rovnu
kladnému číslu r
= těleso, které vznikne rotací půlkruhu kolem
přímky, která obsahuje jeho průměr
Značení:
K(S;r)
S – střed koule
r – poloměr koule (SA, SB)
MM – průměr koule
hranice koule – kulová plocha
Kulová plocha
= množina bodů v prostoru, které mají od daného
pevného bodu S vzdálenost r > 0
– vznikne rotací půlkružnice
– střed koule je také středem kulové plochy
– kružnice kulové plochy ležící v rovině
procházející středem je hlavní kružnice
– kružnice kulové plochy, která neleží v rovině
procházející středem, je vedlejší kružnice
Vlastnosti koule
je dokonale symetrická
je středově souměrná podle středu S
je osově souměrná podle lib. přímky procházející středem S
je rovinově souměrná podle lib. roviny procházející S
povrch koule tvoří kulová plocha se stejným středem
a poloměrem
libovolným řezem koule je kružnice
Poznámka: Rotací kruhu kolem přímky, která
leží v rovině kruhu a kruh neprotíná, vznikne anuloid.
Kulový vrchlík
= část kulové plochy omezená její libov. kružnicí
= průnik kulové plochy a poloprostoru s hraniční
rovinou obsahující kružnici k
(tato rovina rozdělí kul. plochu na dva kul. vrchlíky)
kružnice = hrana kul. vrchlíku
– poloměr hraniční kružnice
r – poloměr kulové plochy
v – výška vrchlíku
Kulová úseč
= část koule omezená její libov. kružnicí
= průnik koule a poloprostoru, jehož hraniční
rovina protíná kouli v kruhu o poloměru
kul. vrchlík a kruh tvoří hranici kul. úseče
kruh = podstava kul. úseče
– poloměr podstavy
r – poloměr koule
v – výška kul. úseče
Kulová výseč
= sjednocení kulové úseče a rotačního kužele,
který má s kul. úsečí společnou podstavu
a jeho vrchol je středem příslušné koule
hranicí je plášť kužele a kulový vrchlík
– poloměr hraniční kružnice
r – poloměr koule
v – výška kul. výseče
Kulová vrstva, kulový pás
Kulový pás
= průnik kulové plochy a vrstvy s hraničními rovinami,
jejichž vzdálenosti od středu jsou menší než poloměr
Kulová vrstva
= průnik koule a vrstvy s hraničními rovinami, jejichž
vzdálenosti od středu jsou menší než poloměr koule
r – poloměr koule
O1,O2= středy hranič. kružnic
1,2 – poloměry hran. kružnic
v – výška kul. vrstvy (pásu)
Příklad:
a)
b)
Koule se středem S a poloměrem 15 cm je
položená na vodorovné rovině a osvětlena
zdrojem Z; SZ, |Z|=h =45 cm. Určete:
poloměr kružnice ohraničující osvětlenou část koule a výšku
osvětlené části koule,
obsah vrženého stínu koule na rovinu .
Řešení:
a) osvětlená část koule = kul. vrchlík o výšce v
∆STZ:
∆STO:
= (h-r) (r-v)
v = 7,5 (cm)
r2
r2
(r-v)2+2
=
= 13 (cm)
Z
h-r
EVo
r-v
T
r
S
b) vržený stín = obsah kruhu se středem O´
∆ZOT
∆ZO´T´
S = 2120 (cm2)
l
h
h 2r v
l = 26 (cm)
?l
ZT tečna kul. plochy
Cvičení
Př. 1: Kulová úseč má poloměr podstavy 8 cm a výšku
5 cm. Vypočtěte poloměr koule, jejíž částí je
8,9 cm
kulová úseč.
Př. 2: Ve vzdálenosti 10 cm od středu koule s poloměrem
20 cm veďte rovinu řezu. Vypočítejte poloměr řezu.
10 3
Př. 3: Je dána krychle s hranou délky a. Vypočítejte
poloměr koule, která je krychli opsaná a vepsaná.
a
3
2
,
a
2
Objem koule a jejích částí
Koule:
V
4
r
3
r - poloměr koule
3
Kulová úseč: V
v
6
Kulová výseč: V
Kulová vrstva: V
2
3
2
v
r v
3
6
3
podstavy úseče
v - výška úseče
r - poloměr koule
v - výška výseče
2
v
2
- poloměr
2
1
3 v
2
2
2
1, 2 - poloměry podstav vrstvy
v - výška vrstvy
Povrch koule a jejích částí
r - poloměr koule
S 4 r
Poznámka: Povrch koule = obsah kulové plochy se stejným r
2
Koule:
Kulový vrchlík nebo kulový pás:
S 2 rv
r - poloměr kulové plochy
v - výška vrchlíku (pásu)
Objem a povrch anuloidu:
V 2 r R
2
2
S 4 Rr
2
r - poloměr kruhu pro rotaci
R - vzdálenost středu kruhu od osy rotace
Nakloníme-li o 30 nádobu tvaru polokoule,
která byla zcela naplněna vodou, vyteče z ní
3,3 l vody. Kolik litrů vody v ní zůstane?
Příklad:
Řešení:
Zbytek vody v nádobě má tvar kulové úseče:
?
r1,v
V
v
6
V 5
3 r
2
1
1
24
?
v
2
r
3
r
2
2
2 3 3 r r 5 r 3
6
2
2 24
1,5 l
r
v
∆SAB je rovnostranný
r
v
2
r1
sin 60
r1
r
Při naklonění vyteče 3,3 l,
tj. V polokoule V úseče:
2
3
r
3
5
24
3
r
2
r 3 ,3 l
3
r1
1
24
r 0 ,3 l
3
Cvičení
Př. 1: Kolikrát se zmenší objem a povrch koule, jestliže
se její poloměr zmenší třikrát?
27, 9
Př. 2: Jakou hmotnost má planeta Země, je-li její
asi 5,991024 kg
průměrná hustota 5,52 g/cm3.
Př. 3: Jak vysoko musí být letec, má-li vidět 0,001
asi 12,7 km
zemského povrchu?
Př. 4: Vypočtěte objem a povrch kulové výseče, má-li
kul. úseč, která je částí výseče, poloměr podstavy
6 cm a výšku 2 cm.
V = 419 cm3; S = 314,16 cm2
Cvičení
Př. 5: Činka se skládá ze dvou koulí a spojovací tyče
délky 60 cm s průměrem 32 mm. Jaký je průměr
koulí, je-li hmotnost činky 50 kg a hustota
asi 17,8 cm
materiálu 7,8 g/cm3?
Př. 6: Vypočítejte povrch kulového vrchlíku a objem kul.
úseče, je-li poloměr koule 10 cm a výška kulové
úseče 6 cm.
S = 377 cm2, V = 904 cm3
Př. 7: Vypočtěte objem kulové vrstvy, mají-li podstavy
poloměry 13,2 cm a 10 cm a poloměr koule je
26 cm.
691 cm3
Slide 5
TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM
A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČR
Poznámky ve formátu PDF
Mgr. Martina Fainová
KOULE
KOULE
= množina bodů v prostoru, které mají od daného
pevného bodu S vzdálenost menší nebo rovnu
kladnému číslu r
= těleso, které vznikne rotací půlkruhu kolem
přímky, která obsahuje jeho průměr
Značení:
K(S;r)
S – střed koule
r – poloměr koule (SA, SB)
MM – průměr koule
hranice koule – kulová plocha
Kulová plocha
= množina bodů v prostoru, které mají od daného
pevného bodu S vzdálenost r > 0
– vznikne rotací půlkružnice
– střed koule je také středem kulové plochy
– kružnice kulové plochy ležící v rovině
procházející středem je hlavní kružnice
– kružnice kulové plochy, která neleží v rovině
procházející středem, je vedlejší kružnice
Vlastnosti koule
je dokonale symetrická
je středově souměrná podle středu S
je osově souměrná podle lib. přímky procházející středem S
je rovinově souměrná podle lib. roviny procházející S
povrch koule tvoří kulová plocha se stejným středem
a poloměrem
libovolným řezem koule je kružnice
Poznámka: Rotací kruhu kolem přímky, která
leží v rovině kruhu a kruh neprotíná, vznikne anuloid.
Kulový vrchlík
= část kulové plochy omezená její libov. kružnicí
= průnik kulové plochy a poloprostoru s hraniční
rovinou obsahující kružnici k
(tato rovina rozdělí kul. plochu na dva kul. vrchlíky)
kružnice = hrana kul. vrchlíku
– poloměr hraniční kružnice
r – poloměr kulové plochy
v – výška vrchlíku
Kulová úseč
= část koule omezená její libov. kružnicí
= průnik koule a poloprostoru, jehož hraniční
rovina protíná kouli v kruhu o poloměru
kul. vrchlík a kruh tvoří hranici kul. úseče
kruh = podstava kul. úseče
– poloměr podstavy
r – poloměr koule
v – výška kul. úseče
Kulová výseč
= sjednocení kulové úseče a rotačního kužele,
který má s kul. úsečí společnou podstavu
a jeho vrchol je středem příslušné koule
hranicí je plášť kužele a kulový vrchlík
– poloměr hraniční kružnice
r – poloměr koule
v – výška kul. výseče
Kulová vrstva, kulový pás
Kulový pás
= průnik kulové plochy a vrstvy s hraničními rovinami,
jejichž vzdálenosti od středu jsou menší než poloměr
Kulová vrstva
= průnik koule a vrstvy s hraničními rovinami, jejichž
vzdálenosti od středu jsou menší než poloměr koule
r – poloměr koule
O1,O2= středy hranič. kružnic
1,2 – poloměry hran. kružnic
v – výška kul. vrstvy (pásu)
Příklad:
a)
b)
Koule se středem S a poloměrem 15 cm je
položená na vodorovné rovině a osvětlena
zdrojem Z; SZ, |Z|=h =45 cm. Určete:
poloměr kružnice ohraničující osvětlenou část koule a výšku
osvětlené části koule,
obsah vrženého stínu koule na rovinu .
Řešení:
a) osvětlená část koule = kul. vrchlík o výšce v
∆STZ:
∆STO:
= (h-r) (r-v)
v = 7,5 (cm)
r2
r2
(r-v)2+2
=
= 13 (cm)
Z
h-r
EVo
r-v
T
r
S
b) vržený stín = obsah kruhu se středem O´
∆ZOT
∆ZO´T´
S = 2120 (cm2)
l
h
h 2r v
l = 26 (cm)
?l
ZT tečna kul. plochy
Cvičení
Př. 1: Kulová úseč má poloměr podstavy 8 cm a výšku
5 cm. Vypočtěte poloměr koule, jejíž částí je
8,9 cm
kulová úseč.
Př. 2: Ve vzdálenosti 10 cm od středu koule s poloměrem
20 cm veďte rovinu řezu. Vypočítejte poloměr řezu.
10 3
Př. 3: Je dána krychle s hranou délky a. Vypočítejte
poloměr koule, která je krychli opsaná a vepsaná.
a
3
2
,
a
2
Objem koule a jejích částí
Koule:
V
4
r
3
r - poloměr koule
3
Kulová úseč: V
v
6
Kulová výseč: V
Kulová vrstva: V
2
3
2
v
r v
3
6
3
podstavy úseče
v - výška úseče
r - poloměr koule
v - výška výseče
2
v
2
- poloměr
2
1
3 v
2
2
2
1, 2 - poloměry podstav vrstvy
v - výška vrstvy
Povrch koule a jejích částí
r - poloměr koule
S 4 r
Poznámka: Povrch koule = obsah kulové plochy se stejným r
2
Koule:
Kulový vrchlík nebo kulový pás:
S 2 rv
r - poloměr kulové plochy
v - výška vrchlíku (pásu)
Objem a povrch anuloidu:
V 2 r R
2
2
S 4 Rr
2
r - poloměr kruhu pro rotaci
R - vzdálenost středu kruhu od osy rotace
Nakloníme-li o 30 nádobu tvaru polokoule,
která byla zcela naplněna vodou, vyteče z ní
3,3 l vody. Kolik litrů vody v ní zůstane?
Příklad:
Řešení:
Zbytek vody v nádobě má tvar kulové úseče:
?
r1,v
V
v
6
V 5
3 r
2
1
1
24
?
v
2
r
3
r
2
2
2 3 3 r r 5 r 3
6
2
2 24
1,5 l
r
v
∆SAB je rovnostranný
r
v
2
r1
sin 60
r1
r
Při naklonění vyteče 3,3 l,
tj. V polokoule V úseče:
2
3
r
3
5
24
3
r
2
r 3 ,3 l
3
r1
1
24
r 0 ,3 l
3
Cvičení
Př. 1: Kolikrát se zmenší objem a povrch koule, jestliže
se její poloměr zmenší třikrát?
27, 9
Př. 2: Jakou hmotnost má planeta Země, je-li její
asi 5,991024 kg
průměrná hustota 5,52 g/cm3.
Př. 3: Jak vysoko musí být letec, má-li vidět 0,001
asi 12,7 km
zemského povrchu?
Př. 4: Vypočtěte objem a povrch kulové výseče, má-li
kul. úseč, která je částí výseče, poloměr podstavy
6 cm a výšku 2 cm.
V = 419 cm3; S = 314,16 cm2
Cvičení
Př. 5: Činka se skládá ze dvou koulí a spojovací tyče
délky 60 cm s průměrem 32 mm. Jaký je průměr
koulí, je-li hmotnost činky 50 kg a hustota
asi 17,8 cm
materiálu 7,8 g/cm3?
Př. 6: Vypočítejte povrch kulového vrchlíku a objem kul.
úseče, je-li poloměr koule 10 cm a výška kulové
úseče 6 cm.
S = 377 cm2, V = 904 cm3
Př. 7: Vypočtěte objem kulové vrstvy, mají-li podstavy
poloměry 13,2 cm a 10 cm a poloměr koule je
26 cm.
691 cm3
Slide 6
TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM
A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČR
Poznámky ve formátu PDF
Mgr. Martina Fainová
KOULE
KOULE
= množina bodů v prostoru, které mají od daného
pevného bodu S vzdálenost menší nebo rovnu
kladnému číslu r
= těleso, které vznikne rotací půlkruhu kolem
přímky, která obsahuje jeho průměr
Značení:
K(S;r)
S – střed koule
r – poloměr koule (SA, SB)
MM – průměr koule
hranice koule – kulová plocha
Kulová plocha
= množina bodů v prostoru, které mají od daného
pevného bodu S vzdálenost r > 0
– vznikne rotací půlkružnice
– střed koule je také středem kulové plochy
– kružnice kulové plochy ležící v rovině
procházející středem je hlavní kružnice
– kružnice kulové plochy, která neleží v rovině
procházející středem, je vedlejší kružnice
Vlastnosti koule
je dokonale symetrická
je středově souměrná podle středu S
je osově souměrná podle lib. přímky procházející středem S
je rovinově souměrná podle lib. roviny procházející S
povrch koule tvoří kulová plocha se stejným středem
a poloměrem
libovolným řezem koule je kružnice
Poznámka: Rotací kruhu kolem přímky, která
leží v rovině kruhu a kruh neprotíná, vznikne anuloid.
Kulový vrchlík
= část kulové plochy omezená její libov. kružnicí
= průnik kulové plochy a poloprostoru s hraniční
rovinou obsahující kružnici k
(tato rovina rozdělí kul. plochu na dva kul. vrchlíky)
kružnice = hrana kul. vrchlíku
– poloměr hraniční kružnice
r – poloměr kulové plochy
v – výška vrchlíku
Kulová úseč
= část koule omezená její libov. kružnicí
= průnik koule a poloprostoru, jehož hraniční
rovina protíná kouli v kruhu o poloměru
kul. vrchlík a kruh tvoří hranici kul. úseče
kruh = podstava kul. úseče
– poloměr podstavy
r – poloměr koule
v – výška kul. úseče
Kulová výseč
= sjednocení kulové úseče a rotačního kužele,
který má s kul. úsečí společnou podstavu
a jeho vrchol je středem příslušné koule
hranicí je plášť kužele a kulový vrchlík
– poloměr hraniční kružnice
r – poloměr koule
v – výška kul. výseče
Kulová vrstva, kulový pás
Kulový pás
= průnik kulové plochy a vrstvy s hraničními rovinami,
jejichž vzdálenosti od středu jsou menší než poloměr
Kulová vrstva
= průnik koule a vrstvy s hraničními rovinami, jejichž
vzdálenosti od středu jsou menší než poloměr koule
r – poloměr koule
O1,O2= středy hranič. kružnic
1,2 – poloměry hran. kružnic
v – výška kul. vrstvy (pásu)
Příklad:
a)
b)
Koule se středem S a poloměrem 15 cm je
položená na vodorovné rovině a osvětlena
zdrojem Z; SZ, |Z|=h =45 cm. Určete:
poloměr kružnice ohraničující osvětlenou část koule a výšku
osvětlené části koule,
obsah vrženého stínu koule na rovinu .
Řešení:
a) osvětlená část koule = kul. vrchlík o výšce v
∆STZ:
∆STO:
= (h-r) (r-v)
v = 7,5 (cm)
r2
r2
(r-v)2+2
=
= 13 (cm)
Z
h-r
EVo
r-v
T
r
S
b) vržený stín = obsah kruhu se středem O´
∆ZOT
∆ZO´T´
S = 2120 (cm2)
l
h
h 2r v
l = 26 (cm)
?l
ZT tečna kul. plochy
Cvičení
Př. 1: Kulová úseč má poloměr podstavy 8 cm a výšku
5 cm. Vypočtěte poloměr koule, jejíž částí je
8,9 cm
kulová úseč.
Př. 2: Ve vzdálenosti 10 cm od středu koule s poloměrem
20 cm veďte rovinu řezu. Vypočítejte poloměr řezu.
10 3
Př. 3: Je dána krychle s hranou délky a. Vypočítejte
poloměr koule, která je krychli opsaná a vepsaná.
a
3
2
,
a
2
Objem koule a jejích částí
Koule:
V
4
r
3
r - poloměr koule
3
Kulová úseč: V
v
6
Kulová výseč: V
Kulová vrstva: V
2
3
2
v
r v
3
6
3
podstavy úseče
v - výška úseče
r - poloměr koule
v - výška výseče
2
v
2
- poloměr
2
1
3 v
2
2
2
1, 2 - poloměry podstav vrstvy
v - výška vrstvy
Povrch koule a jejích částí
r - poloměr koule
S 4 r
Poznámka: Povrch koule = obsah kulové plochy se stejným r
2
Koule:
Kulový vrchlík nebo kulový pás:
S 2 rv
r - poloměr kulové plochy
v - výška vrchlíku (pásu)
Objem a povrch anuloidu:
V 2 r R
2
2
S 4 Rr
2
r - poloměr kruhu pro rotaci
R - vzdálenost středu kruhu od osy rotace
Nakloníme-li o 30 nádobu tvaru polokoule,
která byla zcela naplněna vodou, vyteče z ní
3,3 l vody. Kolik litrů vody v ní zůstane?
Příklad:
Řešení:
Zbytek vody v nádobě má tvar kulové úseče:
?
r1,v
V
v
6
V 5
3 r
2
1
1
24
?
v
2
r
3
r
2
2
2 3 3 r r 5 r 3
6
2
2 24
1,5 l
r
v
∆SAB je rovnostranný
r
v
2
r1
sin 60
r1
r
Při naklonění vyteče 3,3 l,
tj. V polokoule V úseče:
2
3
r
3
5
24
3
r
2
r 3 ,3 l
3
r1
1
24
r 0 ,3 l
3
Cvičení
Př. 1: Kolikrát se zmenší objem a povrch koule, jestliže
se její poloměr zmenší třikrát?
27, 9
Př. 2: Jakou hmotnost má planeta Země, je-li její
asi 5,991024 kg
průměrná hustota 5,52 g/cm3.
Př. 3: Jak vysoko musí být letec, má-li vidět 0,001
asi 12,7 km
zemského povrchu?
Př. 4: Vypočtěte objem a povrch kulové výseče, má-li
kul. úseč, která je částí výseče, poloměr podstavy
6 cm a výšku 2 cm.
V = 419 cm3; S = 314,16 cm2
Cvičení
Př. 5: Činka se skládá ze dvou koulí a spojovací tyče
délky 60 cm s průměrem 32 mm. Jaký je průměr
koulí, je-li hmotnost činky 50 kg a hustota
asi 17,8 cm
materiálu 7,8 g/cm3?
Př. 6: Vypočítejte povrch kulového vrchlíku a objem kul.
úseče, je-li poloměr koule 10 cm a výška kulové
úseče 6 cm.
S = 377 cm2, V = 904 cm3
Př. 7: Vypočtěte objem kulové vrstvy, mají-li podstavy
poloměry 13,2 cm a 10 cm a poloměr koule je
26 cm.
691 cm3
Slide 7
TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM
A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČR
Poznámky ve formátu PDF
Mgr. Martina Fainová
KOULE
KOULE
= množina bodů v prostoru, které mají od daného
pevného bodu S vzdálenost menší nebo rovnu
kladnému číslu r
= těleso, které vznikne rotací půlkruhu kolem
přímky, která obsahuje jeho průměr
Značení:
K(S;r)
S – střed koule
r – poloměr koule (SA, SB)
MM – průměr koule
hranice koule – kulová plocha
Kulová plocha
= množina bodů v prostoru, které mají od daného
pevného bodu S vzdálenost r > 0
– vznikne rotací půlkružnice
– střed koule je také středem kulové plochy
– kružnice kulové plochy ležící v rovině
procházející středem je hlavní kružnice
– kružnice kulové plochy, která neleží v rovině
procházející středem, je vedlejší kružnice
Vlastnosti koule
je dokonale symetrická
je středově souměrná podle středu S
je osově souměrná podle lib. přímky procházející středem S
je rovinově souměrná podle lib. roviny procházející S
povrch koule tvoří kulová plocha se stejným středem
a poloměrem
libovolným řezem koule je kružnice
Poznámka: Rotací kruhu kolem přímky, která
leží v rovině kruhu a kruh neprotíná, vznikne anuloid.
Kulový vrchlík
= část kulové plochy omezená její libov. kružnicí
= průnik kulové plochy a poloprostoru s hraniční
rovinou obsahující kružnici k
(tato rovina rozdělí kul. plochu na dva kul. vrchlíky)
kružnice = hrana kul. vrchlíku
– poloměr hraniční kružnice
r – poloměr kulové plochy
v – výška vrchlíku
Kulová úseč
= část koule omezená její libov. kružnicí
= průnik koule a poloprostoru, jehož hraniční
rovina protíná kouli v kruhu o poloměru
kul. vrchlík a kruh tvoří hranici kul. úseče
kruh = podstava kul. úseče
– poloměr podstavy
r – poloměr koule
v – výška kul. úseče
Kulová výseč
= sjednocení kulové úseče a rotačního kužele,
který má s kul. úsečí společnou podstavu
a jeho vrchol je středem příslušné koule
hranicí je plášť kužele a kulový vrchlík
– poloměr hraniční kružnice
r – poloměr koule
v – výška kul. výseče
Kulová vrstva, kulový pás
Kulový pás
= průnik kulové plochy a vrstvy s hraničními rovinami,
jejichž vzdálenosti od středu jsou menší než poloměr
Kulová vrstva
= průnik koule a vrstvy s hraničními rovinami, jejichž
vzdálenosti od středu jsou menší než poloměr koule
r – poloměr koule
O1,O2= středy hranič. kružnic
1,2 – poloměry hran. kružnic
v – výška kul. vrstvy (pásu)
Příklad:
a)
b)
Koule se středem S a poloměrem 15 cm je
položená na vodorovné rovině a osvětlena
zdrojem Z; SZ, |Z|=h =45 cm. Určete:
poloměr kružnice ohraničující osvětlenou část koule a výšku
osvětlené části koule,
obsah vrženého stínu koule na rovinu .
Řešení:
a) osvětlená část koule = kul. vrchlík o výšce v
∆STZ:
∆STO:
= (h-r) (r-v)
v = 7,5 (cm)
r2
r2
(r-v)2+2
=
= 13 (cm)
Z
h-r
EVo
r-v
T
r
S
b) vržený stín = obsah kruhu se středem O´
∆ZOT
∆ZO´T´
S = 2120 (cm2)
l
h
h 2r v
l = 26 (cm)
?l
ZT tečna kul. plochy
Cvičení
Př. 1: Kulová úseč má poloměr podstavy 8 cm a výšku
5 cm. Vypočtěte poloměr koule, jejíž částí je
8,9 cm
kulová úseč.
Př. 2: Ve vzdálenosti 10 cm od středu koule s poloměrem
20 cm veďte rovinu řezu. Vypočítejte poloměr řezu.
10 3
Př. 3: Je dána krychle s hranou délky a. Vypočítejte
poloměr koule, která je krychli opsaná a vepsaná.
a
3
2
,
a
2
Objem koule a jejích částí
Koule:
V
4
r
3
r - poloměr koule
3
Kulová úseč: V
v
6
Kulová výseč: V
Kulová vrstva: V
2
3
2
v
r v
3
6
3
podstavy úseče
v - výška úseče
r - poloměr koule
v - výška výseče
2
v
2
- poloměr
2
1
3 v
2
2
2
1, 2 - poloměry podstav vrstvy
v - výška vrstvy
Povrch koule a jejích částí
r - poloměr koule
S 4 r
Poznámka: Povrch koule = obsah kulové plochy se stejným r
2
Koule:
Kulový vrchlík nebo kulový pás:
S 2 rv
r - poloměr kulové plochy
v - výška vrchlíku (pásu)
Objem a povrch anuloidu:
V 2 r R
2
2
S 4 Rr
2
r - poloměr kruhu pro rotaci
R - vzdálenost středu kruhu od osy rotace
Nakloníme-li o 30 nádobu tvaru polokoule,
která byla zcela naplněna vodou, vyteče z ní
3,3 l vody. Kolik litrů vody v ní zůstane?
Příklad:
Řešení:
Zbytek vody v nádobě má tvar kulové úseče:
?
r1,v
V
v
6
V 5
3 r
2
1
1
24
?
v
2
r
3
r
2
2
2 3 3 r r 5 r 3
6
2
2 24
1,5 l
r
v
∆SAB je rovnostranný
r
v
2
r1
sin 60
r1
r
Při naklonění vyteče 3,3 l,
tj. V polokoule V úseče:
2
3
r
3
5
24
3
r
2
r 3 ,3 l
3
r1
1
24
r 0 ,3 l
3
Cvičení
Př. 1: Kolikrát se zmenší objem a povrch koule, jestliže
se její poloměr zmenší třikrát?
27, 9
Př. 2: Jakou hmotnost má planeta Země, je-li její
asi 5,991024 kg
průměrná hustota 5,52 g/cm3.
Př. 3: Jak vysoko musí být letec, má-li vidět 0,001
asi 12,7 km
zemského povrchu?
Př. 4: Vypočtěte objem a povrch kulové výseče, má-li
kul. úseč, která je částí výseče, poloměr podstavy
6 cm a výšku 2 cm.
V = 419 cm3; S = 314,16 cm2
Cvičení
Př. 5: Činka se skládá ze dvou koulí a spojovací tyče
délky 60 cm s průměrem 32 mm. Jaký je průměr
koulí, je-li hmotnost činky 50 kg a hustota
asi 17,8 cm
materiálu 7,8 g/cm3?
Př. 6: Vypočítejte povrch kulového vrchlíku a objem kul.
úseče, je-li poloměr koule 10 cm a výška kulové
úseče 6 cm.
S = 377 cm2, V = 904 cm3
Př. 7: Vypočtěte objem kulové vrstvy, mají-li podstavy
poloměry 13,2 cm a 10 cm a poloměr koule je
26 cm.
691 cm3
Slide 8
TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM
A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČR
Poznámky ve formátu PDF
Mgr. Martina Fainová
KOULE
KOULE
= množina bodů v prostoru, které mají od daného
pevného bodu S vzdálenost menší nebo rovnu
kladnému číslu r
= těleso, které vznikne rotací půlkruhu kolem
přímky, která obsahuje jeho průměr
Značení:
K(S;r)
S – střed koule
r – poloměr koule (SA, SB)
MM – průměr koule
hranice koule – kulová plocha
Kulová plocha
= množina bodů v prostoru, které mají od daného
pevného bodu S vzdálenost r > 0
– vznikne rotací půlkružnice
– střed koule je také středem kulové plochy
– kružnice kulové plochy ležící v rovině
procházející středem je hlavní kružnice
– kružnice kulové plochy, která neleží v rovině
procházející středem, je vedlejší kružnice
Vlastnosti koule
je dokonale symetrická
je středově souměrná podle středu S
je osově souměrná podle lib. přímky procházející středem S
je rovinově souměrná podle lib. roviny procházející S
povrch koule tvoří kulová plocha se stejným středem
a poloměrem
libovolným řezem koule je kružnice
Poznámka: Rotací kruhu kolem přímky, která
leží v rovině kruhu a kruh neprotíná, vznikne anuloid.
Kulový vrchlík
= část kulové plochy omezená její libov. kružnicí
= průnik kulové plochy a poloprostoru s hraniční
rovinou obsahující kružnici k
(tato rovina rozdělí kul. plochu na dva kul. vrchlíky)
kružnice = hrana kul. vrchlíku
– poloměr hraniční kružnice
r – poloměr kulové plochy
v – výška vrchlíku
Kulová úseč
= část koule omezená její libov. kružnicí
= průnik koule a poloprostoru, jehož hraniční
rovina protíná kouli v kruhu o poloměru
kul. vrchlík a kruh tvoří hranici kul. úseče
kruh = podstava kul. úseče
– poloměr podstavy
r – poloměr koule
v – výška kul. úseče
Kulová výseč
= sjednocení kulové úseče a rotačního kužele,
který má s kul. úsečí společnou podstavu
a jeho vrchol je středem příslušné koule
hranicí je plášť kužele a kulový vrchlík
– poloměr hraniční kružnice
r – poloměr koule
v – výška kul. výseče
Kulová vrstva, kulový pás
Kulový pás
= průnik kulové plochy a vrstvy s hraničními rovinami,
jejichž vzdálenosti od středu jsou menší než poloměr
Kulová vrstva
= průnik koule a vrstvy s hraničními rovinami, jejichž
vzdálenosti od středu jsou menší než poloměr koule
r – poloměr koule
O1,O2= středy hranič. kružnic
1,2 – poloměry hran. kružnic
v – výška kul. vrstvy (pásu)
Příklad:
a)
b)
Koule se středem S a poloměrem 15 cm je
položená na vodorovné rovině a osvětlena
zdrojem Z; SZ, |Z|=h =45 cm. Určete:
poloměr kružnice ohraničující osvětlenou část koule a výšku
osvětlené části koule,
obsah vrženého stínu koule na rovinu .
Řešení:
a) osvětlená část koule = kul. vrchlík o výšce v
∆STZ:
∆STO:
= (h-r) (r-v)
v = 7,5 (cm)
r2
r2
(r-v)2+2
=
= 13 (cm)
Z
h-r
EVo
r-v
T
r
S
b) vržený stín = obsah kruhu se středem O´
∆ZOT
∆ZO´T´
S = 2120 (cm2)
l
h
h 2r v
l = 26 (cm)
?l
ZT tečna kul. plochy
Cvičení
Př. 1: Kulová úseč má poloměr podstavy 8 cm a výšku
5 cm. Vypočtěte poloměr koule, jejíž částí je
8,9 cm
kulová úseč.
Př. 2: Ve vzdálenosti 10 cm od středu koule s poloměrem
20 cm veďte rovinu řezu. Vypočítejte poloměr řezu.
10 3
Př. 3: Je dána krychle s hranou délky a. Vypočítejte
poloměr koule, která je krychli opsaná a vepsaná.
a
3
2
,
a
2
Objem koule a jejích částí
Koule:
V
4
r
3
r - poloměr koule
3
Kulová úseč: V
v
6
Kulová výseč: V
Kulová vrstva: V
2
3
2
v
r v
3
6
3
podstavy úseče
v - výška úseče
r - poloměr koule
v - výška výseče
2
v
2
- poloměr
2
1
3 v
2
2
2
1, 2 - poloměry podstav vrstvy
v - výška vrstvy
Povrch koule a jejích částí
r - poloměr koule
S 4 r
Poznámka: Povrch koule = obsah kulové plochy se stejným r
2
Koule:
Kulový vrchlík nebo kulový pás:
S 2 rv
r - poloměr kulové plochy
v - výška vrchlíku (pásu)
Objem a povrch anuloidu:
V 2 r R
2
2
S 4 Rr
2
r - poloměr kruhu pro rotaci
R - vzdálenost středu kruhu od osy rotace
Nakloníme-li o 30 nádobu tvaru polokoule,
která byla zcela naplněna vodou, vyteče z ní
3,3 l vody. Kolik litrů vody v ní zůstane?
Příklad:
Řešení:
Zbytek vody v nádobě má tvar kulové úseče:
?
r1,v
V
v
6
V 5
3 r
2
1
1
24
?
v
2
r
3
r
2
2
2 3 3 r r 5 r 3
6
2
2 24
1,5 l
r
v
∆SAB je rovnostranný
r
v
2
r1
sin 60
r1
r
Při naklonění vyteče 3,3 l,
tj. V polokoule V úseče:
2
3
r
3
5
24
3
r
2
r 3 ,3 l
3
r1
1
24
r 0 ,3 l
3
Cvičení
Př. 1: Kolikrát se zmenší objem a povrch koule, jestliže
se její poloměr zmenší třikrát?
27, 9
Př. 2: Jakou hmotnost má planeta Země, je-li její
asi 5,991024 kg
průměrná hustota 5,52 g/cm3.
Př. 3: Jak vysoko musí být letec, má-li vidět 0,001
asi 12,7 km
zemského povrchu?
Př. 4: Vypočtěte objem a povrch kulové výseče, má-li
kul. úseč, která je částí výseče, poloměr podstavy
6 cm a výšku 2 cm.
V = 419 cm3; S = 314,16 cm2
Cvičení
Př. 5: Činka se skládá ze dvou koulí a spojovací tyče
délky 60 cm s průměrem 32 mm. Jaký je průměr
koulí, je-li hmotnost činky 50 kg a hustota
asi 17,8 cm
materiálu 7,8 g/cm3?
Př. 6: Vypočítejte povrch kulového vrchlíku a objem kul.
úseče, je-li poloměr koule 10 cm a výška kulové
úseče 6 cm.
S = 377 cm2, V = 904 cm3
Př. 7: Vypočtěte objem kulové vrstvy, mají-li podstavy
poloměry 13,2 cm a 10 cm a poloměr koule je
26 cm.
691 cm3
Slide 9
TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM
A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČR
Poznámky ve formátu PDF
Mgr. Martina Fainová
KOULE
KOULE
= množina bodů v prostoru, které mají od daného
pevného bodu S vzdálenost menší nebo rovnu
kladnému číslu r
= těleso, které vznikne rotací půlkruhu kolem
přímky, která obsahuje jeho průměr
Značení:
K(S;r)
S – střed koule
r – poloměr koule (SA, SB)
MM – průměr koule
hranice koule – kulová plocha
Kulová plocha
= množina bodů v prostoru, které mají od daného
pevného bodu S vzdálenost r > 0
– vznikne rotací půlkružnice
– střed koule je také středem kulové plochy
– kružnice kulové plochy ležící v rovině
procházející středem je hlavní kružnice
– kružnice kulové plochy, která neleží v rovině
procházející středem, je vedlejší kružnice
Vlastnosti koule
je dokonale symetrická
je středově souměrná podle středu S
je osově souměrná podle lib. přímky procházející středem S
je rovinově souměrná podle lib. roviny procházející S
povrch koule tvoří kulová plocha se stejným středem
a poloměrem
libovolným řezem koule je kružnice
Poznámka: Rotací kruhu kolem přímky, která
leží v rovině kruhu a kruh neprotíná, vznikne anuloid.
Kulový vrchlík
= část kulové plochy omezená její libov. kružnicí
= průnik kulové plochy a poloprostoru s hraniční
rovinou obsahující kružnici k
(tato rovina rozdělí kul. plochu na dva kul. vrchlíky)
kružnice = hrana kul. vrchlíku
– poloměr hraniční kružnice
r – poloměr kulové plochy
v – výška vrchlíku
Kulová úseč
= část koule omezená její libov. kružnicí
= průnik koule a poloprostoru, jehož hraniční
rovina protíná kouli v kruhu o poloměru
kul. vrchlík a kruh tvoří hranici kul. úseče
kruh = podstava kul. úseče
– poloměr podstavy
r – poloměr koule
v – výška kul. úseče
Kulová výseč
= sjednocení kulové úseče a rotačního kužele,
který má s kul. úsečí společnou podstavu
a jeho vrchol je středem příslušné koule
hranicí je plášť kužele a kulový vrchlík
– poloměr hraniční kružnice
r – poloměr koule
v – výška kul. výseče
Kulová vrstva, kulový pás
Kulový pás
= průnik kulové plochy a vrstvy s hraničními rovinami,
jejichž vzdálenosti od středu jsou menší než poloměr
Kulová vrstva
= průnik koule a vrstvy s hraničními rovinami, jejichž
vzdálenosti od středu jsou menší než poloměr koule
r – poloměr koule
O1,O2= středy hranič. kružnic
1,2 – poloměry hran. kružnic
v – výška kul. vrstvy (pásu)
Příklad:
a)
b)
Koule se středem S a poloměrem 15 cm je
položená na vodorovné rovině a osvětlena
zdrojem Z; SZ, |Z|=h =45 cm. Určete:
poloměr kružnice ohraničující osvětlenou část koule a výšku
osvětlené části koule,
obsah vrženého stínu koule na rovinu .
Řešení:
a) osvětlená část koule = kul. vrchlík o výšce v
∆STZ:
∆STO:
= (h-r) (r-v)
v = 7,5 (cm)
r2
r2
(r-v)2+2
=
= 13 (cm)
Z
h-r
EVo
r-v
T
r
S
b) vržený stín = obsah kruhu se středem O´
∆ZOT
∆ZO´T´
S = 2120 (cm2)
l
h
h 2r v
l = 26 (cm)
?l
ZT tečna kul. plochy
Cvičení
Př. 1: Kulová úseč má poloměr podstavy 8 cm a výšku
5 cm. Vypočtěte poloměr koule, jejíž částí je
8,9 cm
kulová úseč.
Př. 2: Ve vzdálenosti 10 cm od středu koule s poloměrem
20 cm veďte rovinu řezu. Vypočítejte poloměr řezu.
10 3
Př. 3: Je dána krychle s hranou délky a. Vypočítejte
poloměr koule, která je krychli opsaná a vepsaná.
a
3
2
,
a
2
Objem koule a jejích částí
Koule:
V
4
r
3
r - poloměr koule
3
Kulová úseč: V
v
6
Kulová výseč: V
Kulová vrstva: V
2
3
2
v
r v
3
6
3
podstavy úseče
v - výška úseče
r - poloměr koule
v - výška výseče
2
v
2
- poloměr
2
1
3 v
2
2
2
1, 2 - poloměry podstav vrstvy
v - výška vrstvy
Povrch koule a jejích částí
r - poloměr koule
S 4 r
Poznámka: Povrch koule = obsah kulové plochy se stejným r
2
Koule:
Kulový vrchlík nebo kulový pás:
S 2 rv
r - poloměr kulové plochy
v - výška vrchlíku (pásu)
Objem a povrch anuloidu:
V 2 r R
2
2
S 4 Rr
2
r - poloměr kruhu pro rotaci
R - vzdálenost středu kruhu od osy rotace
Nakloníme-li o 30 nádobu tvaru polokoule,
která byla zcela naplněna vodou, vyteče z ní
3,3 l vody. Kolik litrů vody v ní zůstane?
Příklad:
Řešení:
Zbytek vody v nádobě má tvar kulové úseče:
?
r1,v
V
v
6
V 5
3 r
2
1
1
24
?
v
2
r
3
r
2
2
2 3 3 r r 5 r 3
6
2
2 24
1,5 l
r
v
∆SAB je rovnostranný
r
v
2
r1
sin 60
r1
r
Při naklonění vyteče 3,3 l,
tj. V polokoule V úseče:
2
3
r
3
5
24
3
r
2
r 3 ,3 l
3
r1
1
24
r 0 ,3 l
3
Cvičení
Př. 1: Kolikrát se zmenší objem a povrch koule, jestliže
se její poloměr zmenší třikrát?
27, 9
Př. 2: Jakou hmotnost má planeta Země, je-li její
asi 5,991024 kg
průměrná hustota 5,52 g/cm3.
Př. 3: Jak vysoko musí být letec, má-li vidět 0,001
asi 12,7 km
zemského povrchu?
Př. 4: Vypočtěte objem a povrch kulové výseče, má-li
kul. úseč, která je částí výseče, poloměr podstavy
6 cm a výšku 2 cm.
V = 419 cm3; S = 314,16 cm2
Cvičení
Př. 5: Činka se skládá ze dvou koulí a spojovací tyče
délky 60 cm s průměrem 32 mm. Jaký je průměr
koulí, je-li hmotnost činky 50 kg a hustota
asi 17,8 cm
materiálu 7,8 g/cm3?
Př. 6: Vypočítejte povrch kulového vrchlíku a objem kul.
úseče, je-li poloměr koule 10 cm a výška kulové
úseče 6 cm.
S = 377 cm2, V = 904 cm3
Př. 7: Vypočtěte objem kulové vrstvy, mají-li podstavy
poloměry 13,2 cm a 10 cm a poloměr koule je
26 cm.
691 cm3
Slide 10
TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM
A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČR
Poznámky ve formátu PDF
Mgr. Martina Fainová
KOULE
KOULE
= množina bodů v prostoru, které mají od daného
pevného bodu S vzdálenost menší nebo rovnu
kladnému číslu r
= těleso, které vznikne rotací půlkruhu kolem
přímky, která obsahuje jeho průměr
Značení:
K(S;r)
S – střed koule
r – poloměr koule (SA, SB)
MM – průměr koule
hranice koule – kulová plocha
Kulová plocha
= množina bodů v prostoru, které mají od daného
pevného bodu S vzdálenost r > 0
– vznikne rotací půlkružnice
– střed koule je také středem kulové plochy
– kružnice kulové plochy ležící v rovině
procházející středem je hlavní kružnice
– kružnice kulové plochy, která neleží v rovině
procházející středem, je vedlejší kružnice
Vlastnosti koule
je dokonale symetrická
je středově souměrná podle středu S
je osově souměrná podle lib. přímky procházející středem S
je rovinově souměrná podle lib. roviny procházející S
povrch koule tvoří kulová plocha se stejným středem
a poloměrem
libovolným řezem koule je kružnice
Poznámka: Rotací kruhu kolem přímky, která
leží v rovině kruhu a kruh neprotíná, vznikne anuloid.
Kulový vrchlík
= část kulové plochy omezená její libov. kružnicí
= průnik kulové plochy a poloprostoru s hraniční
rovinou obsahující kružnici k
(tato rovina rozdělí kul. plochu na dva kul. vrchlíky)
kružnice = hrana kul. vrchlíku
– poloměr hraniční kružnice
r – poloměr kulové plochy
v – výška vrchlíku
Kulová úseč
= část koule omezená její libov. kružnicí
= průnik koule a poloprostoru, jehož hraniční
rovina protíná kouli v kruhu o poloměru
kul. vrchlík a kruh tvoří hranici kul. úseče
kruh = podstava kul. úseče
– poloměr podstavy
r – poloměr koule
v – výška kul. úseče
Kulová výseč
= sjednocení kulové úseče a rotačního kužele,
který má s kul. úsečí společnou podstavu
a jeho vrchol je středem příslušné koule
hranicí je plášť kužele a kulový vrchlík
– poloměr hraniční kružnice
r – poloměr koule
v – výška kul. výseče
Kulová vrstva, kulový pás
Kulový pás
= průnik kulové plochy a vrstvy s hraničními rovinami,
jejichž vzdálenosti od středu jsou menší než poloměr
Kulová vrstva
= průnik koule a vrstvy s hraničními rovinami, jejichž
vzdálenosti od středu jsou menší než poloměr koule
r – poloměr koule
O1,O2= středy hranič. kružnic
1,2 – poloměry hran. kružnic
v – výška kul. vrstvy (pásu)
Příklad:
a)
b)
Koule se středem S a poloměrem 15 cm je
položená na vodorovné rovině a osvětlena
zdrojem Z; SZ, |Z|=h =45 cm. Určete:
poloměr kružnice ohraničující osvětlenou část koule a výšku
osvětlené části koule,
obsah vrženého stínu koule na rovinu .
Řešení:
a) osvětlená část koule = kul. vrchlík o výšce v
∆STZ:
∆STO:
= (h-r) (r-v)
v = 7,5 (cm)
r2
r2
(r-v)2+2
=
= 13 (cm)
Z
h-r
EVo
r-v
T
r
S
b) vržený stín = obsah kruhu se středem O´
∆ZOT
∆ZO´T´
S = 2120 (cm2)
l
h
h 2r v
l = 26 (cm)
?l
ZT tečna kul. plochy
Cvičení
Př. 1: Kulová úseč má poloměr podstavy 8 cm a výšku
5 cm. Vypočtěte poloměr koule, jejíž částí je
8,9 cm
kulová úseč.
Př. 2: Ve vzdálenosti 10 cm od středu koule s poloměrem
20 cm veďte rovinu řezu. Vypočítejte poloměr řezu.
10 3
Př. 3: Je dána krychle s hranou délky a. Vypočítejte
poloměr koule, která je krychli opsaná a vepsaná.
a
3
2
,
a
2
Objem koule a jejích částí
Koule:
V
4
r
3
r - poloměr koule
3
Kulová úseč: V
v
6
Kulová výseč: V
Kulová vrstva: V
2
3
2
v
r v
3
6
3
podstavy úseče
v - výška úseče
r - poloměr koule
v - výška výseče
2
v
2
- poloměr
2
1
3 v
2
2
2
1, 2 - poloměry podstav vrstvy
v - výška vrstvy
Povrch koule a jejích částí
r - poloměr koule
S 4 r
Poznámka: Povrch koule = obsah kulové plochy se stejným r
2
Koule:
Kulový vrchlík nebo kulový pás:
S 2 rv
r - poloměr kulové plochy
v - výška vrchlíku (pásu)
Objem a povrch anuloidu:
V 2 r R
2
2
S 4 Rr
2
r - poloměr kruhu pro rotaci
R - vzdálenost středu kruhu od osy rotace
Nakloníme-li o 30 nádobu tvaru polokoule,
která byla zcela naplněna vodou, vyteče z ní
3,3 l vody. Kolik litrů vody v ní zůstane?
Příklad:
Řešení:
Zbytek vody v nádobě má tvar kulové úseče:
?
r1,v
V
v
6
V 5
3 r
2
1
1
24
?
v
2
r
3
r
2
2
2 3 3 r r 5 r 3
6
2
2 24
1,5 l
r
v
∆SAB je rovnostranný
r
v
2
r1
sin 60
r1
r
Při naklonění vyteče 3,3 l,
tj. V polokoule V úseče:
2
3
r
3
5
24
3
r
2
r 3 ,3 l
3
r1
1
24
r 0 ,3 l
3
Cvičení
Př. 1: Kolikrát se zmenší objem a povrch koule, jestliže
se její poloměr zmenší třikrát?
27, 9
Př. 2: Jakou hmotnost má planeta Země, je-li její
asi 5,991024 kg
průměrná hustota 5,52 g/cm3.
Př. 3: Jak vysoko musí být letec, má-li vidět 0,001
asi 12,7 km
zemského povrchu?
Př. 4: Vypočtěte objem a povrch kulové výseče, má-li
kul. úseč, která je částí výseče, poloměr podstavy
6 cm a výšku 2 cm.
V = 419 cm3; S = 314,16 cm2
Cvičení
Př. 5: Činka se skládá ze dvou koulí a spojovací tyče
délky 60 cm s průměrem 32 mm. Jaký je průměr
koulí, je-li hmotnost činky 50 kg a hustota
asi 17,8 cm
materiálu 7,8 g/cm3?
Př. 6: Vypočítejte povrch kulového vrchlíku a objem kul.
úseče, je-li poloměr koule 10 cm a výška kulové
úseče 6 cm.
S = 377 cm2, V = 904 cm3
Př. 7: Vypočtěte objem kulové vrstvy, mají-li podstavy
poloměry 13,2 cm a 10 cm a poloměr koule je
26 cm.
691 cm3
Slide 11
TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM
A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČR
Poznámky ve formátu PDF
Mgr. Martina Fainová
KOULE
KOULE
= množina bodů v prostoru, které mají od daného
pevného bodu S vzdálenost menší nebo rovnu
kladnému číslu r
= těleso, které vznikne rotací půlkruhu kolem
přímky, která obsahuje jeho průměr
Značení:
K(S;r)
S – střed koule
r – poloměr koule (SA, SB)
MM – průměr koule
hranice koule – kulová plocha
Kulová plocha
= množina bodů v prostoru, které mají od daného
pevného bodu S vzdálenost r > 0
– vznikne rotací půlkružnice
– střed koule je také středem kulové plochy
– kružnice kulové plochy ležící v rovině
procházející středem je hlavní kružnice
– kružnice kulové plochy, která neleží v rovině
procházející středem, je vedlejší kružnice
Vlastnosti koule
je dokonale symetrická
je středově souměrná podle středu S
je osově souměrná podle lib. přímky procházející středem S
je rovinově souměrná podle lib. roviny procházející S
povrch koule tvoří kulová plocha se stejným středem
a poloměrem
libovolným řezem koule je kružnice
Poznámka: Rotací kruhu kolem přímky, která
leží v rovině kruhu a kruh neprotíná, vznikne anuloid.
Kulový vrchlík
= část kulové plochy omezená její libov. kružnicí
= průnik kulové plochy a poloprostoru s hraniční
rovinou obsahující kružnici k
(tato rovina rozdělí kul. plochu na dva kul. vrchlíky)
kružnice = hrana kul. vrchlíku
– poloměr hraniční kružnice
r – poloměr kulové plochy
v – výška vrchlíku
Kulová úseč
= část koule omezená její libov. kružnicí
= průnik koule a poloprostoru, jehož hraniční
rovina protíná kouli v kruhu o poloměru
kul. vrchlík a kruh tvoří hranici kul. úseče
kruh = podstava kul. úseče
– poloměr podstavy
r – poloměr koule
v – výška kul. úseče
Kulová výseč
= sjednocení kulové úseče a rotačního kužele,
který má s kul. úsečí společnou podstavu
a jeho vrchol je středem příslušné koule
hranicí je plášť kužele a kulový vrchlík
– poloměr hraniční kružnice
r – poloměr koule
v – výška kul. výseče
Kulová vrstva, kulový pás
Kulový pás
= průnik kulové plochy a vrstvy s hraničními rovinami,
jejichž vzdálenosti od středu jsou menší než poloměr
Kulová vrstva
= průnik koule a vrstvy s hraničními rovinami, jejichž
vzdálenosti od středu jsou menší než poloměr koule
r – poloměr koule
O1,O2= středy hranič. kružnic
1,2 – poloměry hran. kružnic
v – výška kul. vrstvy (pásu)
Příklad:
a)
b)
Koule se středem S a poloměrem 15 cm je
položená na vodorovné rovině a osvětlena
zdrojem Z; SZ, |Z|=h =45 cm. Určete:
poloměr kružnice ohraničující osvětlenou část koule a výšku
osvětlené části koule,
obsah vrženého stínu koule na rovinu .
Řešení:
a) osvětlená část koule = kul. vrchlík o výšce v
∆STZ:
∆STO:
= (h-r) (r-v)
v = 7,5 (cm)
r2
r2
(r-v)2+2
=
= 13 (cm)
Z
h-r
EVo
r-v
T
r
S
b) vržený stín = obsah kruhu se středem O´
∆ZOT
∆ZO´T´
S = 2120 (cm2)
l
h
h 2r v
l = 26 (cm)
?l
ZT tečna kul. plochy
Cvičení
Př. 1: Kulová úseč má poloměr podstavy 8 cm a výšku
5 cm. Vypočtěte poloměr koule, jejíž částí je
8,9 cm
kulová úseč.
Př. 2: Ve vzdálenosti 10 cm od středu koule s poloměrem
20 cm veďte rovinu řezu. Vypočítejte poloměr řezu.
10 3
Př. 3: Je dána krychle s hranou délky a. Vypočítejte
poloměr koule, která je krychli opsaná a vepsaná.
a
3
2
,
a
2
Objem koule a jejích částí
Koule:
V
4
r
3
r - poloměr koule
3
Kulová úseč: V
v
6
Kulová výseč: V
Kulová vrstva: V
2
3
2
v
r v
3
6
3
podstavy úseče
v - výška úseče
r - poloměr koule
v - výška výseče
2
v
2
- poloměr
2
1
3 v
2
2
2
1, 2 - poloměry podstav vrstvy
v - výška vrstvy
Povrch koule a jejích částí
r - poloměr koule
S 4 r
Poznámka: Povrch koule = obsah kulové plochy se stejným r
2
Koule:
Kulový vrchlík nebo kulový pás:
S 2 rv
r - poloměr kulové plochy
v - výška vrchlíku (pásu)
Objem a povrch anuloidu:
V 2 r R
2
2
S 4 Rr
2
r - poloměr kruhu pro rotaci
R - vzdálenost středu kruhu od osy rotace
Nakloníme-li o 30 nádobu tvaru polokoule,
která byla zcela naplněna vodou, vyteče z ní
3,3 l vody. Kolik litrů vody v ní zůstane?
Příklad:
Řešení:
Zbytek vody v nádobě má tvar kulové úseče:
?
r1,v
V
v
6
V 5
3 r
2
1
1
24
?
v
2
r
3
r
2
2
2 3 3 r r 5 r 3
6
2
2 24
1,5 l
r
v
∆SAB je rovnostranný
r
v
2
r1
sin 60
r1
r
Při naklonění vyteče 3,3 l,
tj. V polokoule V úseče:
2
3
r
3
5
24
3
r
2
r 3 ,3 l
3
r1
1
24
r 0 ,3 l
3
Cvičení
Př. 1: Kolikrát se zmenší objem a povrch koule, jestliže
se její poloměr zmenší třikrát?
27, 9
Př. 2: Jakou hmotnost má planeta Země, je-li její
asi 5,991024 kg
průměrná hustota 5,52 g/cm3.
Př. 3: Jak vysoko musí být letec, má-li vidět 0,001
asi 12,7 km
zemského povrchu?
Př. 4: Vypočtěte objem a povrch kulové výseče, má-li
kul. úseč, která je částí výseče, poloměr podstavy
6 cm a výšku 2 cm.
V = 419 cm3; S = 314,16 cm2
Cvičení
Př. 5: Činka se skládá ze dvou koulí a spojovací tyče
délky 60 cm s průměrem 32 mm. Jaký je průměr
koulí, je-li hmotnost činky 50 kg a hustota
asi 17,8 cm
materiálu 7,8 g/cm3?
Př. 6: Vypočítejte povrch kulového vrchlíku a objem kul.
úseče, je-li poloměr koule 10 cm a výška kulové
úseče 6 cm.
S = 377 cm2, V = 904 cm3
Př. 7: Vypočtěte objem kulové vrstvy, mají-li podstavy
poloměry 13,2 cm a 10 cm a poloměr koule je
26 cm.
691 cm3
Slide 12
TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM
A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČR
Poznámky ve formátu PDF
Mgr. Martina Fainová
KOULE
KOULE
= množina bodů v prostoru, které mají od daného
pevného bodu S vzdálenost menší nebo rovnu
kladnému číslu r
= těleso, které vznikne rotací půlkruhu kolem
přímky, která obsahuje jeho průměr
Značení:
K(S;r)
S – střed koule
r – poloměr koule (SA, SB)
MM – průměr koule
hranice koule – kulová plocha
Kulová plocha
= množina bodů v prostoru, které mají od daného
pevného bodu S vzdálenost r > 0
– vznikne rotací půlkružnice
– střed koule je také středem kulové plochy
– kružnice kulové plochy ležící v rovině
procházející středem je hlavní kružnice
– kružnice kulové plochy, která neleží v rovině
procházející středem, je vedlejší kružnice
Vlastnosti koule
je dokonale symetrická
je středově souměrná podle středu S
je osově souměrná podle lib. přímky procházející středem S
je rovinově souměrná podle lib. roviny procházející S
povrch koule tvoří kulová plocha se stejným středem
a poloměrem
libovolným řezem koule je kružnice
Poznámka: Rotací kruhu kolem přímky, která
leží v rovině kruhu a kruh neprotíná, vznikne anuloid.
Kulový vrchlík
= část kulové plochy omezená její libov. kružnicí
= průnik kulové plochy a poloprostoru s hraniční
rovinou obsahující kružnici k
(tato rovina rozdělí kul. plochu na dva kul. vrchlíky)
kružnice = hrana kul. vrchlíku
– poloměr hraniční kružnice
r – poloměr kulové plochy
v – výška vrchlíku
Kulová úseč
= část koule omezená její libov. kružnicí
= průnik koule a poloprostoru, jehož hraniční
rovina protíná kouli v kruhu o poloměru
kul. vrchlík a kruh tvoří hranici kul. úseče
kruh = podstava kul. úseče
– poloměr podstavy
r – poloměr koule
v – výška kul. úseče
Kulová výseč
= sjednocení kulové úseče a rotačního kužele,
který má s kul. úsečí společnou podstavu
a jeho vrchol je středem příslušné koule
hranicí je plášť kužele a kulový vrchlík
– poloměr hraniční kružnice
r – poloměr koule
v – výška kul. výseče
Kulová vrstva, kulový pás
Kulový pás
= průnik kulové plochy a vrstvy s hraničními rovinami,
jejichž vzdálenosti od středu jsou menší než poloměr
Kulová vrstva
= průnik koule a vrstvy s hraničními rovinami, jejichž
vzdálenosti od středu jsou menší než poloměr koule
r – poloměr koule
O1,O2= středy hranič. kružnic
1,2 – poloměry hran. kružnic
v – výška kul. vrstvy (pásu)
Příklad:
a)
b)
Koule se středem S a poloměrem 15 cm je
položená na vodorovné rovině a osvětlena
zdrojem Z; SZ, |Z|=h =45 cm. Určete:
poloměr kružnice ohraničující osvětlenou část koule a výšku
osvětlené části koule,
obsah vrženého stínu koule na rovinu .
Řešení:
a) osvětlená část koule = kul. vrchlík o výšce v
∆STZ:
∆STO:
= (h-r) (r-v)
v = 7,5 (cm)
r2
r2
(r-v)2+2
=
= 13 (cm)
Z
h-r
EVo
r-v
T
r
S
b) vržený stín = obsah kruhu se středem O´
∆ZOT
∆ZO´T´
S = 2120 (cm2)
l
h
h 2r v
l = 26 (cm)
?l
ZT tečna kul. plochy
Cvičení
Př. 1: Kulová úseč má poloměr podstavy 8 cm a výšku
5 cm. Vypočtěte poloměr koule, jejíž částí je
8,9 cm
kulová úseč.
Př. 2: Ve vzdálenosti 10 cm od středu koule s poloměrem
20 cm veďte rovinu řezu. Vypočítejte poloměr řezu.
10 3
Př. 3: Je dána krychle s hranou délky a. Vypočítejte
poloměr koule, která je krychli opsaná a vepsaná.
a
3
2
,
a
2
Objem koule a jejích částí
Koule:
V
4
r
3
r - poloměr koule
3
Kulová úseč: V
v
6
Kulová výseč: V
Kulová vrstva: V
2
3
2
v
r v
3
6
3
podstavy úseče
v - výška úseče
r - poloměr koule
v - výška výseče
2
v
2
- poloměr
2
1
3 v
2
2
2
1, 2 - poloměry podstav vrstvy
v - výška vrstvy
Povrch koule a jejích částí
r - poloměr koule
S 4 r
Poznámka: Povrch koule = obsah kulové plochy se stejným r
2
Koule:
Kulový vrchlík nebo kulový pás:
S 2 rv
r - poloměr kulové plochy
v - výška vrchlíku (pásu)
Objem a povrch anuloidu:
V 2 r R
2
2
S 4 Rr
2
r - poloměr kruhu pro rotaci
R - vzdálenost středu kruhu od osy rotace
Nakloníme-li o 30 nádobu tvaru polokoule,
která byla zcela naplněna vodou, vyteče z ní
3,3 l vody. Kolik litrů vody v ní zůstane?
Příklad:
Řešení:
Zbytek vody v nádobě má tvar kulové úseče:
?
r1,v
V
v
6
V 5
3 r
2
1
1
24
?
v
2
r
3
r
2
2
2 3 3 r r 5 r 3
6
2
2 24
1,5 l
r
v
∆SAB je rovnostranný
r
v
2
r1
sin 60
r1
r
Při naklonění vyteče 3,3 l,
tj. V polokoule V úseče:
2
3
r
3
5
24
3
r
2
r 3 ,3 l
3
r1
1
24
r 0 ,3 l
3
Cvičení
Př. 1: Kolikrát se zmenší objem a povrch koule, jestliže
se její poloměr zmenší třikrát?
27, 9
Př. 2: Jakou hmotnost má planeta Země, je-li její
asi 5,991024 kg
průměrná hustota 5,52 g/cm3.
Př. 3: Jak vysoko musí být letec, má-li vidět 0,001
asi 12,7 km
zemského povrchu?
Př. 4: Vypočtěte objem a povrch kulové výseče, má-li
kul. úseč, která je částí výseče, poloměr podstavy
6 cm a výšku 2 cm.
V = 419 cm3; S = 314,16 cm2
Cvičení
Př. 5: Činka se skládá ze dvou koulí a spojovací tyče
délky 60 cm s průměrem 32 mm. Jaký je průměr
koulí, je-li hmotnost činky 50 kg a hustota
asi 17,8 cm
materiálu 7,8 g/cm3?
Př. 6: Vypočítejte povrch kulového vrchlíku a objem kul.
úseče, je-li poloměr koule 10 cm a výška kulové
úseče 6 cm.
S = 377 cm2, V = 904 cm3
Př. 7: Vypočtěte objem kulové vrstvy, mají-li podstavy
poloměry 13,2 cm a 10 cm a poloměr koule je
26 cm.
691 cm3
Slide 13
TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM
A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČR
Poznámky ve formátu PDF
Mgr. Martina Fainová
KOULE
KOULE
= množina bodů v prostoru, které mají od daného
pevného bodu S vzdálenost menší nebo rovnu
kladnému číslu r
= těleso, které vznikne rotací půlkruhu kolem
přímky, která obsahuje jeho průměr
Značení:
K(S;r)
S – střed koule
r – poloměr koule (SA, SB)
MM – průměr koule
hranice koule – kulová plocha
Kulová plocha
= množina bodů v prostoru, které mají od daného
pevného bodu S vzdálenost r > 0
– vznikne rotací půlkružnice
– střed koule je také středem kulové plochy
– kružnice kulové plochy ležící v rovině
procházející středem je hlavní kružnice
– kružnice kulové plochy, která neleží v rovině
procházející středem, je vedlejší kružnice
Vlastnosti koule
je dokonale symetrická
je středově souměrná podle středu S
je osově souměrná podle lib. přímky procházející středem S
je rovinově souměrná podle lib. roviny procházející S
povrch koule tvoří kulová plocha se stejným středem
a poloměrem
libovolným řezem koule je kružnice
Poznámka: Rotací kruhu kolem přímky, která
leží v rovině kruhu a kruh neprotíná, vznikne anuloid.
Kulový vrchlík
= část kulové plochy omezená její libov. kružnicí
= průnik kulové plochy a poloprostoru s hraniční
rovinou obsahující kružnici k
(tato rovina rozdělí kul. plochu na dva kul. vrchlíky)
kružnice = hrana kul. vrchlíku
– poloměr hraniční kružnice
r – poloměr kulové plochy
v – výška vrchlíku
Kulová úseč
= část koule omezená její libov. kružnicí
= průnik koule a poloprostoru, jehož hraniční
rovina protíná kouli v kruhu o poloměru
kul. vrchlík a kruh tvoří hranici kul. úseče
kruh = podstava kul. úseče
– poloměr podstavy
r – poloměr koule
v – výška kul. úseče
Kulová výseč
= sjednocení kulové úseče a rotačního kužele,
který má s kul. úsečí společnou podstavu
a jeho vrchol je středem příslušné koule
hranicí je plášť kužele a kulový vrchlík
– poloměr hraniční kružnice
r – poloměr koule
v – výška kul. výseče
Kulová vrstva, kulový pás
Kulový pás
= průnik kulové plochy a vrstvy s hraničními rovinami,
jejichž vzdálenosti od středu jsou menší než poloměr
Kulová vrstva
= průnik koule a vrstvy s hraničními rovinami, jejichž
vzdálenosti od středu jsou menší než poloměr koule
r – poloměr koule
O1,O2= středy hranič. kružnic
1,2 – poloměry hran. kružnic
v – výška kul. vrstvy (pásu)
Příklad:
a)
b)
Koule se středem S a poloměrem 15 cm je
položená na vodorovné rovině a osvětlena
zdrojem Z; SZ, |Z|=h =45 cm. Určete:
poloměr kružnice ohraničující osvětlenou část koule a výšku
osvětlené části koule,
obsah vrženého stínu koule na rovinu .
Řešení:
a) osvětlená část koule = kul. vrchlík o výšce v
∆STZ:
∆STO:
= (h-r) (r-v)
v = 7,5 (cm)
r2
r2
(r-v)2+2
=
= 13 (cm)
Z
h-r
EVo
r-v
T
r
S
b) vržený stín = obsah kruhu se středem O´
∆ZOT
∆ZO´T´
S = 2120 (cm2)
l
h
h 2r v
l = 26 (cm)
?l
ZT tečna kul. plochy
Cvičení
Př. 1: Kulová úseč má poloměr podstavy 8 cm a výšku
5 cm. Vypočtěte poloměr koule, jejíž částí je
8,9 cm
kulová úseč.
Př. 2: Ve vzdálenosti 10 cm od středu koule s poloměrem
20 cm veďte rovinu řezu. Vypočítejte poloměr řezu.
10 3
Př. 3: Je dána krychle s hranou délky a. Vypočítejte
poloměr koule, která je krychli opsaná a vepsaná.
a
3
2
,
a
2
Objem koule a jejích částí
Koule:
V
4
r
3
r - poloměr koule
3
Kulová úseč: V
v
6
Kulová výseč: V
Kulová vrstva: V
2
3
2
v
r v
3
6
3
podstavy úseče
v - výška úseče
r - poloměr koule
v - výška výseče
2
v
2
- poloměr
2
1
3 v
2
2
2
1, 2 - poloměry podstav vrstvy
v - výška vrstvy
Povrch koule a jejích částí
r - poloměr koule
S 4 r
Poznámka: Povrch koule = obsah kulové plochy se stejným r
2
Koule:
Kulový vrchlík nebo kulový pás:
S 2 rv
r - poloměr kulové plochy
v - výška vrchlíku (pásu)
Objem a povrch anuloidu:
V 2 r R
2
2
S 4 Rr
2
r - poloměr kruhu pro rotaci
R - vzdálenost středu kruhu od osy rotace
Nakloníme-li o 30 nádobu tvaru polokoule,
která byla zcela naplněna vodou, vyteče z ní
3,3 l vody. Kolik litrů vody v ní zůstane?
Příklad:
Řešení:
Zbytek vody v nádobě má tvar kulové úseče:
?
r1,v
V
v
6
V 5
3 r
2
1
1
24
?
v
2
r
3
r
2
2
2 3 3 r r 5 r 3
6
2
2 24
1,5 l
r
v
∆SAB je rovnostranný
r
v
2
r1
sin 60
r1
r
Při naklonění vyteče 3,3 l,
tj. V polokoule V úseče:
2
3
r
3
5
24
3
r
2
r 3 ,3 l
3
r1
1
24
r 0 ,3 l
3
Cvičení
Př. 1: Kolikrát se zmenší objem a povrch koule, jestliže
se její poloměr zmenší třikrát?
27, 9
Př. 2: Jakou hmotnost má planeta Země, je-li její
asi 5,991024 kg
průměrná hustota 5,52 g/cm3.
Př. 3: Jak vysoko musí být letec, má-li vidět 0,001
asi 12,7 km
zemského povrchu?
Př. 4: Vypočtěte objem a povrch kulové výseče, má-li
kul. úseč, která je částí výseče, poloměr podstavy
6 cm a výšku 2 cm.
V = 419 cm3; S = 314,16 cm2
Cvičení
Př. 5: Činka se skládá ze dvou koulí a spojovací tyče
délky 60 cm s průměrem 32 mm. Jaký je průměr
koulí, je-li hmotnost činky 50 kg a hustota
asi 17,8 cm
materiálu 7,8 g/cm3?
Př. 6: Vypočítejte povrch kulového vrchlíku a objem kul.
úseče, je-li poloměr koule 10 cm a výška kulové
úseče 6 cm.
S = 377 cm2, V = 904 cm3
Př. 7: Vypočtěte objem kulové vrstvy, mají-li podstavy
poloměry 13,2 cm a 10 cm a poloměr koule je
26 cm.
691 cm3
Slide 14
TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM
A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČR
Poznámky ve formátu PDF
Mgr. Martina Fainová
KOULE
KOULE
= množina bodů v prostoru, které mají od daného
pevného bodu S vzdálenost menší nebo rovnu
kladnému číslu r
= těleso, které vznikne rotací půlkruhu kolem
přímky, která obsahuje jeho průměr
Značení:
K(S;r)
S – střed koule
r – poloměr koule (SA, SB)
MM – průměr koule
hranice koule – kulová plocha
Kulová plocha
= množina bodů v prostoru, které mají od daného
pevného bodu S vzdálenost r > 0
– vznikne rotací půlkružnice
– střed koule je také středem kulové plochy
– kružnice kulové plochy ležící v rovině
procházející středem je hlavní kružnice
– kružnice kulové plochy, která neleží v rovině
procházející středem, je vedlejší kružnice
Vlastnosti koule
je dokonale symetrická
je středově souměrná podle středu S
je osově souměrná podle lib. přímky procházející středem S
je rovinově souměrná podle lib. roviny procházející S
povrch koule tvoří kulová plocha se stejným středem
a poloměrem
libovolným řezem koule je kružnice
Poznámka: Rotací kruhu kolem přímky, která
leží v rovině kruhu a kruh neprotíná, vznikne anuloid.
Kulový vrchlík
= část kulové plochy omezená její libov. kružnicí
= průnik kulové plochy a poloprostoru s hraniční
rovinou obsahující kružnici k
(tato rovina rozdělí kul. plochu na dva kul. vrchlíky)
kružnice = hrana kul. vrchlíku
– poloměr hraniční kružnice
r – poloměr kulové plochy
v – výška vrchlíku
Kulová úseč
= část koule omezená její libov. kružnicí
= průnik koule a poloprostoru, jehož hraniční
rovina protíná kouli v kruhu o poloměru
kul. vrchlík a kruh tvoří hranici kul. úseče
kruh = podstava kul. úseče
– poloměr podstavy
r – poloměr koule
v – výška kul. úseče
Kulová výseč
= sjednocení kulové úseče a rotačního kužele,
který má s kul. úsečí společnou podstavu
a jeho vrchol je středem příslušné koule
hranicí je plášť kužele a kulový vrchlík
– poloměr hraniční kružnice
r – poloměr koule
v – výška kul. výseče
Kulová vrstva, kulový pás
Kulový pás
= průnik kulové plochy a vrstvy s hraničními rovinami,
jejichž vzdálenosti od středu jsou menší než poloměr
Kulová vrstva
= průnik koule a vrstvy s hraničními rovinami, jejichž
vzdálenosti od středu jsou menší než poloměr koule
r – poloměr koule
O1,O2= středy hranič. kružnic
1,2 – poloměry hran. kružnic
v – výška kul. vrstvy (pásu)
Příklad:
a)
b)
Koule se středem S a poloměrem 15 cm je
položená na vodorovné rovině a osvětlena
zdrojem Z; SZ, |Z|=h =45 cm. Určete:
poloměr kružnice ohraničující osvětlenou část koule a výšku
osvětlené části koule,
obsah vrženého stínu koule na rovinu .
Řešení:
a) osvětlená část koule = kul. vrchlík o výšce v
∆STZ:
∆STO:
= (h-r) (r-v)
v = 7,5 (cm)
r2
r2
(r-v)2+2
=
= 13 (cm)
Z
h-r
EVo
r-v
T
r
S
b) vržený stín = obsah kruhu se středem O´
∆ZOT
∆ZO´T´
S = 2120 (cm2)
l
h
h 2r v
l = 26 (cm)
?l
ZT tečna kul. plochy
Cvičení
Př. 1: Kulová úseč má poloměr podstavy 8 cm a výšku
5 cm. Vypočtěte poloměr koule, jejíž částí je
8,9 cm
kulová úseč.
Př. 2: Ve vzdálenosti 10 cm od středu koule s poloměrem
20 cm veďte rovinu řezu. Vypočítejte poloměr řezu.
10 3
Př. 3: Je dána krychle s hranou délky a. Vypočítejte
poloměr koule, která je krychli opsaná a vepsaná.
a
3
2
,
a
2
Objem koule a jejích částí
Koule:
V
4
r
3
r - poloměr koule
3
Kulová úseč: V
v
6
Kulová výseč: V
Kulová vrstva: V
2
3
2
v
r v
3
6
3
podstavy úseče
v - výška úseče
r - poloměr koule
v - výška výseče
2
v
2
- poloměr
2
1
3 v
2
2
2
1, 2 - poloměry podstav vrstvy
v - výška vrstvy
Povrch koule a jejích částí
r - poloměr koule
S 4 r
Poznámka: Povrch koule = obsah kulové plochy se stejným r
2
Koule:
Kulový vrchlík nebo kulový pás:
S 2 rv
r - poloměr kulové plochy
v - výška vrchlíku (pásu)
Objem a povrch anuloidu:
V 2 r R
2
2
S 4 Rr
2
r - poloměr kruhu pro rotaci
R - vzdálenost středu kruhu od osy rotace
Nakloníme-li o 30 nádobu tvaru polokoule,
která byla zcela naplněna vodou, vyteče z ní
3,3 l vody. Kolik litrů vody v ní zůstane?
Příklad:
Řešení:
Zbytek vody v nádobě má tvar kulové úseče:
?
r1,v
V
v
6
V 5
3 r
2
1
1
24
?
v
2
r
3
r
2
2
2 3 3 r r 5 r 3
6
2
2 24
1,5 l
r
v
∆SAB je rovnostranný
r
v
2
r1
sin 60
r1
r
Při naklonění vyteče 3,3 l,
tj. V polokoule V úseče:
2
3
r
3
5
24
3
r
2
r 3 ,3 l
3
r1
1
24
r 0 ,3 l
3
Cvičení
Př. 1: Kolikrát se zmenší objem a povrch koule, jestliže
se její poloměr zmenší třikrát?
27, 9
Př. 2: Jakou hmotnost má planeta Země, je-li její
asi 5,991024 kg
průměrná hustota 5,52 g/cm3.
Př. 3: Jak vysoko musí být letec, má-li vidět 0,001
asi 12,7 km
zemského povrchu?
Př. 4: Vypočtěte objem a povrch kulové výseče, má-li
kul. úseč, která je částí výseče, poloměr podstavy
6 cm a výšku 2 cm.
V = 419 cm3; S = 314,16 cm2
Cvičení
Př. 5: Činka se skládá ze dvou koulí a spojovací tyče
délky 60 cm s průměrem 32 mm. Jaký je průměr
koulí, je-li hmotnost činky 50 kg a hustota
asi 17,8 cm
materiálu 7,8 g/cm3?
Př. 6: Vypočítejte povrch kulového vrchlíku a objem kul.
úseče, je-li poloměr koule 10 cm a výška kulové
úseče 6 cm.
S = 377 cm2, V = 904 cm3
Př. 7: Vypočtěte objem kulové vrstvy, mají-li podstavy
poloměry 13,2 cm a 10 cm a poloměr koule je
26 cm.
691 cm3
Slide 15
TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM
A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČR
Poznámky ve formátu PDF
Mgr. Martina Fainová
KOULE
KOULE
= množina bodů v prostoru, které mají od daného
pevného bodu S vzdálenost menší nebo rovnu
kladnému číslu r
= těleso, které vznikne rotací půlkruhu kolem
přímky, která obsahuje jeho průměr
Značení:
K(S;r)
S – střed koule
r – poloměr koule (SA, SB)
MM – průměr koule
hranice koule – kulová plocha
Kulová plocha
= množina bodů v prostoru, které mají od daného
pevného bodu S vzdálenost r > 0
– vznikne rotací půlkružnice
– střed koule je také středem kulové plochy
– kružnice kulové plochy ležící v rovině
procházející středem je hlavní kružnice
– kružnice kulové plochy, která neleží v rovině
procházející středem, je vedlejší kružnice
Vlastnosti koule
je dokonale symetrická
je středově souměrná podle středu S
je osově souměrná podle lib. přímky procházející středem S
je rovinově souměrná podle lib. roviny procházející S
povrch koule tvoří kulová plocha se stejným středem
a poloměrem
libovolným řezem koule je kružnice
Poznámka: Rotací kruhu kolem přímky, která
leží v rovině kruhu a kruh neprotíná, vznikne anuloid.
Kulový vrchlík
= část kulové plochy omezená její libov. kružnicí
= průnik kulové plochy a poloprostoru s hraniční
rovinou obsahující kružnici k
(tato rovina rozdělí kul. plochu na dva kul. vrchlíky)
kružnice = hrana kul. vrchlíku
– poloměr hraniční kružnice
r – poloměr kulové plochy
v – výška vrchlíku
Kulová úseč
= část koule omezená její libov. kružnicí
= průnik koule a poloprostoru, jehož hraniční
rovina protíná kouli v kruhu o poloměru
kul. vrchlík a kruh tvoří hranici kul. úseče
kruh = podstava kul. úseče
– poloměr podstavy
r – poloměr koule
v – výška kul. úseče
Kulová výseč
= sjednocení kulové úseče a rotačního kužele,
který má s kul. úsečí společnou podstavu
a jeho vrchol je středem příslušné koule
hranicí je plášť kužele a kulový vrchlík
– poloměr hraniční kružnice
r – poloměr koule
v – výška kul. výseče
Kulová vrstva, kulový pás
Kulový pás
= průnik kulové plochy a vrstvy s hraničními rovinami,
jejichž vzdálenosti od středu jsou menší než poloměr
Kulová vrstva
= průnik koule a vrstvy s hraničními rovinami, jejichž
vzdálenosti od středu jsou menší než poloměr koule
r – poloměr koule
O1,O2= středy hranič. kružnic
1,2 – poloměry hran. kružnic
v – výška kul. vrstvy (pásu)
Příklad:
a)
b)
Koule se středem S a poloměrem 15 cm je
položená na vodorovné rovině a osvětlena
zdrojem Z; SZ, |Z|=h =45 cm. Určete:
poloměr kružnice ohraničující osvětlenou část koule a výšku
osvětlené části koule,
obsah vrženého stínu koule na rovinu .
Řešení:
a) osvětlená část koule = kul. vrchlík o výšce v
∆STZ:
∆STO:
= (h-r) (r-v)
v = 7,5 (cm)
r2
r2
(r-v)2+2
=
= 13 (cm)
Z
h-r
EVo
r-v
T
r
S
b) vržený stín = obsah kruhu se středem O´
∆ZOT
∆ZO´T´
S = 2120 (cm2)
l
h
h 2r v
l = 26 (cm)
?l
ZT tečna kul. plochy
Cvičení
Př. 1: Kulová úseč má poloměr podstavy 8 cm a výšku
5 cm. Vypočtěte poloměr koule, jejíž částí je
8,9 cm
kulová úseč.
Př. 2: Ve vzdálenosti 10 cm od středu koule s poloměrem
20 cm veďte rovinu řezu. Vypočítejte poloměr řezu.
10 3
Př. 3: Je dána krychle s hranou délky a. Vypočítejte
poloměr koule, která je krychli opsaná a vepsaná.
a
3
2
,
a
2
Objem koule a jejích částí
Koule:
V
4
r
3
r - poloměr koule
3
Kulová úseč: V
v
6
Kulová výseč: V
Kulová vrstva: V
2
3
2
v
r v
3
6
3
podstavy úseče
v - výška úseče
r - poloměr koule
v - výška výseče
2
v
2
- poloměr
2
1
3 v
2
2
2
1, 2 - poloměry podstav vrstvy
v - výška vrstvy
Povrch koule a jejích částí
r - poloměr koule
S 4 r
Poznámka: Povrch koule = obsah kulové plochy se stejným r
2
Koule:
Kulový vrchlík nebo kulový pás:
S 2 rv
r - poloměr kulové plochy
v - výška vrchlíku (pásu)
Objem a povrch anuloidu:
V 2 r R
2
2
S 4 Rr
2
r - poloměr kruhu pro rotaci
R - vzdálenost středu kruhu od osy rotace
Nakloníme-li o 30 nádobu tvaru polokoule,
která byla zcela naplněna vodou, vyteče z ní
3,3 l vody. Kolik litrů vody v ní zůstane?
Příklad:
Řešení:
Zbytek vody v nádobě má tvar kulové úseče:
?
r1,v
V
v
6
V 5
3 r
2
1
1
24
?
v
2
r
3
r
2
2
2 3 3 r r 5 r 3
6
2
2 24
1,5 l
r
v
∆SAB je rovnostranný
r
v
2
r1
sin 60
r1
r
Při naklonění vyteče 3,3 l,
tj. V polokoule V úseče:
2
3
r
3
5
24
3
r
2
r 3 ,3 l
3
r1
1
24
r 0 ,3 l
3
Cvičení
Př. 1: Kolikrát se zmenší objem a povrch koule, jestliže
se její poloměr zmenší třikrát?
27, 9
Př. 2: Jakou hmotnost má planeta Země, je-li její
asi 5,991024 kg
průměrná hustota 5,52 g/cm3.
Př. 3: Jak vysoko musí být letec, má-li vidět 0,001
asi 12,7 km
zemského povrchu?
Př. 4: Vypočtěte objem a povrch kulové výseče, má-li
kul. úseč, která je částí výseče, poloměr podstavy
6 cm a výšku 2 cm.
V = 419 cm3; S = 314,16 cm2
Cvičení
Př. 5: Činka se skládá ze dvou koulí a spojovací tyče
délky 60 cm s průměrem 32 mm. Jaký je průměr
koulí, je-li hmotnost činky 50 kg a hustota
asi 17,8 cm
materiálu 7,8 g/cm3?
Př. 6: Vypočítejte povrch kulového vrchlíku a objem kul.
úseče, je-li poloměr koule 10 cm a výška kulové
úseče 6 cm.
S = 377 cm2, V = 904 cm3
Př. 7: Vypočtěte objem kulové vrstvy, mají-li podstavy
poloměry 13,2 cm a 10 cm a poloměr koule je
26 cm.
691 cm3
TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM
A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČR
Poznámky ve formátu PDF
Mgr. Martina Fainová
KOULE
KOULE
= množina bodů v prostoru, které mají od daného
pevného bodu S vzdálenost menší nebo rovnu
kladnému číslu r
= těleso, které vznikne rotací půlkruhu kolem
přímky, která obsahuje jeho průměr
Značení:
K(S;r)
S – střed koule
r – poloměr koule (SA, SB)
MM – průměr koule
hranice koule – kulová plocha
Kulová plocha
= množina bodů v prostoru, které mají od daného
pevného bodu S vzdálenost r > 0
– vznikne rotací půlkružnice
– střed koule je také středem kulové plochy
– kružnice kulové plochy ležící v rovině
procházející středem je hlavní kružnice
– kružnice kulové plochy, která neleží v rovině
procházející středem, je vedlejší kružnice
Vlastnosti koule
je dokonale symetrická
je středově souměrná podle středu S
je osově souměrná podle lib. přímky procházející středem S
je rovinově souměrná podle lib. roviny procházející S
povrch koule tvoří kulová plocha se stejným středem
a poloměrem
libovolným řezem koule je kružnice
Poznámka: Rotací kruhu kolem přímky, která
leží v rovině kruhu a kruh neprotíná, vznikne anuloid.
Kulový vrchlík
= část kulové plochy omezená její libov. kružnicí
= průnik kulové plochy a poloprostoru s hraniční
rovinou obsahující kružnici k
(tato rovina rozdělí kul. plochu na dva kul. vrchlíky)
kružnice = hrana kul. vrchlíku
– poloměr hraniční kružnice
r – poloměr kulové plochy
v – výška vrchlíku
Kulová úseč
= část koule omezená její libov. kružnicí
= průnik koule a poloprostoru, jehož hraniční
rovina protíná kouli v kruhu o poloměru
kul. vrchlík a kruh tvoří hranici kul. úseče
kruh = podstava kul. úseče
– poloměr podstavy
r – poloměr koule
v – výška kul. úseče
Kulová výseč
= sjednocení kulové úseče a rotačního kužele,
který má s kul. úsečí společnou podstavu
a jeho vrchol je středem příslušné koule
hranicí je plášť kužele a kulový vrchlík
– poloměr hraniční kružnice
r – poloměr koule
v – výška kul. výseče
Kulová vrstva, kulový pás
Kulový pás
= průnik kulové plochy a vrstvy s hraničními rovinami,
jejichž vzdálenosti od středu jsou menší než poloměr
Kulová vrstva
= průnik koule a vrstvy s hraničními rovinami, jejichž
vzdálenosti od středu jsou menší než poloměr koule
r – poloměr koule
O1,O2= středy hranič. kružnic
1,2 – poloměry hran. kružnic
v – výška kul. vrstvy (pásu)
Příklad:
a)
b)
Koule se středem S a poloměrem 15 cm je
položená na vodorovné rovině a osvětlena
zdrojem Z; SZ, |Z|=h =45 cm. Určete:
poloměr kružnice ohraničující osvětlenou část koule a výšku
osvětlené části koule,
obsah vrženého stínu koule na rovinu .
Řešení:
a) osvětlená část koule = kul. vrchlík o výšce v
∆STZ:
∆STO:
= (h-r) (r-v)
v = 7,5 (cm)
r2
r2
(r-v)2+2
=
= 13 (cm)
Z
h-r
EVo
r-v
T
r
S
b) vržený stín = obsah kruhu se středem O´
∆ZOT
∆ZO´T´
S = 2120 (cm2)
l
h
h 2r v
l = 26 (cm)
?l
ZT tečna kul. plochy
Cvičení
Př. 1: Kulová úseč má poloměr podstavy 8 cm a výšku
5 cm. Vypočtěte poloměr koule, jejíž částí je
8,9 cm
kulová úseč.
Př. 2: Ve vzdálenosti 10 cm od středu koule s poloměrem
20 cm veďte rovinu řezu. Vypočítejte poloměr řezu.
10 3
Př. 3: Je dána krychle s hranou délky a. Vypočítejte
poloměr koule, která je krychli opsaná a vepsaná.
a
3
2
,
a
2
Objem koule a jejích částí
Koule:
V
4
r
3
r - poloměr koule
3
Kulová úseč: V
v
6
Kulová výseč: V
Kulová vrstva: V
2
3
2
v
r v
3
6
3
podstavy úseče
v - výška úseče
r - poloměr koule
v - výška výseče
2
v
2
- poloměr
2
1
3 v
2
2
2
1, 2 - poloměry podstav vrstvy
v - výška vrstvy
Povrch koule a jejích částí
r - poloměr koule
S 4 r
Poznámka: Povrch koule = obsah kulové plochy se stejným r
2
Koule:
Kulový vrchlík nebo kulový pás:
S 2 rv
r - poloměr kulové plochy
v - výška vrchlíku (pásu)
Objem a povrch anuloidu:
V 2 r R
2
2
S 4 Rr
2
r - poloměr kruhu pro rotaci
R - vzdálenost středu kruhu od osy rotace
Nakloníme-li o 30 nádobu tvaru polokoule,
která byla zcela naplněna vodou, vyteče z ní
3,3 l vody. Kolik litrů vody v ní zůstane?
Příklad:
Řešení:
Zbytek vody v nádobě má tvar kulové úseče:
?
r1,v
V
v
6
V 5
3 r
2
1
1
24
?
v
2
r
3
r
2
2
2 3 3 r r 5 r 3
6
2
2 24
1,5 l
r
v
∆SAB je rovnostranný
r
v
2
r1
sin 60
r1
r
Při naklonění vyteče 3,3 l,
tj. V polokoule V úseče:
2
3
r
3
5
24
3
r
2
r 3 ,3 l
3
r1
1
24
r 0 ,3 l
3
Cvičení
Př. 1: Kolikrát se zmenší objem a povrch koule, jestliže
se její poloměr zmenší třikrát?
27, 9
Př. 2: Jakou hmotnost má planeta Země, je-li její
asi 5,991024 kg
průměrná hustota 5,52 g/cm3.
Př. 3: Jak vysoko musí být letec, má-li vidět 0,001
asi 12,7 km
zemského povrchu?
Př. 4: Vypočtěte objem a povrch kulové výseče, má-li
kul. úseč, která je částí výseče, poloměr podstavy
6 cm a výšku 2 cm.
V = 419 cm3; S = 314,16 cm2
Cvičení
Př. 5: Činka se skládá ze dvou koulí a spojovací tyče
délky 60 cm s průměrem 32 mm. Jaký je průměr
koulí, je-li hmotnost činky 50 kg a hustota
asi 17,8 cm
materiálu 7,8 g/cm3?
Př. 6: Vypočítejte povrch kulového vrchlíku a objem kul.
úseče, je-li poloměr koule 10 cm a výška kulové
úseče 6 cm.
S = 377 cm2, V = 904 cm3
Př. 7: Vypočtěte objem kulové vrstvy, mají-li podstavy
poloměry 13,2 cm a 10 cm a poloměr koule je
26 cm.
691 cm3
Slide 2
TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM
A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČR
Poznámky ve formátu PDF
Mgr. Martina Fainová
KOULE
KOULE
= množina bodů v prostoru, které mají od daného
pevného bodu S vzdálenost menší nebo rovnu
kladnému číslu r
= těleso, které vznikne rotací půlkruhu kolem
přímky, která obsahuje jeho průměr
Značení:
K(S;r)
S – střed koule
r – poloměr koule (SA, SB)
MM – průměr koule
hranice koule – kulová plocha
Kulová plocha
= množina bodů v prostoru, které mají od daného
pevného bodu S vzdálenost r > 0
– vznikne rotací půlkružnice
– střed koule je také středem kulové plochy
– kružnice kulové plochy ležící v rovině
procházející středem je hlavní kružnice
– kružnice kulové plochy, která neleží v rovině
procházející středem, je vedlejší kružnice
Vlastnosti koule
je dokonale symetrická
je středově souměrná podle středu S
je osově souměrná podle lib. přímky procházející středem S
je rovinově souměrná podle lib. roviny procházející S
povrch koule tvoří kulová plocha se stejným středem
a poloměrem
libovolným řezem koule je kružnice
Poznámka: Rotací kruhu kolem přímky, která
leží v rovině kruhu a kruh neprotíná, vznikne anuloid.
Kulový vrchlík
= část kulové plochy omezená její libov. kružnicí
= průnik kulové plochy a poloprostoru s hraniční
rovinou obsahující kružnici k
(tato rovina rozdělí kul. plochu na dva kul. vrchlíky)
kružnice = hrana kul. vrchlíku
– poloměr hraniční kružnice
r – poloměr kulové plochy
v – výška vrchlíku
Kulová úseč
= část koule omezená její libov. kružnicí
= průnik koule a poloprostoru, jehož hraniční
rovina protíná kouli v kruhu o poloměru
kul. vrchlík a kruh tvoří hranici kul. úseče
kruh = podstava kul. úseče
– poloměr podstavy
r – poloměr koule
v – výška kul. úseče
Kulová výseč
= sjednocení kulové úseče a rotačního kužele,
který má s kul. úsečí společnou podstavu
a jeho vrchol je středem příslušné koule
hranicí je plášť kužele a kulový vrchlík
– poloměr hraniční kružnice
r – poloměr koule
v – výška kul. výseče
Kulová vrstva, kulový pás
Kulový pás
= průnik kulové plochy a vrstvy s hraničními rovinami,
jejichž vzdálenosti od středu jsou menší než poloměr
Kulová vrstva
= průnik koule a vrstvy s hraničními rovinami, jejichž
vzdálenosti od středu jsou menší než poloměr koule
r – poloměr koule
O1,O2= středy hranič. kružnic
1,2 – poloměry hran. kružnic
v – výška kul. vrstvy (pásu)
Příklad:
a)
b)
Koule se středem S a poloměrem 15 cm je
položená na vodorovné rovině a osvětlena
zdrojem Z; SZ, |Z|=h =45 cm. Určete:
poloměr kružnice ohraničující osvětlenou část koule a výšku
osvětlené části koule,
obsah vrženého stínu koule na rovinu .
Řešení:
a) osvětlená část koule = kul. vrchlík o výšce v
∆STZ:
∆STO:
= (h-r) (r-v)
v = 7,5 (cm)
r2
r2
(r-v)2+2
=
= 13 (cm)
Z
h-r
EVo
r-v
T
r
S
b) vržený stín = obsah kruhu se středem O´
∆ZOT
∆ZO´T´
S = 2120 (cm2)
l
h
h 2r v
l = 26 (cm)
?l
ZT tečna kul. plochy
Cvičení
Př. 1: Kulová úseč má poloměr podstavy 8 cm a výšku
5 cm. Vypočtěte poloměr koule, jejíž částí je
8,9 cm
kulová úseč.
Př. 2: Ve vzdálenosti 10 cm od středu koule s poloměrem
20 cm veďte rovinu řezu. Vypočítejte poloměr řezu.
10 3
Př. 3: Je dána krychle s hranou délky a. Vypočítejte
poloměr koule, která je krychli opsaná a vepsaná.
a
3
2
,
a
2
Objem koule a jejích částí
Koule:
V
4
r
3
r - poloměr koule
3
Kulová úseč: V
v
6
Kulová výseč: V
Kulová vrstva: V
2
3
2
v
r v
3
6
3
podstavy úseče
v - výška úseče
r - poloměr koule
v - výška výseče
2
v
2
- poloměr
2
1
3 v
2
2
2
1, 2 - poloměry podstav vrstvy
v - výška vrstvy
Povrch koule a jejích částí
r - poloměr koule
S 4 r
Poznámka: Povrch koule = obsah kulové plochy se stejným r
2
Koule:
Kulový vrchlík nebo kulový pás:
S 2 rv
r - poloměr kulové plochy
v - výška vrchlíku (pásu)
Objem a povrch anuloidu:
V 2 r R
2
2
S 4 Rr
2
r - poloměr kruhu pro rotaci
R - vzdálenost středu kruhu od osy rotace
Nakloníme-li o 30 nádobu tvaru polokoule,
která byla zcela naplněna vodou, vyteče z ní
3,3 l vody. Kolik litrů vody v ní zůstane?
Příklad:
Řešení:
Zbytek vody v nádobě má tvar kulové úseče:
?
r1,v
V
v
6
V 5
3 r
2
1
1
24
?
v
2
r
3
r
2
2
2 3 3 r r 5 r 3
6
2
2 24
1,5 l
r
v
∆SAB je rovnostranný
r
v
2
r1
sin 60
r1
r
Při naklonění vyteče 3,3 l,
tj. V polokoule V úseče:
2
3
r
3
5
24
3
r
2
r 3 ,3 l
3
r1
1
24
r 0 ,3 l
3
Cvičení
Př. 1: Kolikrát se zmenší objem a povrch koule, jestliže
se její poloměr zmenší třikrát?
27, 9
Př. 2: Jakou hmotnost má planeta Země, je-li její
asi 5,991024 kg
průměrná hustota 5,52 g/cm3.
Př. 3: Jak vysoko musí být letec, má-li vidět 0,001
asi 12,7 km
zemského povrchu?
Př. 4: Vypočtěte objem a povrch kulové výseče, má-li
kul. úseč, která je částí výseče, poloměr podstavy
6 cm a výšku 2 cm.
V = 419 cm3; S = 314,16 cm2
Cvičení
Př. 5: Činka se skládá ze dvou koulí a spojovací tyče
délky 60 cm s průměrem 32 mm. Jaký je průměr
koulí, je-li hmotnost činky 50 kg a hustota
asi 17,8 cm
materiálu 7,8 g/cm3?
Př. 6: Vypočítejte povrch kulového vrchlíku a objem kul.
úseče, je-li poloměr koule 10 cm a výška kulové
úseče 6 cm.
S = 377 cm2, V = 904 cm3
Př. 7: Vypočtěte objem kulové vrstvy, mají-li podstavy
poloměry 13,2 cm a 10 cm a poloměr koule je
26 cm.
691 cm3
Slide 3
TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM
A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČR
Poznámky ve formátu PDF
Mgr. Martina Fainová
KOULE
KOULE
= množina bodů v prostoru, které mají od daného
pevného bodu S vzdálenost menší nebo rovnu
kladnému číslu r
= těleso, které vznikne rotací půlkruhu kolem
přímky, která obsahuje jeho průměr
Značení:
K(S;r)
S – střed koule
r – poloměr koule (SA, SB)
MM – průměr koule
hranice koule – kulová plocha
Kulová plocha
= množina bodů v prostoru, které mají od daného
pevného bodu S vzdálenost r > 0
– vznikne rotací půlkružnice
– střed koule je také středem kulové plochy
– kružnice kulové plochy ležící v rovině
procházející středem je hlavní kružnice
– kružnice kulové plochy, která neleží v rovině
procházející středem, je vedlejší kružnice
Vlastnosti koule
je dokonale symetrická
je středově souměrná podle středu S
je osově souměrná podle lib. přímky procházející středem S
je rovinově souměrná podle lib. roviny procházející S
povrch koule tvoří kulová plocha se stejným středem
a poloměrem
libovolným řezem koule je kružnice
Poznámka: Rotací kruhu kolem přímky, která
leží v rovině kruhu a kruh neprotíná, vznikne anuloid.
Kulový vrchlík
= část kulové plochy omezená její libov. kružnicí
= průnik kulové plochy a poloprostoru s hraniční
rovinou obsahující kružnici k
(tato rovina rozdělí kul. plochu na dva kul. vrchlíky)
kružnice = hrana kul. vrchlíku
– poloměr hraniční kružnice
r – poloměr kulové plochy
v – výška vrchlíku
Kulová úseč
= část koule omezená její libov. kružnicí
= průnik koule a poloprostoru, jehož hraniční
rovina protíná kouli v kruhu o poloměru
kul. vrchlík a kruh tvoří hranici kul. úseče
kruh = podstava kul. úseče
– poloměr podstavy
r – poloměr koule
v – výška kul. úseče
Kulová výseč
= sjednocení kulové úseče a rotačního kužele,
který má s kul. úsečí společnou podstavu
a jeho vrchol je středem příslušné koule
hranicí je plášť kužele a kulový vrchlík
– poloměr hraniční kružnice
r – poloměr koule
v – výška kul. výseče
Kulová vrstva, kulový pás
Kulový pás
= průnik kulové plochy a vrstvy s hraničními rovinami,
jejichž vzdálenosti od středu jsou menší než poloměr
Kulová vrstva
= průnik koule a vrstvy s hraničními rovinami, jejichž
vzdálenosti od středu jsou menší než poloměr koule
r – poloměr koule
O1,O2= středy hranič. kružnic
1,2 – poloměry hran. kružnic
v – výška kul. vrstvy (pásu)
Příklad:
a)
b)
Koule se středem S a poloměrem 15 cm je
položená na vodorovné rovině a osvětlena
zdrojem Z; SZ, |Z|=h =45 cm. Určete:
poloměr kružnice ohraničující osvětlenou část koule a výšku
osvětlené části koule,
obsah vrženého stínu koule na rovinu .
Řešení:
a) osvětlená část koule = kul. vrchlík o výšce v
∆STZ:
∆STO:
= (h-r) (r-v)
v = 7,5 (cm)
r2
r2
(r-v)2+2
=
= 13 (cm)
Z
h-r
EVo
r-v
T
r
S
b) vržený stín = obsah kruhu se středem O´
∆ZOT
∆ZO´T´
S = 2120 (cm2)
l
h
h 2r v
l = 26 (cm)
?l
ZT tečna kul. plochy
Cvičení
Př. 1: Kulová úseč má poloměr podstavy 8 cm a výšku
5 cm. Vypočtěte poloměr koule, jejíž částí je
8,9 cm
kulová úseč.
Př. 2: Ve vzdálenosti 10 cm od středu koule s poloměrem
20 cm veďte rovinu řezu. Vypočítejte poloměr řezu.
10 3
Př. 3: Je dána krychle s hranou délky a. Vypočítejte
poloměr koule, která je krychli opsaná a vepsaná.
a
3
2
,
a
2
Objem koule a jejích částí
Koule:
V
4
r
3
r - poloměr koule
3
Kulová úseč: V
v
6
Kulová výseč: V
Kulová vrstva: V
2
3
2
v
r v
3
6
3
podstavy úseče
v - výška úseče
r - poloměr koule
v - výška výseče
2
v
2
- poloměr
2
1
3 v
2
2
2
1, 2 - poloměry podstav vrstvy
v - výška vrstvy
Povrch koule a jejích částí
r - poloměr koule
S 4 r
Poznámka: Povrch koule = obsah kulové plochy se stejným r
2
Koule:
Kulový vrchlík nebo kulový pás:
S 2 rv
r - poloměr kulové plochy
v - výška vrchlíku (pásu)
Objem a povrch anuloidu:
V 2 r R
2
2
S 4 Rr
2
r - poloměr kruhu pro rotaci
R - vzdálenost středu kruhu od osy rotace
Nakloníme-li o 30 nádobu tvaru polokoule,
která byla zcela naplněna vodou, vyteče z ní
3,3 l vody. Kolik litrů vody v ní zůstane?
Příklad:
Řešení:
Zbytek vody v nádobě má tvar kulové úseče:
?
r1,v
V
v
6
V 5
3 r
2
1
1
24
?
v
2
r
3
r
2
2
2 3 3 r r 5 r 3
6
2
2 24
1,5 l
r
v
∆SAB je rovnostranný
r
v
2
r1
sin 60
r1
r
Při naklonění vyteče 3,3 l,
tj. V polokoule V úseče:
2
3
r
3
5
24
3
r
2
r 3 ,3 l
3
r1
1
24
r 0 ,3 l
3
Cvičení
Př. 1: Kolikrát se zmenší objem a povrch koule, jestliže
se její poloměr zmenší třikrát?
27, 9
Př. 2: Jakou hmotnost má planeta Země, je-li její
asi 5,991024 kg
průměrná hustota 5,52 g/cm3.
Př. 3: Jak vysoko musí být letec, má-li vidět 0,001
asi 12,7 km
zemského povrchu?
Př. 4: Vypočtěte objem a povrch kulové výseče, má-li
kul. úseč, která je částí výseče, poloměr podstavy
6 cm a výšku 2 cm.
V = 419 cm3; S = 314,16 cm2
Cvičení
Př. 5: Činka se skládá ze dvou koulí a spojovací tyče
délky 60 cm s průměrem 32 mm. Jaký je průměr
koulí, je-li hmotnost činky 50 kg a hustota
asi 17,8 cm
materiálu 7,8 g/cm3?
Př. 6: Vypočítejte povrch kulového vrchlíku a objem kul.
úseče, je-li poloměr koule 10 cm a výška kulové
úseče 6 cm.
S = 377 cm2, V = 904 cm3
Př. 7: Vypočtěte objem kulové vrstvy, mají-li podstavy
poloměry 13,2 cm a 10 cm a poloměr koule je
26 cm.
691 cm3
Slide 4
TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM
A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČR
Poznámky ve formátu PDF
Mgr. Martina Fainová
KOULE
KOULE
= množina bodů v prostoru, které mají od daného
pevného bodu S vzdálenost menší nebo rovnu
kladnému číslu r
= těleso, které vznikne rotací půlkruhu kolem
přímky, která obsahuje jeho průměr
Značení:
K(S;r)
S – střed koule
r – poloměr koule (SA, SB)
MM – průměr koule
hranice koule – kulová plocha
Kulová plocha
= množina bodů v prostoru, které mají od daného
pevného bodu S vzdálenost r > 0
– vznikne rotací půlkružnice
– střed koule je také středem kulové plochy
– kružnice kulové plochy ležící v rovině
procházející středem je hlavní kružnice
– kružnice kulové plochy, která neleží v rovině
procházející středem, je vedlejší kružnice
Vlastnosti koule
je dokonale symetrická
je středově souměrná podle středu S
je osově souměrná podle lib. přímky procházející středem S
je rovinově souměrná podle lib. roviny procházející S
povrch koule tvoří kulová plocha se stejným středem
a poloměrem
libovolným řezem koule je kružnice
Poznámka: Rotací kruhu kolem přímky, která
leží v rovině kruhu a kruh neprotíná, vznikne anuloid.
Kulový vrchlík
= část kulové plochy omezená její libov. kružnicí
= průnik kulové plochy a poloprostoru s hraniční
rovinou obsahující kružnici k
(tato rovina rozdělí kul. plochu na dva kul. vrchlíky)
kružnice = hrana kul. vrchlíku
– poloměr hraniční kružnice
r – poloměr kulové plochy
v – výška vrchlíku
Kulová úseč
= část koule omezená její libov. kružnicí
= průnik koule a poloprostoru, jehož hraniční
rovina protíná kouli v kruhu o poloměru
kul. vrchlík a kruh tvoří hranici kul. úseče
kruh = podstava kul. úseče
– poloměr podstavy
r – poloměr koule
v – výška kul. úseče
Kulová výseč
= sjednocení kulové úseče a rotačního kužele,
který má s kul. úsečí společnou podstavu
a jeho vrchol je středem příslušné koule
hranicí je plášť kužele a kulový vrchlík
– poloměr hraniční kružnice
r – poloměr koule
v – výška kul. výseče
Kulová vrstva, kulový pás
Kulový pás
= průnik kulové plochy a vrstvy s hraničními rovinami,
jejichž vzdálenosti od středu jsou menší než poloměr
Kulová vrstva
= průnik koule a vrstvy s hraničními rovinami, jejichž
vzdálenosti od středu jsou menší než poloměr koule
r – poloměr koule
O1,O2= středy hranič. kružnic
1,2 – poloměry hran. kružnic
v – výška kul. vrstvy (pásu)
Příklad:
a)
b)
Koule se středem S a poloměrem 15 cm je
položená na vodorovné rovině a osvětlena
zdrojem Z; SZ, |Z|=h =45 cm. Určete:
poloměr kružnice ohraničující osvětlenou část koule a výšku
osvětlené části koule,
obsah vrženého stínu koule na rovinu .
Řešení:
a) osvětlená část koule = kul. vrchlík o výšce v
∆STZ:
∆STO:
= (h-r) (r-v)
v = 7,5 (cm)
r2
r2
(r-v)2+2
=
= 13 (cm)
Z
h-r
EVo
r-v
T
r
S
b) vržený stín = obsah kruhu se středem O´
∆ZOT
∆ZO´T´
S = 2120 (cm2)
l
h
h 2r v
l = 26 (cm)
?l
ZT tečna kul. plochy
Cvičení
Př. 1: Kulová úseč má poloměr podstavy 8 cm a výšku
5 cm. Vypočtěte poloměr koule, jejíž částí je
8,9 cm
kulová úseč.
Př. 2: Ve vzdálenosti 10 cm od středu koule s poloměrem
20 cm veďte rovinu řezu. Vypočítejte poloměr řezu.
10 3
Př. 3: Je dána krychle s hranou délky a. Vypočítejte
poloměr koule, která je krychli opsaná a vepsaná.
a
3
2
,
a
2
Objem koule a jejích částí
Koule:
V
4
r
3
r - poloměr koule
3
Kulová úseč: V
v
6
Kulová výseč: V
Kulová vrstva: V
2
3
2
v
r v
3
6
3
podstavy úseče
v - výška úseče
r - poloměr koule
v - výška výseče
2
v
2
- poloměr
2
1
3 v
2
2
2
1, 2 - poloměry podstav vrstvy
v - výška vrstvy
Povrch koule a jejích částí
r - poloměr koule
S 4 r
Poznámka: Povrch koule = obsah kulové plochy se stejným r
2
Koule:
Kulový vrchlík nebo kulový pás:
S 2 rv
r - poloměr kulové plochy
v - výška vrchlíku (pásu)
Objem a povrch anuloidu:
V 2 r R
2
2
S 4 Rr
2
r - poloměr kruhu pro rotaci
R - vzdálenost středu kruhu od osy rotace
Nakloníme-li o 30 nádobu tvaru polokoule,
která byla zcela naplněna vodou, vyteče z ní
3,3 l vody. Kolik litrů vody v ní zůstane?
Příklad:
Řešení:
Zbytek vody v nádobě má tvar kulové úseče:
?
r1,v
V
v
6
V 5
3 r
2
1
1
24
?
v
2
r
3
r
2
2
2 3 3 r r 5 r 3
6
2
2 24
1,5 l
r
v
∆SAB je rovnostranný
r
v
2
r1
sin 60
r1
r
Při naklonění vyteče 3,3 l,
tj. V polokoule V úseče:
2
3
r
3
5
24
3
r
2
r 3 ,3 l
3
r1
1
24
r 0 ,3 l
3
Cvičení
Př. 1: Kolikrát se zmenší objem a povrch koule, jestliže
se její poloměr zmenší třikrát?
27, 9
Př. 2: Jakou hmotnost má planeta Země, je-li její
asi 5,991024 kg
průměrná hustota 5,52 g/cm3.
Př. 3: Jak vysoko musí být letec, má-li vidět 0,001
asi 12,7 km
zemského povrchu?
Př. 4: Vypočtěte objem a povrch kulové výseče, má-li
kul. úseč, která je částí výseče, poloměr podstavy
6 cm a výšku 2 cm.
V = 419 cm3; S = 314,16 cm2
Cvičení
Př. 5: Činka se skládá ze dvou koulí a spojovací tyče
délky 60 cm s průměrem 32 mm. Jaký je průměr
koulí, je-li hmotnost činky 50 kg a hustota
asi 17,8 cm
materiálu 7,8 g/cm3?
Př. 6: Vypočítejte povrch kulového vrchlíku a objem kul.
úseče, je-li poloměr koule 10 cm a výška kulové
úseče 6 cm.
S = 377 cm2, V = 904 cm3
Př. 7: Vypočtěte objem kulové vrstvy, mají-li podstavy
poloměry 13,2 cm a 10 cm a poloměr koule je
26 cm.
691 cm3
Slide 5
TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM
A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČR
Poznámky ve formátu PDF
Mgr. Martina Fainová
KOULE
KOULE
= množina bodů v prostoru, které mají od daného
pevného bodu S vzdálenost menší nebo rovnu
kladnému číslu r
= těleso, které vznikne rotací půlkruhu kolem
přímky, která obsahuje jeho průměr
Značení:
K(S;r)
S – střed koule
r – poloměr koule (SA, SB)
MM – průměr koule
hranice koule – kulová plocha
Kulová plocha
= množina bodů v prostoru, které mají od daného
pevného bodu S vzdálenost r > 0
– vznikne rotací půlkružnice
– střed koule je také středem kulové plochy
– kružnice kulové plochy ležící v rovině
procházející středem je hlavní kružnice
– kružnice kulové plochy, která neleží v rovině
procházející středem, je vedlejší kružnice
Vlastnosti koule
je dokonale symetrická
je středově souměrná podle středu S
je osově souměrná podle lib. přímky procházející středem S
je rovinově souměrná podle lib. roviny procházející S
povrch koule tvoří kulová plocha se stejným středem
a poloměrem
libovolným řezem koule je kružnice
Poznámka: Rotací kruhu kolem přímky, která
leží v rovině kruhu a kruh neprotíná, vznikne anuloid.
Kulový vrchlík
= část kulové plochy omezená její libov. kružnicí
= průnik kulové plochy a poloprostoru s hraniční
rovinou obsahující kružnici k
(tato rovina rozdělí kul. plochu na dva kul. vrchlíky)
kružnice = hrana kul. vrchlíku
– poloměr hraniční kružnice
r – poloměr kulové plochy
v – výška vrchlíku
Kulová úseč
= část koule omezená její libov. kružnicí
= průnik koule a poloprostoru, jehož hraniční
rovina protíná kouli v kruhu o poloměru
kul. vrchlík a kruh tvoří hranici kul. úseče
kruh = podstava kul. úseče
– poloměr podstavy
r – poloměr koule
v – výška kul. úseče
Kulová výseč
= sjednocení kulové úseče a rotačního kužele,
který má s kul. úsečí společnou podstavu
a jeho vrchol je středem příslušné koule
hranicí je plášť kužele a kulový vrchlík
– poloměr hraniční kružnice
r – poloměr koule
v – výška kul. výseče
Kulová vrstva, kulový pás
Kulový pás
= průnik kulové plochy a vrstvy s hraničními rovinami,
jejichž vzdálenosti od středu jsou menší než poloměr
Kulová vrstva
= průnik koule a vrstvy s hraničními rovinami, jejichž
vzdálenosti od středu jsou menší než poloměr koule
r – poloměr koule
O1,O2= středy hranič. kružnic
1,2 – poloměry hran. kružnic
v – výška kul. vrstvy (pásu)
Příklad:
a)
b)
Koule se středem S a poloměrem 15 cm je
položená na vodorovné rovině a osvětlena
zdrojem Z; SZ, |Z|=h =45 cm. Určete:
poloměr kružnice ohraničující osvětlenou část koule a výšku
osvětlené části koule,
obsah vrženého stínu koule na rovinu .
Řešení:
a) osvětlená část koule = kul. vrchlík o výšce v
∆STZ:
∆STO:
= (h-r) (r-v)
v = 7,5 (cm)
r2
r2
(r-v)2+2
=
= 13 (cm)
Z
h-r
EVo
r-v
T
r
S
b) vržený stín = obsah kruhu se středem O´
∆ZOT
∆ZO´T´
S = 2120 (cm2)
l
h
h 2r v
l = 26 (cm)
?l
ZT tečna kul. plochy
Cvičení
Př. 1: Kulová úseč má poloměr podstavy 8 cm a výšku
5 cm. Vypočtěte poloměr koule, jejíž částí je
8,9 cm
kulová úseč.
Př. 2: Ve vzdálenosti 10 cm od středu koule s poloměrem
20 cm veďte rovinu řezu. Vypočítejte poloměr řezu.
10 3
Př. 3: Je dána krychle s hranou délky a. Vypočítejte
poloměr koule, která je krychli opsaná a vepsaná.
a
3
2
,
a
2
Objem koule a jejích částí
Koule:
V
4
r
3
r - poloměr koule
3
Kulová úseč: V
v
6
Kulová výseč: V
Kulová vrstva: V
2
3
2
v
r v
3
6
3
podstavy úseče
v - výška úseče
r - poloměr koule
v - výška výseče
2
v
2
- poloměr
2
1
3 v
2
2
2
1, 2 - poloměry podstav vrstvy
v - výška vrstvy
Povrch koule a jejích částí
r - poloměr koule
S 4 r
Poznámka: Povrch koule = obsah kulové plochy se stejným r
2
Koule:
Kulový vrchlík nebo kulový pás:
S 2 rv
r - poloměr kulové plochy
v - výška vrchlíku (pásu)
Objem a povrch anuloidu:
V 2 r R
2
2
S 4 Rr
2
r - poloměr kruhu pro rotaci
R - vzdálenost středu kruhu od osy rotace
Nakloníme-li o 30 nádobu tvaru polokoule,
která byla zcela naplněna vodou, vyteče z ní
3,3 l vody. Kolik litrů vody v ní zůstane?
Příklad:
Řešení:
Zbytek vody v nádobě má tvar kulové úseče:
?
r1,v
V
v
6
V 5
3 r
2
1
1
24
?
v
2
r
3
r
2
2
2 3 3 r r 5 r 3
6
2
2 24
1,5 l
r
v
∆SAB je rovnostranný
r
v
2
r1
sin 60
r1
r
Při naklonění vyteče 3,3 l,
tj. V polokoule V úseče:
2
3
r
3
5
24
3
r
2
r 3 ,3 l
3
r1
1
24
r 0 ,3 l
3
Cvičení
Př. 1: Kolikrát se zmenší objem a povrch koule, jestliže
se její poloměr zmenší třikrát?
27, 9
Př. 2: Jakou hmotnost má planeta Země, je-li její
asi 5,991024 kg
průměrná hustota 5,52 g/cm3.
Př. 3: Jak vysoko musí být letec, má-li vidět 0,001
asi 12,7 km
zemského povrchu?
Př. 4: Vypočtěte objem a povrch kulové výseče, má-li
kul. úseč, která je částí výseče, poloměr podstavy
6 cm a výšku 2 cm.
V = 419 cm3; S = 314,16 cm2
Cvičení
Př. 5: Činka se skládá ze dvou koulí a spojovací tyče
délky 60 cm s průměrem 32 mm. Jaký je průměr
koulí, je-li hmotnost činky 50 kg a hustota
asi 17,8 cm
materiálu 7,8 g/cm3?
Př. 6: Vypočítejte povrch kulového vrchlíku a objem kul.
úseče, je-li poloměr koule 10 cm a výška kulové
úseče 6 cm.
S = 377 cm2, V = 904 cm3
Př. 7: Vypočtěte objem kulové vrstvy, mají-li podstavy
poloměry 13,2 cm a 10 cm a poloměr koule je
26 cm.
691 cm3
Slide 6
TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM
A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČR
Poznámky ve formátu PDF
Mgr. Martina Fainová
KOULE
KOULE
= množina bodů v prostoru, které mají od daného
pevného bodu S vzdálenost menší nebo rovnu
kladnému číslu r
= těleso, které vznikne rotací půlkruhu kolem
přímky, která obsahuje jeho průměr
Značení:
K(S;r)
S – střed koule
r – poloměr koule (SA, SB)
MM – průměr koule
hranice koule – kulová plocha
Kulová plocha
= množina bodů v prostoru, které mají od daného
pevného bodu S vzdálenost r > 0
– vznikne rotací půlkružnice
– střed koule je také středem kulové plochy
– kružnice kulové plochy ležící v rovině
procházející středem je hlavní kružnice
– kružnice kulové plochy, která neleží v rovině
procházející středem, je vedlejší kružnice
Vlastnosti koule
je dokonale symetrická
je středově souměrná podle středu S
je osově souměrná podle lib. přímky procházející středem S
je rovinově souměrná podle lib. roviny procházející S
povrch koule tvoří kulová plocha se stejným středem
a poloměrem
libovolným řezem koule je kružnice
Poznámka: Rotací kruhu kolem přímky, která
leží v rovině kruhu a kruh neprotíná, vznikne anuloid.
Kulový vrchlík
= část kulové plochy omezená její libov. kružnicí
= průnik kulové plochy a poloprostoru s hraniční
rovinou obsahující kružnici k
(tato rovina rozdělí kul. plochu na dva kul. vrchlíky)
kružnice = hrana kul. vrchlíku
– poloměr hraniční kružnice
r – poloměr kulové plochy
v – výška vrchlíku
Kulová úseč
= část koule omezená její libov. kružnicí
= průnik koule a poloprostoru, jehož hraniční
rovina protíná kouli v kruhu o poloměru
kul. vrchlík a kruh tvoří hranici kul. úseče
kruh = podstava kul. úseče
– poloměr podstavy
r – poloměr koule
v – výška kul. úseče
Kulová výseč
= sjednocení kulové úseče a rotačního kužele,
který má s kul. úsečí společnou podstavu
a jeho vrchol je středem příslušné koule
hranicí je plášť kužele a kulový vrchlík
– poloměr hraniční kružnice
r – poloměr koule
v – výška kul. výseče
Kulová vrstva, kulový pás
Kulový pás
= průnik kulové plochy a vrstvy s hraničními rovinami,
jejichž vzdálenosti od středu jsou menší než poloměr
Kulová vrstva
= průnik koule a vrstvy s hraničními rovinami, jejichž
vzdálenosti od středu jsou menší než poloměr koule
r – poloměr koule
O1,O2= středy hranič. kružnic
1,2 – poloměry hran. kružnic
v – výška kul. vrstvy (pásu)
Příklad:
a)
b)
Koule se středem S a poloměrem 15 cm je
položená na vodorovné rovině a osvětlena
zdrojem Z; SZ, |Z|=h =45 cm. Určete:
poloměr kružnice ohraničující osvětlenou část koule a výšku
osvětlené části koule,
obsah vrženého stínu koule na rovinu .
Řešení:
a) osvětlená část koule = kul. vrchlík o výšce v
∆STZ:
∆STO:
= (h-r) (r-v)
v = 7,5 (cm)
r2
r2
(r-v)2+2
=
= 13 (cm)
Z
h-r
EVo
r-v
T
r
S
b) vržený stín = obsah kruhu se středem O´
∆ZOT
∆ZO´T´
S = 2120 (cm2)
l
h
h 2r v
l = 26 (cm)
?l
ZT tečna kul. plochy
Cvičení
Př. 1: Kulová úseč má poloměr podstavy 8 cm a výšku
5 cm. Vypočtěte poloměr koule, jejíž částí je
8,9 cm
kulová úseč.
Př. 2: Ve vzdálenosti 10 cm od středu koule s poloměrem
20 cm veďte rovinu řezu. Vypočítejte poloměr řezu.
10 3
Př. 3: Je dána krychle s hranou délky a. Vypočítejte
poloměr koule, která je krychli opsaná a vepsaná.
a
3
2
,
a
2
Objem koule a jejích částí
Koule:
V
4
r
3
r - poloměr koule
3
Kulová úseč: V
v
6
Kulová výseč: V
Kulová vrstva: V
2
3
2
v
r v
3
6
3
podstavy úseče
v - výška úseče
r - poloměr koule
v - výška výseče
2
v
2
- poloměr
2
1
3 v
2
2
2
1, 2 - poloměry podstav vrstvy
v - výška vrstvy
Povrch koule a jejích částí
r - poloměr koule
S 4 r
Poznámka: Povrch koule = obsah kulové plochy se stejným r
2
Koule:
Kulový vrchlík nebo kulový pás:
S 2 rv
r - poloměr kulové plochy
v - výška vrchlíku (pásu)
Objem a povrch anuloidu:
V 2 r R
2
2
S 4 Rr
2
r - poloměr kruhu pro rotaci
R - vzdálenost středu kruhu od osy rotace
Nakloníme-li o 30 nádobu tvaru polokoule,
která byla zcela naplněna vodou, vyteče z ní
3,3 l vody. Kolik litrů vody v ní zůstane?
Příklad:
Řešení:
Zbytek vody v nádobě má tvar kulové úseče:
?
r1,v
V
v
6
V 5
3 r
2
1
1
24
?
v
2
r
3
r
2
2
2 3 3 r r 5 r 3
6
2
2 24
1,5 l
r
v
∆SAB je rovnostranný
r
v
2
r1
sin 60
r1
r
Při naklonění vyteče 3,3 l,
tj. V polokoule V úseče:
2
3
r
3
5
24
3
r
2
r 3 ,3 l
3
r1
1
24
r 0 ,3 l
3
Cvičení
Př. 1: Kolikrát se zmenší objem a povrch koule, jestliže
se její poloměr zmenší třikrát?
27, 9
Př. 2: Jakou hmotnost má planeta Země, je-li její
asi 5,991024 kg
průměrná hustota 5,52 g/cm3.
Př. 3: Jak vysoko musí být letec, má-li vidět 0,001
asi 12,7 km
zemského povrchu?
Př. 4: Vypočtěte objem a povrch kulové výseče, má-li
kul. úseč, která je částí výseče, poloměr podstavy
6 cm a výšku 2 cm.
V = 419 cm3; S = 314,16 cm2
Cvičení
Př. 5: Činka se skládá ze dvou koulí a spojovací tyče
délky 60 cm s průměrem 32 mm. Jaký je průměr
koulí, je-li hmotnost činky 50 kg a hustota
asi 17,8 cm
materiálu 7,8 g/cm3?
Př. 6: Vypočítejte povrch kulového vrchlíku a objem kul.
úseče, je-li poloměr koule 10 cm a výška kulové
úseče 6 cm.
S = 377 cm2, V = 904 cm3
Př. 7: Vypočtěte objem kulové vrstvy, mají-li podstavy
poloměry 13,2 cm a 10 cm a poloměr koule je
26 cm.
691 cm3
Slide 7
TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM
A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČR
Poznámky ve formátu PDF
Mgr. Martina Fainová
KOULE
KOULE
= množina bodů v prostoru, které mají od daného
pevného bodu S vzdálenost menší nebo rovnu
kladnému číslu r
= těleso, které vznikne rotací půlkruhu kolem
přímky, která obsahuje jeho průměr
Značení:
K(S;r)
S – střed koule
r – poloměr koule (SA, SB)
MM – průměr koule
hranice koule – kulová plocha
Kulová plocha
= množina bodů v prostoru, které mají od daného
pevného bodu S vzdálenost r > 0
– vznikne rotací půlkružnice
– střed koule je také středem kulové plochy
– kružnice kulové plochy ležící v rovině
procházející středem je hlavní kružnice
– kružnice kulové plochy, která neleží v rovině
procházející středem, je vedlejší kružnice
Vlastnosti koule
je dokonale symetrická
je středově souměrná podle středu S
je osově souměrná podle lib. přímky procházející středem S
je rovinově souměrná podle lib. roviny procházející S
povrch koule tvoří kulová plocha se stejným středem
a poloměrem
libovolným řezem koule je kružnice
Poznámka: Rotací kruhu kolem přímky, která
leží v rovině kruhu a kruh neprotíná, vznikne anuloid.
Kulový vrchlík
= část kulové plochy omezená její libov. kružnicí
= průnik kulové plochy a poloprostoru s hraniční
rovinou obsahující kružnici k
(tato rovina rozdělí kul. plochu na dva kul. vrchlíky)
kružnice = hrana kul. vrchlíku
– poloměr hraniční kružnice
r – poloměr kulové plochy
v – výška vrchlíku
Kulová úseč
= část koule omezená její libov. kružnicí
= průnik koule a poloprostoru, jehož hraniční
rovina protíná kouli v kruhu o poloměru
kul. vrchlík a kruh tvoří hranici kul. úseče
kruh = podstava kul. úseče
– poloměr podstavy
r – poloměr koule
v – výška kul. úseče
Kulová výseč
= sjednocení kulové úseče a rotačního kužele,
který má s kul. úsečí společnou podstavu
a jeho vrchol je středem příslušné koule
hranicí je plášť kužele a kulový vrchlík
– poloměr hraniční kružnice
r – poloměr koule
v – výška kul. výseče
Kulová vrstva, kulový pás
Kulový pás
= průnik kulové plochy a vrstvy s hraničními rovinami,
jejichž vzdálenosti od středu jsou menší než poloměr
Kulová vrstva
= průnik koule a vrstvy s hraničními rovinami, jejichž
vzdálenosti od středu jsou menší než poloměr koule
r – poloměr koule
O1,O2= středy hranič. kružnic
1,2 – poloměry hran. kružnic
v – výška kul. vrstvy (pásu)
Příklad:
a)
b)
Koule se středem S a poloměrem 15 cm je
položená na vodorovné rovině a osvětlena
zdrojem Z; SZ, |Z|=h =45 cm. Určete:
poloměr kružnice ohraničující osvětlenou část koule a výšku
osvětlené části koule,
obsah vrženého stínu koule na rovinu .
Řešení:
a) osvětlená část koule = kul. vrchlík o výšce v
∆STZ:
∆STO:
= (h-r) (r-v)
v = 7,5 (cm)
r2
r2
(r-v)2+2
=
= 13 (cm)
Z
h-r
EVo
r-v
T
r
S
b) vržený stín = obsah kruhu se středem O´
∆ZOT
∆ZO´T´
S = 2120 (cm2)
l
h
h 2r v
l = 26 (cm)
?l
ZT tečna kul. plochy
Cvičení
Př. 1: Kulová úseč má poloměr podstavy 8 cm a výšku
5 cm. Vypočtěte poloměr koule, jejíž částí je
8,9 cm
kulová úseč.
Př. 2: Ve vzdálenosti 10 cm od středu koule s poloměrem
20 cm veďte rovinu řezu. Vypočítejte poloměr řezu.
10 3
Př. 3: Je dána krychle s hranou délky a. Vypočítejte
poloměr koule, která je krychli opsaná a vepsaná.
a
3
2
,
a
2
Objem koule a jejích částí
Koule:
V
4
r
3
r - poloměr koule
3
Kulová úseč: V
v
6
Kulová výseč: V
Kulová vrstva: V
2
3
2
v
r v
3
6
3
podstavy úseče
v - výška úseče
r - poloměr koule
v - výška výseče
2
v
2
- poloměr
2
1
3 v
2
2
2
1, 2 - poloměry podstav vrstvy
v - výška vrstvy
Povrch koule a jejích částí
r - poloměr koule
S 4 r
Poznámka: Povrch koule = obsah kulové plochy se stejným r
2
Koule:
Kulový vrchlík nebo kulový pás:
S 2 rv
r - poloměr kulové plochy
v - výška vrchlíku (pásu)
Objem a povrch anuloidu:
V 2 r R
2
2
S 4 Rr
2
r - poloměr kruhu pro rotaci
R - vzdálenost středu kruhu od osy rotace
Nakloníme-li o 30 nádobu tvaru polokoule,
která byla zcela naplněna vodou, vyteče z ní
3,3 l vody. Kolik litrů vody v ní zůstane?
Příklad:
Řešení:
Zbytek vody v nádobě má tvar kulové úseče:
?
r1,v
V
v
6
V 5
3 r
2
1
1
24
?
v
2
r
3
r
2
2
2 3 3 r r 5 r 3
6
2
2 24
1,5 l
r
v
∆SAB je rovnostranný
r
v
2
r1
sin 60
r1
r
Při naklonění vyteče 3,3 l,
tj. V polokoule V úseče:
2
3
r
3
5
24
3
r
2
r 3 ,3 l
3
r1
1
24
r 0 ,3 l
3
Cvičení
Př. 1: Kolikrát se zmenší objem a povrch koule, jestliže
se její poloměr zmenší třikrát?
27, 9
Př. 2: Jakou hmotnost má planeta Země, je-li její
asi 5,991024 kg
průměrná hustota 5,52 g/cm3.
Př. 3: Jak vysoko musí být letec, má-li vidět 0,001
asi 12,7 km
zemského povrchu?
Př. 4: Vypočtěte objem a povrch kulové výseče, má-li
kul. úseč, která je částí výseče, poloměr podstavy
6 cm a výšku 2 cm.
V = 419 cm3; S = 314,16 cm2
Cvičení
Př. 5: Činka se skládá ze dvou koulí a spojovací tyče
délky 60 cm s průměrem 32 mm. Jaký je průměr
koulí, je-li hmotnost činky 50 kg a hustota
asi 17,8 cm
materiálu 7,8 g/cm3?
Př. 6: Vypočítejte povrch kulového vrchlíku a objem kul.
úseče, je-li poloměr koule 10 cm a výška kulové
úseče 6 cm.
S = 377 cm2, V = 904 cm3
Př. 7: Vypočtěte objem kulové vrstvy, mají-li podstavy
poloměry 13,2 cm a 10 cm a poloměr koule je
26 cm.
691 cm3
Slide 8
TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM
A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČR
Poznámky ve formátu PDF
Mgr. Martina Fainová
KOULE
KOULE
= množina bodů v prostoru, které mají od daného
pevného bodu S vzdálenost menší nebo rovnu
kladnému číslu r
= těleso, které vznikne rotací půlkruhu kolem
přímky, která obsahuje jeho průměr
Značení:
K(S;r)
S – střed koule
r – poloměr koule (SA, SB)
MM – průměr koule
hranice koule – kulová plocha
Kulová plocha
= množina bodů v prostoru, které mají od daného
pevného bodu S vzdálenost r > 0
– vznikne rotací půlkružnice
– střed koule je také středem kulové plochy
– kružnice kulové plochy ležící v rovině
procházející středem je hlavní kružnice
– kružnice kulové plochy, která neleží v rovině
procházející středem, je vedlejší kružnice
Vlastnosti koule
je dokonale symetrická
je středově souměrná podle středu S
je osově souměrná podle lib. přímky procházející středem S
je rovinově souměrná podle lib. roviny procházející S
povrch koule tvoří kulová plocha se stejným středem
a poloměrem
libovolným řezem koule je kružnice
Poznámka: Rotací kruhu kolem přímky, která
leží v rovině kruhu a kruh neprotíná, vznikne anuloid.
Kulový vrchlík
= část kulové plochy omezená její libov. kružnicí
= průnik kulové plochy a poloprostoru s hraniční
rovinou obsahující kružnici k
(tato rovina rozdělí kul. plochu na dva kul. vrchlíky)
kružnice = hrana kul. vrchlíku
– poloměr hraniční kružnice
r – poloměr kulové plochy
v – výška vrchlíku
Kulová úseč
= část koule omezená její libov. kružnicí
= průnik koule a poloprostoru, jehož hraniční
rovina protíná kouli v kruhu o poloměru
kul. vrchlík a kruh tvoří hranici kul. úseče
kruh = podstava kul. úseče
– poloměr podstavy
r – poloměr koule
v – výška kul. úseče
Kulová výseč
= sjednocení kulové úseče a rotačního kužele,
který má s kul. úsečí společnou podstavu
a jeho vrchol je středem příslušné koule
hranicí je plášť kužele a kulový vrchlík
– poloměr hraniční kružnice
r – poloměr koule
v – výška kul. výseče
Kulová vrstva, kulový pás
Kulový pás
= průnik kulové plochy a vrstvy s hraničními rovinami,
jejichž vzdálenosti od středu jsou menší než poloměr
Kulová vrstva
= průnik koule a vrstvy s hraničními rovinami, jejichž
vzdálenosti od středu jsou menší než poloměr koule
r – poloměr koule
O1,O2= středy hranič. kružnic
1,2 – poloměry hran. kružnic
v – výška kul. vrstvy (pásu)
Příklad:
a)
b)
Koule se středem S a poloměrem 15 cm je
položená na vodorovné rovině a osvětlena
zdrojem Z; SZ, |Z|=h =45 cm. Určete:
poloměr kružnice ohraničující osvětlenou část koule a výšku
osvětlené části koule,
obsah vrženého stínu koule na rovinu .
Řešení:
a) osvětlená část koule = kul. vrchlík o výšce v
∆STZ:
∆STO:
= (h-r) (r-v)
v = 7,5 (cm)
r2
r2
(r-v)2+2
=
= 13 (cm)
Z
h-r
EVo
r-v
T
r
S
b) vržený stín = obsah kruhu se středem O´
∆ZOT
∆ZO´T´
S = 2120 (cm2)
l
h
h 2r v
l = 26 (cm)
?l
ZT tečna kul. plochy
Cvičení
Př. 1: Kulová úseč má poloměr podstavy 8 cm a výšku
5 cm. Vypočtěte poloměr koule, jejíž částí je
8,9 cm
kulová úseč.
Př. 2: Ve vzdálenosti 10 cm od středu koule s poloměrem
20 cm veďte rovinu řezu. Vypočítejte poloměr řezu.
10 3
Př. 3: Je dána krychle s hranou délky a. Vypočítejte
poloměr koule, která je krychli opsaná a vepsaná.
a
3
2
,
a
2
Objem koule a jejích částí
Koule:
V
4
r
3
r - poloměr koule
3
Kulová úseč: V
v
6
Kulová výseč: V
Kulová vrstva: V
2
3
2
v
r v
3
6
3
podstavy úseče
v - výška úseče
r - poloměr koule
v - výška výseče
2
v
2
- poloměr
2
1
3 v
2
2
2
1, 2 - poloměry podstav vrstvy
v - výška vrstvy
Povrch koule a jejích částí
r - poloměr koule
S 4 r
Poznámka: Povrch koule = obsah kulové plochy se stejným r
2
Koule:
Kulový vrchlík nebo kulový pás:
S 2 rv
r - poloměr kulové plochy
v - výška vrchlíku (pásu)
Objem a povrch anuloidu:
V 2 r R
2
2
S 4 Rr
2
r - poloměr kruhu pro rotaci
R - vzdálenost středu kruhu od osy rotace
Nakloníme-li o 30 nádobu tvaru polokoule,
která byla zcela naplněna vodou, vyteče z ní
3,3 l vody. Kolik litrů vody v ní zůstane?
Příklad:
Řešení:
Zbytek vody v nádobě má tvar kulové úseče:
?
r1,v
V
v
6
V 5
3 r
2
1
1
24
?
v
2
r
3
r
2
2
2 3 3 r r 5 r 3
6
2
2 24
1,5 l
r
v
∆SAB je rovnostranný
r
v
2
r1
sin 60
r1
r
Při naklonění vyteče 3,3 l,
tj. V polokoule V úseče:
2
3
r
3
5
24
3
r
2
r 3 ,3 l
3
r1
1
24
r 0 ,3 l
3
Cvičení
Př. 1: Kolikrát se zmenší objem a povrch koule, jestliže
se její poloměr zmenší třikrát?
27, 9
Př. 2: Jakou hmotnost má planeta Země, je-li její
asi 5,991024 kg
průměrná hustota 5,52 g/cm3.
Př. 3: Jak vysoko musí být letec, má-li vidět 0,001
asi 12,7 km
zemského povrchu?
Př. 4: Vypočtěte objem a povrch kulové výseče, má-li
kul. úseč, která je částí výseče, poloměr podstavy
6 cm a výšku 2 cm.
V = 419 cm3; S = 314,16 cm2
Cvičení
Př. 5: Činka se skládá ze dvou koulí a spojovací tyče
délky 60 cm s průměrem 32 mm. Jaký je průměr
koulí, je-li hmotnost činky 50 kg a hustota
asi 17,8 cm
materiálu 7,8 g/cm3?
Př. 6: Vypočítejte povrch kulového vrchlíku a objem kul.
úseče, je-li poloměr koule 10 cm a výška kulové
úseče 6 cm.
S = 377 cm2, V = 904 cm3
Př. 7: Vypočtěte objem kulové vrstvy, mají-li podstavy
poloměry 13,2 cm a 10 cm a poloměr koule je
26 cm.
691 cm3
Slide 9
TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM
A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČR
Poznámky ve formátu PDF
Mgr. Martina Fainová
KOULE
KOULE
= množina bodů v prostoru, které mají od daného
pevného bodu S vzdálenost menší nebo rovnu
kladnému číslu r
= těleso, které vznikne rotací půlkruhu kolem
přímky, která obsahuje jeho průměr
Značení:
K(S;r)
S – střed koule
r – poloměr koule (SA, SB)
MM – průměr koule
hranice koule – kulová plocha
Kulová plocha
= množina bodů v prostoru, které mají od daného
pevného bodu S vzdálenost r > 0
– vznikne rotací půlkružnice
– střed koule je také středem kulové plochy
– kružnice kulové plochy ležící v rovině
procházející středem je hlavní kružnice
– kružnice kulové plochy, která neleží v rovině
procházející středem, je vedlejší kružnice
Vlastnosti koule
je dokonale symetrická
je středově souměrná podle středu S
je osově souměrná podle lib. přímky procházející středem S
je rovinově souměrná podle lib. roviny procházející S
povrch koule tvoří kulová plocha se stejným středem
a poloměrem
libovolným řezem koule je kružnice
Poznámka: Rotací kruhu kolem přímky, která
leží v rovině kruhu a kruh neprotíná, vznikne anuloid.
Kulový vrchlík
= část kulové plochy omezená její libov. kružnicí
= průnik kulové plochy a poloprostoru s hraniční
rovinou obsahující kružnici k
(tato rovina rozdělí kul. plochu na dva kul. vrchlíky)
kružnice = hrana kul. vrchlíku
– poloměr hraniční kružnice
r – poloměr kulové plochy
v – výška vrchlíku
Kulová úseč
= část koule omezená její libov. kružnicí
= průnik koule a poloprostoru, jehož hraniční
rovina protíná kouli v kruhu o poloměru
kul. vrchlík a kruh tvoří hranici kul. úseče
kruh = podstava kul. úseče
– poloměr podstavy
r – poloměr koule
v – výška kul. úseče
Kulová výseč
= sjednocení kulové úseče a rotačního kužele,
který má s kul. úsečí společnou podstavu
a jeho vrchol je středem příslušné koule
hranicí je plášť kužele a kulový vrchlík
– poloměr hraniční kružnice
r – poloměr koule
v – výška kul. výseče
Kulová vrstva, kulový pás
Kulový pás
= průnik kulové plochy a vrstvy s hraničními rovinami,
jejichž vzdálenosti od středu jsou menší než poloměr
Kulová vrstva
= průnik koule a vrstvy s hraničními rovinami, jejichž
vzdálenosti od středu jsou menší než poloměr koule
r – poloměr koule
O1,O2= středy hranič. kružnic
1,2 – poloměry hran. kružnic
v – výška kul. vrstvy (pásu)
Příklad:
a)
b)
Koule se středem S a poloměrem 15 cm je
položená na vodorovné rovině a osvětlena
zdrojem Z; SZ, |Z|=h =45 cm. Určete:
poloměr kružnice ohraničující osvětlenou část koule a výšku
osvětlené části koule,
obsah vrženého stínu koule na rovinu .
Řešení:
a) osvětlená část koule = kul. vrchlík o výšce v
∆STZ:
∆STO:
= (h-r) (r-v)
v = 7,5 (cm)
r2
r2
(r-v)2+2
=
= 13 (cm)
Z
h-r
EVo
r-v
T
r
S
b) vržený stín = obsah kruhu se středem O´
∆ZOT
∆ZO´T´
S = 2120 (cm2)
l
h
h 2r v
l = 26 (cm)
?l
ZT tečna kul. plochy
Cvičení
Př. 1: Kulová úseč má poloměr podstavy 8 cm a výšku
5 cm. Vypočtěte poloměr koule, jejíž částí je
8,9 cm
kulová úseč.
Př. 2: Ve vzdálenosti 10 cm od středu koule s poloměrem
20 cm veďte rovinu řezu. Vypočítejte poloměr řezu.
10 3
Př. 3: Je dána krychle s hranou délky a. Vypočítejte
poloměr koule, která je krychli opsaná a vepsaná.
a
3
2
,
a
2
Objem koule a jejích částí
Koule:
V
4
r
3
r - poloměr koule
3
Kulová úseč: V
v
6
Kulová výseč: V
Kulová vrstva: V
2
3
2
v
r v
3
6
3
podstavy úseče
v - výška úseče
r - poloměr koule
v - výška výseče
2
v
2
- poloměr
2
1
3 v
2
2
2
1, 2 - poloměry podstav vrstvy
v - výška vrstvy
Povrch koule a jejích částí
r - poloměr koule
S 4 r
Poznámka: Povrch koule = obsah kulové plochy se stejným r
2
Koule:
Kulový vrchlík nebo kulový pás:
S 2 rv
r - poloměr kulové plochy
v - výška vrchlíku (pásu)
Objem a povrch anuloidu:
V 2 r R
2
2
S 4 Rr
2
r - poloměr kruhu pro rotaci
R - vzdálenost středu kruhu od osy rotace
Nakloníme-li o 30 nádobu tvaru polokoule,
která byla zcela naplněna vodou, vyteče z ní
3,3 l vody. Kolik litrů vody v ní zůstane?
Příklad:
Řešení:
Zbytek vody v nádobě má tvar kulové úseče:
?
r1,v
V
v
6
V 5
3 r
2
1
1
24
?
v
2
r
3
r
2
2
2 3 3 r r 5 r 3
6
2
2 24
1,5 l
r
v
∆SAB je rovnostranný
r
v
2
r1
sin 60
r1
r
Při naklonění vyteče 3,3 l,
tj. V polokoule V úseče:
2
3
r
3
5
24
3
r
2
r 3 ,3 l
3
r1
1
24
r 0 ,3 l
3
Cvičení
Př. 1: Kolikrát se zmenší objem a povrch koule, jestliže
se její poloměr zmenší třikrát?
27, 9
Př. 2: Jakou hmotnost má planeta Země, je-li její
asi 5,991024 kg
průměrná hustota 5,52 g/cm3.
Př. 3: Jak vysoko musí být letec, má-li vidět 0,001
asi 12,7 km
zemského povrchu?
Př. 4: Vypočtěte objem a povrch kulové výseče, má-li
kul. úseč, která je částí výseče, poloměr podstavy
6 cm a výšku 2 cm.
V = 419 cm3; S = 314,16 cm2
Cvičení
Př. 5: Činka se skládá ze dvou koulí a spojovací tyče
délky 60 cm s průměrem 32 mm. Jaký je průměr
koulí, je-li hmotnost činky 50 kg a hustota
asi 17,8 cm
materiálu 7,8 g/cm3?
Př. 6: Vypočítejte povrch kulového vrchlíku a objem kul.
úseče, je-li poloměr koule 10 cm a výška kulové
úseče 6 cm.
S = 377 cm2, V = 904 cm3
Př. 7: Vypočtěte objem kulové vrstvy, mají-li podstavy
poloměry 13,2 cm a 10 cm a poloměr koule je
26 cm.
691 cm3
Slide 10
TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM
A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČR
Poznámky ve formátu PDF
Mgr. Martina Fainová
KOULE
KOULE
= množina bodů v prostoru, které mají od daného
pevného bodu S vzdálenost menší nebo rovnu
kladnému číslu r
= těleso, které vznikne rotací půlkruhu kolem
přímky, která obsahuje jeho průměr
Značení:
K(S;r)
S – střed koule
r – poloměr koule (SA, SB)
MM – průměr koule
hranice koule – kulová plocha
Kulová plocha
= množina bodů v prostoru, které mají od daného
pevného bodu S vzdálenost r > 0
– vznikne rotací půlkružnice
– střed koule je také středem kulové plochy
– kružnice kulové plochy ležící v rovině
procházející středem je hlavní kružnice
– kružnice kulové plochy, která neleží v rovině
procházející středem, je vedlejší kružnice
Vlastnosti koule
je dokonale symetrická
je středově souměrná podle středu S
je osově souměrná podle lib. přímky procházející středem S
je rovinově souměrná podle lib. roviny procházející S
povrch koule tvoří kulová plocha se stejným středem
a poloměrem
libovolným řezem koule je kružnice
Poznámka: Rotací kruhu kolem přímky, která
leží v rovině kruhu a kruh neprotíná, vznikne anuloid.
Kulový vrchlík
= část kulové plochy omezená její libov. kružnicí
= průnik kulové plochy a poloprostoru s hraniční
rovinou obsahující kružnici k
(tato rovina rozdělí kul. plochu na dva kul. vrchlíky)
kružnice = hrana kul. vrchlíku
– poloměr hraniční kružnice
r – poloměr kulové plochy
v – výška vrchlíku
Kulová úseč
= část koule omezená její libov. kružnicí
= průnik koule a poloprostoru, jehož hraniční
rovina protíná kouli v kruhu o poloměru
kul. vrchlík a kruh tvoří hranici kul. úseče
kruh = podstava kul. úseče
– poloměr podstavy
r – poloměr koule
v – výška kul. úseče
Kulová výseč
= sjednocení kulové úseče a rotačního kužele,
který má s kul. úsečí společnou podstavu
a jeho vrchol je středem příslušné koule
hranicí je plášť kužele a kulový vrchlík
– poloměr hraniční kružnice
r – poloměr koule
v – výška kul. výseče
Kulová vrstva, kulový pás
Kulový pás
= průnik kulové plochy a vrstvy s hraničními rovinami,
jejichž vzdálenosti od středu jsou menší než poloměr
Kulová vrstva
= průnik koule a vrstvy s hraničními rovinami, jejichž
vzdálenosti od středu jsou menší než poloměr koule
r – poloměr koule
O1,O2= středy hranič. kružnic
1,2 – poloměry hran. kružnic
v – výška kul. vrstvy (pásu)
Příklad:
a)
b)
Koule se středem S a poloměrem 15 cm je
položená na vodorovné rovině a osvětlena
zdrojem Z; SZ, |Z|=h =45 cm. Určete:
poloměr kružnice ohraničující osvětlenou část koule a výšku
osvětlené části koule,
obsah vrženého stínu koule na rovinu .
Řešení:
a) osvětlená část koule = kul. vrchlík o výšce v
∆STZ:
∆STO:
= (h-r) (r-v)
v = 7,5 (cm)
r2
r2
(r-v)2+2
=
= 13 (cm)
Z
h-r
EVo
r-v
T
r
S
b) vržený stín = obsah kruhu se středem O´
∆ZOT
∆ZO´T´
S = 2120 (cm2)
l
h
h 2r v
l = 26 (cm)
?l
ZT tečna kul. plochy
Cvičení
Př. 1: Kulová úseč má poloměr podstavy 8 cm a výšku
5 cm. Vypočtěte poloměr koule, jejíž částí je
8,9 cm
kulová úseč.
Př. 2: Ve vzdálenosti 10 cm od středu koule s poloměrem
20 cm veďte rovinu řezu. Vypočítejte poloměr řezu.
10 3
Př. 3: Je dána krychle s hranou délky a. Vypočítejte
poloměr koule, která je krychli opsaná a vepsaná.
a
3
2
,
a
2
Objem koule a jejích částí
Koule:
V
4
r
3
r - poloměr koule
3
Kulová úseč: V
v
6
Kulová výseč: V
Kulová vrstva: V
2
3
2
v
r v
3
6
3
podstavy úseče
v - výška úseče
r - poloměr koule
v - výška výseče
2
v
2
- poloměr
2
1
3 v
2
2
2
1, 2 - poloměry podstav vrstvy
v - výška vrstvy
Povrch koule a jejích částí
r - poloměr koule
S 4 r
Poznámka: Povrch koule = obsah kulové plochy se stejným r
2
Koule:
Kulový vrchlík nebo kulový pás:
S 2 rv
r - poloměr kulové plochy
v - výška vrchlíku (pásu)
Objem a povrch anuloidu:
V 2 r R
2
2
S 4 Rr
2
r - poloměr kruhu pro rotaci
R - vzdálenost středu kruhu od osy rotace
Nakloníme-li o 30 nádobu tvaru polokoule,
která byla zcela naplněna vodou, vyteče z ní
3,3 l vody. Kolik litrů vody v ní zůstane?
Příklad:
Řešení:
Zbytek vody v nádobě má tvar kulové úseče:
?
r1,v
V
v
6
V 5
3 r
2
1
1
24
?
v
2
r
3
r
2
2
2 3 3 r r 5 r 3
6
2
2 24
1,5 l
r
v
∆SAB je rovnostranný
r
v
2
r1
sin 60
r1
r
Při naklonění vyteče 3,3 l,
tj. V polokoule V úseče:
2
3
r
3
5
24
3
r
2
r 3 ,3 l
3
r1
1
24
r 0 ,3 l
3
Cvičení
Př. 1: Kolikrát se zmenší objem a povrch koule, jestliže
se její poloměr zmenší třikrát?
27, 9
Př. 2: Jakou hmotnost má planeta Země, je-li její
asi 5,991024 kg
průměrná hustota 5,52 g/cm3.
Př. 3: Jak vysoko musí být letec, má-li vidět 0,001
asi 12,7 km
zemského povrchu?
Př. 4: Vypočtěte objem a povrch kulové výseče, má-li
kul. úseč, která je částí výseče, poloměr podstavy
6 cm a výšku 2 cm.
V = 419 cm3; S = 314,16 cm2
Cvičení
Př. 5: Činka se skládá ze dvou koulí a spojovací tyče
délky 60 cm s průměrem 32 mm. Jaký je průměr
koulí, je-li hmotnost činky 50 kg a hustota
asi 17,8 cm
materiálu 7,8 g/cm3?
Př. 6: Vypočítejte povrch kulového vrchlíku a objem kul.
úseče, je-li poloměr koule 10 cm a výška kulové
úseče 6 cm.
S = 377 cm2, V = 904 cm3
Př. 7: Vypočtěte objem kulové vrstvy, mají-li podstavy
poloměry 13,2 cm a 10 cm a poloměr koule je
26 cm.
691 cm3
Slide 11
TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM
A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČR
Poznámky ve formátu PDF
Mgr. Martina Fainová
KOULE
KOULE
= množina bodů v prostoru, které mají od daného
pevného bodu S vzdálenost menší nebo rovnu
kladnému číslu r
= těleso, které vznikne rotací půlkruhu kolem
přímky, která obsahuje jeho průměr
Značení:
K(S;r)
S – střed koule
r – poloměr koule (SA, SB)
MM – průměr koule
hranice koule – kulová plocha
Kulová plocha
= množina bodů v prostoru, které mají od daného
pevného bodu S vzdálenost r > 0
– vznikne rotací půlkružnice
– střed koule je také středem kulové plochy
– kružnice kulové plochy ležící v rovině
procházející středem je hlavní kružnice
– kružnice kulové plochy, která neleží v rovině
procházející středem, je vedlejší kružnice
Vlastnosti koule
je dokonale symetrická
je středově souměrná podle středu S
je osově souměrná podle lib. přímky procházející středem S
je rovinově souměrná podle lib. roviny procházející S
povrch koule tvoří kulová plocha se stejným středem
a poloměrem
libovolným řezem koule je kružnice
Poznámka: Rotací kruhu kolem přímky, která
leží v rovině kruhu a kruh neprotíná, vznikne anuloid.
Kulový vrchlík
= část kulové plochy omezená její libov. kružnicí
= průnik kulové plochy a poloprostoru s hraniční
rovinou obsahující kružnici k
(tato rovina rozdělí kul. plochu na dva kul. vrchlíky)
kružnice = hrana kul. vrchlíku
– poloměr hraniční kružnice
r – poloměr kulové plochy
v – výška vrchlíku
Kulová úseč
= část koule omezená její libov. kružnicí
= průnik koule a poloprostoru, jehož hraniční
rovina protíná kouli v kruhu o poloměru
kul. vrchlík a kruh tvoří hranici kul. úseče
kruh = podstava kul. úseče
– poloměr podstavy
r – poloměr koule
v – výška kul. úseče
Kulová výseč
= sjednocení kulové úseče a rotačního kužele,
který má s kul. úsečí společnou podstavu
a jeho vrchol je středem příslušné koule
hranicí je plášť kužele a kulový vrchlík
– poloměr hraniční kružnice
r – poloměr koule
v – výška kul. výseče
Kulová vrstva, kulový pás
Kulový pás
= průnik kulové plochy a vrstvy s hraničními rovinami,
jejichž vzdálenosti od středu jsou menší než poloměr
Kulová vrstva
= průnik koule a vrstvy s hraničními rovinami, jejichž
vzdálenosti od středu jsou menší než poloměr koule
r – poloměr koule
O1,O2= středy hranič. kružnic
1,2 – poloměry hran. kružnic
v – výška kul. vrstvy (pásu)
Příklad:
a)
b)
Koule se středem S a poloměrem 15 cm je
položená na vodorovné rovině a osvětlena
zdrojem Z; SZ, |Z|=h =45 cm. Určete:
poloměr kružnice ohraničující osvětlenou část koule a výšku
osvětlené části koule,
obsah vrženého stínu koule na rovinu .
Řešení:
a) osvětlená část koule = kul. vrchlík o výšce v
∆STZ:
∆STO:
= (h-r) (r-v)
v = 7,5 (cm)
r2
r2
(r-v)2+2
=
= 13 (cm)
Z
h-r
EVo
r-v
T
r
S
b) vržený stín = obsah kruhu se středem O´
∆ZOT
∆ZO´T´
S = 2120 (cm2)
l
h
h 2r v
l = 26 (cm)
?l
ZT tečna kul. plochy
Cvičení
Př. 1: Kulová úseč má poloměr podstavy 8 cm a výšku
5 cm. Vypočtěte poloměr koule, jejíž částí je
8,9 cm
kulová úseč.
Př. 2: Ve vzdálenosti 10 cm od středu koule s poloměrem
20 cm veďte rovinu řezu. Vypočítejte poloměr řezu.
10 3
Př. 3: Je dána krychle s hranou délky a. Vypočítejte
poloměr koule, která je krychli opsaná a vepsaná.
a
3
2
,
a
2
Objem koule a jejích částí
Koule:
V
4
r
3
r - poloměr koule
3
Kulová úseč: V
v
6
Kulová výseč: V
Kulová vrstva: V
2
3
2
v
r v
3
6
3
podstavy úseče
v - výška úseče
r - poloměr koule
v - výška výseče
2
v
2
- poloměr
2
1
3 v
2
2
2
1, 2 - poloměry podstav vrstvy
v - výška vrstvy
Povrch koule a jejích částí
r - poloměr koule
S 4 r
Poznámka: Povrch koule = obsah kulové plochy se stejným r
2
Koule:
Kulový vrchlík nebo kulový pás:
S 2 rv
r - poloměr kulové plochy
v - výška vrchlíku (pásu)
Objem a povrch anuloidu:
V 2 r R
2
2
S 4 Rr
2
r - poloměr kruhu pro rotaci
R - vzdálenost středu kruhu od osy rotace
Nakloníme-li o 30 nádobu tvaru polokoule,
která byla zcela naplněna vodou, vyteče z ní
3,3 l vody. Kolik litrů vody v ní zůstane?
Příklad:
Řešení:
Zbytek vody v nádobě má tvar kulové úseče:
?
r1,v
V
v
6
V 5
3 r
2
1
1
24
?
v
2
r
3
r
2
2
2 3 3 r r 5 r 3
6
2
2 24
1,5 l
r
v
∆SAB je rovnostranný
r
v
2
r1
sin 60
r1
r
Při naklonění vyteče 3,3 l,
tj. V polokoule V úseče:
2
3
r
3
5
24
3
r
2
r 3 ,3 l
3
r1
1
24
r 0 ,3 l
3
Cvičení
Př. 1: Kolikrát se zmenší objem a povrch koule, jestliže
se její poloměr zmenší třikrát?
27, 9
Př. 2: Jakou hmotnost má planeta Země, je-li její
asi 5,991024 kg
průměrná hustota 5,52 g/cm3.
Př. 3: Jak vysoko musí být letec, má-li vidět 0,001
asi 12,7 km
zemského povrchu?
Př. 4: Vypočtěte objem a povrch kulové výseče, má-li
kul. úseč, která je částí výseče, poloměr podstavy
6 cm a výšku 2 cm.
V = 419 cm3; S = 314,16 cm2
Cvičení
Př. 5: Činka se skládá ze dvou koulí a spojovací tyče
délky 60 cm s průměrem 32 mm. Jaký je průměr
koulí, je-li hmotnost činky 50 kg a hustota
asi 17,8 cm
materiálu 7,8 g/cm3?
Př. 6: Vypočítejte povrch kulového vrchlíku a objem kul.
úseče, je-li poloměr koule 10 cm a výška kulové
úseče 6 cm.
S = 377 cm2, V = 904 cm3
Př. 7: Vypočtěte objem kulové vrstvy, mají-li podstavy
poloměry 13,2 cm a 10 cm a poloměr koule je
26 cm.
691 cm3
Slide 12
TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM
A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČR
Poznámky ve formátu PDF
Mgr. Martina Fainová
KOULE
KOULE
= množina bodů v prostoru, které mají od daného
pevného bodu S vzdálenost menší nebo rovnu
kladnému číslu r
= těleso, které vznikne rotací půlkruhu kolem
přímky, která obsahuje jeho průměr
Značení:
K(S;r)
S – střed koule
r – poloměr koule (SA, SB)
MM – průměr koule
hranice koule – kulová plocha
Kulová plocha
= množina bodů v prostoru, které mají od daného
pevného bodu S vzdálenost r > 0
– vznikne rotací půlkružnice
– střed koule je také středem kulové plochy
– kružnice kulové plochy ležící v rovině
procházející středem je hlavní kružnice
– kružnice kulové plochy, která neleží v rovině
procházející středem, je vedlejší kružnice
Vlastnosti koule
je dokonale symetrická
je středově souměrná podle středu S
je osově souměrná podle lib. přímky procházející středem S
je rovinově souměrná podle lib. roviny procházející S
povrch koule tvoří kulová plocha se stejným středem
a poloměrem
libovolným řezem koule je kružnice
Poznámka: Rotací kruhu kolem přímky, která
leží v rovině kruhu a kruh neprotíná, vznikne anuloid.
Kulový vrchlík
= část kulové plochy omezená její libov. kružnicí
= průnik kulové plochy a poloprostoru s hraniční
rovinou obsahující kružnici k
(tato rovina rozdělí kul. plochu na dva kul. vrchlíky)
kružnice = hrana kul. vrchlíku
– poloměr hraniční kružnice
r – poloměr kulové plochy
v – výška vrchlíku
Kulová úseč
= část koule omezená její libov. kružnicí
= průnik koule a poloprostoru, jehož hraniční
rovina protíná kouli v kruhu o poloměru
kul. vrchlík a kruh tvoří hranici kul. úseče
kruh = podstava kul. úseče
– poloměr podstavy
r – poloměr koule
v – výška kul. úseče
Kulová výseč
= sjednocení kulové úseče a rotačního kužele,
který má s kul. úsečí společnou podstavu
a jeho vrchol je středem příslušné koule
hranicí je plášť kužele a kulový vrchlík
– poloměr hraniční kružnice
r – poloměr koule
v – výška kul. výseče
Kulová vrstva, kulový pás
Kulový pás
= průnik kulové plochy a vrstvy s hraničními rovinami,
jejichž vzdálenosti od středu jsou menší než poloměr
Kulová vrstva
= průnik koule a vrstvy s hraničními rovinami, jejichž
vzdálenosti od středu jsou menší než poloměr koule
r – poloměr koule
O1,O2= středy hranič. kružnic
1,2 – poloměry hran. kružnic
v – výška kul. vrstvy (pásu)
Příklad:
a)
b)
Koule se středem S a poloměrem 15 cm je
položená na vodorovné rovině a osvětlena
zdrojem Z; SZ, |Z|=h =45 cm. Určete:
poloměr kružnice ohraničující osvětlenou část koule a výšku
osvětlené části koule,
obsah vrženého stínu koule na rovinu .
Řešení:
a) osvětlená část koule = kul. vrchlík o výšce v
∆STZ:
∆STO:
= (h-r) (r-v)
v = 7,5 (cm)
r2
r2
(r-v)2+2
=
= 13 (cm)
Z
h-r
EVo
r-v
T
r
S
b) vržený stín = obsah kruhu se středem O´
∆ZOT
∆ZO´T´
S = 2120 (cm2)
l
h
h 2r v
l = 26 (cm)
?l
ZT tečna kul. plochy
Cvičení
Př. 1: Kulová úseč má poloměr podstavy 8 cm a výšku
5 cm. Vypočtěte poloměr koule, jejíž částí je
8,9 cm
kulová úseč.
Př. 2: Ve vzdálenosti 10 cm od středu koule s poloměrem
20 cm veďte rovinu řezu. Vypočítejte poloměr řezu.
10 3
Př. 3: Je dána krychle s hranou délky a. Vypočítejte
poloměr koule, která je krychli opsaná a vepsaná.
a
3
2
,
a
2
Objem koule a jejích částí
Koule:
V
4
r
3
r - poloměr koule
3
Kulová úseč: V
v
6
Kulová výseč: V
Kulová vrstva: V
2
3
2
v
r v
3
6
3
podstavy úseče
v - výška úseče
r - poloměr koule
v - výška výseče
2
v
2
- poloměr
2
1
3 v
2
2
2
1, 2 - poloměry podstav vrstvy
v - výška vrstvy
Povrch koule a jejích částí
r - poloměr koule
S 4 r
Poznámka: Povrch koule = obsah kulové plochy se stejným r
2
Koule:
Kulový vrchlík nebo kulový pás:
S 2 rv
r - poloměr kulové plochy
v - výška vrchlíku (pásu)
Objem a povrch anuloidu:
V 2 r R
2
2
S 4 Rr
2
r - poloměr kruhu pro rotaci
R - vzdálenost středu kruhu od osy rotace
Nakloníme-li o 30 nádobu tvaru polokoule,
která byla zcela naplněna vodou, vyteče z ní
3,3 l vody. Kolik litrů vody v ní zůstane?
Příklad:
Řešení:
Zbytek vody v nádobě má tvar kulové úseče:
?
r1,v
V
v
6
V 5
3 r
2
1
1
24
?
v
2
r
3
r
2
2
2 3 3 r r 5 r 3
6
2
2 24
1,5 l
r
v
∆SAB je rovnostranný
r
v
2
r1
sin 60
r1
r
Při naklonění vyteče 3,3 l,
tj. V polokoule V úseče:
2
3
r
3
5
24
3
r
2
r 3 ,3 l
3
r1
1
24
r 0 ,3 l
3
Cvičení
Př. 1: Kolikrát se zmenší objem a povrch koule, jestliže
se její poloměr zmenší třikrát?
27, 9
Př. 2: Jakou hmotnost má planeta Země, je-li její
asi 5,991024 kg
průměrná hustota 5,52 g/cm3.
Př. 3: Jak vysoko musí být letec, má-li vidět 0,001
asi 12,7 km
zemského povrchu?
Př. 4: Vypočtěte objem a povrch kulové výseče, má-li
kul. úseč, která je částí výseče, poloměr podstavy
6 cm a výšku 2 cm.
V = 419 cm3; S = 314,16 cm2
Cvičení
Př. 5: Činka se skládá ze dvou koulí a spojovací tyče
délky 60 cm s průměrem 32 mm. Jaký je průměr
koulí, je-li hmotnost činky 50 kg a hustota
asi 17,8 cm
materiálu 7,8 g/cm3?
Př. 6: Vypočítejte povrch kulového vrchlíku a objem kul.
úseče, je-li poloměr koule 10 cm a výška kulové
úseče 6 cm.
S = 377 cm2, V = 904 cm3
Př. 7: Vypočtěte objem kulové vrstvy, mají-li podstavy
poloměry 13,2 cm a 10 cm a poloměr koule je
26 cm.
691 cm3
Slide 13
TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM
A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČR
Poznámky ve formátu PDF
Mgr. Martina Fainová
KOULE
KOULE
= množina bodů v prostoru, které mají od daného
pevného bodu S vzdálenost menší nebo rovnu
kladnému číslu r
= těleso, které vznikne rotací půlkruhu kolem
přímky, která obsahuje jeho průměr
Značení:
K(S;r)
S – střed koule
r – poloměr koule (SA, SB)
MM – průměr koule
hranice koule – kulová plocha
Kulová plocha
= množina bodů v prostoru, které mají od daného
pevného bodu S vzdálenost r > 0
– vznikne rotací půlkružnice
– střed koule je také středem kulové plochy
– kružnice kulové plochy ležící v rovině
procházející středem je hlavní kružnice
– kružnice kulové plochy, která neleží v rovině
procházející středem, je vedlejší kružnice
Vlastnosti koule
je dokonale symetrická
je středově souměrná podle středu S
je osově souměrná podle lib. přímky procházející středem S
je rovinově souměrná podle lib. roviny procházející S
povrch koule tvoří kulová plocha se stejným středem
a poloměrem
libovolným řezem koule je kružnice
Poznámka: Rotací kruhu kolem přímky, která
leží v rovině kruhu a kruh neprotíná, vznikne anuloid.
Kulový vrchlík
= část kulové plochy omezená její libov. kružnicí
= průnik kulové plochy a poloprostoru s hraniční
rovinou obsahující kružnici k
(tato rovina rozdělí kul. plochu na dva kul. vrchlíky)
kružnice = hrana kul. vrchlíku
– poloměr hraniční kružnice
r – poloměr kulové plochy
v – výška vrchlíku
Kulová úseč
= část koule omezená její libov. kružnicí
= průnik koule a poloprostoru, jehož hraniční
rovina protíná kouli v kruhu o poloměru
kul. vrchlík a kruh tvoří hranici kul. úseče
kruh = podstava kul. úseče
– poloměr podstavy
r – poloměr koule
v – výška kul. úseče
Kulová výseč
= sjednocení kulové úseče a rotačního kužele,
který má s kul. úsečí společnou podstavu
a jeho vrchol je středem příslušné koule
hranicí je plášť kužele a kulový vrchlík
– poloměr hraniční kružnice
r – poloměr koule
v – výška kul. výseče
Kulová vrstva, kulový pás
Kulový pás
= průnik kulové plochy a vrstvy s hraničními rovinami,
jejichž vzdálenosti od středu jsou menší než poloměr
Kulová vrstva
= průnik koule a vrstvy s hraničními rovinami, jejichž
vzdálenosti od středu jsou menší než poloměr koule
r – poloměr koule
O1,O2= středy hranič. kružnic
1,2 – poloměry hran. kružnic
v – výška kul. vrstvy (pásu)
Příklad:
a)
b)
Koule se středem S a poloměrem 15 cm je
položená na vodorovné rovině a osvětlena
zdrojem Z; SZ, |Z|=h =45 cm. Určete:
poloměr kružnice ohraničující osvětlenou část koule a výšku
osvětlené části koule,
obsah vrženého stínu koule na rovinu .
Řešení:
a) osvětlená část koule = kul. vrchlík o výšce v
∆STZ:
∆STO:
= (h-r) (r-v)
v = 7,5 (cm)
r2
r2
(r-v)2+2
=
= 13 (cm)
Z
h-r
EVo
r-v
T
r
S
b) vržený stín = obsah kruhu se středem O´
∆ZOT
∆ZO´T´
S = 2120 (cm2)
l
h
h 2r v
l = 26 (cm)
?l
ZT tečna kul. plochy
Cvičení
Př. 1: Kulová úseč má poloměr podstavy 8 cm a výšku
5 cm. Vypočtěte poloměr koule, jejíž částí je
8,9 cm
kulová úseč.
Př. 2: Ve vzdálenosti 10 cm od středu koule s poloměrem
20 cm veďte rovinu řezu. Vypočítejte poloměr řezu.
10 3
Př. 3: Je dána krychle s hranou délky a. Vypočítejte
poloměr koule, která je krychli opsaná a vepsaná.
a
3
2
,
a
2
Objem koule a jejích částí
Koule:
V
4
r
3
r - poloměr koule
3
Kulová úseč: V
v
6
Kulová výseč: V
Kulová vrstva: V
2
3
2
v
r v
3
6
3
podstavy úseče
v - výška úseče
r - poloměr koule
v - výška výseče
2
v
2
- poloměr
2
1
3 v
2
2
2
1, 2 - poloměry podstav vrstvy
v - výška vrstvy
Povrch koule a jejích částí
r - poloměr koule
S 4 r
Poznámka: Povrch koule = obsah kulové plochy se stejným r
2
Koule:
Kulový vrchlík nebo kulový pás:
S 2 rv
r - poloměr kulové plochy
v - výška vrchlíku (pásu)
Objem a povrch anuloidu:
V 2 r R
2
2
S 4 Rr
2
r - poloměr kruhu pro rotaci
R - vzdálenost středu kruhu od osy rotace
Nakloníme-li o 30 nádobu tvaru polokoule,
která byla zcela naplněna vodou, vyteče z ní
3,3 l vody. Kolik litrů vody v ní zůstane?
Příklad:
Řešení:
Zbytek vody v nádobě má tvar kulové úseče:
?
r1,v
V
v
6
V 5
3 r
2
1
1
24
?
v
2
r
3
r
2
2
2 3 3 r r 5 r 3
6
2
2 24
1,5 l
r
v
∆SAB je rovnostranný
r
v
2
r1
sin 60
r1
r
Při naklonění vyteče 3,3 l,
tj. V polokoule V úseče:
2
3
r
3
5
24
3
r
2
r 3 ,3 l
3
r1
1
24
r 0 ,3 l
3
Cvičení
Př. 1: Kolikrát se zmenší objem a povrch koule, jestliže
se její poloměr zmenší třikrát?
27, 9
Př. 2: Jakou hmotnost má planeta Země, je-li její
asi 5,991024 kg
průměrná hustota 5,52 g/cm3.
Př. 3: Jak vysoko musí být letec, má-li vidět 0,001
asi 12,7 km
zemského povrchu?
Př. 4: Vypočtěte objem a povrch kulové výseče, má-li
kul. úseč, která je částí výseče, poloměr podstavy
6 cm a výšku 2 cm.
V = 419 cm3; S = 314,16 cm2
Cvičení
Př. 5: Činka se skládá ze dvou koulí a spojovací tyče
délky 60 cm s průměrem 32 mm. Jaký je průměr
koulí, je-li hmotnost činky 50 kg a hustota
asi 17,8 cm
materiálu 7,8 g/cm3?
Př. 6: Vypočítejte povrch kulového vrchlíku a objem kul.
úseče, je-li poloměr koule 10 cm a výška kulové
úseče 6 cm.
S = 377 cm2, V = 904 cm3
Př. 7: Vypočtěte objem kulové vrstvy, mají-li podstavy
poloměry 13,2 cm a 10 cm a poloměr koule je
26 cm.
691 cm3
Slide 14
TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM
A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČR
Poznámky ve formátu PDF
Mgr. Martina Fainová
KOULE
KOULE
= množina bodů v prostoru, které mají od daného
pevného bodu S vzdálenost menší nebo rovnu
kladnému číslu r
= těleso, které vznikne rotací půlkruhu kolem
přímky, která obsahuje jeho průměr
Značení:
K(S;r)
S – střed koule
r – poloměr koule (SA, SB)
MM – průměr koule
hranice koule – kulová plocha
Kulová plocha
= množina bodů v prostoru, které mají od daného
pevného bodu S vzdálenost r > 0
– vznikne rotací půlkružnice
– střed koule je také středem kulové plochy
– kružnice kulové plochy ležící v rovině
procházející středem je hlavní kružnice
– kružnice kulové plochy, která neleží v rovině
procházející středem, je vedlejší kružnice
Vlastnosti koule
je dokonale symetrická
je středově souměrná podle středu S
je osově souměrná podle lib. přímky procházející středem S
je rovinově souměrná podle lib. roviny procházející S
povrch koule tvoří kulová plocha se stejným středem
a poloměrem
libovolným řezem koule je kružnice
Poznámka: Rotací kruhu kolem přímky, která
leží v rovině kruhu a kruh neprotíná, vznikne anuloid.
Kulový vrchlík
= část kulové plochy omezená její libov. kružnicí
= průnik kulové plochy a poloprostoru s hraniční
rovinou obsahující kružnici k
(tato rovina rozdělí kul. plochu na dva kul. vrchlíky)
kružnice = hrana kul. vrchlíku
– poloměr hraniční kružnice
r – poloměr kulové plochy
v – výška vrchlíku
Kulová úseč
= část koule omezená její libov. kružnicí
= průnik koule a poloprostoru, jehož hraniční
rovina protíná kouli v kruhu o poloměru
kul. vrchlík a kruh tvoří hranici kul. úseče
kruh = podstava kul. úseče
– poloměr podstavy
r – poloměr koule
v – výška kul. úseče
Kulová výseč
= sjednocení kulové úseče a rotačního kužele,
který má s kul. úsečí společnou podstavu
a jeho vrchol je středem příslušné koule
hranicí je plášť kužele a kulový vrchlík
– poloměr hraniční kružnice
r – poloměr koule
v – výška kul. výseče
Kulová vrstva, kulový pás
Kulový pás
= průnik kulové plochy a vrstvy s hraničními rovinami,
jejichž vzdálenosti od středu jsou menší než poloměr
Kulová vrstva
= průnik koule a vrstvy s hraničními rovinami, jejichž
vzdálenosti od středu jsou menší než poloměr koule
r – poloměr koule
O1,O2= středy hranič. kružnic
1,2 – poloměry hran. kružnic
v – výška kul. vrstvy (pásu)
Příklad:
a)
b)
Koule se středem S a poloměrem 15 cm je
položená na vodorovné rovině a osvětlena
zdrojem Z; SZ, |Z|=h =45 cm. Určete:
poloměr kružnice ohraničující osvětlenou část koule a výšku
osvětlené části koule,
obsah vrženého stínu koule na rovinu .
Řešení:
a) osvětlená část koule = kul. vrchlík o výšce v
∆STZ:
∆STO:
= (h-r) (r-v)
v = 7,5 (cm)
r2
r2
(r-v)2+2
=
= 13 (cm)
Z
h-r
EVo
r-v
T
r
S
b) vržený stín = obsah kruhu se středem O´
∆ZOT
∆ZO´T´
S = 2120 (cm2)
l
h
h 2r v
l = 26 (cm)
?l
ZT tečna kul. plochy
Cvičení
Př. 1: Kulová úseč má poloměr podstavy 8 cm a výšku
5 cm. Vypočtěte poloměr koule, jejíž částí je
8,9 cm
kulová úseč.
Př. 2: Ve vzdálenosti 10 cm od středu koule s poloměrem
20 cm veďte rovinu řezu. Vypočítejte poloměr řezu.
10 3
Př. 3: Je dána krychle s hranou délky a. Vypočítejte
poloměr koule, která je krychli opsaná a vepsaná.
a
3
2
,
a
2
Objem koule a jejích částí
Koule:
V
4
r
3
r - poloměr koule
3
Kulová úseč: V
v
6
Kulová výseč: V
Kulová vrstva: V
2
3
2
v
r v
3
6
3
podstavy úseče
v - výška úseče
r - poloměr koule
v - výška výseče
2
v
2
- poloměr
2
1
3 v
2
2
2
1, 2 - poloměry podstav vrstvy
v - výška vrstvy
Povrch koule a jejích částí
r - poloměr koule
S 4 r
Poznámka: Povrch koule = obsah kulové plochy se stejným r
2
Koule:
Kulový vrchlík nebo kulový pás:
S 2 rv
r - poloměr kulové plochy
v - výška vrchlíku (pásu)
Objem a povrch anuloidu:
V 2 r R
2
2
S 4 Rr
2
r - poloměr kruhu pro rotaci
R - vzdálenost středu kruhu od osy rotace
Nakloníme-li o 30 nádobu tvaru polokoule,
která byla zcela naplněna vodou, vyteče z ní
3,3 l vody. Kolik litrů vody v ní zůstane?
Příklad:
Řešení:
Zbytek vody v nádobě má tvar kulové úseče:
?
r1,v
V
v
6
V 5
3 r
2
1
1
24
?
v
2
r
3
r
2
2
2 3 3 r r 5 r 3
6
2
2 24
1,5 l
r
v
∆SAB je rovnostranný
r
v
2
r1
sin 60
r1
r
Při naklonění vyteče 3,3 l,
tj. V polokoule V úseče:
2
3
r
3
5
24
3
r
2
r 3 ,3 l
3
r1
1
24
r 0 ,3 l
3
Cvičení
Př. 1: Kolikrát se zmenší objem a povrch koule, jestliže
se její poloměr zmenší třikrát?
27, 9
Př. 2: Jakou hmotnost má planeta Země, je-li její
asi 5,991024 kg
průměrná hustota 5,52 g/cm3.
Př. 3: Jak vysoko musí být letec, má-li vidět 0,001
asi 12,7 km
zemského povrchu?
Př. 4: Vypočtěte objem a povrch kulové výseče, má-li
kul. úseč, která je částí výseče, poloměr podstavy
6 cm a výšku 2 cm.
V = 419 cm3; S = 314,16 cm2
Cvičení
Př. 5: Činka se skládá ze dvou koulí a spojovací tyče
délky 60 cm s průměrem 32 mm. Jaký je průměr
koulí, je-li hmotnost činky 50 kg a hustota
asi 17,8 cm
materiálu 7,8 g/cm3?
Př. 6: Vypočítejte povrch kulového vrchlíku a objem kul.
úseče, je-li poloměr koule 10 cm a výška kulové
úseče 6 cm.
S = 377 cm2, V = 904 cm3
Př. 7: Vypočtěte objem kulové vrstvy, mají-li podstavy
poloměry 13,2 cm a 10 cm a poloměr koule je
26 cm.
691 cm3
Slide 15
TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM
A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČR
Poznámky ve formátu PDF
Mgr. Martina Fainová
KOULE
KOULE
= množina bodů v prostoru, které mají od daného
pevného bodu S vzdálenost menší nebo rovnu
kladnému číslu r
= těleso, které vznikne rotací půlkruhu kolem
přímky, která obsahuje jeho průměr
Značení:
K(S;r)
S – střed koule
r – poloměr koule (SA, SB)
MM – průměr koule
hranice koule – kulová plocha
Kulová plocha
= množina bodů v prostoru, které mají od daného
pevného bodu S vzdálenost r > 0
– vznikne rotací půlkružnice
– střed koule je také středem kulové plochy
– kružnice kulové plochy ležící v rovině
procházející středem je hlavní kružnice
– kružnice kulové plochy, která neleží v rovině
procházející středem, je vedlejší kružnice
Vlastnosti koule
je dokonale symetrická
je středově souměrná podle středu S
je osově souměrná podle lib. přímky procházející středem S
je rovinově souměrná podle lib. roviny procházející S
povrch koule tvoří kulová plocha se stejným středem
a poloměrem
libovolným řezem koule je kružnice
Poznámka: Rotací kruhu kolem přímky, která
leží v rovině kruhu a kruh neprotíná, vznikne anuloid.
Kulový vrchlík
= část kulové plochy omezená její libov. kružnicí
= průnik kulové plochy a poloprostoru s hraniční
rovinou obsahující kružnici k
(tato rovina rozdělí kul. plochu na dva kul. vrchlíky)
kružnice = hrana kul. vrchlíku
– poloměr hraniční kružnice
r – poloměr kulové plochy
v – výška vrchlíku
Kulová úseč
= část koule omezená její libov. kružnicí
= průnik koule a poloprostoru, jehož hraniční
rovina protíná kouli v kruhu o poloměru
kul. vrchlík a kruh tvoří hranici kul. úseče
kruh = podstava kul. úseče
– poloměr podstavy
r – poloměr koule
v – výška kul. úseče
Kulová výseč
= sjednocení kulové úseče a rotačního kužele,
který má s kul. úsečí společnou podstavu
a jeho vrchol je středem příslušné koule
hranicí je plášť kužele a kulový vrchlík
– poloměr hraniční kružnice
r – poloměr koule
v – výška kul. výseče
Kulová vrstva, kulový pás
Kulový pás
= průnik kulové plochy a vrstvy s hraničními rovinami,
jejichž vzdálenosti od středu jsou menší než poloměr
Kulová vrstva
= průnik koule a vrstvy s hraničními rovinami, jejichž
vzdálenosti od středu jsou menší než poloměr koule
r – poloměr koule
O1,O2= středy hranič. kružnic
1,2 – poloměry hran. kružnic
v – výška kul. vrstvy (pásu)
Příklad:
a)
b)
Koule se středem S a poloměrem 15 cm je
položená na vodorovné rovině a osvětlena
zdrojem Z; SZ, |Z|=h =45 cm. Určete:
poloměr kružnice ohraničující osvětlenou část koule a výšku
osvětlené části koule,
obsah vrženého stínu koule na rovinu .
Řešení:
a) osvětlená část koule = kul. vrchlík o výšce v
∆STZ:
∆STO:
= (h-r) (r-v)
v = 7,5 (cm)
r2
r2
(r-v)2+2
=
= 13 (cm)
Z
h-r
EVo
r-v
T
r
S
b) vržený stín = obsah kruhu se středem O´
∆ZOT
∆ZO´T´
S = 2120 (cm2)
l
h
h 2r v
l = 26 (cm)
?l
ZT tečna kul. plochy
Cvičení
Př. 1: Kulová úseč má poloměr podstavy 8 cm a výšku
5 cm. Vypočtěte poloměr koule, jejíž částí je
8,9 cm
kulová úseč.
Př. 2: Ve vzdálenosti 10 cm od středu koule s poloměrem
20 cm veďte rovinu řezu. Vypočítejte poloměr řezu.
10 3
Př. 3: Je dána krychle s hranou délky a. Vypočítejte
poloměr koule, která je krychli opsaná a vepsaná.
a
3
2
,
a
2
Objem koule a jejích částí
Koule:
V
4
r
3
r - poloměr koule
3
Kulová úseč: V
v
6
Kulová výseč: V
Kulová vrstva: V
2
3
2
v
r v
3
6
3
podstavy úseče
v - výška úseče
r - poloměr koule
v - výška výseče
2
v
2
- poloměr
2
1
3 v
2
2
2
1, 2 - poloměry podstav vrstvy
v - výška vrstvy
Povrch koule a jejích částí
r - poloměr koule
S 4 r
Poznámka: Povrch koule = obsah kulové plochy se stejným r
2
Koule:
Kulový vrchlík nebo kulový pás:
S 2 rv
r - poloměr kulové plochy
v - výška vrchlíku (pásu)
Objem a povrch anuloidu:
V 2 r R
2
2
S 4 Rr
2
r - poloměr kruhu pro rotaci
R - vzdálenost středu kruhu od osy rotace
Nakloníme-li o 30 nádobu tvaru polokoule,
která byla zcela naplněna vodou, vyteče z ní
3,3 l vody. Kolik litrů vody v ní zůstane?
Příklad:
Řešení:
Zbytek vody v nádobě má tvar kulové úseče:
?
r1,v
V
v
6
V 5
3 r
2
1
1
24
?
v
2
r
3
r
2
2
2 3 3 r r 5 r 3
6
2
2 24
1,5 l
r
v
∆SAB je rovnostranný
r
v
2
r1
sin 60
r1
r
Při naklonění vyteče 3,3 l,
tj. V polokoule V úseče:
2
3
r
3
5
24
3
r
2
r 3 ,3 l
3
r1
1
24
r 0 ,3 l
3
Cvičení
Př. 1: Kolikrát se zmenší objem a povrch koule, jestliže
se její poloměr zmenší třikrát?
27, 9
Př. 2: Jakou hmotnost má planeta Země, je-li její
asi 5,991024 kg
průměrná hustota 5,52 g/cm3.
Př. 3: Jak vysoko musí být letec, má-li vidět 0,001
asi 12,7 km
zemského povrchu?
Př. 4: Vypočtěte objem a povrch kulové výseče, má-li
kul. úseč, která je částí výseče, poloměr podstavy
6 cm a výšku 2 cm.
V = 419 cm3; S = 314,16 cm2
Cvičení
Př. 5: Činka se skládá ze dvou koulí a spojovací tyče
délky 60 cm s průměrem 32 mm. Jaký je průměr
koulí, je-li hmotnost činky 50 kg a hustota
asi 17,8 cm
materiálu 7,8 g/cm3?
Př. 6: Vypočítejte povrch kulového vrchlíku a objem kul.
úseče, je-li poloměr koule 10 cm a výška kulové
úseče 6 cm.
S = 377 cm2, V = 904 cm3
Př. 7: Vypočtěte objem kulové vrstvy, mají-li podstavy
poloměry 13,2 cm a 10 cm a poloměr koule je
26 cm.
691 cm3