Transcript Limitní věty
Slide 1
Limitní věty
Slide 2
Limitní věty
• tvrzení, která jsou důležitá pro popis
pravděpodobnostních modelů v případě rostoucího
počtu náhodných pokusů
Slide 3
Konvergence podle pravděpodobnosti
(stochastická konvergence)
Je dána posloupnost náhodných veličin {Xn} a náhodná
veličina X. Jestliže pro každé ε > 0 platí:
lim P X n X 1
n
,pak říkáme, že posloupnost náhodných veličin {Xn}
konverguje k náhodné veličině X podle
pravděpodobnosti.
Slide 4
Konvergence v distribuci
Je dána posloupnost náhodných veličin {Xn},
posloupnost distribučních funkcí náhodných veličin {Xn}{Fn(x)} a náhodná veličina X, která má distribuční funkci
F(x).
Jestliže:
lim Fn ( x ) F ( x ) ,
n
pak říkáme, že posloupnost náhodných veličin {Xn}
konverguje k náhodné veličině X v distribuci a F(x)
nazýváme asymptotickou distribuční funkcí.
Slide 5
Čebyševova nerovnost
• odhaduje (velice hrubě) pravděpodobnost odchylky
náhodné veličiny X od její střední hodnoty
Nechť X je libovolná náhodná veličina se střední
hodnotou EX a konečným rozptylem DX.
0:
P X EX
DX
2
Slide 6
Litschmannová: Statistika I. – řešené
příklady, kap. Limitní věty
př. 8.1, 8.2
Slide 7
Centrální limitní věta
• zabývá se konvergencí rozdělení k normálnímu
rozdělení
2 dílčí formulace CLV:
1.) Lindebergova-Lévyho věta
2.) Moivreova-Laplaceova věta
Slide 8
Lindebergova-Lévyho věta
(Rozdělení součtu NV)
Jestliže X1, X2, …, Xn jsou nezávislé náhodné veličiny se
stejným (libovolným) rozdělením, stejnými středními hodnotami
a se stejnými (konečnými) rozptyly , pak jejich součet konverguje
v distribuci k normálnímu rozdělení o parametrech: nμ;nσ2.
{Xn}: - nezávislé NV
- NV se stejným typem rozdělení
- EX1=EX2=…=EXn
- DX1=DX2=…=DXn < ∞,
Pak:
n
X
X
i 1
i
N n ; n
2
Slide 9
Důsledek Linderbergovy-Lévyho věty
(Rozdělení průměru náhodných veličin)
Jestliže X1, X2, …, Xn jsou nezávislé náhodné veličiny se stejným
(libovolným) rozdělením, stejnými středními hodnotami a se
stejnými (konečnými) rozptyly , pak jejich průměr konverguje v
distribuci k normálnímu rozdělení o parametrech: μ;σ2/n.
{Xn}: - nezávislé NV
- NV se stejným typem rozdělení
- EX1=EX2=…=EXn
- DX1=DX2=…=DXn < ∞,
n
Pak:
X
X
i 1
n
i
2
N ;
n
Slide 10
Důkaz
n
X
X
i 1
n
i
1
n
X EX
1
n
EX
1
n
2
n ;
2
1
1
D X DX n
n
n
2
2
n
Slide 11
Litschmannová: Statistika I. – řešené
příklady, kap. Limitní věty
př. 8.3, 8.4, 8.7
Slide 12
Příklad
• Dlouhodobým průzkumem bylo zjištno, že
doba potřebná k objevení a odstranní
poruchy stroje má střední hodnotu 40
minut a směrodatnou odchylku 30 minut.
Jaká je pravaděpodobnost, že doba
potřebná k objevení a opravení 100
poruch nepřekročí 70 hodin?
Slide 13
Příklad
Životnost elektrického holícího strojku
Adam má exponenciální rozdělení se
střední hodnotou 2 roky. Určete
pravděpodobnost, že průměrná životnost
150-ti prodaných strojků Adam bude vyšší
než 27 měsíců.
Slide 14
Moivreova-Laplaceova věta
• tato věta vyjadřuje konvergenci binomického rozdělení
k normálnímu rozdělení
X Bi n ; p ;
EX np; DX np 1 - p
pak pro dostatečně velká n:
,
X N np ; np 1 p
Aproximace dává dobré výsledky, když:
np 1 p 9 nebo min np ; n 1 p 5
Slide 15
Aproximace Poissonova rozdělení
rozdělením normálním
X Po t ,
EX t ,
DX t ,
pak pro dostatečně velké t platí, že X můžeme
aproximovat norm. rozdělením s parametry:
X N t , t
t,
2
t
Slide 16
Aproximace průměrného počtu výskytu události
za časovou jednotku normálním rozdělením
X Po t
Y ... počet výskytu události za časovou jednotku, Y
X lze aproximovat normálním rozdělením,
pak:
Y N ,
t
X
t
X N t , t ,
Slide 17
Oprava na spojitost
Oprava na spojitost (u pravděpodobnostní funkce):
Je-li X diskrétní náhodná veličina, pak:
P X a P a 0 , 5 X a 0,5
Obecně – oprava na spojitost:
Posouzení vhodnosti použití opravy na spojitost provádíme vždy při
řešení konkrétního příkladu důsledným převodem
pravděpodobnosti výskytu náhodné veličiny na nějakém intervalu na
vztah mezi distribučními funkcemi v příslušných bodech.
Slide 18
Litschmannová: Statistika I. – řešené
příklady, kap. Limitní věty
př. 8.5, 8.6
Slide 19
Příklad
• Na telefonní ústřednu je napojeno 3000
účastníků. Každý z nich bude volat
telefonní ústřednu během hodiny s
pravděpodobností 10%. Jaká je
pravděpodobnost, že během následující
hodiny zavolá ústřednu:
a) právě 300 účastníků?
b) více než 310 účastníků?
c) mezi 200 a 450 účastníky(včetně)?
Slide 20
Alternativní NV
A(p)
n=1
Bernoulliho pokusy
(nezávisle, 2 možné
výsledky)
Počet úspěchů
v n pokusech
Závisle pokusy
(2 možné
výsledky)
Diskrétní NV
(počty události)
Binomická NV
Bi(n;p)
n≥1
Počet pokusů do k-tého
úspěchu
(Bernoulliho pokusy)
Počet události na uzavřené
oblasti
(v čas. intervalu, na ploše, v
objemu)
(Poissonův proces)
Hypergeometrická NV
H(N;M;n)
k=1
Geometrická
NV
Ge(p)
k≥1
Negativně binomická
NV
NB(k;p)
Poissonova NV
Po(λt)
Typ NV
Aproximace dle LV
N(λt;λt)
Období
stabilního života
Exponenciální
NV
Exp(λ)
Libovolný tvar
intenzity poruch
Weibullova NV
W(β;Θ)
k=1
Spojitá NV
Doba do k.
události
(Poissonův proces)
k≥1
Součet NV,
Průměr NV
(dle LV)
Součet NV
N(n.EXi;n.DXi)
Průměr NV
N(EXi;DXi/n)
Erlangova NV
Erlang(k;λ)
Aproximace dle
LV
N(np;np(1-p))
Limitní věty
Slide 2
Limitní věty
• tvrzení, která jsou důležitá pro popis
pravděpodobnostních modelů v případě rostoucího
počtu náhodných pokusů
Slide 3
Konvergence podle pravděpodobnosti
(stochastická konvergence)
Je dána posloupnost náhodných veličin {Xn} a náhodná
veličina X. Jestliže pro každé ε > 0 platí:
lim P X n X 1
n
,pak říkáme, že posloupnost náhodných veličin {Xn}
konverguje k náhodné veličině X podle
pravděpodobnosti.
Slide 4
Konvergence v distribuci
Je dána posloupnost náhodných veličin {Xn},
posloupnost distribučních funkcí náhodných veličin {Xn}{Fn(x)} a náhodná veličina X, která má distribuční funkci
F(x).
Jestliže:
lim Fn ( x ) F ( x ) ,
n
pak říkáme, že posloupnost náhodných veličin {Xn}
konverguje k náhodné veličině X v distribuci a F(x)
nazýváme asymptotickou distribuční funkcí.
Slide 5
Čebyševova nerovnost
• odhaduje (velice hrubě) pravděpodobnost odchylky
náhodné veličiny X od její střední hodnoty
Nechť X je libovolná náhodná veličina se střední
hodnotou EX a konečným rozptylem DX.
0:
P X EX
DX
2
Slide 6
Litschmannová: Statistika I. – řešené
příklady, kap. Limitní věty
př. 8.1, 8.2
Slide 7
Centrální limitní věta
• zabývá se konvergencí rozdělení k normálnímu
rozdělení
2 dílčí formulace CLV:
1.) Lindebergova-Lévyho věta
2.) Moivreova-Laplaceova věta
Slide 8
Lindebergova-Lévyho věta
(Rozdělení součtu NV)
Jestliže X1, X2, …, Xn jsou nezávislé náhodné veličiny se
stejným (libovolným) rozdělením, stejnými středními hodnotami
a se stejnými (konečnými) rozptyly , pak jejich součet konverguje
v distribuci k normálnímu rozdělení o parametrech: nμ;nσ2.
{Xn}: - nezávislé NV
- NV se stejným typem rozdělení
- EX1=EX2=…=EXn
- DX1=DX2=…=DXn < ∞,
Pak:
n
X
X
i 1
i
N n ; n
2
Slide 9
Důsledek Linderbergovy-Lévyho věty
(Rozdělení průměru náhodných veličin)
Jestliže X1, X2, …, Xn jsou nezávislé náhodné veličiny se stejným
(libovolným) rozdělením, stejnými středními hodnotami a se
stejnými (konečnými) rozptyly , pak jejich průměr konverguje v
distribuci k normálnímu rozdělení o parametrech: μ;σ2/n.
{Xn}: - nezávislé NV
- NV se stejným typem rozdělení
- EX1=EX2=…=EXn
- DX1=DX2=…=DXn < ∞,
n
Pak:
X
X
i 1
n
i
2
N ;
n
Slide 10
Důkaz
n
X
X
i 1
n
i
1
n
X EX
1
n
EX
1
n
2
n ;
2
1
1
D X DX n
n
n
2
2
n
Slide 11
Litschmannová: Statistika I. – řešené
příklady, kap. Limitní věty
př. 8.3, 8.4, 8.7
Slide 12
Příklad
• Dlouhodobým průzkumem bylo zjištno, že
doba potřebná k objevení a odstranní
poruchy stroje má střední hodnotu 40
minut a směrodatnou odchylku 30 minut.
Jaká je pravaděpodobnost, že doba
potřebná k objevení a opravení 100
poruch nepřekročí 70 hodin?
Slide 13
Příklad
Životnost elektrického holícího strojku
Adam má exponenciální rozdělení se
střední hodnotou 2 roky. Určete
pravděpodobnost, že průměrná životnost
150-ti prodaných strojků Adam bude vyšší
než 27 měsíců.
Slide 14
Moivreova-Laplaceova věta
• tato věta vyjadřuje konvergenci binomického rozdělení
k normálnímu rozdělení
X Bi n ; p ;
EX np; DX np 1 - p
pak pro dostatečně velká n:
,
X N np ; np 1 p
Aproximace dává dobré výsledky, když:
np 1 p 9 nebo min np ; n 1 p 5
Slide 15
Aproximace Poissonova rozdělení
rozdělením normálním
X Po t ,
EX t ,
DX t ,
pak pro dostatečně velké t platí, že X můžeme
aproximovat norm. rozdělením s parametry:
X N t , t
t,
2
t
Slide 16
Aproximace průměrného počtu výskytu události
za časovou jednotku normálním rozdělením
X Po t
Y ... počet výskytu události za časovou jednotku, Y
X lze aproximovat normálním rozdělením,
pak:
Y N ,
t
X
t
X N t , t ,
Slide 17
Oprava na spojitost
Oprava na spojitost (u pravděpodobnostní funkce):
Je-li X diskrétní náhodná veličina, pak:
P X a P a 0 , 5 X a 0,5
Obecně – oprava na spojitost:
Posouzení vhodnosti použití opravy na spojitost provádíme vždy při
řešení konkrétního příkladu důsledným převodem
pravděpodobnosti výskytu náhodné veličiny na nějakém intervalu na
vztah mezi distribučními funkcemi v příslušných bodech.
Slide 18
Litschmannová: Statistika I. – řešené
příklady, kap. Limitní věty
př. 8.5, 8.6
Slide 19
Příklad
• Na telefonní ústřednu je napojeno 3000
účastníků. Každý z nich bude volat
telefonní ústřednu během hodiny s
pravděpodobností 10%. Jaká je
pravděpodobnost, že během následující
hodiny zavolá ústřednu:
a) právě 300 účastníků?
b) více než 310 účastníků?
c) mezi 200 a 450 účastníky(včetně)?
Slide 20
Alternativní NV
A(p)
n=1
Bernoulliho pokusy
(nezávisle, 2 možné
výsledky)
Počet úspěchů
v n pokusech
Závisle pokusy
(2 možné
výsledky)
Diskrétní NV
(počty události)
Binomická NV
Bi(n;p)
n≥1
Počet pokusů do k-tého
úspěchu
(Bernoulliho pokusy)
Počet události na uzavřené
oblasti
(v čas. intervalu, na ploše, v
objemu)
(Poissonův proces)
Hypergeometrická NV
H(N;M;n)
k=1
Geometrická
NV
Ge(p)
k≥1
Negativně binomická
NV
NB(k;p)
Poissonova NV
Po(λt)
Typ NV
Aproximace dle LV
N(λt;λt)
Období
stabilního života
Exponenciální
NV
Exp(λ)
Libovolný tvar
intenzity poruch
Weibullova NV
W(β;Θ)
k=1
Spojitá NV
Doba do k.
události
(Poissonův proces)
k≥1
Součet NV,
Průměr NV
(dle LV)
Součet NV
N(n.EXi;n.DXi)
Průměr NV
N(EXi;DXi/n)
Erlangova NV
Erlang(k;λ)
Aproximace dle
LV
N(np;np(1-p))