Transcript 立體著色問題

立體著色問題
機率概念與應用網路學習研究
什麼是立體著色？

立體著色問題係將多種相同或相異的顏色著色於
一立體圖形，而在圖形可翻轉或旋轉的情形下，
探討所有可能的著色方法及總數。

一般而言，在顏色夠多的情形下，我們限制不使
用重複的顏色；反之，在顏色不足的情形下，我
們限制相鄰兩面不得同色。
立體著色問題
問題1：

以六種顏色塗著於一正三角柱，不可使用重複的
顏色，在立體圖形可在空間中任意翻轉或旋轉的
情形下，試問共有幾種方法？
立體著色問題
問題1的說明：


以正三角形面為底面，共有 6 種顏色可以選擇。
再塗周圍的長方形面，因不用同顏色，故共有 5 ×4 ×3 種著
色方法。但在底部固定的情形下，因旋轉位置的不同，將
導致重複方法的情況（類似環狀排列），所以實際上應只
有 (5 ×4 ×3) /3 個方法。最後剩餘一正三角形面有 2 種選擇。
立體著色問題
問題1的說明：
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

注意！此時的總方法數並非 6 × (5 ×4 ×3) ×2 /3 。
因為當正三角柱翻轉時，即以另一正三角面為底面時，
所有的著色情況都會產生重複著色的現象（類似珠狀
排列），所以應當將方法數再除以可翻轉的面數，故
真正的答案應為 6 × (5 ×4 ×3) ×2 /(3 ×2)。
發現了嗎？針對這樣的思考方式，其實已經敘述了對
立體著色問題處理的架構喔~^^
立體著色問題
定理-立體著色公式

從 m個不同顏色中選塗一 n面體，使其每面顏色均不
同之方法數為



Pnm
ab
。
m
其中， Pn 表示 m個不同顏色中選取出 n個顏色的方法數。
a 表示立體圖形經旋轉而會導致重複形狀的面數，即可旋轉數。
b 表示立體圖形經翻轉而會導致重複形狀的面數，即可翻轉數。
立體著色問題
解題步驟
Step1.先選取顏色並給予排列。
Step2.再觀察立體圖形的可旋轉數及可翻轉數。
Step3.直接套用立體著色公式。
立體著色問題
例題1：
用 6種顏料塗一正方體之每邊，且各面須異色，則可塗
出若干種不同色彩之正方體？
解答：
6
1.正方體有六面，故六種顏料的選塗方法有 P6  6 ! 種。
2.正方體的旋轉數為 4，翻轉數為 6 ；
所以，總方法數為
P66
6!

 30
4 6 4 6
立體著色問題
種。
練習1：
續例題1.，若由 10種顏料來塗此正立方體，則情形又如
何？
立體著色問題
解答：
1.正方體有六面，故10種顏料的選塗方法有
2.正方體的旋轉數為 4，翻轉數為 6 ；
所以，總方法數為
P610 種。
P610 10  9  8  7  6  5

4 6
4 6
計 6300 種。
立體著色問題
例題2：
在一正方體之每邊分別寫上1、2、… 6等數字，且兩對
面數字和為 7，則可產生幾種不同的組合？
提示：
數字和為 7 的組合方式，計有(1,6) ,(2,5) ,(3,4)等三種。
而在一立方體依序填上三組數字時，可視為在立方體
各對面依次著上三種不同的顏色。
立體著色問題
解答：
1.第一組數字填入時，有六個選擇的面。選定後，則其
對面不能再被選取。
2.第二組數字有 4種可選擇的面；第三組數字則是剩下
最後 2個面可以選擇。
所以數字的填寫方法計有 6 ×4 ×2 = 48 種。
3.但在考慮立體圖形可旋轉或可翻轉造成重複圖形的情
形下，應再除以立方體的可旋轉數4 和翻轉數6 。
48
所以，總方法數應為
 2 種。
46
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練習2：
今有 10 種顏色，欲塗於一圓柱上，各面異色，可得幾種
不同的圓柱？
提示：
比較圓柱的可旋轉數和一般柱體可旋轉數的差別。
？
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解答：
1.若將圓柱分解，則可得 2個圓形和 1個矩形，故由10
種顏料選取 3種顏料來塗色，
P310  10  9  8 種。
方法數為
2.又因圓柱之翻轉數為 2；旋轉數為 1，
P310
10  9  8
因此，總方法數為

 360 種。
1 2
1 2
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練習3：
用 6種不同的顏色塗抹一正四角錐，規定每面僅塗一色，
且相鄰兩面不能塗同色，則其塗法有幾種？
提示：
比較錐體的可翻轉數和柱體之可翻轉數的差別。
立體著色問題
解答：
1.若將錐體分解則可得 1個正方形和 4個全等三角形
故由 6種顏料選取 5種顏色著色，
6!
 720 種。
方法數為 P 
(6  5) !
6
5
2.又因錐體的可翻轉數為 1；可旋轉數為 4，
720
 180 種。
因此，總方法數為
1 4
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