Slide 1

TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM
A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČR

Poznámky ve formátu PDF

Mgr. Martina Fainová

KOULE

KOULE
= množina bodů v prostoru, které mají od daného
pevného bodu S vzdálenost menší nebo rovnu
kladnému číslu r
= těleso, které vznikne rotací půlkruhu kolem
přímky, která obsahuje jeho průměr

Značení:
K(S;r)

S – střed koule
r – poloměr koule (SA, SB)
MM – průměr koule
hranice koule – kulová plocha

Kulová plocha
= množina bodů v prostoru, které mají od daného
pevného bodu S vzdálenost r > 0
– vznikne rotací půlkružnice

– střed koule je také středem kulové plochy
– kružnice kulové plochy ležící v rovině

procházející středem je hlavní kružnice
– kružnice kulové plochy, která neleží v rovině
procházející středem, je vedlejší kružnice

Vlastnosti koule
 je dokonale symetrická
 je středově souměrná podle středu S
 je osově souměrná podle lib. přímky procházející středem S
 je rovinově souměrná podle lib. roviny procházející S

 povrch koule tvoří kulová plocha se stejným středem
a poloměrem
 libovolným řezem koule je kružnice
Poznámka: Rotací kruhu kolem přímky, která
leží v rovině kruhu a kruh neprotíná, vznikne anuloid.

Kulový vrchlík
= část kulové plochy omezená její libov. kružnicí

= průnik kulové plochy a poloprostoru s hraniční
rovinou obsahující kružnici k
(tato rovina rozdělí kul. plochu na dva kul. vrchlíky)

kružnice = hrana kul. vrchlíku
 – poloměr hraniční kružnice
r – poloměr kulové plochy
v – výška vrchlíku

Kulová úseč
= část koule omezená její libov. kružnicí
= průnik koule a poloprostoru, jehož hraniční
rovina protíná kouli v kruhu o poloměru 
 kul. vrchlík a kruh tvoří hranici kul. úseče

kruh = podstava kul. úseče
 – poloměr podstavy
r – poloměr koule
v – výška kul. úseče

Kulová výseč
= sjednocení kulové úseče a rotačního kužele,
který má s kul. úsečí společnou podstavu
a jeho vrchol je středem příslušné koule
 hranicí je plášť kužele a kulový vrchlík

 – poloměr hraniční kružnice
r – poloměr koule
v – výška kul. výseče

Kulová vrstva, kulový pás
Kulový pás
= průnik kulové plochy a vrstvy s hraničními rovinami,
jejichž vzdálenosti od středu jsou menší než poloměr

Kulová vrstva
= průnik koule a vrstvy s hraničními rovinami, jejichž
vzdálenosti od středu jsou menší než poloměr koule
r – poloměr koule
O1,O2= středy hranič. kružnic
1,2 – poloměry hran. kružnic
v – výška kul. vrstvy (pásu)

Příklad:
a)
b)

Koule se středem S a poloměrem 15 cm je
položená na vodorovné rovině  a osvětlena
zdrojem Z; SZ, |Z|=h =45 cm. Určete:

poloměr kružnice ohraničující osvětlenou část koule a výšku
osvětlené části koule,
obsah vrženého stínu koule na rovinu .

Řešení:
a) osvětlená část koule = kul. vrchlík o výšce v
∆STZ:

∆STO:

= (h-r)  (r-v)
v = 7,5 (cm)

r2

r2

(r-v)2+2

=
 = 13 (cm)

Z

h-r

EVo



r-v

T

r
S

b) vržený stín = obsah kruhu se středem O´
∆ZOT

 ∆ZO´T´

S = 2120 (cm2)

l





h
h  2r  v

l = 26 (cm)

?l

ZT  tečna kul. plochy

Cvičení
Př. 1: Kulová úseč má poloměr podstavy 8 cm a výšku
5 cm. Vypočtěte poloměr koule, jejíž částí je
8,9 cm
kulová úseč.
Př. 2: Ve vzdálenosti 10 cm od středu koule s poloměrem
20 cm veďte rovinu řezu. Vypočítejte poloměr řezu.
10 3

Př. 3: Je dána krychle s hranou délky a. Vypočítejte
poloměr koule, která je krychli opsaná a vepsaná.
a

3
2

,

a
2

Objem koule a jejích částí
Koule:

V 

4

r

3

r - poloměr koule

3

Kulová úseč: V 

v
6

Kulová výseč: V 

Kulová vrstva: V 

2

3 

2

v

r v

3

6

3 



podstavy úseče
v - výška úseče

r - poloměr koule
v - výška výseče

2

v

2

 - poloměr

2
1

 3  v
2
2

2



1, 2 - poloměry podstav vrstvy
v - výška vrstvy

Povrch koule a jejích částí
r - poloměr koule
S  4 r
Poznámka: Povrch koule = obsah kulové plochy se stejným r
2

Koule:

Kulový vrchlík nebo kulový pás:
S  2  rv

r - poloměr kulové plochy
v - výška vrchlíku (pásu)

Objem a povrch anuloidu:
V  2 r R
2

2

S  4  Rr
2

r - poloměr kruhu pro rotaci
R - vzdálenost středu kruhu od osy rotace

Nakloníme-li o 30 nádobu tvaru polokoule,
která byla zcela naplněna vodou, vyteče z ní
3,3 l vody. Kolik litrů vody v ní zůstane?

Příklad:
Řešení:

Zbytek vody v nádobě má tvar kulové úseče:

?
r1,v

V 

v
6

V  5

3 r

2
1

1
24

?

v

2

r 
3





r

2
2 
 

2  3 3 r    r    5  r 3
 



6
2 
 2   24




1,5 l
r

v

∆SAB je rovnostranný

r
v

2
r1

sin 60 


r1 

r

Při naklonění vyteče 3,3 l,
tj. V polokoule  V úseče:

2
3

r 
3

5
24

3

r

2

 r  3 ,3 l
3

r1

1
24

 r  0 ,3 l
3

Cvičení
Př. 1: Kolikrát se zmenší objem a povrch koule, jestliže
se její poloměr zmenší třikrát?
27, 9
Př. 2: Jakou hmotnost má planeta Země, je-li její
asi 5,991024 kg
průměrná hustota 5,52 g/cm3.
Př. 3: Jak vysoko musí být letec, má-li vidět 0,001
asi 12,7 km
zemského povrchu?

Př. 4: Vypočtěte objem a povrch kulové výseče, má-li
kul. úseč, která je částí výseče, poloměr podstavy
6 cm a výšku 2 cm.
V = 419 cm3; S = 314,16 cm2

Cvičení
Př. 5: Činka se skládá ze dvou koulí a spojovací tyče
délky 60 cm s průměrem 32 mm. Jaký je průměr
koulí, je-li hmotnost činky 50 kg a hustota
asi 17,8 cm
materiálu 7,8 g/cm3?
Př. 6: Vypočítejte povrch kulového vrchlíku a objem kul.
úseče, je-li poloměr koule 10 cm a výška kulové
úseče 6 cm.
S = 377 cm2, V = 904 cm3
Př. 7: Vypočtěte objem kulové vrstvy, mají-li podstavy
poloměry 13,2 cm a 10 cm a poloměr koule je
26 cm.
691 cm3


Slide 2

TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM
A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČR

Poznámky ve formátu PDF

Mgr. Martina Fainová

KOULE

KOULE
= množina bodů v prostoru, které mají od daného
pevného bodu S vzdálenost menší nebo rovnu
kladnému číslu r
= těleso, které vznikne rotací půlkruhu kolem
přímky, která obsahuje jeho průměr

Značení:
K(S;r)

S – střed koule
r – poloměr koule (SA, SB)
MM – průměr koule
hranice koule – kulová plocha

Kulová plocha
= množina bodů v prostoru, které mají od daného
pevného bodu S vzdálenost r > 0
– vznikne rotací půlkružnice

– střed koule je také středem kulové plochy
– kružnice kulové plochy ležící v rovině

procházející středem je hlavní kružnice
– kružnice kulové plochy, která neleží v rovině
procházející středem, je vedlejší kružnice

Vlastnosti koule
 je dokonale symetrická
 je středově souměrná podle středu S
 je osově souměrná podle lib. přímky procházející středem S
 je rovinově souměrná podle lib. roviny procházející S

 povrch koule tvoří kulová plocha se stejným středem
a poloměrem
 libovolným řezem koule je kružnice
Poznámka: Rotací kruhu kolem přímky, která
leží v rovině kruhu a kruh neprotíná, vznikne anuloid.

Kulový vrchlík
= část kulové plochy omezená její libov. kružnicí

= průnik kulové plochy a poloprostoru s hraniční
rovinou obsahující kružnici k
(tato rovina rozdělí kul. plochu na dva kul. vrchlíky)

kružnice = hrana kul. vrchlíku
 – poloměr hraniční kružnice
r – poloměr kulové plochy
v – výška vrchlíku

Kulová úseč
= část koule omezená její libov. kružnicí
= průnik koule a poloprostoru, jehož hraniční
rovina protíná kouli v kruhu o poloměru 
 kul. vrchlík a kruh tvoří hranici kul. úseče

kruh = podstava kul. úseče
 – poloměr podstavy
r – poloměr koule
v – výška kul. úseče

Kulová výseč
= sjednocení kulové úseče a rotačního kužele,
který má s kul. úsečí společnou podstavu
a jeho vrchol je středem příslušné koule
 hranicí je plášť kužele a kulový vrchlík

 – poloměr hraniční kružnice
r – poloměr koule
v – výška kul. výseče

Kulová vrstva, kulový pás
Kulový pás
= průnik kulové plochy a vrstvy s hraničními rovinami,
jejichž vzdálenosti od středu jsou menší než poloměr

Kulová vrstva
= průnik koule a vrstvy s hraničními rovinami, jejichž
vzdálenosti od středu jsou menší než poloměr koule
r – poloměr koule
O1,O2= středy hranič. kružnic
1,2 – poloměry hran. kružnic
v – výška kul. vrstvy (pásu)

Příklad:
a)
b)

Koule se středem S a poloměrem 15 cm je
položená na vodorovné rovině  a osvětlena
zdrojem Z; SZ, |Z|=h =45 cm. Určete:

poloměr kružnice ohraničující osvětlenou část koule a výšku
osvětlené části koule,
obsah vrženého stínu koule na rovinu .

Řešení:
a) osvětlená část koule = kul. vrchlík o výšce v
∆STZ:

∆STO:

= (h-r)  (r-v)
v = 7,5 (cm)

r2

r2

(r-v)2+2

=
 = 13 (cm)

Z

h-r

EVo



r-v

T

r
S

b) vržený stín = obsah kruhu se středem O´
∆ZOT

 ∆ZO´T´

S = 2120 (cm2)

l





h
h  2r  v

l = 26 (cm)

?l

ZT  tečna kul. plochy

Cvičení
Př. 1: Kulová úseč má poloměr podstavy 8 cm a výšku
5 cm. Vypočtěte poloměr koule, jejíž částí je
8,9 cm
kulová úseč.
Př. 2: Ve vzdálenosti 10 cm od středu koule s poloměrem
20 cm veďte rovinu řezu. Vypočítejte poloměr řezu.
10 3

Př. 3: Je dána krychle s hranou délky a. Vypočítejte
poloměr koule, která je krychli opsaná a vepsaná.
a

3
2

,

a
2

Objem koule a jejích částí
Koule:

V 

4

r

3

r - poloměr koule

3

Kulová úseč: V 

v
6

Kulová výseč: V 

Kulová vrstva: V 

2

3 

2

v

r v

3

6

3 



podstavy úseče
v - výška úseče

r - poloměr koule
v - výška výseče

2

v

2

 - poloměr

2
1

 3  v
2
2

2



1, 2 - poloměry podstav vrstvy
v - výška vrstvy

Povrch koule a jejích částí
r - poloměr koule
S  4 r
Poznámka: Povrch koule = obsah kulové plochy se stejným r
2

Koule:

Kulový vrchlík nebo kulový pás:
S  2  rv

r - poloměr kulové plochy
v - výška vrchlíku (pásu)

Objem a povrch anuloidu:
V  2 r R
2

2

S  4  Rr
2

r - poloměr kruhu pro rotaci
R - vzdálenost středu kruhu od osy rotace

Nakloníme-li o 30 nádobu tvaru polokoule,
která byla zcela naplněna vodou, vyteče z ní
3,3 l vody. Kolik litrů vody v ní zůstane?

Příklad:
Řešení:

Zbytek vody v nádobě má tvar kulové úseče:

?
r1,v

V 

v
6

V  5

3 r

2
1

1
24

?

v

2

r 
3





r

2
2 
 

2  3 3 r    r    5  r 3
 



6
2 
 2   24




1,5 l
r

v

∆SAB je rovnostranný

r
v

2
r1

sin 60 


r1 

r

Při naklonění vyteče 3,3 l,
tj. V polokoule  V úseče:

2
3

r 
3

5
24

3

r

2

 r  3 ,3 l
3

r1

1
24

 r  0 ,3 l
3

Cvičení
Př. 1: Kolikrát se zmenší objem a povrch koule, jestliže
se její poloměr zmenší třikrát?
27, 9
Př. 2: Jakou hmotnost má planeta Země, je-li její
asi 5,991024 kg
průměrná hustota 5,52 g/cm3.
Př. 3: Jak vysoko musí být letec, má-li vidět 0,001
asi 12,7 km
zemského povrchu?

Př. 4: Vypočtěte objem a povrch kulové výseče, má-li
kul. úseč, která je částí výseče, poloměr podstavy
6 cm a výšku 2 cm.
V = 419 cm3; S = 314,16 cm2

Cvičení
Př. 5: Činka se skládá ze dvou koulí a spojovací tyče
délky 60 cm s průměrem 32 mm. Jaký je průměr
koulí, je-li hmotnost činky 50 kg a hustota
asi 17,8 cm
materiálu 7,8 g/cm3?
Př. 6: Vypočítejte povrch kulového vrchlíku a objem kul.
úseče, je-li poloměr koule 10 cm a výška kulové
úseče 6 cm.
S = 377 cm2, V = 904 cm3
Př. 7: Vypočtěte objem kulové vrstvy, mají-li podstavy
poloměry 13,2 cm a 10 cm a poloměr koule je
26 cm.
691 cm3


Slide 3

TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM
A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČR

Poznámky ve formátu PDF

Mgr. Martina Fainová

KOULE

KOULE
= množina bodů v prostoru, které mají od daného
pevného bodu S vzdálenost menší nebo rovnu
kladnému číslu r
= těleso, které vznikne rotací půlkruhu kolem
přímky, která obsahuje jeho průměr

Značení:
K(S;r)

S – střed koule
r – poloměr koule (SA, SB)
MM – průměr koule
hranice koule – kulová plocha

Kulová plocha
= množina bodů v prostoru, které mají od daného
pevného bodu S vzdálenost r > 0
– vznikne rotací půlkružnice

– střed koule je také středem kulové plochy
– kružnice kulové plochy ležící v rovině

procházející středem je hlavní kružnice
– kružnice kulové plochy, která neleží v rovině
procházející středem, je vedlejší kružnice

Vlastnosti koule
 je dokonale symetrická
 je středově souměrná podle středu S
 je osově souměrná podle lib. přímky procházející středem S
 je rovinově souměrná podle lib. roviny procházející S

 povrch koule tvoří kulová plocha se stejným středem
a poloměrem
 libovolným řezem koule je kružnice
Poznámka: Rotací kruhu kolem přímky, která
leží v rovině kruhu a kruh neprotíná, vznikne anuloid.

Kulový vrchlík
= část kulové plochy omezená její libov. kružnicí

= průnik kulové plochy a poloprostoru s hraniční
rovinou obsahující kružnici k
(tato rovina rozdělí kul. plochu na dva kul. vrchlíky)

kružnice = hrana kul. vrchlíku
 – poloměr hraniční kružnice
r – poloměr kulové plochy
v – výška vrchlíku

Kulová úseč
= část koule omezená její libov. kružnicí
= průnik koule a poloprostoru, jehož hraniční
rovina protíná kouli v kruhu o poloměru 
 kul. vrchlík a kruh tvoří hranici kul. úseče

kruh = podstava kul. úseče
 – poloměr podstavy
r – poloměr koule
v – výška kul. úseče

Kulová výseč
= sjednocení kulové úseče a rotačního kužele,
který má s kul. úsečí společnou podstavu
a jeho vrchol je středem příslušné koule
 hranicí je plášť kužele a kulový vrchlík

 – poloměr hraniční kružnice
r – poloměr koule
v – výška kul. výseče

Kulová vrstva, kulový pás
Kulový pás
= průnik kulové plochy a vrstvy s hraničními rovinami,
jejichž vzdálenosti od středu jsou menší než poloměr

Kulová vrstva
= průnik koule a vrstvy s hraničními rovinami, jejichž
vzdálenosti od středu jsou menší než poloměr koule
r – poloměr koule
O1,O2= středy hranič. kružnic
1,2 – poloměry hran. kružnic
v – výška kul. vrstvy (pásu)

Příklad:
a)
b)

Koule se středem S a poloměrem 15 cm je
položená na vodorovné rovině  a osvětlena
zdrojem Z; SZ, |Z|=h =45 cm. Určete:

poloměr kružnice ohraničující osvětlenou část koule a výšku
osvětlené části koule,
obsah vrženého stínu koule na rovinu .

Řešení:
a) osvětlená část koule = kul. vrchlík o výšce v
∆STZ:

∆STO:

= (h-r)  (r-v)
v = 7,5 (cm)

r2

r2

(r-v)2+2

=
 = 13 (cm)

Z

h-r

EVo



r-v

T

r
S

b) vržený stín = obsah kruhu se středem O´
∆ZOT

 ∆ZO´T´

S = 2120 (cm2)

l





h
h  2r  v

l = 26 (cm)

?l

ZT  tečna kul. plochy

Cvičení
Př. 1: Kulová úseč má poloměr podstavy 8 cm a výšku
5 cm. Vypočtěte poloměr koule, jejíž částí je
8,9 cm
kulová úseč.
Př. 2: Ve vzdálenosti 10 cm od středu koule s poloměrem
20 cm veďte rovinu řezu. Vypočítejte poloměr řezu.
10 3

Př. 3: Je dána krychle s hranou délky a. Vypočítejte
poloměr koule, která je krychli opsaná a vepsaná.
a

3
2

,

a
2

Objem koule a jejích částí
Koule:

V 

4

r

3

r - poloměr koule

3

Kulová úseč: V 

v
6

Kulová výseč: V 

Kulová vrstva: V 

2

3 

2

v

r v

3

6

3 



podstavy úseče
v - výška úseče

r - poloměr koule
v - výška výseče

2

v

2

 - poloměr

2
1

 3  v
2
2

2



1, 2 - poloměry podstav vrstvy
v - výška vrstvy

Povrch koule a jejích částí
r - poloměr koule
S  4 r
Poznámka: Povrch koule = obsah kulové plochy se stejným r
2

Koule:

Kulový vrchlík nebo kulový pás:
S  2  rv

r - poloměr kulové plochy
v - výška vrchlíku (pásu)

Objem a povrch anuloidu:
V  2 r R
2

2

S  4  Rr
2

r - poloměr kruhu pro rotaci
R - vzdálenost středu kruhu od osy rotace

Nakloníme-li o 30 nádobu tvaru polokoule,
která byla zcela naplněna vodou, vyteče z ní
3,3 l vody. Kolik litrů vody v ní zůstane?

Příklad:
Řešení:

Zbytek vody v nádobě má tvar kulové úseče:

?
r1,v

V 

v
6

V  5

3 r

2
1

1
24

?

v

2

r 
3





r

2
2 
 

2  3 3 r    r    5  r 3
 



6
2 
 2   24




1,5 l
r

v

∆SAB je rovnostranný

r
v

2
r1

sin 60 


r1 

r

Při naklonění vyteče 3,3 l,
tj. V polokoule  V úseče:

2
3

r 
3

5
24

3

r

2

 r  3 ,3 l
3

r1

1
24

 r  0 ,3 l
3

Cvičení
Př. 1: Kolikrát se zmenší objem a povrch koule, jestliže
se její poloměr zmenší třikrát?
27, 9
Př. 2: Jakou hmotnost má planeta Země, je-li její
asi 5,991024 kg
průměrná hustota 5,52 g/cm3.
Př. 3: Jak vysoko musí být letec, má-li vidět 0,001
asi 12,7 km
zemského povrchu?

Př. 4: Vypočtěte objem a povrch kulové výseče, má-li
kul. úseč, která je částí výseče, poloměr podstavy
6 cm a výšku 2 cm.
V = 419 cm3; S = 314,16 cm2

Cvičení
Př. 5: Činka se skládá ze dvou koulí a spojovací tyče
délky 60 cm s průměrem 32 mm. Jaký je průměr
koulí, je-li hmotnost činky 50 kg a hustota
asi 17,8 cm
materiálu 7,8 g/cm3?
Př. 6: Vypočítejte povrch kulového vrchlíku a objem kul.
úseče, je-li poloměr koule 10 cm a výška kulové
úseče 6 cm.
S = 377 cm2, V = 904 cm3
Př. 7: Vypočtěte objem kulové vrstvy, mají-li podstavy
poloměry 13,2 cm a 10 cm a poloměr koule je
26 cm.
691 cm3


Slide 4

TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM
A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČR

Poznámky ve formátu PDF

Mgr. Martina Fainová

KOULE

KOULE
= množina bodů v prostoru, které mají od daného
pevného bodu S vzdálenost menší nebo rovnu
kladnému číslu r
= těleso, které vznikne rotací půlkruhu kolem
přímky, která obsahuje jeho průměr

Značení:
K(S;r)

S – střed koule
r – poloměr koule (SA, SB)
MM – průměr koule
hranice koule – kulová plocha

Kulová plocha
= množina bodů v prostoru, které mají od daného
pevného bodu S vzdálenost r > 0
– vznikne rotací půlkružnice

– střed koule je také středem kulové plochy
– kružnice kulové plochy ležící v rovině

procházející středem je hlavní kružnice
– kružnice kulové plochy, která neleží v rovině
procházející středem, je vedlejší kružnice

Vlastnosti koule
 je dokonale symetrická
 je středově souměrná podle středu S
 je osově souměrná podle lib. přímky procházející středem S
 je rovinově souměrná podle lib. roviny procházející S

 povrch koule tvoří kulová plocha se stejným středem
a poloměrem
 libovolným řezem koule je kružnice
Poznámka: Rotací kruhu kolem přímky, která
leží v rovině kruhu a kruh neprotíná, vznikne anuloid.

Kulový vrchlík
= část kulové plochy omezená její libov. kružnicí

= průnik kulové plochy a poloprostoru s hraniční
rovinou obsahující kružnici k
(tato rovina rozdělí kul. plochu na dva kul. vrchlíky)

kružnice = hrana kul. vrchlíku
 – poloměr hraniční kružnice
r – poloměr kulové plochy
v – výška vrchlíku

Kulová úseč
= část koule omezená její libov. kružnicí
= průnik koule a poloprostoru, jehož hraniční
rovina protíná kouli v kruhu o poloměru 
 kul. vrchlík a kruh tvoří hranici kul. úseče

kruh = podstava kul. úseče
 – poloměr podstavy
r – poloměr koule
v – výška kul. úseče

Kulová výseč
= sjednocení kulové úseče a rotačního kužele,
který má s kul. úsečí společnou podstavu
a jeho vrchol je středem příslušné koule
 hranicí je plášť kužele a kulový vrchlík

 – poloměr hraniční kružnice
r – poloměr koule
v – výška kul. výseče

Kulová vrstva, kulový pás
Kulový pás
= průnik kulové plochy a vrstvy s hraničními rovinami,
jejichž vzdálenosti od středu jsou menší než poloměr

Kulová vrstva
= průnik koule a vrstvy s hraničními rovinami, jejichž
vzdálenosti od středu jsou menší než poloměr koule
r – poloměr koule
O1,O2= středy hranič. kružnic
1,2 – poloměry hran. kružnic
v – výška kul. vrstvy (pásu)

Příklad:
a)
b)

Koule se středem S a poloměrem 15 cm je
položená na vodorovné rovině  a osvětlena
zdrojem Z; SZ, |Z|=h =45 cm. Určete:

poloměr kružnice ohraničující osvětlenou část koule a výšku
osvětlené části koule,
obsah vrženého stínu koule na rovinu .

Řešení:
a) osvětlená část koule = kul. vrchlík o výšce v
∆STZ:

∆STO:

= (h-r)  (r-v)
v = 7,5 (cm)

r2

r2

(r-v)2+2

=
 = 13 (cm)

Z

h-r

EVo



r-v

T

r
S

b) vržený stín = obsah kruhu se středem O´
∆ZOT

 ∆ZO´T´

S = 2120 (cm2)

l





h
h  2r  v

l = 26 (cm)

?l

ZT  tečna kul. plochy

Cvičení
Př. 1: Kulová úseč má poloměr podstavy 8 cm a výšku
5 cm. Vypočtěte poloměr koule, jejíž částí je
8,9 cm
kulová úseč.
Př. 2: Ve vzdálenosti 10 cm od středu koule s poloměrem
20 cm veďte rovinu řezu. Vypočítejte poloměr řezu.
10 3

Př. 3: Je dána krychle s hranou délky a. Vypočítejte
poloměr koule, která je krychli opsaná a vepsaná.
a

3
2

,

a
2

Objem koule a jejích částí
Koule:

V 

4

r

3

r - poloměr koule

3

Kulová úseč: V 

v
6

Kulová výseč: V 

Kulová vrstva: V 

2

3 

2

v

r v

3

6

3 



podstavy úseče
v - výška úseče

r - poloměr koule
v - výška výseče

2

v

2

 - poloměr

2
1

 3  v
2
2

2



1, 2 - poloměry podstav vrstvy
v - výška vrstvy

Povrch koule a jejích částí
r - poloměr koule
S  4 r
Poznámka: Povrch koule = obsah kulové plochy se stejným r
2

Koule:

Kulový vrchlík nebo kulový pás:
S  2  rv

r - poloměr kulové plochy
v - výška vrchlíku (pásu)

Objem a povrch anuloidu:
V  2 r R
2

2

S  4  Rr
2

r - poloměr kruhu pro rotaci
R - vzdálenost středu kruhu od osy rotace

Nakloníme-li o 30 nádobu tvaru polokoule,
která byla zcela naplněna vodou, vyteče z ní
3,3 l vody. Kolik litrů vody v ní zůstane?

Příklad:
Řešení:

Zbytek vody v nádobě má tvar kulové úseče:

?
r1,v

V 

v
6

V  5

3 r

2
1

1
24

?

v

2

r 
3





r

2
2 
 

2  3 3 r    r    5  r 3
 



6
2 
 2   24




1,5 l
r

v

∆SAB je rovnostranný

r
v

2
r1

sin 60 


r1 

r

Při naklonění vyteče 3,3 l,
tj. V polokoule  V úseče:

2
3

r 
3

5
24

3

r

2

 r  3 ,3 l
3

r1

1
24

 r  0 ,3 l
3

Cvičení
Př. 1: Kolikrát se zmenší objem a povrch koule, jestliže
se její poloměr zmenší třikrát?
27, 9
Př. 2: Jakou hmotnost má planeta Země, je-li její
asi 5,991024 kg
průměrná hustota 5,52 g/cm3.
Př. 3: Jak vysoko musí být letec, má-li vidět 0,001
asi 12,7 km
zemského povrchu?

Př. 4: Vypočtěte objem a povrch kulové výseče, má-li
kul. úseč, která je částí výseče, poloměr podstavy
6 cm a výšku 2 cm.
V = 419 cm3; S = 314,16 cm2

Cvičení
Př. 5: Činka se skládá ze dvou koulí a spojovací tyče
délky 60 cm s průměrem 32 mm. Jaký je průměr
koulí, je-li hmotnost činky 50 kg a hustota
asi 17,8 cm
materiálu 7,8 g/cm3?
Př. 6: Vypočítejte povrch kulového vrchlíku a objem kul.
úseče, je-li poloměr koule 10 cm a výška kulové
úseče 6 cm.
S = 377 cm2, V = 904 cm3
Př. 7: Vypočtěte objem kulové vrstvy, mají-li podstavy
poloměry 13,2 cm a 10 cm a poloměr koule je
26 cm.
691 cm3


Slide 5

TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM
A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČR

Poznámky ve formátu PDF

Mgr. Martina Fainová

KOULE

KOULE
= množina bodů v prostoru, které mají od daného
pevného bodu S vzdálenost menší nebo rovnu
kladnému číslu r
= těleso, které vznikne rotací půlkruhu kolem
přímky, která obsahuje jeho průměr

Značení:
K(S;r)

S – střed koule
r – poloměr koule (SA, SB)
MM – průměr koule
hranice koule – kulová plocha

Kulová plocha
= množina bodů v prostoru, které mají od daného
pevného bodu S vzdálenost r > 0
– vznikne rotací půlkružnice

– střed koule je také středem kulové plochy
– kružnice kulové plochy ležící v rovině

procházející středem je hlavní kružnice
– kružnice kulové plochy, která neleží v rovině
procházející středem, je vedlejší kružnice

Vlastnosti koule
 je dokonale symetrická
 je středově souměrná podle středu S
 je osově souměrná podle lib. přímky procházející středem S
 je rovinově souměrná podle lib. roviny procházející S

 povrch koule tvoří kulová plocha se stejným středem
a poloměrem
 libovolným řezem koule je kružnice
Poznámka: Rotací kruhu kolem přímky, která
leží v rovině kruhu a kruh neprotíná, vznikne anuloid.

Kulový vrchlík
= část kulové plochy omezená její libov. kružnicí

= průnik kulové plochy a poloprostoru s hraniční
rovinou obsahující kružnici k
(tato rovina rozdělí kul. plochu na dva kul. vrchlíky)

kružnice = hrana kul. vrchlíku
 – poloměr hraniční kružnice
r – poloměr kulové plochy
v – výška vrchlíku

Kulová úseč
= část koule omezená její libov. kružnicí
= průnik koule a poloprostoru, jehož hraniční
rovina protíná kouli v kruhu o poloměru 
 kul. vrchlík a kruh tvoří hranici kul. úseče

kruh = podstava kul. úseče
 – poloměr podstavy
r – poloměr koule
v – výška kul. úseče

Kulová výseč
= sjednocení kulové úseče a rotačního kužele,
který má s kul. úsečí společnou podstavu
a jeho vrchol je středem příslušné koule
 hranicí je plášť kužele a kulový vrchlík

 – poloměr hraniční kružnice
r – poloměr koule
v – výška kul. výseče

Kulová vrstva, kulový pás
Kulový pás
= průnik kulové plochy a vrstvy s hraničními rovinami,
jejichž vzdálenosti od středu jsou menší než poloměr

Kulová vrstva
= průnik koule a vrstvy s hraničními rovinami, jejichž
vzdálenosti od středu jsou menší než poloměr koule
r – poloměr koule
O1,O2= středy hranič. kružnic
1,2 – poloměry hran. kružnic
v – výška kul. vrstvy (pásu)

Příklad:
a)
b)

Koule se středem S a poloměrem 15 cm je
položená na vodorovné rovině  a osvětlena
zdrojem Z; SZ, |Z|=h =45 cm. Určete:

poloměr kružnice ohraničující osvětlenou část koule a výšku
osvětlené části koule,
obsah vrženého stínu koule na rovinu .

Řešení:
a) osvětlená část koule = kul. vrchlík o výšce v
∆STZ:

∆STO:

= (h-r)  (r-v)
v = 7,5 (cm)

r2

r2

(r-v)2+2

=
 = 13 (cm)

Z

h-r

EVo



r-v

T

r
S

b) vržený stín = obsah kruhu se středem O´
∆ZOT

 ∆ZO´T´

S = 2120 (cm2)

l





h
h  2r  v

l = 26 (cm)

?l

ZT  tečna kul. plochy

Cvičení
Př. 1: Kulová úseč má poloměr podstavy 8 cm a výšku
5 cm. Vypočtěte poloměr koule, jejíž částí je
8,9 cm
kulová úseč.
Př. 2: Ve vzdálenosti 10 cm od středu koule s poloměrem
20 cm veďte rovinu řezu. Vypočítejte poloměr řezu.
10 3

Př. 3: Je dána krychle s hranou délky a. Vypočítejte
poloměr koule, která je krychli opsaná a vepsaná.
a

3
2

,

a
2

Objem koule a jejích částí
Koule:

V 

4

r

3

r - poloměr koule

3

Kulová úseč: V 

v
6

Kulová výseč: V 

Kulová vrstva: V 

2

3 

2

v

r v

3

6

3 



podstavy úseče
v - výška úseče

r - poloměr koule
v - výška výseče

2

v

2

 - poloměr

2
1

 3  v
2
2

2



1, 2 - poloměry podstav vrstvy
v - výška vrstvy

Povrch koule a jejích částí
r - poloměr koule
S  4 r
Poznámka: Povrch koule = obsah kulové plochy se stejným r
2

Koule:

Kulový vrchlík nebo kulový pás:
S  2  rv

r - poloměr kulové plochy
v - výška vrchlíku (pásu)

Objem a povrch anuloidu:
V  2 r R
2

2

S  4  Rr
2

r - poloměr kruhu pro rotaci
R - vzdálenost středu kruhu od osy rotace

Nakloníme-li o 30 nádobu tvaru polokoule,
která byla zcela naplněna vodou, vyteče z ní
3,3 l vody. Kolik litrů vody v ní zůstane?

Příklad:
Řešení:

Zbytek vody v nádobě má tvar kulové úseče:

?
r1,v

V 

v
6

V  5

3 r

2
1

1
24

?

v

2

r 
3





r

2
2 
 

2  3 3 r    r    5  r 3
 



6
2 
 2   24




1,5 l
r

v

∆SAB je rovnostranný

r
v

2
r1

sin 60 


r1 

r

Při naklonění vyteče 3,3 l,
tj. V polokoule  V úseče:

2
3

r 
3

5
24

3

r

2

 r  3 ,3 l
3

r1

1
24

 r  0 ,3 l
3

Cvičení
Př. 1: Kolikrát se zmenší objem a povrch koule, jestliže
se její poloměr zmenší třikrát?
27, 9
Př. 2: Jakou hmotnost má planeta Země, je-li její
asi 5,991024 kg
průměrná hustota 5,52 g/cm3.
Př. 3: Jak vysoko musí být letec, má-li vidět 0,001
asi 12,7 km
zemského povrchu?

Př. 4: Vypočtěte objem a povrch kulové výseče, má-li
kul. úseč, která je částí výseče, poloměr podstavy
6 cm a výšku 2 cm.
V = 419 cm3; S = 314,16 cm2

Cvičení
Př. 5: Činka se skládá ze dvou koulí a spojovací tyče
délky 60 cm s průměrem 32 mm. Jaký je průměr
koulí, je-li hmotnost činky 50 kg a hustota
asi 17,8 cm
materiálu 7,8 g/cm3?
Př. 6: Vypočítejte povrch kulového vrchlíku a objem kul.
úseče, je-li poloměr koule 10 cm a výška kulové
úseče 6 cm.
S = 377 cm2, V = 904 cm3
Př. 7: Vypočtěte objem kulové vrstvy, mají-li podstavy
poloměry 13,2 cm a 10 cm a poloměr koule je
26 cm.
691 cm3


Slide 6

TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM
A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČR

Poznámky ve formátu PDF

Mgr. Martina Fainová

KOULE

KOULE
= množina bodů v prostoru, které mají od daného
pevného bodu S vzdálenost menší nebo rovnu
kladnému číslu r
= těleso, které vznikne rotací půlkruhu kolem
přímky, která obsahuje jeho průměr

Značení:
K(S;r)

S – střed koule
r – poloměr koule (SA, SB)
MM – průměr koule
hranice koule – kulová plocha

Kulová plocha
= množina bodů v prostoru, které mají od daného
pevného bodu S vzdálenost r > 0
– vznikne rotací půlkružnice

– střed koule je také středem kulové plochy
– kružnice kulové plochy ležící v rovině

procházející středem je hlavní kružnice
– kružnice kulové plochy, která neleží v rovině
procházející středem, je vedlejší kružnice

Vlastnosti koule
 je dokonale symetrická
 je středově souměrná podle středu S
 je osově souměrná podle lib. přímky procházející středem S
 je rovinově souměrná podle lib. roviny procházející S

 povrch koule tvoří kulová plocha se stejným středem
a poloměrem
 libovolným řezem koule je kružnice
Poznámka: Rotací kruhu kolem přímky, která
leží v rovině kruhu a kruh neprotíná, vznikne anuloid.

Kulový vrchlík
= část kulové plochy omezená její libov. kružnicí

= průnik kulové plochy a poloprostoru s hraniční
rovinou obsahující kružnici k
(tato rovina rozdělí kul. plochu na dva kul. vrchlíky)

kružnice = hrana kul. vrchlíku
 – poloměr hraniční kružnice
r – poloměr kulové plochy
v – výška vrchlíku

Kulová úseč
= část koule omezená její libov. kružnicí
= průnik koule a poloprostoru, jehož hraniční
rovina protíná kouli v kruhu o poloměru 
 kul. vrchlík a kruh tvoří hranici kul. úseče

kruh = podstava kul. úseče
 – poloměr podstavy
r – poloměr koule
v – výška kul. úseče

Kulová výseč
= sjednocení kulové úseče a rotačního kužele,
který má s kul. úsečí společnou podstavu
a jeho vrchol je středem příslušné koule
 hranicí je plášť kužele a kulový vrchlík

 – poloměr hraniční kružnice
r – poloměr koule
v – výška kul. výseče

Kulová vrstva, kulový pás
Kulový pás
= průnik kulové plochy a vrstvy s hraničními rovinami,
jejichž vzdálenosti od středu jsou menší než poloměr

Kulová vrstva
= průnik koule a vrstvy s hraničními rovinami, jejichž
vzdálenosti od středu jsou menší než poloměr koule
r – poloměr koule
O1,O2= středy hranič. kružnic
1,2 – poloměry hran. kružnic
v – výška kul. vrstvy (pásu)

Příklad:
a)
b)

Koule se středem S a poloměrem 15 cm je
položená na vodorovné rovině  a osvětlena
zdrojem Z; SZ, |Z|=h =45 cm. Určete:

poloměr kružnice ohraničující osvětlenou část koule a výšku
osvětlené části koule,
obsah vrženého stínu koule na rovinu .

Řešení:
a) osvětlená část koule = kul. vrchlík o výšce v
∆STZ:

∆STO:

= (h-r)  (r-v)
v = 7,5 (cm)

r2

r2

(r-v)2+2

=
 = 13 (cm)

Z

h-r

EVo



r-v

T

r
S

b) vržený stín = obsah kruhu se středem O´
∆ZOT

 ∆ZO´T´

S = 2120 (cm2)

l





h
h  2r  v

l = 26 (cm)

?l

ZT  tečna kul. plochy

Cvičení
Př. 1: Kulová úseč má poloměr podstavy 8 cm a výšku
5 cm. Vypočtěte poloměr koule, jejíž částí je
8,9 cm
kulová úseč.
Př. 2: Ve vzdálenosti 10 cm od středu koule s poloměrem
20 cm veďte rovinu řezu. Vypočítejte poloměr řezu.
10 3

Př. 3: Je dána krychle s hranou délky a. Vypočítejte
poloměr koule, která je krychli opsaná a vepsaná.
a

3
2

,

a
2

Objem koule a jejích částí
Koule:

V 

4

r

3

r - poloměr koule

3

Kulová úseč: V 

v
6

Kulová výseč: V 

Kulová vrstva: V 

2

3 

2

v

r v

3

6

3 



podstavy úseče
v - výška úseče

r - poloměr koule
v - výška výseče

2

v

2

 - poloměr

2
1

 3  v
2
2

2



1, 2 - poloměry podstav vrstvy
v - výška vrstvy

Povrch koule a jejích částí
r - poloměr koule
S  4 r
Poznámka: Povrch koule = obsah kulové plochy se stejným r
2

Koule:

Kulový vrchlík nebo kulový pás:
S  2  rv

r - poloměr kulové plochy
v - výška vrchlíku (pásu)

Objem a povrch anuloidu:
V  2 r R
2

2

S  4  Rr
2

r - poloměr kruhu pro rotaci
R - vzdálenost středu kruhu od osy rotace

Nakloníme-li o 30 nádobu tvaru polokoule,
která byla zcela naplněna vodou, vyteče z ní
3,3 l vody. Kolik litrů vody v ní zůstane?

Příklad:
Řešení:

Zbytek vody v nádobě má tvar kulové úseče:

?
r1,v

V 

v
6

V  5

3 r

2
1

1
24

?

v

2

r 
3





r

2
2 
 

2  3 3 r    r    5  r 3
 



6
2 
 2   24




1,5 l
r

v

∆SAB je rovnostranný

r
v

2
r1

sin 60 


r1 

r

Při naklonění vyteče 3,3 l,
tj. V polokoule  V úseče:

2
3

r 
3

5
24

3

r

2

 r  3 ,3 l
3

r1

1
24

 r  0 ,3 l
3

Cvičení
Př. 1: Kolikrát se zmenší objem a povrch koule, jestliže
se její poloměr zmenší třikrát?
27, 9
Př. 2: Jakou hmotnost má planeta Země, je-li její
asi 5,991024 kg
průměrná hustota 5,52 g/cm3.
Př. 3: Jak vysoko musí být letec, má-li vidět 0,001
asi 12,7 km
zemského povrchu?

Př. 4: Vypočtěte objem a povrch kulové výseče, má-li
kul. úseč, která je částí výseče, poloměr podstavy
6 cm a výšku 2 cm.
V = 419 cm3; S = 314,16 cm2

Cvičení
Př. 5: Činka se skládá ze dvou koulí a spojovací tyče
délky 60 cm s průměrem 32 mm. Jaký je průměr
koulí, je-li hmotnost činky 50 kg a hustota
asi 17,8 cm
materiálu 7,8 g/cm3?
Př. 6: Vypočítejte povrch kulového vrchlíku a objem kul.
úseče, je-li poloměr koule 10 cm a výška kulové
úseče 6 cm.
S = 377 cm2, V = 904 cm3
Př. 7: Vypočtěte objem kulové vrstvy, mají-li podstavy
poloměry 13,2 cm a 10 cm a poloměr koule je
26 cm.
691 cm3


Slide 7

TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM
A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČR

Poznámky ve formátu PDF

Mgr. Martina Fainová

KOULE

KOULE
= množina bodů v prostoru, které mají od daného
pevného bodu S vzdálenost menší nebo rovnu
kladnému číslu r
= těleso, které vznikne rotací půlkruhu kolem
přímky, která obsahuje jeho průměr

Značení:
K(S;r)

S – střed koule
r – poloměr koule (SA, SB)
MM – průměr koule
hranice koule – kulová plocha

Kulová plocha
= množina bodů v prostoru, které mají od daného
pevného bodu S vzdálenost r > 0
– vznikne rotací půlkružnice

– střed koule je také středem kulové plochy
– kružnice kulové plochy ležící v rovině

procházející středem je hlavní kružnice
– kružnice kulové plochy, která neleží v rovině
procházející středem, je vedlejší kružnice

Vlastnosti koule
 je dokonale symetrická
 je středově souměrná podle středu S
 je osově souměrná podle lib. přímky procházející středem S
 je rovinově souměrná podle lib. roviny procházející S

 povrch koule tvoří kulová plocha se stejným středem
a poloměrem
 libovolným řezem koule je kružnice
Poznámka: Rotací kruhu kolem přímky, která
leží v rovině kruhu a kruh neprotíná, vznikne anuloid.

Kulový vrchlík
= část kulové plochy omezená její libov. kružnicí

= průnik kulové plochy a poloprostoru s hraniční
rovinou obsahující kružnici k
(tato rovina rozdělí kul. plochu na dva kul. vrchlíky)

kružnice = hrana kul. vrchlíku
 – poloměr hraniční kružnice
r – poloměr kulové plochy
v – výška vrchlíku

Kulová úseč
= část koule omezená její libov. kružnicí
= průnik koule a poloprostoru, jehož hraniční
rovina protíná kouli v kruhu o poloměru 
 kul. vrchlík a kruh tvoří hranici kul. úseče

kruh = podstava kul. úseče
 – poloměr podstavy
r – poloměr koule
v – výška kul. úseče

Kulová výseč
= sjednocení kulové úseče a rotačního kužele,
který má s kul. úsečí společnou podstavu
a jeho vrchol je středem příslušné koule
 hranicí je plášť kužele a kulový vrchlík

 – poloměr hraniční kružnice
r – poloměr koule
v – výška kul. výseče

Kulová vrstva, kulový pás
Kulový pás
= průnik kulové plochy a vrstvy s hraničními rovinami,
jejichž vzdálenosti od středu jsou menší než poloměr

Kulová vrstva
= průnik koule a vrstvy s hraničními rovinami, jejichž
vzdálenosti od středu jsou menší než poloměr koule
r – poloměr koule
O1,O2= středy hranič. kružnic
1,2 – poloměry hran. kružnic
v – výška kul. vrstvy (pásu)

Příklad:
a)
b)

Koule se středem S a poloměrem 15 cm je
položená na vodorovné rovině  a osvětlena
zdrojem Z; SZ, |Z|=h =45 cm. Určete:

poloměr kružnice ohraničující osvětlenou část koule a výšku
osvětlené části koule,
obsah vrženého stínu koule na rovinu .

Řešení:
a) osvětlená část koule = kul. vrchlík o výšce v
∆STZ:

∆STO:

= (h-r)  (r-v)
v = 7,5 (cm)

r2

r2

(r-v)2+2

=
 = 13 (cm)

Z

h-r

EVo



r-v

T

r
S

b) vržený stín = obsah kruhu se středem O´
∆ZOT

 ∆ZO´T´

S = 2120 (cm2)

l





h
h  2r  v

l = 26 (cm)

?l

ZT  tečna kul. plochy

Cvičení
Př. 1: Kulová úseč má poloměr podstavy 8 cm a výšku
5 cm. Vypočtěte poloměr koule, jejíž částí je
8,9 cm
kulová úseč.
Př. 2: Ve vzdálenosti 10 cm od středu koule s poloměrem
20 cm veďte rovinu řezu. Vypočítejte poloměr řezu.
10 3

Př. 3: Je dána krychle s hranou délky a. Vypočítejte
poloměr koule, která je krychli opsaná a vepsaná.
a

3
2

,

a
2

Objem koule a jejích částí
Koule:

V 

4

r

3

r - poloměr koule

3

Kulová úseč: V 

v
6

Kulová výseč: V 

Kulová vrstva: V 

2

3 

2

v

r v

3

6

3 



podstavy úseče
v - výška úseče

r - poloměr koule
v - výška výseče

2

v

2

 - poloměr

2
1

 3  v
2
2

2



1, 2 - poloměry podstav vrstvy
v - výška vrstvy

Povrch koule a jejích částí
r - poloměr koule
S  4 r
Poznámka: Povrch koule = obsah kulové plochy se stejným r
2

Koule:

Kulový vrchlík nebo kulový pás:
S  2  rv

r - poloměr kulové plochy
v - výška vrchlíku (pásu)

Objem a povrch anuloidu:
V  2 r R
2

2

S  4  Rr
2

r - poloměr kruhu pro rotaci
R - vzdálenost středu kruhu od osy rotace

Nakloníme-li o 30 nádobu tvaru polokoule,
která byla zcela naplněna vodou, vyteče z ní
3,3 l vody. Kolik litrů vody v ní zůstane?

Příklad:
Řešení:

Zbytek vody v nádobě má tvar kulové úseče:

?
r1,v

V 

v
6

V  5

3 r

2
1

1
24

?

v

2

r 
3





r

2
2 
 

2  3 3 r    r    5  r 3
 



6
2 
 2   24




1,5 l
r

v

∆SAB je rovnostranný

r
v

2
r1

sin 60 


r1 

r

Při naklonění vyteče 3,3 l,
tj. V polokoule  V úseče:

2
3

r 
3

5
24

3

r

2

 r  3 ,3 l
3

r1

1
24

 r  0 ,3 l
3

Cvičení
Př. 1: Kolikrát se zmenší objem a povrch koule, jestliže
se její poloměr zmenší třikrát?
27, 9
Př. 2: Jakou hmotnost má planeta Země, je-li její
asi 5,991024 kg
průměrná hustota 5,52 g/cm3.
Př. 3: Jak vysoko musí být letec, má-li vidět 0,001
asi 12,7 km
zemského povrchu?

Př. 4: Vypočtěte objem a povrch kulové výseče, má-li
kul. úseč, která je částí výseče, poloměr podstavy
6 cm a výšku 2 cm.
V = 419 cm3; S = 314,16 cm2

Cvičení
Př. 5: Činka se skládá ze dvou koulí a spojovací tyče
délky 60 cm s průměrem 32 mm. Jaký je průměr
koulí, je-li hmotnost činky 50 kg a hustota
asi 17,8 cm
materiálu 7,8 g/cm3?
Př. 6: Vypočítejte povrch kulového vrchlíku a objem kul.
úseče, je-li poloměr koule 10 cm a výška kulové
úseče 6 cm.
S = 377 cm2, V = 904 cm3
Př. 7: Vypočtěte objem kulové vrstvy, mají-li podstavy
poloměry 13,2 cm a 10 cm a poloměr koule je
26 cm.
691 cm3


Slide 8

TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM
A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČR

Poznámky ve formátu PDF

Mgr. Martina Fainová

KOULE

KOULE
= množina bodů v prostoru, které mají od daného
pevného bodu S vzdálenost menší nebo rovnu
kladnému číslu r
= těleso, které vznikne rotací půlkruhu kolem
přímky, která obsahuje jeho průměr

Značení:
K(S;r)

S – střed koule
r – poloměr koule (SA, SB)
MM – průměr koule
hranice koule – kulová plocha

Kulová plocha
= množina bodů v prostoru, které mají od daného
pevného bodu S vzdálenost r > 0
– vznikne rotací půlkružnice

– střed koule je také středem kulové plochy
– kružnice kulové plochy ležící v rovině

procházející středem je hlavní kružnice
– kružnice kulové plochy, která neleží v rovině
procházející středem, je vedlejší kružnice

Vlastnosti koule
 je dokonale symetrická
 je středově souměrná podle středu S
 je osově souměrná podle lib. přímky procházející středem S
 je rovinově souměrná podle lib. roviny procházející S

 povrch koule tvoří kulová plocha se stejným středem
a poloměrem
 libovolným řezem koule je kružnice
Poznámka: Rotací kruhu kolem přímky, která
leží v rovině kruhu a kruh neprotíná, vznikne anuloid.

Kulový vrchlík
= část kulové plochy omezená její libov. kružnicí

= průnik kulové plochy a poloprostoru s hraniční
rovinou obsahující kružnici k
(tato rovina rozdělí kul. plochu na dva kul. vrchlíky)

kružnice = hrana kul. vrchlíku
 – poloměr hraniční kružnice
r – poloměr kulové plochy
v – výška vrchlíku

Kulová úseč
= část koule omezená její libov. kružnicí
= průnik koule a poloprostoru, jehož hraniční
rovina protíná kouli v kruhu o poloměru 
 kul. vrchlík a kruh tvoří hranici kul. úseče

kruh = podstava kul. úseče
 – poloměr podstavy
r – poloměr koule
v – výška kul. úseče

Kulová výseč
= sjednocení kulové úseče a rotačního kužele,
který má s kul. úsečí společnou podstavu
a jeho vrchol je středem příslušné koule
 hranicí je plášť kužele a kulový vrchlík

 – poloměr hraniční kružnice
r – poloměr koule
v – výška kul. výseče

Kulová vrstva, kulový pás
Kulový pás
= průnik kulové plochy a vrstvy s hraničními rovinami,
jejichž vzdálenosti od středu jsou menší než poloměr

Kulová vrstva
= průnik koule a vrstvy s hraničními rovinami, jejichž
vzdálenosti od středu jsou menší než poloměr koule
r – poloměr koule
O1,O2= středy hranič. kružnic
1,2 – poloměry hran. kružnic
v – výška kul. vrstvy (pásu)

Příklad:
a)
b)

Koule se středem S a poloměrem 15 cm je
položená na vodorovné rovině  a osvětlena
zdrojem Z; SZ, |Z|=h =45 cm. Určete:

poloměr kružnice ohraničující osvětlenou část koule a výšku
osvětlené části koule,
obsah vrženého stínu koule na rovinu .

Řešení:
a) osvětlená část koule = kul. vrchlík o výšce v
∆STZ:

∆STO:

= (h-r)  (r-v)
v = 7,5 (cm)

r2

r2

(r-v)2+2

=
 = 13 (cm)

Z

h-r

EVo



r-v

T

r
S

b) vržený stín = obsah kruhu se středem O´
∆ZOT

 ∆ZO´T´

S = 2120 (cm2)

l





h
h  2r  v

l = 26 (cm)

?l

ZT  tečna kul. plochy

Cvičení
Př. 1: Kulová úseč má poloměr podstavy 8 cm a výšku
5 cm. Vypočtěte poloměr koule, jejíž částí je
8,9 cm
kulová úseč.
Př. 2: Ve vzdálenosti 10 cm od středu koule s poloměrem
20 cm veďte rovinu řezu. Vypočítejte poloměr řezu.
10 3

Př. 3: Je dána krychle s hranou délky a. Vypočítejte
poloměr koule, která je krychli opsaná a vepsaná.
a

3
2

,

a
2

Objem koule a jejích částí
Koule:

V 

4

r

3

r - poloměr koule

3

Kulová úseč: V 

v
6

Kulová výseč: V 

Kulová vrstva: V 

2

3 

2

v

r v

3

6

3 



podstavy úseče
v - výška úseče

r - poloměr koule
v - výška výseče

2

v

2

 - poloměr

2
1

 3  v
2
2

2



1, 2 - poloměry podstav vrstvy
v - výška vrstvy

Povrch koule a jejích částí
r - poloměr koule
S  4 r
Poznámka: Povrch koule = obsah kulové plochy se stejným r
2

Koule:

Kulový vrchlík nebo kulový pás:
S  2  rv

r - poloměr kulové plochy
v - výška vrchlíku (pásu)

Objem a povrch anuloidu:
V  2 r R
2

2

S  4  Rr
2

r - poloměr kruhu pro rotaci
R - vzdálenost středu kruhu od osy rotace

Nakloníme-li o 30 nádobu tvaru polokoule,
která byla zcela naplněna vodou, vyteče z ní
3,3 l vody. Kolik litrů vody v ní zůstane?

Příklad:
Řešení:

Zbytek vody v nádobě má tvar kulové úseče:

?
r1,v

V 

v
6

V  5

3 r

2
1

1
24

?

v

2

r 
3





r

2
2 
 

2  3 3 r    r    5  r 3
 



6
2 
 2   24




1,5 l
r

v

∆SAB je rovnostranný

r
v

2
r1

sin 60 


r1 

r

Při naklonění vyteče 3,3 l,
tj. V polokoule  V úseče:

2
3

r 
3

5
24

3

r

2

 r  3 ,3 l
3

r1

1
24

 r  0 ,3 l
3

Cvičení
Př. 1: Kolikrát se zmenší objem a povrch koule, jestliže
se její poloměr zmenší třikrát?
27, 9
Př. 2: Jakou hmotnost má planeta Země, je-li její
asi 5,991024 kg
průměrná hustota 5,52 g/cm3.
Př. 3: Jak vysoko musí být letec, má-li vidět 0,001
asi 12,7 km
zemského povrchu?

Př. 4: Vypočtěte objem a povrch kulové výseče, má-li
kul. úseč, která je částí výseče, poloměr podstavy
6 cm a výšku 2 cm.
V = 419 cm3; S = 314,16 cm2

Cvičení
Př. 5: Činka se skládá ze dvou koulí a spojovací tyče
délky 60 cm s průměrem 32 mm. Jaký je průměr
koulí, je-li hmotnost činky 50 kg a hustota
asi 17,8 cm
materiálu 7,8 g/cm3?
Př. 6: Vypočítejte povrch kulového vrchlíku a objem kul.
úseče, je-li poloměr koule 10 cm a výška kulové
úseče 6 cm.
S = 377 cm2, V = 904 cm3
Př. 7: Vypočtěte objem kulové vrstvy, mají-li podstavy
poloměry 13,2 cm a 10 cm a poloměr koule je
26 cm.
691 cm3


Slide 9

TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM
A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČR

Poznámky ve formátu PDF

Mgr. Martina Fainová

KOULE

KOULE
= množina bodů v prostoru, které mají od daného
pevného bodu S vzdálenost menší nebo rovnu
kladnému číslu r
= těleso, které vznikne rotací půlkruhu kolem
přímky, která obsahuje jeho průměr

Značení:
K(S;r)

S – střed koule
r – poloměr koule (SA, SB)
MM – průměr koule
hranice koule – kulová plocha

Kulová plocha
= množina bodů v prostoru, které mají od daného
pevného bodu S vzdálenost r > 0
– vznikne rotací půlkružnice

– střed koule je také středem kulové plochy
– kružnice kulové plochy ležící v rovině

procházející středem je hlavní kružnice
– kružnice kulové plochy, která neleží v rovině
procházející středem, je vedlejší kružnice

Vlastnosti koule
 je dokonale symetrická
 je středově souměrná podle středu S
 je osově souměrná podle lib. přímky procházející středem S
 je rovinově souměrná podle lib. roviny procházející S

 povrch koule tvoří kulová plocha se stejným středem
a poloměrem
 libovolným řezem koule je kružnice
Poznámka: Rotací kruhu kolem přímky, která
leží v rovině kruhu a kruh neprotíná, vznikne anuloid.

Kulový vrchlík
= část kulové plochy omezená její libov. kružnicí

= průnik kulové plochy a poloprostoru s hraniční
rovinou obsahující kružnici k
(tato rovina rozdělí kul. plochu na dva kul. vrchlíky)

kružnice = hrana kul. vrchlíku
 – poloměr hraniční kružnice
r – poloměr kulové plochy
v – výška vrchlíku

Kulová úseč
= část koule omezená její libov. kružnicí
= průnik koule a poloprostoru, jehož hraniční
rovina protíná kouli v kruhu o poloměru 
 kul. vrchlík a kruh tvoří hranici kul. úseče

kruh = podstava kul. úseče
 – poloměr podstavy
r – poloměr koule
v – výška kul. úseče

Kulová výseč
= sjednocení kulové úseče a rotačního kužele,
který má s kul. úsečí společnou podstavu
a jeho vrchol je středem příslušné koule
 hranicí je plášť kužele a kulový vrchlík

 – poloměr hraniční kružnice
r – poloměr koule
v – výška kul. výseče

Kulová vrstva, kulový pás
Kulový pás
= průnik kulové plochy a vrstvy s hraničními rovinami,
jejichž vzdálenosti od středu jsou menší než poloměr

Kulová vrstva
= průnik koule a vrstvy s hraničními rovinami, jejichž
vzdálenosti od středu jsou menší než poloměr koule
r – poloměr koule
O1,O2= středy hranič. kružnic
1,2 – poloměry hran. kružnic
v – výška kul. vrstvy (pásu)

Příklad:
a)
b)

Koule se středem S a poloměrem 15 cm je
položená na vodorovné rovině  a osvětlena
zdrojem Z; SZ, |Z|=h =45 cm. Určete:

poloměr kružnice ohraničující osvětlenou část koule a výšku
osvětlené části koule,
obsah vrženého stínu koule na rovinu .

Řešení:
a) osvětlená část koule = kul. vrchlík o výšce v
∆STZ:

∆STO:

= (h-r)  (r-v)
v = 7,5 (cm)

r2

r2

(r-v)2+2

=
 = 13 (cm)

Z

h-r

EVo



r-v

T

r
S

b) vržený stín = obsah kruhu se středem O´
∆ZOT

 ∆ZO´T´

S = 2120 (cm2)

l





h
h  2r  v

l = 26 (cm)

?l

ZT  tečna kul. plochy

Cvičení
Př. 1: Kulová úseč má poloměr podstavy 8 cm a výšku
5 cm. Vypočtěte poloměr koule, jejíž částí je
8,9 cm
kulová úseč.
Př. 2: Ve vzdálenosti 10 cm od středu koule s poloměrem
20 cm veďte rovinu řezu. Vypočítejte poloměr řezu.
10 3

Př. 3: Je dána krychle s hranou délky a. Vypočítejte
poloměr koule, která je krychli opsaná a vepsaná.
a

3
2

,

a
2

Objem koule a jejích částí
Koule:

V 

4

r

3

r - poloměr koule

3

Kulová úseč: V 

v
6

Kulová výseč: V 

Kulová vrstva: V 

2

3 

2

v

r v

3

6

3 



podstavy úseče
v - výška úseče

r - poloměr koule
v - výška výseče

2

v

2

 - poloměr

2
1

 3  v
2
2

2



1, 2 - poloměry podstav vrstvy
v - výška vrstvy

Povrch koule a jejích částí
r - poloměr koule
S  4 r
Poznámka: Povrch koule = obsah kulové plochy se stejným r
2

Koule:

Kulový vrchlík nebo kulový pás:
S  2  rv

r - poloměr kulové plochy
v - výška vrchlíku (pásu)

Objem a povrch anuloidu:
V  2 r R
2

2

S  4  Rr
2

r - poloměr kruhu pro rotaci
R - vzdálenost středu kruhu od osy rotace

Nakloníme-li o 30 nádobu tvaru polokoule,
která byla zcela naplněna vodou, vyteče z ní
3,3 l vody. Kolik litrů vody v ní zůstane?

Příklad:
Řešení:

Zbytek vody v nádobě má tvar kulové úseče:

?
r1,v

V 

v
6

V  5

3 r

2
1

1
24

?

v

2

r 
3





r

2
2 
 

2  3 3 r    r    5  r 3
 



6
2 
 2   24




1,5 l
r

v

∆SAB je rovnostranný

r
v

2
r1

sin 60 


r1 

r

Při naklonění vyteče 3,3 l,
tj. V polokoule  V úseče:

2
3

r 
3

5
24

3

r

2

 r  3 ,3 l
3

r1

1
24

 r  0 ,3 l
3

Cvičení
Př. 1: Kolikrát se zmenší objem a povrch koule, jestliže
se její poloměr zmenší třikrát?
27, 9
Př. 2: Jakou hmotnost má planeta Země, je-li její
asi 5,991024 kg
průměrná hustota 5,52 g/cm3.
Př. 3: Jak vysoko musí být letec, má-li vidět 0,001
asi 12,7 km
zemského povrchu?

Př. 4: Vypočtěte objem a povrch kulové výseče, má-li
kul. úseč, která je částí výseče, poloměr podstavy
6 cm a výšku 2 cm.
V = 419 cm3; S = 314,16 cm2

Cvičení
Př. 5: Činka se skládá ze dvou koulí a spojovací tyče
délky 60 cm s průměrem 32 mm. Jaký je průměr
koulí, je-li hmotnost činky 50 kg a hustota
asi 17,8 cm
materiálu 7,8 g/cm3?
Př. 6: Vypočítejte povrch kulového vrchlíku a objem kul.
úseče, je-li poloměr koule 10 cm a výška kulové
úseče 6 cm.
S = 377 cm2, V = 904 cm3
Př. 7: Vypočtěte objem kulové vrstvy, mají-li podstavy
poloměry 13,2 cm a 10 cm a poloměr koule je
26 cm.
691 cm3


Slide 10

TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM
A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČR

Poznámky ve formátu PDF

Mgr. Martina Fainová

KOULE

KOULE
= množina bodů v prostoru, které mají od daného
pevného bodu S vzdálenost menší nebo rovnu
kladnému číslu r
= těleso, které vznikne rotací půlkruhu kolem
přímky, která obsahuje jeho průměr

Značení:
K(S;r)

S – střed koule
r – poloměr koule (SA, SB)
MM – průměr koule
hranice koule – kulová plocha

Kulová plocha
= množina bodů v prostoru, které mají od daného
pevného bodu S vzdálenost r > 0
– vznikne rotací půlkružnice

– střed koule je také středem kulové plochy
– kružnice kulové plochy ležící v rovině

procházející středem je hlavní kružnice
– kružnice kulové plochy, která neleží v rovině
procházející středem, je vedlejší kružnice

Vlastnosti koule
 je dokonale symetrická
 je středově souměrná podle středu S
 je osově souměrná podle lib. přímky procházející středem S
 je rovinově souměrná podle lib. roviny procházející S

 povrch koule tvoří kulová plocha se stejným středem
a poloměrem
 libovolným řezem koule je kružnice
Poznámka: Rotací kruhu kolem přímky, která
leží v rovině kruhu a kruh neprotíná, vznikne anuloid.

Kulový vrchlík
= část kulové plochy omezená její libov. kružnicí

= průnik kulové plochy a poloprostoru s hraniční
rovinou obsahující kružnici k
(tato rovina rozdělí kul. plochu na dva kul. vrchlíky)

kružnice = hrana kul. vrchlíku
 – poloměr hraniční kružnice
r – poloměr kulové plochy
v – výška vrchlíku

Kulová úseč
= část koule omezená její libov. kružnicí
= průnik koule a poloprostoru, jehož hraniční
rovina protíná kouli v kruhu o poloměru 
 kul. vrchlík a kruh tvoří hranici kul. úseče

kruh = podstava kul. úseče
 – poloměr podstavy
r – poloměr koule
v – výška kul. úseče

Kulová výseč
= sjednocení kulové úseče a rotačního kužele,
který má s kul. úsečí společnou podstavu
a jeho vrchol je středem příslušné koule
 hranicí je plášť kužele a kulový vrchlík

 – poloměr hraniční kružnice
r – poloměr koule
v – výška kul. výseče

Kulová vrstva, kulový pás
Kulový pás
= průnik kulové plochy a vrstvy s hraničními rovinami,
jejichž vzdálenosti od středu jsou menší než poloměr

Kulová vrstva
= průnik koule a vrstvy s hraničními rovinami, jejichž
vzdálenosti od středu jsou menší než poloměr koule
r – poloměr koule
O1,O2= středy hranič. kružnic
1,2 – poloměry hran. kružnic
v – výška kul. vrstvy (pásu)

Příklad:
a)
b)

Koule se středem S a poloměrem 15 cm je
položená na vodorovné rovině  a osvětlena
zdrojem Z; SZ, |Z|=h =45 cm. Určete:

poloměr kružnice ohraničující osvětlenou část koule a výšku
osvětlené části koule,
obsah vrženého stínu koule na rovinu .

Řešení:
a) osvětlená část koule = kul. vrchlík o výšce v
∆STZ:

∆STO:

= (h-r)  (r-v)
v = 7,5 (cm)

r2

r2

(r-v)2+2

=
 = 13 (cm)

Z

h-r

EVo



r-v

T

r
S

b) vržený stín = obsah kruhu se středem O´
∆ZOT

 ∆ZO´T´

S = 2120 (cm2)

l





h
h  2r  v

l = 26 (cm)

?l

ZT  tečna kul. plochy

Cvičení
Př. 1: Kulová úseč má poloměr podstavy 8 cm a výšku
5 cm. Vypočtěte poloměr koule, jejíž částí je
8,9 cm
kulová úseč.
Př. 2: Ve vzdálenosti 10 cm od středu koule s poloměrem
20 cm veďte rovinu řezu. Vypočítejte poloměr řezu.
10 3

Př. 3: Je dána krychle s hranou délky a. Vypočítejte
poloměr koule, která je krychli opsaná a vepsaná.
a

3
2

,

a
2

Objem koule a jejích částí
Koule:

V 

4

r

3

r - poloměr koule

3

Kulová úseč: V 

v
6

Kulová výseč: V 

Kulová vrstva: V 

2

3 

2

v

r v

3

6

3 



podstavy úseče
v - výška úseče

r - poloměr koule
v - výška výseče

2

v

2

 - poloměr

2
1

 3  v
2
2

2



1, 2 - poloměry podstav vrstvy
v - výška vrstvy

Povrch koule a jejích částí
r - poloměr koule
S  4 r
Poznámka: Povrch koule = obsah kulové plochy se stejným r
2

Koule:

Kulový vrchlík nebo kulový pás:
S  2  rv

r - poloměr kulové plochy
v - výška vrchlíku (pásu)

Objem a povrch anuloidu:
V  2 r R
2

2

S  4  Rr
2

r - poloměr kruhu pro rotaci
R - vzdálenost středu kruhu od osy rotace

Nakloníme-li o 30 nádobu tvaru polokoule,
která byla zcela naplněna vodou, vyteče z ní
3,3 l vody. Kolik litrů vody v ní zůstane?

Příklad:
Řešení:

Zbytek vody v nádobě má tvar kulové úseče:

?
r1,v

V 

v
6

V  5

3 r

2
1

1
24

?

v

2

r 
3





r

2
2 
 

2  3 3 r    r    5  r 3
 



6
2 
 2   24




1,5 l
r

v

∆SAB je rovnostranný

r
v

2
r1

sin 60 


r1 

r

Při naklonění vyteče 3,3 l,
tj. V polokoule  V úseče:

2
3

r 
3

5
24

3

r

2

 r  3 ,3 l
3

r1

1
24

 r  0 ,3 l
3

Cvičení
Př. 1: Kolikrát se zmenší objem a povrch koule, jestliže
se její poloměr zmenší třikrát?
27, 9
Př. 2: Jakou hmotnost má planeta Země, je-li její
asi 5,991024 kg
průměrná hustota 5,52 g/cm3.
Př. 3: Jak vysoko musí být letec, má-li vidět 0,001
asi 12,7 km
zemského povrchu?

Př. 4: Vypočtěte objem a povrch kulové výseče, má-li
kul. úseč, která je částí výseče, poloměr podstavy
6 cm a výšku 2 cm.
V = 419 cm3; S = 314,16 cm2

Cvičení
Př. 5: Činka se skládá ze dvou koulí a spojovací tyče
délky 60 cm s průměrem 32 mm. Jaký je průměr
koulí, je-li hmotnost činky 50 kg a hustota
asi 17,8 cm
materiálu 7,8 g/cm3?
Př. 6: Vypočítejte povrch kulového vrchlíku a objem kul.
úseče, je-li poloměr koule 10 cm a výška kulové
úseče 6 cm.
S = 377 cm2, V = 904 cm3
Př. 7: Vypočtěte objem kulové vrstvy, mají-li podstavy
poloměry 13,2 cm a 10 cm a poloměr koule je
26 cm.
691 cm3


Slide 11

TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM
A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČR

Poznámky ve formátu PDF

Mgr. Martina Fainová

KOULE

KOULE
= množina bodů v prostoru, které mají od daného
pevného bodu S vzdálenost menší nebo rovnu
kladnému číslu r
= těleso, které vznikne rotací půlkruhu kolem
přímky, která obsahuje jeho průměr

Značení:
K(S;r)

S – střed koule
r – poloměr koule (SA, SB)
MM – průměr koule
hranice koule – kulová plocha

Kulová plocha
= množina bodů v prostoru, které mají od daného
pevného bodu S vzdálenost r > 0
– vznikne rotací půlkružnice

– střed koule je také středem kulové plochy
– kružnice kulové plochy ležící v rovině

procházející středem je hlavní kružnice
– kružnice kulové plochy, která neleží v rovině
procházející středem, je vedlejší kružnice

Vlastnosti koule
 je dokonale symetrická
 je středově souměrná podle středu S
 je osově souměrná podle lib. přímky procházející středem S
 je rovinově souměrná podle lib. roviny procházející S

 povrch koule tvoří kulová plocha se stejným středem
a poloměrem
 libovolným řezem koule je kružnice
Poznámka: Rotací kruhu kolem přímky, která
leží v rovině kruhu a kruh neprotíná, vznikne anuloid.

Kulový vrchlík
= část kulové plochy omezená její libov. kružnicí

= průnik kulové plochy a poloprostoru s hraniční
rovinou obsahující kružnici k
(tato rovina rozdělí kul. plochu na dva kul. vrchlíky)

kružnice = hrana kul. vrchlíku
 – poloměr hraniční kružnice
r – poloměr kulové plochy
v – výška vrchlíku

Kulová úseč
= část koule omezená její libov. kružnicí
= průnik koule a poloprostoru, jehož hraniční
rovina protíná kouli v kruhu o poloměru 
 kul. vrchlík a kruh tvoří hranici kul. úseče

kruh = podstava kul. úseče
 – poloměr podstavy
r – poloměr koule
v – výška kul. úseče

Kulová výseč
= sjednocení kulové úseče a rotačního kužele,
který má s kul. úsečí společnou podstavu
a jeho vrchol je středem příslušné koule
 hranicí je plášť kužele a kulový vrchlík

 – poloměr hraniční kružnice
r – poloměr koule
v – výška kul. výseče

Kulová vrstva, kulový pás
Kulový pás
= průnik kulové plochy a vrstvy s hraničními rovinami,
jejichž vzdálenosti od středu jsou menší než poloměr

Kulová vrstva
= průnik koule a vrstvy s hraničními rovinami, jejichž
vzdálenosti od středu jsou menší než poloměr koule
r – poloměr koule
O1,O2= středy hranič. kružnic
1,2 – poloměry hran. kružnic
v – výška kul. vrstvy (pásu)

Příklad:
a)
b)

Koule se středem S a poloměrem 15 cm je
položená na vodorovné rovině  a osvětlena
zdrojem Z; SZ, |Z|=h =45 cm. Určete:

poloměr kružnice ohraničující osvětlenou část koule a výšku
osvětlené části koule,
obsah vrženého stínu koule na rovinu .

Řešení:
a) osvětlená část koule = kul. vrchlík o výšce v
∆STZ:

∆STO:

= (h-r)  (r-v)
v = 7,5 (cm)

r2

r2

(r-v)2+2

=
 = 13 (cm)

Z

h-r

EVo



r-v

T

r
S

b) vržený stín = obsah kruhu se středem O´
∆ZOT

 ∆ZO´T´

S = 2120 (cm2)

l





h
h  2r  v

l = 26 (cm)

?l

ZT  tečna kul. plochy

Cvičení
Př. 1: Kulová úseč má poloměr podstavy 8 cm a výšku
5 cm. Vypočtěte poloměr koule, jejíž částí je
8,9 cm
kulová úseč.
Př. 2: Ve vzdálenosti 10 cm od středu koule s poloměrem
20 cm veďte rovinu řezu. Vypočítejte poloměr řezu.
10 3

Př. 3: Je dána krychle s hranou délky a. Vypočítejte
poloměr koule, která je krychli opsaná a vepsaná.
a

3
2

,

a
2

Objem koule a jejích částí
Koule:

V 

4

r

3

r - poloměr koule

3

Kulová úseč: V 

v
6

Kulová výseč: V 

Kulová vrstva: V 

2

3 

2

v

r v

3

6

3 



podstavy úseče
v - výška úseče

r - poloměr koule
v - výška výseče

2

v

2

 - poloměr

2
1

 3  v
2
2

2



1, 2 - poloměry podstav vrstvy
v - výška vrstvy

Povrch koule a jejích částí
r - poloměr koule
S  4 r
Poznámka: Povrch koule = obsah kulové plochy se stejným r
2

Koule:

Kulový vrchlík nebo kulový pás:
S  2  rv

r - poloměr kulové plochy
v - výška vrchlíku (pásu)

Objem a povrch anuloidu:
V  2 r R
2

2

S  4  Rr
2

r - poloměr kruhu pro rotaci
R - vzdálenost středu kruhu od osy rotace

Nakloníme-li o 30 nádobu tvaru polokoule,
která byla zcela naplněna vodou, vyteče z ní
3,3 l vody. Kolik litrů vody v ní zůstane?

Příklad:
Řešení:

Zbytek vody v nádobě má tvar kulové úseče:

?
r1,v

V 

v
6

V  5

3 r

2
1

1
24

?

v

2

r 
3





r

2
2 
 

2  3 3 r    r    5  r 3
 



6
2 
 2   24




1,5 l
r

v

∆SAB je rovnostranný

r
v

2
r1

sin 60 


r1 

r

Při naklonění vyteče 3,3 l,
tj. V polokoule  V úseče:

2
3

r 
3

5
24

3

r

2

 r  3 ,3 l
3

r1

1
24

 r  0 ,3 l
3

Cvičení
Př. 1: Kolikrát se zmenší objem a povrch koule, jestliže
se její poloměr zmenší třikrát?
27, 9
Př. 2: Jakou hmotnost má planeta Země, je-li její
asi 5,991024 kg
průměrná hustota 5,52 g/cm3.
Př. 3: Jak vysoko musí být letec, má-li vidět 0,001
asi 12,7 km
zemského povrchu?

Př. 4: Vypočtěte objem a povrch kulové výseče, má-li
kul. úseč, která je částí výseče, poloměr podstavy
6 cm a výšku 2 cm.
V = 419 cm3; S = 314,16 cm2

Cvičení
Př. 5: Činka se skládá ze dvou koulí a spojovací tyče
délky 60 cm s průměrem 32 mm. Jaký je průměr
koulí, je-li hmotnost činky 50 kg a hustota
asi 17,8 cm
materiálu 7,8 g/cm3?
Př. 6: Vypočítejte povrch kulového vrchlíku a objem kul.
úseče, je-li poloměr koule 10 cm a výška kulové
úseče 6 cm.
S = 377 cm2, V = 904 cm3
Př. 7: Vypočtěte objem kulové vrstvy, mají-li podstavy
poloměry 13,2 cm a 10 cm a poloměr koule je
26 cm.
691 cm3


Slide 12

TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM
A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČR

Poznámky ve formátu PDF

Mgr. Martina Fainová

KOULE

KOULE
= množina bodů v prostoru, které mají od daného
pevného bodu S vzdálenost menší nebo rovnu
kladnému číslu r
= těleso, které vznikne rotací půlkruhu kolem
přímky, která obsahuje jeho průměr

Značení:
K(S;r)

S – střed koule
r – poloměr koule (SA, SB)
MM – průměr koule
hranice koule – kulová plocha

Kulová plocha
= množina bodů v prostoru, které mají od daného
pevného bodu S vzdálenost r > 0
– vznikne rotací půlkružnice

– střed koule je také středem kulové plochy
– kružnice kulové plochy ležící v rovině

procházející středem je hlavní kružnice
– kružnice kulové plochy, která neleží v rovině
procházející středem, je vedlejší kružnice

Vlastnosti koule
 je dokonale symetrická
 je středově souměrná podle středu S
 je osově souměrná podle lib. přímky procházející středem S
 je rovinově souměrná podle lib. roviny procházející S

 povrch koule tvoří kulová plocha se stejným středem
a poloměrem
 libovolným řezem koule je kružnice
Poznámka: Rotací kruhu kolem přímky, která
leží v rovině kruhu a kruh neprotíná, vznikne anuloid.

Kulový vrchlík
= část kulové plochy omezená její libov. kružnicí

= průnik kulové plochy a poloprostoru s hraniční
rovinou obsahující kružnici k
(tato rovina rozdělí kul. plochu na dva kul. vrchlíky)

kružnice = hrana kul. vrchlíku
 – poloměr hraniční kružnice
r – poloměr kulové plochy
v – výška vrchlíku

Kulová úseč
= část koule omezená její libov. kružnicí
= průnik koule a poloprostoru, jehož hraniční
rovina protíná kouli v kruhu o poloměru 
 kul. vrchlík a kruh tvoří hranici kul. úseče

kruh = podstava kul. úseče
 – poloměr podstavy
r – poloměr koule
v – výška kul. úseče

Kulová výseč
= sjednocení kulové úseče a rotačního kužele,
který má s kul. úsečí společnou podstavu
a jeho vrchol je středem příslušné koule
 hranicí je plášť kužele a kulový vrchlík

 – poloměr hraniční kružnice
r – poloměr koule
v – výška kul. výseče

Kulová vrstva, kulový pás
Kulový pás
= průnik kulové plochy a vrstvy s hraničními rovinami,
jejichž vzdálenosti od středu jsou menší než poloměr

Kulová vrstva
= průnik koule a vrstvy s hraničními rovinami, jejichž
vzdálenosti od středu jsou menší než poloměr koule
r – poloměr koule
O1,O2= středy hranič. kružnic
1,2 – poloměry hran. kružnic
v – výška kul. vrstvy (pásu)

Příklad:
a)
b)

Koule se středem S a poloměrem 15 cm je
položená na vodorovné rovině  a osvětlena
zdrojem Z; SZ, |Z|=h =45 cm. Určete:

poloměr kružnice ohraničující osvětlenou část koule a výšku
osvětlené části koule,
obsah vrženého stínu koule na rovinu .

Řešení:
a) osvětlená část koule = kul. vrchlík o výšce v
∆STZ:

∆STO:

= (h-r)  (r-v)
v = 7,5 (cm)

r2

r2

(r-v)2+2

=
 = 13 (cm)

Z

h-r

EVo



r-v

T

r
S

b) vržený stín = obsah kruhu se středem O´
∆ZOT

 ∆ZO´T´

S = 2120 (cm2)

l





h
h  2r  v

l = 26 (cm)

?l

ZT  tečna kul. plochy

Cvičení
Př. 1: Kulová úseč má poloměr podstavy 8 cm a výšku
5 cm. Vypočtěte poloměr koule, jejíž částí je
8,9 cm
kulová úseč.
Př. 2: Ve vzdálenosti 10 cm od středu koule s poloměrem
20 cm veďte rovinu řezu. Vypočítejte poloměr řezu.
10 3

Př. 3: Je dána krychle s hranou délky a. Vypočítejte
poloměr koule, která je krychli opsaná a vepsaná.
a

3
2

,

a
2

Objem koule a jejích částí
Koule:

V 

4

r

3

r - poloměr koule

3

Kulová úseč: V 

v
6

Kulová výseč: V 

Kulová vrstva: V 

2

3 

2

v

r v

3

6

3 



podstavy úseče
v - výška úseče

r - poloměr koule
v - výška výseče

2

v

2

 - poloměr

2
1

 3  v
2
2

2



1, 2 - poloměry podstav vrstvy
v - výška vrstvy

Povrch koule a jejích částí
r - poloměr koule
S  4 r
Poznámka: Povrch koule = obsah kulové plochy se stejným r
2

Koule:

Kulový vrchlík nebo kulový pás:
S  2  rv

r - poloměr kulové plochy
v - výška vrchlíku (pásu)

Objem a povrch anuloidu:
V  2 r R
2

2

S  4  Rr
2

r - poloměr kruhu pro rotaci
R - vzdálenost středu kruhu od osy rotace

Nakloníme-li o 30 nádobu tvaru polokoule,
která byla zcela naplněna vodou, vyteče z ní
3,3 l vody. Kolik litrů vody v ní zůstane?

Příklad:
Řešení:

Zbytek vody v nádobě má tvar kulové úseče:

?
r1,v

V 

v
6

V  5

3 r

2
1

1
24

?

v

2

r 
3





r

2
2 
 

2  3 3 r    r    5  r 3
 



6
2 
 2   24




1,5 l
r

v

∆SAB je rovnostranný

r
v

2
r1

sin 60 


r1 

r

Při naklonění vyteče 3,3 l,
tj. V polokoule  V úseče:

2
3

r 
3

5
24

3

r

2

 r  3 ,3 l
3

r1

1
24

 r  0 ,3 l
3

Cvičení
Př. 1: Kolikrát se zmenší objem a povrch koule, jestliže
se její poloměr zmenší třikrát?
27, 9
Př. 2: Jakou hmotnost má planeta Země, je-li její
asi 5,991024 kg
průměrná hustota 5,52 g/cm3.
Př. 3: Jak vysoko musí být letec, má-li vidět 0,001
asi 12,7 km
zemského povrchu?

Př. 4: Vypočtěte objem a povrch kulové výseče, má-li
kul. úseč, která je částí výseče, poloměr podstavy
6 cm a výšku 2 cm.
V = 419 cm3; S = 314,16 cm2

Cvičení
Př. 5: Činka se skládá ze dvou koulí a spojovací tyče
délky 60 cm s průměrem 32 mm. Jaký je průměr
koulí, je-li hmotnost činky 50 kg a hustota
asi 17,8 cm
materiálu 7,8 g/cm3?
Př. 6: Vypočítejte povrch kulového vrchlíku a objem kul.
úseče, je-li poloměr koule 10 cm a výška kulové
úseče 6 cm.
S = 377 cm2, V = 904 cm3
Př. 7: Vypočtěte objem kulové vrstvy, mají-li podstavy
poloměry 13,2 cm a 10 cm a poloměr koule je
26 cm.
691 cm3


Slide 13

TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM
A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČR

Poznámky ve formátu PDF

Mgr. Martina Fainová

KOULE

KOULE
= množina bodů v prostoru, které mají od daného
pevného bodu S vzdálenost menší nebo rovnu
kladnému číslu r
= těleso, které vznikne rotací půlkruhu kolem
přímky, která obsahuje jeho průměr

Značení:
K(S;r)

S – střed koule
r – poloměr koule (SA, SB)
MM – průměr koule
hranice koule – kulová plocha

Kulová plocha
= množina bodů v prostoru, které mají od daného
pevného bodu S vzdálenost r > 0
– vznikne rotací půlkružnice

– střed koule je také středem kulové plochy
– kružnice kulové plochy ležící v rovině

procházející středem je hlavní kružnice
– kružnice kulové plochy, která neleží v rovině
procházející středem, je vedlejší kružnice

Vlastnosti koule
 je dokonale symetrická
 je středově souměrná podle středu S
 je osově souměrná podle lib. přímky procházející středem S
 je rovinově souměrná podle lib. roviny procházející S

 povrch koule tvoří kulová plocha se stejným středem
a poloměrem
 libovolným řezem koule je kružnice
Poznámka: Rotací kruhu kolem přímky, která
leží v rovině kruhu a kruh neprotíná, vznikne anuloid.

Kulový vrchlík
= část kulové plochy omezená její libov. kružnicí

= průnik kulové plochy a poloprostoru s hraniční
rovinou obsahující kružnici k
(tato rovina rozdělí kul. plochu na dva kul. vrchlíky)

kružnice = hrana kul. vrchlíku
 – poloměr hraniční kružnice
r – poloměr kulové plochy
v – výška vrchlíku

Kulová úseč
= část koule omezená její libov. kružnicí
= průnik koule a poloprostoru, jehož hraniční
rovina protíná kouli v kruhu o poloměru 
 kul. vrchlík a kruh tvoří hranici kul. úseče

kruh = podstava kul. úseče
 – poloměr podstavy
r – poloměr koule
v – výška kul. úseče

Kulová výseč
= sjednocení kulové úseče a rotačního kužele,
který má s kul. úsečí společnou podstavu
a jeho vrchol je středem příslušné koule
 hranicí je plášť kužele a kulový vrchlík

 – poloměr hraniční kružnice
r – poloměr koule
v – výška kul. výseče

Kulová vrstva, kulový pás
Kulový pás
= průnik kulové plochy a vrstvy s hraničními rovinami,
jejichž vzdálenosti od středu jsou menší než poloměr

Kulová vrstva
= průnik koule a vrstvy s hraničními rovinami, jejichž
vzdálenosti od středu jsou menší než poloměr koule
r – poloměr koule
O1,O2= středy hranič. kružnic
1,2 – poloměry hran. kružnic
v – výška kul. vrstvy (pásu)

Příklad:
a)
b)

Koule se středem S a poloměrem 15 cm je
položená na vodorovné rovině  a osvětlena
zdrojem Z; SZ, |Z|=h =45 cm. Určete:

poloměr kružnice ohraničující osvětlenou část koule a výšku
osvětlené části koule,
obsah vrženého stínu koule na rovinu .

Řešení:
a) osvětlená část koule = kul. vrchlík o výšce v
∆STZ:

∆STO:

= (h-r)  (r-v)
v = 7,5 (cm)

r2

r2

(r-v)2+2

=
 = 13 (cm)

Z

h-r

EVo



r-v

T

r
S

b) vržený stín = obsah kruhu se středem O´
∆ZOT

 ∆ZO´T´

S = 2120 (cm2)

l





h
h  2r  v

l = 26 (cm)

?l

ZT  tečna kul. plochy

Cvičení
Př. 1: Kulová úseč má poloměr podstavy 8 cm a výšku
5 cm. Vypočtěte poloměr koule, jejíž částí je
8,9 cm
kulová úseč.
Př. 2: Ve vzdálenosti 10 cm od středu koule s poloměrem
20 cm veďte rovinu řezu. Vypočítejte poloměr řezu.
10 3

Př. 3: Je dána krychle s hranou délky a. Vypočítejte
poloměr koule, která je krychli opsaná a vepsaná.
a

3
2

,

a
2

Objem koule a jejích částí
Koule:

V 

4

r

3

r - poloměr koule

3

Kulová úseč: V 

v
6

Kulová výseč: V 

Kulová vrstva: V 

2

3 

2

v

r v

3

6

3 



podstavy úseče
v - výška úseče

r - poloměr koule
v - výška výseče

2

v

2

 - poloměr

2
1

 3  v
2
2

2



1, 2 - poloměry podstav vrstvy
v - výška vrstvy

Povrch koule a jejích částí
r - poloměr koule
S  4 r
Poznámka: Povrch koule = obsah kulové plochy se stejným r
2

Koule:

Kulový vrchlík nebo kulový pás:
S  2  rv

r - poloměr kulové plochy
v - výška vrchlíku (pásu)

Objem a povrch anuloidu:
V  2 r R
2

2

S  4  Rr
2

r - poloměr kruhu pro rotaci
R - vzdálenost středu kruhu od osy rotace

Nakloníme-li o 30 nádobu tvaru polokoule,
která byla zcela naplněna vodou, vyteče z ní
3,3 l vody. Kolik litrů vody v ní zůstane?

Příklad:
Řešení:

Zbytek vody v nádobě má tvar kulové úseče:

?
r1,v

V 

v
6

V  5

3 r

2
1

1
24

?

v

2

r 
3





r

2
2 
 

2  3 3 r    r    5  r 3
 



6
2 
 2   24




1,5 l
r

v

∆SAB je rovnostranný

r
v

2
r1

sin 60 


r1 

r

Při naklonění vyteče 3,3 l,
tj. V polokoule  V úseče:

2
3

r 
3

5
24

3

r

2

 r  3 ,3 l
3

r1

1
24

 r  0 ,3 l
3

Cvičení
Př. 1: Kolikrát se zmenší objem a povrch koule, jestliže
se její poloměr zmenší třikrát?
27, 9
Př. 2: Jakou hmotnost má planeta Země, je-li její
asi 5,991024 kg
průměrná hustota 5,52 g/cm3.
Př. 3: Jak vysoko musí být letec, má-li vidět 0,001
asi 12,7 km
zemského povrchu?

Př. 4: Vypočtěte objem a povrch kulové výseče, má-li
kul. úseč, která je částí výseče, poloměr podstavy
6 cm a výšku 2 cm.
V = 419 cm3; S = 314,16 cm2

Cvičení
Př. 5: Činka se skládá ze dvou koulí a spojovací tyče
délky 60 cm s průměrem 32 mm. Jaký je průměr
koulí, je-li hmotnost činky 50 kg a hustota
asi 17,8 cm
materiálu 7,8 g/cm3?
Př. 6: Vypočítejte povrch kulového vrchlíku a objem kul.
úseče, je-li poloměr koule 10 cm a výška kulové
úseče 6 cm.
S = 377 cm2, V = 904 cm3
Př. 7: Vypočtěte objem kulové vrstvy, mají-li podstavy
poloměry 13,2 cm a 10 cm a poloměr koule je
26 cm.
691 cm3


Slide 14

TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM
A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČR

Poznámky ve formátu PDF

Mgr. Martina Fainová

KOULE

KOULE
= množina bodů v prostoru, které mají od daného
pevného bodu S vzdálenost menší nebo rovnu
kladnému číslu r
= těleso, které vznikne rotací půlkruhu kolem
přímky, která obsahuje jeho průměr

Značení:
K(S;r)

S – střed koule
r – poloměr koule (SA, SB)
MM – průměr koule
hranice koule – kulová plocha

Kulová plocha
= množina bodů v prostoru, které mají od daného
pevného bodu S vzdálenost r > 0
– vznikne rotací půlkružnice

– střed koule je také středem kulové plochy
– kružnice kulové plochy ležící v rovině

procházející středem je hlavní kružnice
– kružnice kulové plochy, která neleží v rovině
procházející středem, je vedlejší kružnice

Vlastnosti koule
 je dokonale symetrická
 je středově souměrná podle středu S
 je osově souměrná podle lib. přímky procházející středem S
 je rovinově souměrná podle lib. roviny procházející S

 povrch koule tvoří kulová plocha se stejným středem
a poloměrem
 libovolným řezem koule je kružnice
Poznámka: Rotací kruhu kolem přímky, která
leží v rovině kruhu a kruh neprotíná, vznikne anuloid.

Kulový vrchlík
= část kulové plochy omezená její libov. kružnicí

= průnik kulové plochy a poloprostoru s hraniční
rovinou obsahující kružnici k
(tato rovina rozdělí kul. plochu na dva kul. vrchlíky)

kružnice = hrana kul. vrchlíku
 – poloměr hraniční kružnice
r – poloměr kulové plochy
v – výška vrchlíku

Kulová úseč
= část koule omezená její libov. kružnicí
= průnik koule a poloprostoru, jehož hraniční
rovina protíná kouli v kruhu o poloměru 
 kul. vrchlík a kruh tvoří hranici kul. úseče

kruh = podstava kul. úseče
 – poloměr podstavy
r – poloměr koule
v – výška kul. úseče

Kulová výseč
= sjednocení kulové úseče a rotačního kužele,
který má s kul. úsečí společnou podstavu
a jeho vrchol je středem příslušné koule
 hranicí je plášť kužele a kulový vrchlík

 – poloměr hraniční kružnice
r – poloměr koule
v – výška kul. výseče

Kulová vrstva, kulový pás
Kulový pás
= průnik kulové plochy a vrstvy s hraničními rovinami,
jejichž vzdálenosti od středu jsou menší než poloměr

Kulová vrstva
= průnik koule a vrstvy s hraničními rovinami, jejichž
vzdálenosti od středu jsou menší než poloměr koule
r – poloměr koule
O1,O2= středy hranič. kružnic
1,2 – poloměry hran. kružnic
v – výška kul. vrstvy (pásu)

Příklad:
a)
b)

Koule se středem S a poloměrem 15 cm je
položená na vodorovné rovině  a osvětlena
zdrojem Z; SZ, |Z|=h =45 cm. Určete:

poloměr kružnice ohraničující osvětlenou část koule a výšku
osvětlené části koule,
obsah vrženého stínu koule na rovinu .

Řešení:
a) osvětlená část koule = kul. vrchlík o výšce v
∆STZ:

∆STO:

= (h-r)  (r-v)
v = 7,5 (cm)

r2

r2

(r-v)2+2

=
 = 13 (cm)

Z

h-r

EVo



r-v

T

r
S

b) vržený stín = obsah kruhu se středem O´
∆ZOT

 ∆ZO´T´

S = 2120 (cm2)

l





h
h  2r  v

l = 26 (cm)

?l

ZT  tečna kul. plochy

Cvičení
Př. 1: Kulová úseč má poloměr podstavy 8 cm a výšku
5 cm. Vypočtěte poloměr koule, jejíž částí je
8,9 cm
kulová úseč.
Př. 2: Ve vzdálenosti 10 cm od středu koule s poloměrem
20 cm veďte rovinu řezu. Vypočítejte poloměr řezu.
10 3

Př. 3: Je dána krychle s hranou délky a. Vypočítejte
poloměr koule, která je krychli opsaná a vepsaná.
a

3
2

,

a
2

Objem koule a jejích částí
Koule:

V 

4

r

3

r - poloměr koule

3

Kulová úseč: V 

v
6

Kulová výseč: V 

Kulová vrstva: V 

2

3 

2

v

r v

3

6

3 



podstavy úseče
v - výška úseče

r - poloměr koule
v - výška výseče

2

v

2

 - poloměr

2
1

 3  v
2
2

2



1, 2 - poloměry podstav vrstvy
v - výška vrstvy

Povrch koule a jejích částí
r - poloměr koule
S  4 r
Poznámka: Povrch koule = obsah kulové plochy se stejným r
2

Koule:

Kulový vrchlík nebo kulový pás:
S  2  rv

r - poloměr kulové plochy
v - výška vrchlíku (pásu)

Objem a povrch anuloidu:
V  2 r R
2

2

S  4  Rr
2

r - poloměr kruhu pro rotaci
R - vzdálenost středu kruhu od osy rotace

Nakloníme-li o 30 nádobu tvaru polokoule,
která byla zcela naplněna vodou, vyteče z ní
3,3 l vody. Kolik litrů vody v ní zůstane?

Příklad:
Řešení:

Zbytek vody v nádobě má tvar kulové úseče:

?
r1,v

V 

v
6

V  5

3 r

2
1

1
24

?

v

2

r 
3





r

2
2 
 

2  3 3 r    r    5  r 3
 



6
2 
 2   24




1,5 l
r

v

∆SAB je rovnostranný

r
v

2
r1

sin 60 


r1 

r

Při naklonění vyteče 3,3 l,
tj. V polokoule  V úseče:

2
3

r 
3

5
24

3

r

2

 r  3 ,3 l
3

r1

1
24

 r  0 ,3 l
3

Cvičení
Př. 1: Kolikrát se zmenší objem a povrch koule, jestliže
se její poloměr zmenší třikrát?
27, 9
Př. 2: Jakou hmotnost má planeta Země, je-li její
asi 5,991024 kg
průměrná hustota 5,52 g/cm3.
Př. 3: Jak vysoko musí být letec, má-li vidět 0,001
asi 12,7 km
zemského povrchu?

Př. 4: Vypočtěte objem a povrch kulové výseče, má-li
kul. úseč, která je částí výseče, poloměr podstavy
6 cm a výšku 2 cm.
V = 419 cm3; S = 314,16 cm2

Cvičení
Př. 5: Činka se skládá ze dvou koulí a spojovací tyče
délky 60 cm s průměrem 32 mm. Jaký je průměr
koulí, je-li hmotnost činky 50 kg a hustota
asi 17,8 cm
materiálu 7,8 g/cm3?
Př. 6: Vypočítejte povrch kulového vrchlíku a objem kul.
úseče, je-li poloměr koule 10 cm a výška kulové
úseče 6 cm.
S = 377 cm2, V = 904 cm3
Př. 7: Vypočtěte objem kulové vrstvy, mají-li podstavy
poloměry 13,2 cm a 10 cm a poloměr koule je
26 cm.
691 cm3


Slide 15

TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM
A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČR

Poznámky ve formátu PDF

Mgr. Martina Fainová

KOULE

KOULE
= množina bodů v prostoru, které mají od daného
pevného bodu S vzdálenost menší nebo rovnu
kladnému číslu r
= těleso, které vznikne rotací půlkruhu kolem
přímky, která obsahuje jeho průměr

Značení:
K(S;r)

S – střed koule
r – poloměr koule (SA, SB)
MM – průměr koule
hranice koule – kulová plocha

Kulová plocha
= množina bodů v prostoru, které mají od daného
pevného bodu S vzdálenost r > 0
– vznikne rotací půlkružnice

– střed koule je také středem kulové plochy
– kružnice kulové plochy ležící v rovině

procházející středem je hlavní kružnice
– kružnice kulové plochy, která neleží v rovině
procházející středem, je vedlejší kružnice

Vlastnosti koule
 je dokonale symetrická
 je středově souměrná podle středu S
 je osově souměrná podle lib. přímky procházející středem S
 je rovinově souměrná podle lib. roviny procházející S

 povrch koule tvoří kulová plocha se stejným středem
a poloměrem
 libovolným řezem koule je kružnice
Poznámka: Rotací kruhu kolem přímky, která
leží v rovině kruhu a kruh neprotíná, vznikne anuloid.

Kulový vrchlík
= část kulové plochy omezená její libov. kružnicí

= průnik kulové plochy a poloprostoru s hraniční
rovinou obsahující kružnici k
(tato rovina rozdělí kul. plochu na dva kul. vrchlíky)

kružnice = hrana kul. vrchlíku
 – poloměr hraniční kružnice
r – poloměr kulové plochy
v – výška vrchlíku

Kulová úseč
= část koule omezená její libov. kružnicí
= průnik koule a poloprostoru, jehož hraniční
rovina protíná kouli v kruhu o poloměru 
 kul. vrchlík a kruh tvoří hranici kul. úseče

kruh = podstava kul. úseče
 – poloměr podstavy
r – poloměr koule
v – výška kul. úseče

Kulová výseč
= sjednocení kulové úseče a rotačního kužele,
který má s kul. úsečí společnou podstavu
a jeho vrchol je středem příslušné koule
 hranicí je plášť kužele a kulový vrchlík

 – poloměr hraniční kružnice
r – poloměr koule
v – výška kul. výseče

Kulová vrstva, kulový pás
Kulový pás
= průnik kulové plochy a vrstvy s hraničními rovinami,
jejichž vzdálenosti od středu jsou menší než poloměr

Kulová vrstva
= průnik koule a vrstvy s hraničními rovinami, jejichž
vzdálenosti od středu jsou menší než poloměr koule
r – poloměr koule
O1,O2= středy hranič. kružnic
1,2 – poloměry hran. kružnic
v – výška kul. vrstvy (pásu)

Příklad:
a)
b)

Koule se středem S a poloměrem 15 cm je
položená na vodorovné rovině  a osvětlena
zdrojem Z; SZ, |Z|=h =45 cm. Určete:

poloměr kružnice ohraničující osvětlenou část koule a výšku
osvětlené části koule,
obsah vrženého stínu koule na rovinu .

Řešení:
a) osvětlená část koule = kul. vrchlík o výšce v
∆STZ:

∆STO:

= (h-r)  (r-v)
v = 7,5 (cm)

r2

r2

(r-v)2+2

=
 = 13 (cm)

Z

h-r

EVo



r-v

T

r
S

b) vržený stín = obsah kruhu se středem O´
∆ZOT

 ∆ZO´T´

S = 2120 (cm2)

l





h
h  2r  v

l = 26 (cm)

?l

ZT  tečna kul. plochy

Cvičení
Př. 1: Kulová úseč má poloměr podstavy 8 cm a výšku
5 cm. Vypočtěte poloměr koule, jejíž částí je
8,9 cm
kulová úseč.
Př. 2: Ve vzdálenosti 10 cm od středu koule s poloměrem
20 cm veďte rovinu řezu. Vypočítejte poloměr řezu.
10 3

Př. 3: Je dána krychle s hranou délky a. Vypočítejte
poloměr koule, která je krychli opsaná a vepsaná.
a

3
2

,

a
2

Objem koule a jejích částí
Koule:

V 

4

r

3

r - poloměr koule

3

Kulová úseč: V 

v
6

Kulová výseč: V 

Kulová vrstva: V 

2

3 

2

v

r v

3

6

3 



podstavy úseče
v - výška úseče

r - poloměr koule
v - výška výseče

2

v

2

 - poloměr

2
1

 3  v
2
2

2



1, 2 - poloměry podstav vrstvy
v - výška vrstvy

Povrch koule a jejích částí
r - poloměr koule
S  4 r
Poznámka: Povrch koule = obsah kulové plochy se stejným r
2

Koule:

Kulový vrchlík nebo kulový pás:
S  2  rv

r - poloměr kulové plochy
v - výška vrchlíku (pásu)

Objem a povrch anuloidu:
V  2 r R
2

2

S  4  Rr
2

r - poloměr kruhu pro rotaci
R - vzdálenost středu kruhu od osy rotace

Nakloníme-li o 30 nádobu tvaru polokoule,
která byla zcela naplněna vodou, vyteče z ní
3,3 l vody. Kolik litrů vody v ní zůstane?

Příklad:
Řešení:

Zbytek vody v nádobě má tvar kulové úseče:

?
r1,v

V 

v
6

V  5

3 r

2
1

1
24

?

v

2

r 
3





r

2
2 
 

2  3 3 r    r    5  r 3
 



6
2 
 2   24




1,5 l
r

v

∆SAB je rovnostranný

r
v

2
r1

sin 60 


r1 

r

Při naklonění vyteče 3,3 l,
tj. V polokoule  V úseče:

2
3

r 
3

5
24

3

r

2

 r  3 ,3 l
3

r1

1
24

 r  0 ,3 l
3

Cvičení
Př. 1: Kolikrát se zmenší objem a povrch koule, jestliže
se její poloměr zmenší třikrát?
27, 9
Př. 2: Jakou hmotnost má planeta Země, je-li její
asi 5,991024 kg
průměrná hustota 5,52 g/cm3.
Př. 3: Jak vysoko musí být letec, má-li vidět 0,001
asi 12,7 km
zemského povrchu?

Př. 4: Vypočtěte objem a povrch kulové výseče, má-li
kul. úseč, která je částí výseče, poloměr podstavy
6 cm a výšku 2 cm.
V = 419 cm3; S = 314,16 cm2

Cvičení
Př. 5: Činka se skládá ze dvou koulí a spojovací tyče
délky 60 cm s průměrem 32 mm. Jaký je průměr
koulí, je-li hmotnost činky 50 kg a hustota
asi 17,8 cm
materiálu 7,8 g/cm3?
Př. 6: Vypočítejte povrch kulového vrchlíku a objem kul.
úseče, je-li poloměr koule 10 cm a výška kulové
úseče 6 cm.
S = 377 cm2, V = 904 cm3
Př. 7: Vypočtěte objem kulové vrstvy, mají-li podstavy
poloměry 13,2 cm a 10 cm a poloměr koule je
26 cm.
691 cm3