Transcript 環狀與桌形排列
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環狀與桌形排列
機率概念與應用網路學習研究
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環狀排列
又稱圓排列, 是將事物沿著一圓周來作排列, 只考
慮事物的相對位置, 而不計較各物件所在的實際位
置。 此排列可旋轉, 但不可翻轉。
環狀與桌行排列
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問題１
甲乙丙三人圍一圓桌而坐, 共有幾種坐法?
環狀與桌行排列
Slide 4
問題１的說明
解這個問題, 我們先考慮甲乙丙三人做直線排列的狀況：
(圖1)
(圖2)
環狀與桌行排列
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問題１的說明
共計6種情形。若將(圖1)的直線排列首尾相接，
成為一圈, 如(圖3)
(圖3)
環狀與桌行排列
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問題１的說明
我們可以發現(圖3)的中間與右邊兩圓，都是左邊的
圓逆時針旋轉的結果，所以應屬於同一類。同理，若
將(圖2)的直線排列首尾相接，成為一圓，如(圖4)，
也可發現此三個也屬於同一類。
圖(4)
環狀與桌行排列
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說明
( 3 1)! 2 種排列方式。
故共有
所以若n個不同事物在做環狀排列時, 先求其直
線排列, 因每個排列方式中, 在環狀排列均視為
同一種。故環狀排列數為 直線排列數/排列之個
數。底下我們給出『環狀排列』的公式：
3!
3
環狀與桌行排列
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環狀排列
n個不同物件的環狀排列數為
n!
( n 1)!
n
n個不同物件中，任取m個的環狀排列數為
n
m
P
m
環狀與桌行排列
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生活中的實例1
五對夫婦圍圓桌而坐，試問男女相間坐的方法數
為何?
[解]:
先直線排列 5! 5! 2
故環狀排列數為
5! 5! 2
4! 5! 2880
10
環狀與桌行排列
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生活中的實例2
五對夫婦圍圓桌而坐, 試問每對夫妻相鄰而坐的
方法數為何?
[解]：
先直線排列： 5! 2 5
故環狀排列數為：
5! 2
5
4! 2
5
環狀與桌行排列
5
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桌形排列
當事物是沿著正n邊形來作排列時，稱之為
“桌形排列”。桌形排列每邊的個數不一
定為1。因此，見此環狀排列更一般的排列
方式為：n個事物的環狀排列，可視為n個
事物在每邊只能排一個的正n邊形上作桌形
排列。
環狀與桌行排列
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問題1
有六個小朋友玩遊戲，它們想圍成一正三角形，
每邊的人數一樣(均為 2 人)， 請問他們會有幾
種不同的圍法呢？
環狀與桌行排列
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問題1的說明
先將此六人來個編號吧！分別為 1、2、3、4、5、
6，把它們作直線排列有幾種情形呢？回憶一下吧！
直線排列數 種，將其圍成三角形，每邊為 2 人。
因直線排列數太大了，無法一一列舉，所以，我們
考慮底下其中三組
環狀與桌行排列
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問題１的說明
其他依此類推，可發現在 720 種直線排列
中，每 3 組直線排列在正三角形排列上視
為同一種，故有
1
6! 240 種
3
不同的排列數
環狀與桌行排列
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推廣
若推廣至將m個不同的事物沿一正n邊形而排，其
中m為n的倍數，每邊的個數相等，其排列數為何
呢？如同上面問題 2 的解法，先將m個不同的事
物作直線排列，再圍成正n邊形，每n組直線排列
在正n邊形排列上，均視為同一種，
故排列數為:
1
m!
n
環狀與桌行排列
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問題2
甲、乙、丙三人一起去吃飯，他們挑了一
正方桌而坐，每邊至多坐一人，請想想他
們三人會有幾種不同的坐法呢？
環狀與桌行排列
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問題2的說明
正方桌有四個邊，每邊至多坐一人，因為只有三個
人，所以恰有一邊是空的，如同圓桌的坐法，先將
此三人和一空位作直線排列，其直線排列數為，將
其納入正方桌後發現：
環狀與桌行排列
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環狀與桌行排列
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環狀與桌行排列
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環狀與桌行排列
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說明
由上表可發現：雖然在直線排列中有4！種排法，
但將其納入正方桌後，發現每4種直線排列，在
正方桌排列上只視為同一種。為什麼呢？因為正
方桌的邊數有4邊，我們發現當排定位後，將整
體往同一方向移一格，同環狀排列一樣，每移一
格對直線排列而言是一種新的排列方式，但對正
方桌排列而言，卻是同一種排列方式。所以，其
正方桌排列數只有
1
4! 種
4
環狀與桌行排列
Slide 22
更多的說明，就在
機率網路學習館…
環狀與桌形排列
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環狀排列
又稱圓排列, 是將事物沿著一圓周來作排列, 只考
慮事物的相對位置, 而不計較各物件所在的實際位
置。 此排列可旋轉, 但不可翻轉。
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問題１
甲乙丙三人圍一圓桌而坐, 共有幾種坐法?
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問題１的說明
解這個問題, 我們先考慮甲乙丙三人做直線排列的狀況：
(圖1)
(圖2)
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問題１的說明
共計6種情形。若將(圖1)的直線排列首尾相接，
成為一圈, 如(圖3)
(圖3)
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我們可以發現(圖3)的中間與右邊兩圓，都是左邊的
圓逆時針旋轉的結果，所以應屬於同一類。同理，若
將(圖2)的直線排列首尾相接，成為一圓，如(圖4)，
也可發現此三個也屬於同一類。
圖(4)
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說明
( 3 1)! 2 種排列方式。
故共有
所以若n個不同事物在做環狀排列時, 先求其直
線排列, 因每個排列方式中, 在環狀排列均視為
同一種。故環狀排列數為 直線排列數/排列之個
數。底下我們給出『環狀排列』的公式：
3!
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環狀排列
n個不同物件的環狀排列數為
n!
( n 1)!
n
n個不同物件中，任取m個的環狀排列數為
n
m
P
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生活中的實例1
五對夫婦圍圓桌而坐，試問男女相間坐的方法數
為何?
[解]:
先直線排列 5! 5! 2
故環狀排列數為
5! 5! 2
4! 5! 2880
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生活中的實例2
五對夫婦圍圓桌而坐, 試問每對夫妻相鄰而坐的
方法數為何?
[解]：
先直線排列： 5! 2 5
故環狀排列數為：
5! 2
5
4! 2
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桌形排列
當事物是沿著正n邊形來作排列時，稱之為
“桌形排列”。桌形排列每邊的個數不一
定為1。因此，見此環狀排列更一般的排列
方式為：n個事物的環狀排列，可視為n個
事物在每邊只能排一個的正n邊形上作桌形
排列。
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問題1
有六個小朋友玩遊戲，它們想圍成一正三角形，
每邊的人數一樣(均為 2 人)， 請問他們會有幾
種不同的圍法呢？
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先將此六人來個編號吧！分別為 1、2、3、4、5、
6，把它們作直線排列有幾種情形呢？回憶一下吧！
直線排列數 種，將其圍成三角形，每邊為 2 人。
因直線排列數太大了，無法一一列舉，所以，我們
考慮底下其中三組
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問題１的說明
其他依此類推，可發現在 720 種直線排列
中，每 3 組直線排列在正三角形排列上視
為同一種，故有
1
6! 240 種
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不同的排列數
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推廣
若推廣至將m個不同的事物沿一正n邊形而排，其
中m為n的倍數，每邊的個數相等，其排列數為何
呢？如同上面問題 2 的解法，先將m個不同的事
物作直線排列，再圍成正n邊形，每n組直線排列
在正n邊形排列上，均視為同一種，
故排列數為:
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m!
n
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問題2
甲、乙、丙三人一起去吃飯，他們挑了一
正方桌而坐，每邊至多坐一人，請想想他
們三人會有幾種不同的坐法呢？
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問題2的說明
正方桌有四個邊，每邊至多坐一人，因為只有三個
人，所以恰有一邊是空的，如同圓桌的坐法，先將
此三人和一空位作直線排列，其直線排列數為，將
其納入正方桌後發現：
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說明
由上表可發現：雖然在直線排列中有4！種排法，
但將其納入正方桌後，發現每4種直線排列，在
正方桌排列上只視為同一種。為什麼呢？因為正
方桌的邊數有4邊，我們發現當排定位後，將整
體往同一方向移一格，同環狀排列一樣，每移一
格對直線排列而言是一種新的排列方式，但對正
方桌排列而言，卻是同一種排列方式。所以，其
正方桌排列數只有
1
4! 種
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