環狀與桌形排列

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環狀與桌形排列

機率概念與應用網路學習研究


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環狀排列


又稱圓排列, 是將事物沿著一圓周來作排列, 只考
慮事物的相對位置, 而不計較各物件所在的實際位
置。 此排列可旋轉, 但不可翻轉。

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問題1


甲乙丙三人圍一圓桌而坐, 共有幾種坐法?

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問題1的說明


解這個問題, 我們先考慮甲乙丙三人做直線排列的狀況:

(圖1)

(圖2)
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問題1的說明


共計6種情形。若將(圖1)的直線排列首尾相接,
成為一圈, 如(圖3)

(圖3)
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問題1的說明


我們可以發現(圖3)的中間與右邊兩圓,都是左邊的
圓逆時針旋轉的結果,所以應屬於同一類。同理,若
將(圖2)的直線排列首尾相接,成為一圓,如(圖4),
也可發現此三個也屬於同一類。

圖(4)
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說明
 ( 3  1)!  2 種排列方式。



故共有



所以若n個不同事物在做環狀排列時, 先求其直
線排列, 因每個排列方式中, 在環狀排列均視為
同一種。故環狀排列數為 直線排列數/排列之個
數。底下我們給出『環狀排列』的公式:

3!
3

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環狀排列


n個不同物件的環狀排列數為
n!

 ( n  1)!

n


n個不同物件中,任取m個的環狀排列數為
n
m

P

m
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生活中的實例1







五對夫婦圍圓桌而坐,試問男女相間坐的方法數
為何?
[解]:
先直線排列 5! 5! 2
故環狀排列數為

5! 5! 2

 4! 5!  2880

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生活中的實例2


五對夫婦圍圓桌而坐, 試問每對夫妻相鄰而坐的
方法數為何?
[解]:



先直線排列: 5! 2 5





故環狀排列數為:

5! 2

5

 4! 2

5

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5


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桌形排列


當事物是沿著正n邊形來作排列時,稱之為
“桌形排列”。桌形排列每邊的個數不一
定為1。因此,見此環狀排列更一般的排列
方式為:n個事物的環狀排列,可視為n個
事物在每邊只能排一個的正n邊形上作桌形
排列。

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問題1


有六個小朋友玩遊戲,它們想圍成一正三角形,
每邊的人數一樣(均為 2 人), 請問他們會有幾
種不同的圍法呢?

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問題1的說明


先將此六人來個編號吧!分別為 1、2、3、4、5、
6,把它們作直線排列有幾種情形呢?回憶一下吧!
直線排列數 種,將其圍成三角形,每邊為 2 人。
因直線排列數太大了,無法一一列舉,所以,我們
考慮底下其中三組

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問題1的說明


其他依此類推,可發現在 720 種直線排列
中,每 3 組直線排列在正三角形排列上視
為同一種,故有



1

 6!  240 種

3


不同的排列數

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推廣


若推廣至將m個不同的事物沿一正n邊形而排,其
中m為n的倍數,每邊的個數相等,其排列數為何
呢?如同上面問題 2 的解法,先將m個不同的事
物作直線排列,再圍成正n邊形,每n組直線排列
在正n邊形排列上,均視為同一種,
故排列數為:

1

 m!

n
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問題2


甲、乙、丙三人一起去吃飯,他們挑了一
正方桌而坐,每邊至多坐一人,請想想他
們三人會有幾種不同的坐法呢?

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問題2的說明


正方桌有四個邊,每邊至多坐一人,因為只有三個
人,所以恰有一邊是空的,如同圓桌的坐法,先將
此三人和一空位作直線排列,其直線排列數為,將
其納入正方桌後發現:

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說明


由上表可發現:雖然在直線排列中有4!種排法,
但將其納入正方桌後,發現每4種直線排列,在
正方桌排列上只視為同一種。為什麼呢?因為正
方桌的邊數有4邊,我們發現當排定位後,將整
體往同一方向移一格,同環狀排列一樣,每移一
格對直線排列而言是一種新的排列方式,但對正
方桌排列而言,卻是同一種排列方式。所以,其
正方桌排列數只有
1
 4! 種
4
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