Slide 1

LES 1 :
Arbeid- en energie
methoden
Hans Welleman


Slide 2

Indeling
Bijeenkomst 1
 Bijeenkomst 2
 Bijeenkomst 3


Ir J.W. Welleman

Arbeid en energie
Castigliano
Potentiële energie

Arbeid, energieprincipes

2


Slide 3

Les 1


Begrippen
– Arbeid, virtuele arbeid, wederkerigheid
– Vervormingsenergie



Arbeidsmethoden
– Virtuele arbeid
– Vervormingsenergie
– methode met eenheidslast
– Rayleigh

Ir J.W. Welleman

Arbeid, energieprincipes

3


Slide 4

Arbeid

uF

F

u

Ir J.W. Welleman

Arbeid, energieprincipes

A  F  uF

4


Slide 5

Vervormingsenergie
F=0

kracht

F
u

u
onbelaste
toestand

belaste
toestand

veerkarakteristiek

EV   k  u
1
2

Ir J.W. Welleman

Arbeid, energieprincipes

2

5


Slide 6

Virtuele Arbeid : Puntdeeltje
Bij een virtueel mogelijke
verplaatsing leveren de krachten
virtuele arbeid.

y

x
z

A  ux  Fx  uy  Fy  uz  Fz

Puntdeeltje

evenwichtsvergelijkingen
van een puntdeeltje in 3D

Evenwicht : Virtuele arbeid is gelijk aan nul.
Ir J.W. Welleman

Arbeid, energieprincipes

6


Slide 7

VA : Star lichaam (in x-y vlak)


Zelfde aanpak, nu met extra rotatievrijheidsgraad (zie CT1031 hfst 15)

 A   ux   Fxi   uy  Fyi     (Tzi )
i

i

i

evenwichtsvergelijkingen van
een star lichaam in een vlak

Evenwicht : Virtuele arbeid is gelijk aan nul.
Ir J.W. Welleman

Arbeid, energieprincipes

7


Slide 8

MECHANISMEN
Geen van de aanwezige
verbindingskrachten
levert
 Kinematisch
onbepaald
arbeid !



Welke mogelijkheden ?

Scharnier, N, V geen M
Glij-scharnier, N, M geen V

Telescoop, V, M geen N
Ir J.W. Welleman

Arbeid, energieprincipes

8


Slide 9

RESULTAAT


Voor mechanismen geldt dat de totale
virtuele arbeid de arbeid is die wordt
verricht door alleen de van buiten op de
constructie aangrijpende krachten

Ir J.W. Welleman

Arbeid, energieprincipes

9


Slide 10

MECHANISMEN ?????
Geen zinvolle constructie
 Dat is juist maar …….


arbeid = 0
=

M

Ir J.W. Welleman

M

Arbeid, energieprincipes

alleen M kan arbeid
verrichten !

10


Slide 11

NU MET BELASTING …....


Totale (virtuele) arbeid moet nul zijn !
F
=
M

M

u

F

F
M

M
eis totale arbeid = 0 !
levert : M

Ir J.W. Welleman

Arbeid, energieprincipes

11


Slide 12

VOORBEELD : M t.p.v. F
 A  F   u  M
1 1 1  M   2  0
F  MF    0
a b
l

u

ab

a

FM
ab
 z-as
A  F a

u
b
M
1 

u

2 

a

M 

Ir J.W. Welleman

b

0

u
b

u

F

M

u

x-as

M
Arbeid, energieprincipes

12


Slide 13

AANPAK


Laat de krachtsgrootheid die je wilt weten
(virtuele) arbeid verrichten
 Dit kan alleen door de bij de kracht of
moment behorende vrijheidsgraad een
(virtuele) verplaatsing of rotatie te geven
 Hierdoor ontstaat bij S.B. constructies een
mechanisme. Alleen de belasting en de
gevraagde grootheid verrichten arbeid. (geen
vervorming in de constructie)
Ir J.W. Welleman

Arbeid, energieprincipes

13


Slide 14

VOORBEELD : AV
F

AV
z-as

l

a

b
 A  AV   u  F 

F

u
AV

AV 

u
l

Ir J.W. Welleman

ub
l

0

F b
l

b

Arbeid, energieprincipes

14


Slide 15

“SMAKEN” VOOR LIGGERS


Oplegreacties
 Dwarskracht
 Inklemmingmoment
 Moment
 Normaalkracht

- neem de oplegging weg
- schuifscharnier
- scharnier
- scharnier
- telescoop

V

u

u
V

u


Ir J.W. Welleman

Arbeid, energieprincipes

15


Slide 16

Voorbeeld : vakwerk
Horizontale
verplaatsing
Kracht in staaf
DE ? =
Rotatie
afstand
Stap 1: maal
maakverticale
de
tot
draaipunt
verplaatsingsgrootheid
behorende bijNwvrij

 a  14  w

uD 

Stap 2: bepaal4de
a virtuele
verplaatsingen in het
w
mechanisme
uE 
a  1w

2a

2

Stap 3 : stel de VA
vergelijking
Nu
de arbeid op
berekenen …
Ir J.W. Welleman

Arbeid, energieprincipes

16


Slide 17

Opdracht : Virtuele Arbeid
inklemmingsmoment en oplegreactie t.p.v. de roloplegging

50 kN

5 kN/m

x-as
2,5 m

3,5 m

z-as

Ir J.W. Welleman

Arbeid, energieprincipes

17


Slide 18

Arbeid en wederkerigheid
1 : eerst Fa en dan Fb

A  12 Fa  uaa 
Fb

Fa

A

B
uba

uaa

ubb
uab

1
2

2 : eerst Fb en dan Fa

A  12 Fb  ubb 
1
2

Ir J.W. Welleman

Fb  ubb  Fa  uab

Arbeid, energieprincipes

Fa  uaa  Fb  uba
18


Slide 19

Arbeid is gelijk


Volgorde van belasten is onbelangrijk



Gelijkstellen van arbeid levert:

Fa uab  Fb uba
theorema van BETTI
Ir J.W. Welleman

Arbeid, energieprincipes

19


Slide 20

Wederkerigheid van Maxwell
Verplaatsing = invloedsgrootheid x kracht
uaa  caa Fa

uab  cab Fb

uba  cba Fa

ubb  cbb Fb

Herschrijf BETTI tot:

Fa uab  Fb uba
Ir J.W. Welleman

Fa cab Fb  Fb cba Fa
cab  cba

Arbeid, energieprincipes

20


Slide 21

Resultaat Betti - Maxwell
ua  uaa  uab  caa Fa  cab Fb
ub  uba  ubb  cba Fa  cbb Fb

ua  caa
 
ub  cab
Ir J.W. Welleman

cab   Fa 
 

cbb   Fb 

Arbeid, energieprincipes

21


Slide 22

Vervormingsenergie
Extensie (trek en druk)
 Afschuiving
 Wringing
 Buiging
 Normaal- en schuifspanningen


Ir J.W. Welleman

Arbeid, energieprincipes

22


Slide 23

Extensie
dx

kracht
N

N

arbeid

N
dx


rek
d

2

N
E 
2 EA
*
C

Ir J.W. Welleman

oppervlak

E  EA
*
V

Arbeid, energieprincipes

1
2

2

23


Slide 24

Vervormingsenergie




Uitgedrukt in de
spanningscomponent

EC

Uitgedrukt in de
verplaatsingscomponent

EV

Ir J.W. Welleman

Arbeid, energieprincipes

24


Slide 25

Overzicht

Ir J.W. Welleman

Arbeid, energieprincipes

25


Slide 26

Arbeidsmethoden


Arbeid verricht door externe krachten
wordt opgeslagen in vervormbare delen
d.m.v. vormveranderingsenergie



Auitw = EV

Ir J.W. Welleman

Arbeid, energieprincipes

26


Slide 27

Voorbeeld 2 :
Arbeid en energie
F
EI
A

B

x-as

wmax
z-as

Ir J.W. Welleman

0,5 l

0,5 l

Arbeid, energieprincipes

27


Slide 28

Arbeid = Energie ?
l

Auitw  12 Fwmax

l

2
M
*
Ev   Ev dx  
dx
2EI
0
0



Onbekende is wmax
 Bepaal M-lijn en vervolgens de
vormveranderingsenergie (MAPLE)
 Stel deze gelijk aan de uitwendige arbeid
(Clapeyron)
Ir J.W. Welleman

Arbeid, energieprincipes

28


Slide 29

Momentenlijn ?
Basismechanica ?
 Neem de halve ligger i.v.m. symmetrie


0  x  12 l 

M ( x)  12 F  x
1l
2

Ev  2 
0

 12 Fx

2

1l
2

2
F
F
2
dx 
x
dx 

2 EI
4 EI 0
4 EI

Ir J.W. Welleman

2

Arbeid, energieprincipes

1
3

x3

1l
2

0

F 2l 3

96 EI
29


Slide 30

Oplossing
Auitw  EV



2 3

1
2

Fwmax

F l

96 EI

3

wmax

Ir J.W. Welleman

Fl

48EI

Arbeid, energieprincipes

30


Slide 31

Werkt dit ook voor verdeelde
lasten ?


Arbeid = zakking x belasting (hoe?)



Vormveranderingsenergie uit M-lijn (ok)



gemiddelde zakking ????

Ir J.W. Welleman

Arbeid, energieprincipes

31


Slide 32

Andere aanpak:
Arbeidsmethode met eenheidslast

Breng op de plek waar je de zakking wilt
weten een eenheidslast aan.
 Zakking w en M-lijn M(x) door feitelijke
belasting
 Zakking w en M-lijn m(x) door
eenheidslast


Ir J.W. Welleman

Arbeid, energieprincipes

32


Slide 33

1,0 kN

Aanpak






EI
m(x)
l

Breng eenheidslast aan
Breng belasting aan

F

EI
M(x)

Totale arbeid ?
Vervormingsenergie ?

l

Auitw  12 1, 0   w  12  F  w  1, 0  w
l

Ev  
0

 M ( x )  m( x ) 
2 EI

2

dx 

m( x ) 2
2 m( x )  M ( x )
M ( x) 2
0 2EI dx  0 2EI dx  0 2EI dx
l

Ir J.W. Welleman

l

Arbeid, energieprincipes

l

33


Slide 34

Resultaat

m( x)  M ( x)
w
dx
EI
0
l

Integraal is product van
veelvoorkomende functies. In de “oude”
tijd was hiervoor een standaard tabel.
Kan nu natuurlijk met MAPLE
Ir J.W. Welleman

Arbeid, energieprincipes

34


Slide 35

Arbeidsmethode met eenheidslast

Ir J.W. Welleman

Arbeid, energieprincipes

35


Slide 36

Voorbeeld met verdeelde
belasting

1,0 kN
q

EI
0,5 l

Ir J.W. Welleman

wmax

0,5 l

Arbeid, energieprincipes

36


Slide 37

Aanpak
Bepaal M(x) t.g.v. q
(zie opgave 1)
 Bepaal m(x) t.g.v. eenheidslast
(dictaat : voorbeeld 2)


Uitwerken …

Ir J.W. Welleman

Arbeid, energieprincipes

37


Slide 38

Toepassing A&E
Eulerse knik
EI, EA

F

l

u
F

Voor uitknikken,
alleen extensie

F

uF

Na uitknikken,
extensie en
buiging

CONCLUSIE :
Toename van de arbeid tijdens uitknikken wordt
opgeslagen in vervormingsenergie t.g.v. buiging
Ir J.W. Welleman

Arbeid, energieprincipes

38


Slide 39

Knik (overgang)
Normaalkracht onveranderd
 Vervorming door extensie heeft geen
invloed


DUS



Arbeid door additionele verplaatsing
t.g.v. buigen van de staaf is gelijk aan
de vervormingsenergie t.g.v. buiging

Ir J.W. Welleman

Arbeid, energieprincipes

39


Slide 40

Additionele verplaatsing
dx
w

duF
z, w

x, u

dx2  dw2
dx

w
dw

2 
2


 dw  
1  dw 
du F  1  1  
 dx  2 
 dx
dx  
dx 






Taylorbenadering
Ir J.W. Welleman

Arbeid, energieprincipes

40


Slide 41

Clapeyron : A = Ev
2

 dw 
  dx
 dx 

l

uF  

1
2

0

A  F  
l

Ev   EI dx  
1
2

2

0

Fk 


0

2

d w
EI  2  dx
 dx 
2
l
d
w


1
0 2  dx  dx
2

0

 Fk-Rayleigh

 dw 

 dx
 dx 

1
2

2

d w
EI  2  dx
 dx 
2

2

d w
0 EI  dx2  dx
 l
2
 dw 
0  dx  dx
l

1
2

Ir J.W. Welleman

1
2

0
l

l

2

l

Arbeid, energieprincipes

2

41


Slide 42

Voorbeeld
w

4 fx (l  x)
l2

F
f

l



Neem een kinematisch toelaatbare
uitbuigingsvorm aan



Werk de integralen uit …

Ir J.W. Welleman

Arbeid, energieprincipes

42