Transcript 广义相对论课堂一
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广义相对论课堂三
几何物理（继续）
2011.9.16
Slide 2
课程安排
• 上交作业：第一次！每周五课前；
• 复习内容：特征参数、球面几何
• 新内容：球面几何（续）、几何与坐标、
测量、时空图
• 学习要求：测地线偏离决定曲率的直观几
何分析、球面三角面积公式、线元与度规
• 作业：主页周六上午更新；
Slide 3
交作业
•
•
•
•
每周五课前
整个学期允许最多2次迟交——有正当理由
否则扣分
最好散张纸、不要厚本子
Slide 4
参考书补充
• 梁灿彬——应用数学专业（包括数学物理）
——质量过硬！
• 李淑娴 翻译MTW 台湾出版
• General Relativity Without Calculus: A Concise
Introduction to the Geometry of Relativity电
子书
• 公理化《GR in a nutshell》
Slide 5
教与学——策略——复习
•
•
•
•
艾宾浩斯记忆曲线——Buzan复习曲线
——2个pdf页面
螺旋式“上升”，由浅入深（Hartle优点）
定性定量；直观几何抽象代数；归纳
演绎；数学与物理剥离学习；理论与实验
• 讲课2-3次、作业1-2、测试1
Slide 6
回顾：特征参数GM/RC^2
•
•
•
•
无量纲
能量比值：牛顿/相对论性
相对论性vs牛顿：加强
Martin J. Rees 科普《Just Six Numbers: The
Deep Forces That Shape The Universe (May 8,
2001) 》星系团/h Mpc，30个星系10^14/h
太阳质量（千亿颗10^11）第五个数10^-5
• 补充习题3.6
Slide 7
Martin Rees
• 理论宇宙学家、天体物理学家
• 理论预言1966年视超光速pp.61 Box4.3、
CMB偏振
• Dennis Sciama—Dirac—Fowler—Chandra
• Role model——文献如数家珍--Alan Guth
Slide 8
思路总结
• spacetime tells mass how
to move and
mass tells spacetime how
to curve
----John A. Wheeler
Slide 9
弯曲时空=引力场——引力的度规理
论：GR
• 弯曲时空3+1维
• 1维，内禀无曲率
• 2维，最简单球面
Slide 10
模式：从欧式到非欧几何
欧式几何
球面几何
GBL空间
五大公设
嵌入
不能嵌入
定义
推论
完备性
Slide 11
测地线间隔（偏移）变化曲率
两条测地线 正positive
curvature
a<0
（初始）相
交射线=间
隔从0增大
不相交平行 相交封闭
=间隔从某 、有限空间
个有限值
平直flat
V=const.
a=0
负negative
a>0
Slide 12
球面：初始平行
• 局域平面上平行
• 赤道开始，两经圈切矢量
• 第20章
Slide 13
球面——比较平面几何
•
•
•
•
•
•
•
•
点——南北极点=对极点（共轭）、赤道圈上
直线=大圆弧——经度圈、赤道圈
距离=短大圆弧
角=长度比
平行——no
三角——二角形
圆circle——内禀、周径比
技巧：无量纲化，半径=单位长度
Slide 14
Slide 15
车轭——颈脖处
• 共轭——球面的直径
• 习题6.12、8.2——二阶变分
• 分析力学主要用的数学工具是泛函变分分析（变
分法、路径积分），入门讲的最好的是以下几本
数学方法书——电子书时：
Michio Masujima,Applied mathematical methods in
theoretical physics
Hassani Sadri, Mathematical Methods For Students
of Physics and Related Fields, Springer 2009 2nd
Edition
Riley Hobson 2002 Mathematical Methods For
Physics
Slide 16
球面三角
Slide 17
球面三角面积公式——推导
• 对极点，共轭二角形、共轭三角形
• 二面角A+B+C向外=半个球面（ABA’B’右半
）+三角形重复一次+对顶三角形A’B’C’
Slide 18
球面三角面积公式推论
• 1、多边形
• 2、全等4+1种（SSS、SAS、AAS、ASA
，AAA3）
• 3、不全等而相似——不再有
• 4、大小：内角和、面积减小或半径增大—
—Gauss测量实验
• 5、地图变形vs理想地图投影2方面——a、
保证直线，b、保角/形变换
Slide 19
黎曼几何
•
•
•
•
Hartle 土豆面
MTW 船——由测量决定、精度！
局域平面——Gauss
3+ ——Riemann
Slide 20
微分几何
•
•
•
•
•
•
点集拓扑
微分拓扑——流形
仿射几何
黎曼几何
MTW part III
事实上，微积分基础，例如Jacobi变换
Slide 21
线元——距离决定几何，坐标系是
次要的！
• 平面，微分，勾股定理
• 球面
• 1、几何完全由一个函数——线元——决定，线元
给出2个相邻点距离。
• 2、沿着路径paths的距离=（黎曼）线积分
• 3、直线=最短程线（路径）
• 4、一个弧arc所张角=弧长/弧到弧心（弧所在圆
的圆心）距离
• 5、面积和体积=面元和体元的多重积分7.6
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球面几何djvu42
Slide 23
几何与坐标
• 几何是本质——（坐标变换）不变性！—
—Klein变换几何、变分原理
• 坐标是人为引入，为了理论计算——对比
实验测量结果——模式
• 例：Pi=周径比
Slide 24
坐标
•
•
•
•
Orthogonal正交 =independent vs skew 斜交
Coordinate grids (latticework)
coordinates
origin
Slide 25
What is the single most important thing
you have learned about thus and so?
• ----John Wheeler,
• Few questions focus the mind so clearly.
• ----《BLACK HOLES AND TIME WARPS 》
Slide 26
Wheeler's first moral principle
• "Never make a calculation until you know the answer".
• Make an estimate before every calculation, try a simple physical argument
(symmetry! invariance! conservation!) before every derivation, guess the
answer to every paradox and puzzle. Courage: No one else needs to know
what the guess is. Therefore make it quickly, by instinct. A right guess
reinforces this instinct. A wrong guess brings the refreshment of surprise.
In either case life as a spacetime expert, however long, is more fun!出自
E.F. Taylor and J.A. Wheeler, Spacetime Physics, W.H. Freeman and
Company, New York, 1992, Second edition, p.20
• 更一般表述Wheeler's First Moral Principle: "Know the answer before you
begin the problem".
• 最开始只能裸猜，慢慢能形成物理感觉，频繁总结修正调动培养，最
后形成直觉。Einstein就是将这个做到极致。实验物理学家同样需要。
这也是好教师和好教材的重要地方之一：将最重要最常用的简单例子
讲透彻，能培养对复杂问题的洞察力。
Slide 27
Wheeler's first moral principle
• "Never make a calculation until you know the
answer".
• "Know the answer before you begin the
problem".
• 直觉
• 方向最重要
Slide 28
课堂讨论
• 不清楚立即打断或问清
• 反应要快——2秒
• 发言大声
• 发言前报（系别、）姓名，如：我是（近
代物理系）章一超
Slide 29
Einstein火车思想实验
• 你认为测量是如何进行的？
Slide 30
由测量决定
• 非欧几何是可能的物理空间（3维位形空间
）
• 牛顿第一定律
• 同时相对性
• Heisenberg原子频率vs电子轨迹
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时空图
•
•
•
•
•
•
坐标图——区分x-y坐标图！！！
技术、工具；表达、阐述、澄清
Feynman图<——John Archibald Wheeler
热学——相图
c=1 附录A必读！
ict MTW Box 2.1 ； 习题解答5.11
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学习目标
• 1、测地线偏离决定曲率的直观几何分析—
—中学生能听懂
• 2、球面三角面积公式及其推论
• 3、线元与度规
• 4、几何与坐标——一体两面
广义相对论课堂三
几何物理（继续）
2011.9.16
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课程安排
• 上交作业：第一次！每周五课前；
• 复习内容：特征参数、球面几何
• 新内容：球面几何（续）、几何与坐标、
测量、时空图
• 学习要求：测地线偏离决定曲率的直观几
何分析、球面三角面积公式、线元与度规
• 作业：主页周六上午更新；
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交作业
•
•
•
•
每周五课前
整个学期允许最多2次迟交——有正当理由
否则扣分
最好散张纸、不要厚本子
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参考书补充
• 梁灿彬——应用数学专业（包括数学物理）
——质量过硬！
• 李淑娴 翻译MTW 台湾出版
• General Relativity Without Calculus: A Concise
Introduction to the Geometry of Relativity电
子书
• 公理化《GR in a nutshell》
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教与学——策略——复习
•
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•
艾宾浩斯记忆曲线——Buzan复习曲线
——2个pdf页面
螺旋式“上升”，由浅入深（Hartle优点）
定性定量；直观几何抽象代数；归纳
演绎；数学与物理剥离学习；理论与实验
• 讲课2-3次、作业1-2、测试1
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回顾：特征参数GM/RC^2
•
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无量纲
能量比值：牛顿/相对论性
相对论性vs牛顿：加强
Martin J. Rees 科普《Just Six Numbers: The
Deep Forces That Shape The Universe (May 8,
2001) 》星系团/h Mpc，30个星系10^14/h
太阳质量（千亿颗10^11）第五个数10^-5
• 补充习题3.6
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Martin Rees
• 理论宇宙学家、天体物理学家
• 理论预言1966年视超光速pp.61 Box4.3、
CMB偏振
• Dennis Sciama—Dirac—Fowler—Chandra
• Role model——文献如数家珍--Alan Guth
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思路总结
• spacetime tells mass how
to move and
mass tells spacetime how
to curve
----John A. Wheeler
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弯曲时空=引力场——引力的度规理
论：GR
• 弯曲时空3+1维
• 1维，内禀无曲率
• 2维，最简单球面
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模式：从欧式到非欧几何
欧式几何
球面几何
GBL空间
五大公设
嵌入
不能嵌入
定义
推论
完备性
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测地线间隔（偏移）变化曲率
两条测地线 正positive
curvature
a<0
（初始）相
交射线=间
隔从0增大
不相交平行 相交封闭
=间隔从某 、有限空间
个有限值
平直flat
V=const.
a=0
负negative
a>0
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球面：初始平行
• 局域平面上平行
• 赤道开始，两经圈切矢量
• 第20章
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球面——比较平面几何
•
•
•
•
•
•
•
•
点——南北极点=对极点（共轭）、赤道圈上
直线=大圆弧——经度圈、赤道圈
距离=短大圆弧
角=长度比
平行——no
三角——二角形
圆circle——内禀、周径比
技巧：无量纲化，半径=单位长度
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车轭——颈脖处
• 共轭——球面的直径
• 习题6.12、8.2——二阶变分
• 分析力学主要用的数学工具是泛函变分分析（变
分法、路径积分），入门讲的最好的是以下几本
数学方法书——电子书时：
Michio Masujima,Applied mathematical methods in
theoretical physics
Hassani Sadri, Mathematical Methods For Students
of Physics and Related Fields, Springer 2009 2nd
Edition
Riley Hobson 2002 Mathematical Methods For
Physics
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球面三角
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球面三角面积公式——推导
• 对极点，共轭二角形、共轭三角形
• 二面角A+B+C向外=半个球面（ABA’B’右半
）+三角形重复一次+对顶三角形A’B’C’
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球面三角面积公式推论
• 1、多边形
• 2、全等4+1种（SSS、SAS、AAS、ASA
，AAA3）
• 3、不全等而相似——不再有
• 4、大小：内角和、面积减小或半径增大—
—Gauss测量实验
• 5、地图变形vs理想地图投影2方面——a、
保证直线，b、保角/形变换
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黎曼几何
•
•
•
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Hartle 土豆面
MTW 船——由测量决定、精度！
局域平面——Gauss
3+ ——Riemann
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微分几何
•
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点集拓扑
微分拓扑——流形
仿射几何
黎曼几何
MTW part III
事实上，微积分基础，例如Jacobi变换
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线元——距离决定几何，坐标系是
次要的！
• 平面，微分，勾股定理
• 球面
• 1、几何完全由一个函数——线元——决定，线元
给出2个相邻点距离。
• 2、沿着路径paths的距离=（黎曼）线积分
• 3、直线=最短程线（路径）
• 4、一个弧arc所张角=弧长/弧到弧心（弧所在圆
的圆心）距离
• 5、面积和体积=面元和体元的多重积分7.6
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球面几何djvu42
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几何与坐标
• 几何是本质——（坐标变换）不变性！—
—Klein变换几何、变分原理
• 坐标是人为引入，为了理论计算——对比
实验测量结果——模式
• 例：Pi=周径比
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坐标
•
•
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•
Orthogonal正交 =independent vs skew 斜交
Coordinate grids (latticework)
coordinates
origin
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What is the single most important thing
you have learned about thus and so?
• ----John Wheeler,
• Few questions focus the mind so clearly.
• ----《BLACK HOLES AND TIME WARPS 》
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Wheeler's first moral principle
• "Never make a calculation until you know the answer".
• Make an estimate before every calculation, try a simple physical argument
(symmetry! invariance! conservation!) before every derivation, guess the
answer to every paradox and puzzle. Courage: No one else needs to know
what the guess is. Therefore make it quickly, by instinct. A right guess
reinforces this instinct. A wrong guess brings the refreshment of surprise.
In either case life as a spacetime expert, however long, is more fun!出自
E.F. Taylor and J.A. Wheeler, Spacetime Physics, W.H. Freeman and
Company, New York, 1992, Second edition, p.20
• 更一般表述Wheeler's First Moral Principle: "Know the answer before you
begin the problem".
• 最开始只能裸猜，慢慢能形成物理感觉，频繁总结修正调动培养，最
后形成直觉。Einstein就是将这个做到极致。实验物理学家同样需要。
这也是好教师和好教材的重要地方之一：将最重要最常用的简单例子
讲透彻，能培养对复杂问题的洞察力。
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Wheeler's first moral principle
• "Never make a calculation until you know the
answer".
• "Know the answer before you begin the
problem".
• 直觉
• 方向最重要
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课堂讨论
• 不清楚立即打断或问清
• 反应要快——2秒
• 发言大声
• 发言前报（系别、）姓名，如：我是（近
代物理系）章一超
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Einstein火车思想实验
• 你认为测量是如何进行的？
Slide 30
由测量决定
• 非欧几何是可能的物理空间（3维位形空间
）
• 牛顿第一定律
• 同时相对性
• Heisenberg原子频率vs电子轨迹
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时空图
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•
坐标图——区分x-y坐标图！！！
技术、工具；表达、阐述、澄清
Feynman图<——John Archibald Wheeler
热学——相图
c=1 附录A必读！
ict MTW Box 2.1 ； 习题解答5.11
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学习目标
• 1、测地线偏离决定曲率的直观几何分析—
—中学生能听懂
• 2、球面三角面积公式及其推论
• 3、线元与度规
• 4、几何与坐标——一体两面