Slide 1

Limitní věty


Slide 2

Limitní věty
• tvrzení, která jsou důležitá pro popis
pravděpodobnostních modelů v případě rostoucího
počtu náhodných pokusů


Slide 3

Konvergence podle pravděpodobnosti
(stochastická konvergence)
Je dána posloupnost náhodných veličin {Xn} a náhodná
veličina X. Jestliže pro každé ε > 0 platí:
lim P  X n  X     1

n 

,pak říkáme, že posloupnost náhodných veličin {Xn}
konverguje k náhodné veličině X podle
pravděpodobnosti.


Slide 4

Konvergence v distribuci
Je dána posloupnost náhodných veličin {Xn},
posloupnost distribučních funkcí náhodných veličin {Xn}{Fn(x)} a náhodná veličina X, která má distribuční funkci
F(x).
Jestliže:
lim Fn ( x )  F ( x ) ,
n 

pak říkáme, že posloupnost náhodných veličin {Xn}
konverguje k náhodné veličině X v distribuci a F(x)
nazýváme asymptotickou distribuční funkcí.


Slide 5

Čebyševova nerovnost
• odhaduje (velice hrubě) pravděpodobnost odchylky
náhodné veličiny X od její střední hodnoty

Nechť X je libovolná náhodná veličina se střední
hodnotou EX a konečným rozptylem DX.
  0:

P  X  EX    

DX



2


Slide 6

Litschmannová: Statistika I. – řešené
příklady, kap. Limitní věty
př. 8.1, 8.2


Slide 7

Centrální limitní věta
• zabývá se konvergencí rozdělení k normálnímu
rozdělení
2 dílčí formulace CLV:
1.) Lindebergova-Lévyho věta
2.) Moivreova-Laplaceova věta


Slide 8

Lindebergova-Lévyho věta
(Rozdělení součtu NV)
Jestliže X1, X2, …, Xn jsou nezávislé náhodné veličiny se
stejným (libovolným) rozdělením, stejnými středními hodnotami
a se stejnými (konečnými) rozptyly , pak jejich součet konverguje
v distribuci k normálnímu rozdělení o parametrech: nμ;nσ2.

{Xn}: - nezávislé NV
- NV se stejným typem rozdělení
- EX1=EX2=…=EXn
- DX1=DX2=…=DXn < ∞,
Pak:

n

X 

X
i 1

i



 N n ; n

2




Slide 9

Důsledek Linderbergovy-Lévyho věty
(Rozdělení průměru náhodných veličin)
Jestliže X1, X2, …, Xn jsou nezávislé náhodné veličiny se stejným
(libovolným) rozdělením, stejnými středními hodnotami a se
stejnými (konečnými) rozptyly , pak jejich průměr konverguje v
distribuci k normálnímu rozdělení o parametrech: μ;σ2/n.
{Xn}: - nezávislé NV
- NV se stejným typem rozdělení
- EX1=EX2=…=EXn
- DX1=DX2=…=DXn < ∞,
n

Pak:

X 

X
i 1

n

i

 2
 N   ;
n







Slide 10

Důkaz

n

X 

X
i 1

n

i



1
n

X  EX 

1
n

 EX 

1
n

2

 n   ;

2

1
1
D X     DX     n 
n
n

2





2

n


Slide 11

Litschmannová: Statistika I. – řešené
příklady, kap. Limitní věty
př. 8.3, 8.4, 8.7


Slide 12

Příklad
• Dlouhodobým průzkumem bylo zjištno, že
doba potřebná k objevení a odstranní
poruchy stroje má střední hodnotu 40
minut a směrodatnou odchylku 30 minut.
Jaká je pravaděpodobnost, že doba
potřebná k objevení a opravení 100
poruch nepřekročí 70 hodin?


Slide 13

Příklad
Životnost elektrického holícího strojku
Adam má exponenciální rozdělení se
střední hodnotou 2 roky. Určete
pravděpodobnost, že průměrná životnost
150-ti prodaných strojků Adam bude vyšší
než 27 měsíců.


Slide 14

Moivreova-Laplaceova věta
• tato věta vyjadřuje konvergenci binomického rozdělení
k normálnímu rozdělení

X  Bi  n ; p ;

EX  np; DX  np 1 - p 

pak pro dostatečně velká n:

,

X  N  np ; np 1  p 

Aproximace dává dobré výsledky, když:
np 1  p   9 nebo min np ; n 1  p   5


Slide 15

Aproximace Poissonova rozdělení
rozdělením normálním
X  Po  t ,

EX   t ,

DX   t ,

pak pro dostatečně velké t platí, že X můžeme

aproximovat norm. rozdělením s parametry: 
X  N  t ,  t 

 t,



2

 t


Slide 16

Aproximace průměrného počtu výskytu události
za časovou jednotku normálním rozdělením

X  Po  t 

Y ... počet výskytu události za časovou jednotku, Y
X lze aproximovat normálním rozdělením,
pak:



Y  N , 
t 




X
t

X  N  t ,  t  ,


Slide 17

Oprava na spojitost
Oprava na spojitost (u pravděpodobnostní funkce):
Je-li X diskrétní náhodná veličina, pak:
P  X  a   P  a  0 , 5  X  a  0,5 

Obecně – oprava na spojitost:
Posouzení vhodnosti použití opravy na spojitost provádíme vždy při
řešení konkrétního příkladu důsledným převodem
pravděpodobnosti výskytu náhodné veličiny na nějakém intervalu na
vztah mezi distribučními funkcemi v příslušných bodech.


Slide 18

Litschmannová: Statistika I. – řešené
příklady, kap. Limitní věty
př. 8.5, 8.6


Slide 19

Příklad
• Na telefonní ústřednu je napojeno 3000
účastníků. Každý z nich bude volat
telefonní ústřednu během hodiny s
pravděpodobností 10%. Jaká je
pravděpodobnost, že během následující
hodiny zavolá ústřednu:
a) právě 300 účastníků?
b) více než 310 účastníků?
c) mezi 200 a 450 účastníky(včetně)?


Slide 20

Alternativní NV
A(p)

n=1
Bernoulliho pokusy
(nezávisle, 2 možné
výsledky)
Počet úspěchů
v n pokusech
Závisle pokusy
(2 možné
výsledky)

Diskrétní NV
(počty události)

Binomická NV
Bi(n;p)

n≥1

Počet pokusů do k-tého
úspěchu
(Bernoulliho pokusy)
Počet události na uzavřené
oblasti
(v čas. intervalu, na ploše, v
objemu)
(Poissonův proces)

Hypergeometrická NV
H(N;M;n)

k=1

Geometrická
NV
Ge(p)

k≥1

Negativně binomická
NV
NB(k;p)

Poissonova NV
Po(λt)

Typ NV

Aproximace dle LV
N(λt;λt)

Období
stabilního života

Exponenciální
NV
Exp(λ)

Libovolný tvar
intenzity poruch

Weibullova NV
W(β;Θ)

k=1

Spojitá NV

Doba do k.
události
(Poissonův proces)
k≥1

Součet NV,
Průměr NV
(dle LV)

Součet NV

N(n.EXi;n.DXi)

Průměr NV

N(EXi;DXi/n)

Erlangova NV
Erlang(k;λ)

Aproximace dle
LV
N(np;np(1-p))