Transcript F - TU Delft
Slide 1
LES 1 :
Arbeid- en energie
methoden
Hans Welleman
Slide 2
Indeling
Bijeenkomst 1
Bijeenkomst 2
Bijeenkomst 3
Ir J.W. Welleman
Arbeid en energie
Castigliano
Potentiële energie
Arbeid, energieprincipes
2
Slide 3
Les 1
Begrippen
– Arbeid, virtuele arbeid, wederkerigheid
– Vervormingsenergie
Arbeidsmethoden
– Virtuele arbeid
– Vervormingsenergie
– methode met eenheidslast
– Rayleigh
Ir J.W. Welleman
Arbeid, energieprincipes
3
Slide 4
Arbeid
uF
F
u
Ir J.W. Welleman
Arbeid, energieprincipes
A F uF
4
Slide 5
Vervormingsenergie
F=0
kracht
F
u
u
onbelaste
toestand
belaste
toestand
veerkarakteristiek
EV k u
1
2
Ir J.W. Welleman
Arbeid, energieprincipes
2
5
Slide 6
Virtuele Arbeid : Puntdeeltje
Bij een virtueel mogelijke
verplaatsing leveren de krachten
virtuele arbeid.
y
x
z
A ux Fx uy Fy uz Fz
Puntdeeltje
evenwichtsvergelijkingen
van een puntdeeltje in 3D
Evenwicht : Virtuele arbeid is gelijk aan nul.
Ir J.W. Welleman
Arbeid, energieprincipes
6
Slide 7
VA : Star lichaam (in x-y vlak)
Zelfde aanpak, nu met extra rotatievrijheidsgraad (zie CT1031 hfst 15)
A ux Fxi uy Fyi (Tzi )
i
i
i
evenwichtsvergelijkingen van
een star lichaam in een vlak
Evenwicht : Virtuele arbeid is gelijk aan nul.
Ir J.W. Welleman
Arbeid, energieprincipes
7
Slide 8
MECHANISMEN
Geen van de aanwezige
verbindingskrachten
levert
Kinematisch
onbepaald
arbeid !
Welke mogelijkheden ?
Scharnier, N, V geen M
Glij-scharnier, N, M geen V
Telescoop, V, M geen N
Ir J.W. Welleman
Arbeid, energieprincipes
8
Slide 9
RESULTAAT
Voor mechanismen geldt dat de totale
virtuele arbeid de arbeid is die wordt
verricht door alleen de van buiten op de
constructie aangrijpende krachten
Ir J.W. Welleman
Arbeid, energieprincipes
9
Slide 10
MECHANISMEN ?????
Geen zinvolle constructie
Dat is juist maar …….
arbeid = 0
=
M
Ir J.W. Welleman
M
Arbeid, energieprincipes
alleen M kan arbeid
verrichten !
10
Slide 11
NU MET BELASTING …....
Totale (virtuele) arbeid moet nul zijn !
F
=
M
M
u
F
F
M
M
eis totale arbeid = 0 !
levert : M
Ir J.W. Welleman
Arbeid, energieprincipes
11
Slide 12
VOORBEELD : M t.p.v. F
A F u M
1 1 1 M 2 0
F MF 0
a b
l
u
ab
a
FM
ab
z-as
A F a
u
b
M
1
u
2
a
M
Ir J.W. Welleman
b
0
u
b
u
F
M
u
x-as
M
Arbeid, energieprincipes
12
Slide 13
AANPAK
Laat de krachtsgrootheid die je wilt weten
(virtuele) arbeid verrichten
Dit kan alleen door de bij de kracht of
moment behorende vrijheidsgraad een
(virtuele) verplaatsing of rotatie te geven
Hierdoor ontstaat bij S.B. constructies een
mechanisme. Alleen de belasting en de
gevraagde grootheid verrichten arbeid. (geen
vervorming in de constructie)
Ir J.W. Welleman
Arbeid, energieprincipes
13
Slide 14
VOORBEELD : AV
F
AV
z-as
l
a
b
A AV u F
F
u
AV
AV
u
l
Ir J.W. Welleman
ub
l
0
F b
l
b
Arbeid, energieprincipes
14
Slide 15
“SMAKEN” VOOR LIGGERS
Oplegreacties
Dwarskracht
Inklemmingmoment
Moment
Normaalkracht
- neem de oplegging weg
- schuifscharnier
- scharnier
- scharnier
- telescoop
V
u
u
V
u
Ir J.W. Welleman
Arbeid, energieprincipes
15
Slide 16
Voorbeeld : vakwerk
Horizontale
verplaatsing
Kracht in staaf
DE ? =
Rotatie
afstand
Stap 1: maal
maakverticale
de
tot
draaipunt
verplaatsingsgrootheid
behorende bijNwvrij
a 14 w
uD
Stap 2: bepaal4de
a virtuele
verplaatsingen in het
w
mechanisme
uE
a 1w
2a
2
Stap 3 : stel de VA
vergelijking
Nu
de arbeid op
berekenen …
Ir J.W. Welleman
Arbeid, energieprincipes
16
Slide 17
Opdracht : Virtuele Arbeid
inklemmingsmoment en oplegreactie t.p.v. de roloplegging
50 kN
5 kN/m
x-as
2,5 m
3,5 m
z-as
Ir J.W. Welleman
Arbeid, energieprincipes
17
Slide 18
Arbeid en wederkerigheid
1 : eerst Fa en dan Fb
A 12 Fa uaa
Fb
Fa
A
B
uba
uaa
ubb
uab
1
2
2 : eerst Fb en dan Fa
A 12 Fb ubb
1
2
Ir J.W. Welleman
Fb ubb Fa uab
Arbeid, energieprincipes
Fa uaa Fb uba
18
Slide 19
Arbeid is gelijk
Volgorde van belasten is onbelangrijk
Gelijkstellen van arbeid levert:
Fa uab Fb uba
theorema van BETTI
Ir J.W. Welleman
Arbeid, energieprincipes
19
Slide 20
Wederkerigheid van Maxwell
Verplaatsing = invloedsgrootheid x kracht
uaa caa Fa
uab cab Fb
uba cba Fa
ubb cbb Fb
Herschrijf BETTI tot:
Fa uab Fb uba
Ir J.W. Welleman
Fa cab Fb Fb cba Fa
cab cba
Arbeid, energieprincipes
20
Slide 21
Resultaat Betti - Maxwell
ua uaa uab caa Fa cab Fb
ub uba ubb cba Fa cbb Fb
ua caa
ub cab
Ir J.W. Welleman
cab Fa
cbb Fb
Arbeid, energieprincipes
21
Slide 22
Vervormingsenergie
Extensie (trek en druk)
Afschuiving
Wringing
Buiging
Normaal- en schuifspanningen
Ir J.W. Welleman
Arbeid, energieprincipes
22
Slide 23
Extensie
dx
kracht
N
N
arbeid
N
dx
rek
d
2
N
E
2 EA
*
C
Ir J.W. Welleman
oppervlak
E EA
*
V
Arbeid, energieprincipes
1
2
2
23
Slide 24
Vervormingsenergie
Uitgedrukt in de
spanningscomponent
EC
Uitgedrukt in de
verplaatsingscomponent
EV
Ir J.W. Welleman
Arbeid, energieprincipes
24
Slide 25
Overzicht
Ir J.W. Welleman
Arbeid, energieprincipes
25
Slide 26
Arbeidsmethoden
Arbeid verricht door externe krachten
wordt opgeslagen in vervormbare delen
d.m.v. vormveranderingsenergie
Auitw = EV
Ir J.W. Welleman
Arbeid, energieprincipes
26
Slide 27
Voorbeeld 2 :
Arbeid en energie
F
EI
A
B
x-as
wmax
z-as
Ir J.W. Welleman
0,5 l
0,5 l
Arbeid, energieprincipes
27
Slide 28
Arbeid = Energie ?
l
Auitw 12 Fwmax
l
2
M
*
Ev Ev dx
dx
2EI
0
0
Onbekende is wmax
Bepaal M-lijn en vervolgens de
vormveranderingsenergie (MAPLE)
Stel deze gelijk aan de uitwendige arbeid
(Clapeyron)
Ir J.W. Welleman
Arbeid, energieprincipes
28
Slide 29
Momentenlijn ?
Basismechanica ?
Neem de halve ligger i.v.m. symmetrie
0 x 12 l
M ( x) 12 F x
1l
2
Ev 2
0
12 Fx
2
1l
2
2
F
F
2
dx
x
dx
2 EI
4 EI 0
4 EI
Ir J.W. Welleman
2
Arbeid, energieprincipes
1
3
x3
1l
2
0
F 2l 3
96 EI
29
Slide 30
Oplossing
Auitw EV
2 3
1
2
Fwmax
F l
96 EI
3
wmax
Ir J.W. Welleman
Fl
48EI
Arbeid, energieprincipes
30
Slide 31
Werkt dit ook voor verdeelde
lasten ?
Arbeid = zakking x belasting (hoe?)
Vormveranderingsenergie uit M-lijn (ok)
gemiddelde zakking ????
Ir J.W. Welleman
Arbeid, energieprincipes
31
Slide 32
Andere aanpak:
Arbeidsmethode met eenheidslast
Breng op de plek waar je de zakking wilt
weten een eenheidslast aan.
Zakking w en M-lijn M(x) door feitelijke
belasting
Zakking w en M-lijn m(x) door
eenheidslast
Ir J.W. Welleman
Arbeid, energieprincipes
32
Slide 33
1,0 kN
Aanpak
EI
m(x)
l
Breng eenheidslast aan
Breng belasting aan
F
EI
M(x)
Totale arbeid ?
Vervormingsenergie ?
l
Auitw 12 1, 0 w 12 F w 1, 0 w
l
Ev
0
M ( x ) m( x )
2 EI
2
dx
m( x ) 2
2 m( x ) M ( x )
M ( x) 2
0 2EI dx 0 2EI dx 0 2EI dx
l
Ir J.W. Welleman
l
Arbeid, energieprincipes
l
33
Slide 34
Resultaat
m( x) M ( x)
w
dx
EI
0
l
Integraal is product van
veelvoorkomende functies. In de “oude”
tijd was hiervoor een standaard tabel.
Kan nu natuurlijk met MAPLE
Ir J.W. Welleman
Arbeid, energieprincipes
34
Slide 35
Arbeidsmethode met eenheidslast
Ir J.W. Welleman
Arbeid, energieprincipes
35
Slide 36
Voorbeeld met verdeelde
belasting
1,0 kN
q
EI
0,5 l
Ir J.W. Welleman
wmax
0,5 l
Arbeid, energieprincipes
36
Slide 37
Aanpak
Bepaal M(x) t.g.v. q
(zie opgave 1)
Bepaal m(x) t.g.v. eenheidslast
(dictaat : voorbeeld 2)
Uitwerken …
Ir J.W. Welleman
Arbeid, energieprincipes
37
Slide 38
Toepassing A&E
Eulerse knik
EI, EA
F
l
u
F
Voor uitknikken,
alleen extensie
F
uF
Na uitknikken,
extensie en
buiging
CONCLUSIE :
Toename van de arbeid tijdens uitknikken wordt
opgeslagen in vervormingsenergie t.g.v. buiging
Ir J.W. Welleman
Arbeid, energieprincipes
38
Slide 39
Knik (overgang)
Normaalkracht onveranderd
Vervorming door extensie heeft geen
invloed
DUS
Arbeid door additionele verplaatsing
t.g.v. buigen van de staaf is gelijk aan
de vervormingsenergie t.g.v. buiging
Ir J.W. Welleman
Arbeid, energieprincipes
39
Slide 40
Additionele verplaatsing
dx
w
duF
z, w
x, u
dx2 dw2
dx
w
dw
2
2
dw
1 dw
du F 1 1
dx 2
dx
dx
dx
Taylorbenadering
Ir J.W. Welleman
Arbeid, energieprincipes
40
Slide 41
Clapeyron : A = Ev
2
dw
dx
dx
l
uF
1
2
0
A F
l
Ev EI dx
1
2
2
0
Fk
0
2
d w
EI 2 dx
dx
2
l
d
w
1
0 2 dx dx
2
0
Fk-Rayleigh
dw
dx
dx
1
2
2
d w
EI 2 dx
dx
2
2
d w
0 EI dx2 dx
l
2
dw
0 dx dx
l
1
2
Ir J.W. Welleman
1
2
0
l
l
2
l
Arbeid, energieprincipes
2
41
Slide 42
Voorbeeld
w
4 fx (l x)
l2
F
f
l
Neem een kinematisch toelaatbare
uitbuigingsvorm aan
Werk de integralen uit …
Ir J.W. Welleman
Arbeid, energieprincipes
42
LES 1 :
Arbeid- en energie
methoden
Hans Welleman
Slide 2
Indeling
Bijeenkomst 1
Bijeenkomst 2
Bijeenkomst 3
Ir J.W. Welleman
Arbeid en energie
Castigliano
Potentiële energie
Arbeid, energieprincipes
2
Slide 3
Les 1
Begrippen
– Arbeid, virtuele arbeid, wederkerigheid
– Vervormingsenergie
Arbeidsmethoden
– Virtuele arbeid
– Vervormingsenergie
– methode met eenheidslast
– Rayleigh
Ir J.W. Welleman
Arbeid, energieprincipes
3
Slide 4
Arbeid
uF
F
u
Ir J.W. Welleman
Arbeid, energieprincipes
A F uF
4
Slide 5
Vervormingsenergie
F=0
kracht
F
u
u
onbelaste
toestand
belaste
toestand
veerkarakteristiek
EV k u
1
2
Ir J.W. Welleman
Arbeid, energieprincipes
2
5
Slide 6
Virtuele Arbeid : Puntdeeltje
Bij een virtueel mogelijke
verplaatsing leveren de krachten
virtuele arbeid.
y
x
z
A ux Fx uy Fy uz Fz
Puntdeeltje
evenwichtsvergelijkingen
van een puntdeeltje in 3D
Evenwicht : Virtuele arbeid is gelijk aan nul.
Ir J.W. Welleman
Arbeid, energieprincipes
6
Slide 7
VA : Star lichaam (in x-y vlak)
Zelfde aanpak, nu met extra rotatievrijheidsgraad (zie CT1031 hfst 15)
A ux Fxi uy Fyi (Tzi )
i
i
i
evenwichtsvergelijkingen van
een star lichaam in een vlak
Evenwicht : Virtuele arbeid is gelijk aan nul.
Ir J.W. Welleman
Arbeid, energieprincipes
7
Slide 8
MECHANISMEN
Geen van de aanwezige
verbindingskrachten
levert
Kinematisch
onbepaald
arbeid !
Welke mogelijkheden ?
Scharnier, N, V geen M
Glij-scharnier, N, M geen V
Telescoop, V, M geen N
Ir J.W. Welleman
Arbeid, energieprincipes
8
Slide 9
RESULTAAT
Voor mechanismen geldt dat de totale
virtuele arbeid de arbeid is die wordt
verricht door alleen de van buiten op de
constructie aangrijpende krachten
Ir J.W. Welleman
Arbeid, energieprincipes
9
Slide 10
MECHANISMEN ?????
Geen zinvolle constructie
Dat is juist maar …….
arbeid = 0
=
M
Ir J.W. Welleman
M
Arbeid, energieprincipes
alleen M kan arbeid
verrichten !
10
Slide 11
NU MET BELASTING …....
Totale (virtuele) arbeid moet nul zijn !
F
=
M
M
u
F
F
M
M
eis totale arbeid = 0 !
levert : M
Ir J.W. Welleman
Arbeid, energieprincipes
11
Slide 12
VOORBEELD : M t.p.v. F
A F u M
1 1 1 M 2 0
F MF 0
a b
l
u
ab
a
FM
ab
z-as
A F a
u
b
M
1
u
2
a
M
Ir J.W. Welleman
b
0
u
b
u
F
M
u
x-as
M
Arbeid, energieprincipes
12
Slide 13
AANPAK
Laat de krachtsgrootheid die je wilt weten
(virtuele) arbeid verrichten
Dit kan alleen door de bij de kracht of
moment behorende vrijheidsgraad een
(virtuele) verplaatsing of rotatie te geven
Hierdoor ontstaat bij S.B. constructies een
mechanisme. Alleen de belasting en de
gevraagde grootheid verrichten arbeid. (geen
vervorming in de constructie)
Ir J.W. Welleman
Arbeid, energieprincipes
13
Slide 14
VOORBEELD : AV
F
AV
z-as
l
a
b
A AV u F
F
u
AV
AV
u
l
Ir J.W. Welleman
ub
l
0
F b
l
b
Arbeid, energieprincipes
14
Slide 15
“SMAKEN” VOOR LIGGERS
Oplegreacties
Dwarskracht
Inklemmingmoment
Moment
Normaalkracht
- neem de oplegging weg
- schuifscharnier
- scharnier
- scharnier
- telescoop
V
u
u
V
u
Ir J.W. Welleman
Arbeid, energieprincipes
15
Slide 16
Voorbeeld : vakwerk
Horizontale
verplaatsing
Kracht in staaf
DE ? =
Rotatie
afstand
Stap 1: maal
maakverticale
de
tot
draaipunt
verplaatsingsgrootheid
behorende bijNwvrij
a 14 w
uD
Stap 2: bepaal4de
a virtuele
verplaatsingen in het
w
mechanisme
uE
a 1w
2a
2
Stap 3 : stel de VA
vergelijking
Nu
de arbeid op
berekenen …
Ir J.W. Welleman
Arbeid, energieprincipes
16
Slide 17
Opdracht : Virtuele Arbeid
inklemmingsmoment en oplegreactie t.p.v. de roloplegging
50 kN
5 kN/m
x-as
2,5 m
3,5 m
z-as
Ir J.W. Welleman
Arbeid, energieprincipes
17
Slide 18
Arbeid en wederkerigheid
1 : eerst Fa en dan Fb
A 12 Fa uaa
Fb
Fa
A
B
uba
uaa
ubb
uab
1
2
2 : eerst Fb en dan Fa
A 12 Fb ubb
1
2
Ir J.W. Welleman
Fb ubb Fa uab
Arbeid, energieprincipes
Fa uaa Fb uba
18
Slide 19
Arbeid is gelijk
Volgorde van belasten is onbelangrijk
Gelijkstellen van arbeid levert:
Fa uab Fb uba
theorema van BETTI
Ir J.W. Welleman
Arbeid, energieprincipes
19
Slide 20
Wederkerigheid van Maxwell
Verplaatsing = invloedsgrootheid x kracht
uaa caa Fa
uab cab Fb
uba cba Fa
ubb cbb Fb
Herschrijf BETTI tot:
Fa uab Fb uba
Ir J.W. Welleman
Fa cab Fb Fb cba Fa
cab cba
Arbeid, energieprincipes
20
Slide 21
Resultaat Betti - Maxwell
ua uaa uab caa Fa cab Fb
ub uba ubb cba Fa cbb Fb
ua caa
ub cab
Ir J.W. Welleman
cab Fa
cbb Fb
Arbeid, energieprincipes
21
Slide 22
Vervormingsenergie
Extensie (trek en druk)
Afschuiving
Wringing
Buiging
Normaal- en schuifspanningen
Ir J.W. Welleman
Arbeid, energieprincipes
22
Slide 23
Extensie
dx
kracht
N
N
arbeid
N
dx
rek
d
2
N
E
2 EA
*
C
Ir J.W. Welleman
oppervlak
E EA
*
V
Arbeid, energieprincipes
1
2
2
23
Slide 24
Vervormingsenergie
Uitgedrukt in de
spanningscomponent
EC
Uitgedrukt in de
verplaatsingscomponent
EV
Ir J.W. Welleman
Arbeid, energieprincipes
24
Slide 25
Overzicht
Ir J.W. Welleman
Arbeid, energieprincipes
25
Slide 26
Arbeidsmethoden
Arbeid verricht door externe krachten
wordt opgeslagen in vervormbare delen
d.m.v. vormveranderingsenergie
Auitw = EV
Ir J.W. Welleman
Arbeid, energieprincipes
26
Slide 27
Voorbeeld 2 :
Arbeid en energie
F
EI
A
B
x-as
wmax
z-as
Ir J.W. Welleman
0,5 l
0,5 l
Arbeid, energieprincipes
27
Slide 28
Arbeid = Energie ?
l
Auitw 12 Fwmax
l
2
M
*
Ev Ev dx
dx
2EI
0
0
Onbekende is wmax
Bepaal M-lijn en vervolgens de
vormveranderingsenergie (MAPLE)
Stel deze gelijk aan de uitwendige arbeid
(Clapeyron)
Ir J.W. Welleman
Arbeid, energieprincipes
28
Slide 29
Momentenlijn ?
Basismechanica ?
Neem de halve ligger i.v.m. symmetrie
0 x 12 l
M ( x) 12 F x
1l
2
Ev 2
0
12 Fx
2
1l
2
2
F
F
2
dx
x
dx
2 EI
4 EI 0
4 EI
Ir J.W. Welleman
2
Arbeid, energieprincipes
1
3
x3
1l
2
0
F 2l 3
96 EI
29
Slide 30
Oplossing
Auitw EV
2 3
1
2
Fwmax
F l
96 EI
3
wmax
Ir J.W. Welleman
Fl
48EI
Arbeid, energieprincipes
30
Slide 31
Werkt dit ook voor verdeelde
lasten ?
Arbeid = zakking x belasting (hoe?)
Vormveranderingsenergie uit M-lijn (ok)
gemiddelde zakking ????
Ir J.W. Welleman
Arbeid, energieprincipes
31
Slide 32
Andere aanpak:
Arbeidsmethode met eenheidslast
Breng op de plek waar je de zakking wilt
weten een eenheidslast aan.
Zakking w en M-lijn M(x) door feitelijke
belasting
Zakking w en M-lijn m(x) door
eenheidslast
Ir J.W. Welleman
Arbeid, energieprincipes
32
Slide 33
1,0 kN
Aanpak
EI
m(x)
l
Breng eenheidslast aan
Breng belasting aan
F
EI
M(x)
Totale arbeid ?
Vervormingsenergie ?
l
Auitw 12 1, 0 w 12 F w 1, 0 w
l
Ev
0
M ( x ) m( x )
2 EI
2
dx
m( x ) 2
2 m( x ) M ( x )
M ( x) 2
0 2EI dx 0 2EI dx 0 2EI dx
l
Ir J.W. Welleman
l
Arbeid, energieprincipes
l
33
Slide 34
Resultaat
m( x) M ( x)
w
dx
EI
0
l
Integraal is product van
veelvoorkomende functies. In de “oude”
tijd was hiervoor een standaard tabel.
Kan nu natuurlijk met MAPLE
Ir J.W. Welleman
Arbeid, energieprincipes
34
Slide 35
Arbeidsmethode met eenheidslast
Ir J.W. Welleman
Arbeid, energieprincipes
35
Slide 36
Voorbeeld met verdeelde
belasting
1,0 kN
q
EI
0,5 l
Ir J.W. Welleman
wmax
0,5 l
Arbeid, energieprincipes
36
Slide 37
Aanpak
Bepaal M(x) t.g.v. q
(zie opgave 1)
Bepaal m(x) t.g.v. eenheidslast
(dictaat : voorbeeld 2)
Uitwerken …
Ir J.W. Welleman
Arbeid, energieprincipes
37
Slide 38
Toepassing A&E
Eulerse knik
EI, EA
F
l
u
F
Voor uitknikken,
alleen extensie
F
uF
Na uitknikken,
extensie en
buiging
CONCLUSIE :
Toename van de arbeid tijdens uitknikken wordt
opgeslagen in vervormingsenergie t.g.v. buiging
Ir J.W. Welleman
Arbeid, energieprincipes
38
Slide 39
Knik (overgang)
Normaalkracht onveranderd
Vervorming door extensie heeft geen
invloed
DUS
Arbeid door additionele verplaatsing
t.g.v. buigen van de staaf is gelijk aan
de vervormingsenergie t.g.v. buiging
Ir J.W. Welleman
Arbeid, energieprincipes
39
Slide 40
Additionele verplaatsing
dx
w
duF
z, w
x, u
dx2 dw2
dx
w
dw
2
2
dw
1 dw
du F 1 1
dx 2
dx
dx
dx
Taylorbenadering
Ir J.W. Welleman
Arbeid, energieprincipes
40
Slide 41
Clapeyron : A = Ev
2
dw
dx
dx
l
uF
1
2
0
A F
l
Ev EI dx
1
2
2
0
Fk
0
2
d w
EI 2 dx
dx
2
l
d
w
1
0 2 dx dx
2
0
Fk-Rayleigh
dw
dx
dx
1
2
2
d w
EI 2 dx
dx
2
2
d w
0 EI dx2 dx
l
2
dw
0 dx dx
l
1
2
Ir J.W. Welleman
1
2
0
l
l
2
l
Arbeid, energieprincipes
2
41
Slide 42
Voorbeeld
w
4 fx (l x)
l2
F
f
l
Neem een kinematisch toelaatbare
uitbuigingsvorm aan
Werk de integralen uit …
Ir J.W. Welleman
Arbeid, energieprincipes
42