Transcript Ecuaciones Lineales en una Variable
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Profesora Paula Rivera Torres
Departamento de Matemáticas
UPR-Humacao
Slide 2
¡Saludos! Bienvenidos todas y
todos a este módulo
instruccional.
Slide 3
La mayoría de los fenómenos que se
presentan en el mundo real los podemos
representar a través de ecuaciones.
negocios
interés bancario
I Pr t
deportes
promedio de bateo
Promedio
hits
turnos al bate
Slide 4
Al finalizar este módulo podrás
1
identificar entre expresiones algebraicas y
ecuaciones.
2
identificar una ecuación lineal en una variable y
decidir si un número es solución de una ecuación.
3
resolver ecuaciones lineales con una variable.
4
identificar ecuaciones condicionales,
contradicciones e identidades.
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Para navegar por el módulo debes
usar los siguientes botones:
Ir al menú
Ir a la página anterior
Ir a la próxima página
Ir a la última página vista
Finalizar el módulo
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1
Expresiones Algebraicas y
Ecuaciones
Objetivo:1 Al finalizar esta parte, podrás identificar entre
expresiones algebraicas y ecuaciones.
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Una expresión algebraica está
formada por números (constantes),
variables, operaciones y signos de
agrupación.
Término 1
Término 2
variable
coeficiente
constante
Operación de
suma
Expresión algebraica
Slide 10
Expresiones
algebraicas
2x + 5y
3w2 – 5
3(x+5) + 5y
Expresiones
algebraicas
(para simplificar o
evaluar)
Slide 11
Una ecuación es un enunciado
matemático que establece la
“igualdad” de dos expresiones.
Lado izquierdo
Lado derecho
Signo de
igualdad
Ecuación
Slide 12
de ecuaciones:
5 + 10 = 15
2y + 2 = 4
a2 + a – 2 = 4
1.5 x – 2 = - 1.5
2=5
Slide 13
La siguiente actividad te ayudarán a
repasar lo que aprendiste en la parte de
Expresiones Algebraicas y Ecuaciones.
Consiste de 3 ejercicios.
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Oprima el botón que responda a la pregunta.
¿Cuál de las siguientes es una ecuación?
3x 5
24 x 8
2x 2 3x
3 x 5 10
2
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Oprima el botón que contesta a la pregunta.
¿Cuál de las siguientes es una expresión?
3x 5
3 x 5 10
257
24 x 8 19
2
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Oprima el botón que conteste a la pregunta.
¿Cuál de las siguientes NO es una ecuación?
3x 5
15
3 x 5 x 3
3 x y 10
2
2
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2
Ecuación lineal en una
variable y sus soluciones
Objetivo:2 Al finalizar esta parte, podrás identificar una ecuación
lineal en una variable y decidir si un número es solución
de una ecuación.
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Una ecuación lineal en una variable es
una ecuación que se puede escribir de la
siguiente forma: ax + b = c para a, b y c
números reales con a 0.
También, se le conoce como ecuación de primer
grado ya que el exponente mayor de la variable
es 1.
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Ecuaciones lineales en una variable:
2x + 3 = 11
2(x 1) = 8 se puede reescribir
2
3
x 5 x 7 se puede reescribir
2x + ( 2) = 8.
1
3
x + 5 = 7.
Ecuaciones no lineales en una variable:
2x + 3y = 11
Dos variables
(x 1)2 = 8
x es cuadrada
2
3x
5 x7
Variable en el denominador
Slide 24
Una solución de una ecuación lineal en
una variable es un número real que cuando
se sustituye por la variable en la ecuación,
hace la ecuación cierta.
Una ecuación se resuelve encontrando
su conjunto solución, es decir, el
conjunto de todas las soluciones.
Ecuaciones equivalentes son ecuaciones
relacionadas que tienen el mismo conjunto
solución.
Slide 25
Ejemplo 1: ¿Es 3 solución de 2x + 3 = 11?
Ecuación original
2x + 3 = 11
Substituya 3 por x
2(3) + 3 = 11
6 + 3 = 11
Ecuación falsa
3 no es solución de 2x + 3 = 11.
Ejemplo 2: ¿Es 4 solución de 2x + 3 = 11?
2x + 3 = 11
2(4) + 3 = 11
8 + 3 = 11
4 es solución de 2x + 3 = 11.
Ecuación original
Substituya 4 por x
Ecuación cierta
Slide 26
La siguiente actividad te ayudará a repasar lo
que aprendiste en la parte de ecuaciones
lineales en una variable y sus soluciones.
Consiste de 3 ejercicios.
Slide 27
Oprima el botón que conteste a la pregunta.
¿Cuál es una ecuación lineal en una variable?
6x 5 2x
24 x 8 10
2x 5 y
6 x 5 10
2
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Slide 29
Oprima el botón correspondiente al valor de x
que es solución de la ecuación 3x + 2 = 11.
x 4 .3
x 2 .2
x 3
x 3 .6
Slide 30
Slide 31
Oprima el botón correspondiente al valor de x
que es solución de la ecuación 4x - 1 = 13.
x 2 .5
x4
x 3 .5
x 3
Slide 32
Slide 33
Slide 34
3
¿Cómo se resuelve una
ecuación lineal en una
variable
Objetivo:3 Al finalizar esta parte, podrás resolver ecuaciones
lineales en una variable.
Slide 35
Pasos a considerar al resolver una ecuación lineal en
una variable
Paso 11
Eliminar fracciones. Elimine cualquiera de las fracciones
multiplicando por el mínimo común denominador en
ambos lados de la ecuación.
Paso 22
Simplifique cada lado por separado. Use la propiedad
distributiva para eliminar paréntesis y combine términos
semejantes como sea necesario.
Paso 33
Aislar los términos variables en un lado de la ecuación.
Use la propiedad de igualdad de la suma para obtener
todos los términos con variables en un lado de la ecuación
y todos los números en el otro.
Paso 44
Aisle la variable. Use la propiedad de igualdad de la
multiplicación para obtener la ecuación con una sola
variable (con coeficiente 1) en un lado de la ecuación.
Paso 55
Verificar. Sustituye la solución propuesta en la ecuación
original.
Slide 36
3a Transformaciones mediante
suma y resta
Objetivo:3a Al finalizar esta parte, podrás resolver ecuaciones
lineales en una variable usando la propiedad de igualdad
de la suma.
Slide 37
Para resolver una ecuación, añada el mismo
número a cada lado.
La propiedad de igualdad de la suma
justifica este paso.
Slide 38
Propiedad de Igualdad de la Suma
Para todo números reales a, b, c, si a = b
entonces a + c = b + c.
Sumar una cantidad igual en ambos lados
de la ecuación resulta en una ecuación
equivalente a la ecuación original.
Las ecuaciones se pueden pensar en términos
de balance. Por lo tanto, añadir la misma
cantidad a cada lado de la ecuación no afecta el
balance.
x–7
=
x – 7+ 7 =
9
9+7
Slide 39
La propiedad de igualdad de la suma dice que el
mismo número se puede añadir a cada lado de la
ecuación.
La resta es definida como la suma del opuesto.
Por lo tanto, podemos usar la siguiente propiedad
para resolver una ecuación.
Slide 40
Propiedad de Igualdad de la Resta
Para todo números reales a, b, c, si a = b
entonces a - c = b - c.
Restar una cantidad igual en ambos lados
de la ecuación resulta en una ecuación
equivalente a la ecuación original.
Slide 41
Resuelve.
w+4 =6
w+4–4 =6–4
w+0= 2
w+4 =6
Reescribimos ecuación original
Propiedad igualdad de la resta.
Resta 4 en ambos lados para cancelar
el 4.
Propiedad de identidad del cero:
w + 0 =w
w = 2
Verifica:
w+4=6
?
2+4=6
?
6=6
Ecuación original
Sustituya w por 2.
Por lo tanto, 2 es la solución.
Slide 42
Resuelve. x – 7 = 21
x – 7 = 21
x – 7 + 7 = 21 + 7
x + 0 = 28
x = 28
No olvide verificar su respuesta.
Reescribimos ecuación original
Propiedad igualdad de la suma.
Suma del opuesto de -7 en ambos lados
para cancelar el -7 y aislar la variable.
Slide 43
Resuelve.
30 = t + 25
30 = t + 25
30 + (-25) = t + 25 + (-25)
Reescribimos ecuación original
Propiedad igualdad de la suma.
Suma del opuesto de 25 en ambos lados
para cancelar el 25 y aislar la variable.
5=t+0
5=t
t =5
No olvide verificar su respuesta.
Definición de igualdad
Slide 44
Lisa quiere comprar un programa de
computadora a $53 y tiene $67.
¿Cuánto le quedará a Lisa después
de compralo?
Escribe y resuelve la ecuación para
resolver el problema.
Slide 45
SOLUCIÓN
dinero después
de comprar
l
Traduzca a una ecuación el problema.
+
Costo del
programa
=
Dinero que
Lisa tiene
+
53
=
67
Resuelve:
l + 53 = 67
Reste 53 en ambos lados.
l + 53 – 53 = 67 – 53
l + 0 = 14
l = 14
Por lo tanto, a Lisa le quedará $14 después de comprar
el programa de computadora.
Slide 46
La siguiente actividad te ayudará a repasar lo
que aprendiste en la parte de cómo resolver
ecuaciones lineales usando suma y resta.
Slide 47
Resuelve cada ecuación. Luego, oprima el botón
correspondiente al ejercicio para teclear la solución.
A) m 5 2
Ejercicio A)
B) 45 r 12
Ejercicio B)
C) x 3 4
Ejercicio C)
D) x 8 . 4 19 . 1
Ejercicio D)
Slide 48
3b Transformaciones mediante
multiplicación y división
Objetivo:3b Al finalizar esta parte, podrás resolver ecuaciones
lineales en una variable usando la propiedad de igualdad
de la multiplicación.
Slide 49
Si 6x = 30, entonces 6x y 30 representan el
mismo número. Multiplicar 6x y 30 por el mismo
número también resultará en una igualdad.
La propiedad de igualdad de la
multiplicación establece que podemos
multiplicar ambos lados de la ecuación
por el mismo número diferente de cero
sin cambiar la solución.
Slide 50
Propiedad de igualdad de la multiplicación
Para todo números reales a, b, c, si a = b
entonces ac = bc.
Multiplicar cada lado de la ecuación por la
misma cantidad resulta en una ecuación
equivalente a la ecuación original.
Recuerde la analogía de balance en la parte
anterior. Siempre que le hacemos algo a un lado
de la ecuación hay que hacerlo al otro lado para
mantener el balance.
Slide 51
Esta propiedad se puede usar para resolver 6x =30.
El 6x en el lado izquierdo tiene que cambiarse a
1x, ó x, en lugar de 6x.
Para aislar la x, multiplicamos cada lado de la
ecuación por 1/6.
Usamos 1/6 porque es el recíproco de 6 y
(1/6)(6) =(6/6)=1.
Slide 52
Tal como la propiedad de igualdad de la suma
permite restar el mismo número de cada lado de la
ecuación, la propiedad de igualdad de la
multiplicación permite que se divida cada lado de
una ecuación entre el mismo número distinto de
cero.
Por ejemplo, 6x =30, la cual ya resolvimos
multiplicando cada lado por 1/6, puede también
resolverse dividiendo cada lado entre 6.
Por lo tanto, podemos usar la siguiente propiedad
para resolver una ecuación.
Slide 53
Propiedad de igualdad de la división
Para todo los números reales a, b, c y c 0
si a = b entonces ac = bc.
Dividir cada lado de la ecuación por la
misma cantidad distinta de cero resulta en
una ecuación equivalente a la ecuación
original.
Podemos dividir cada lado de la ecuación por el
mismo número distinto de cero. Sin embargo, no
podemos dividir cada lado por una variable ya
que puede resultar en perder una solución válida.
Slide 54
Resuelve 7x = 35.
7x = 35
7x
__ = __
35
7 7
1x = 5
x=5
Verifica: 7x = 35
?
7(5) = 35
?
35 = 35
Reescriba la ecuación original..
Divida ambos lados entre 7.
1x = x
Ecuación original
Sustituya x por 5.
Por lo tanto, 5 es la solución.
Slide 55
m
Resuelve
m
4
4
m
4
6
4
6
Reescriba la ecuación original..
Multiplique ambos lados por 4.
4 6
m = 24
Verifica:
m
6
4
24 ? 6
Sustituya m por 24.
4
?
6 =6
Por lo tanto, 24 es la solución.
Slide 56
La banda de Omar necesita dinero para
asistir a un concurso nacional. Los
integrantes de la banda ya recaudaron $560,
la tercera parte de lo que necesitan. ¿Cuánto
necesitan en total?
Escribe y resuelve la ecuación para resolver
el problema.
Slide 57
SOLUCIÓN
fracción del total
que se ha recaudado
1
3
Traduce a una ecuación el problema.
cantidad total
requerida
x
=
cantidad ya
recaudada
=
560
Resuelve:
1
3
3
1
3
x = 560
Escriba la ecuación.
x = 3 560
Multiplique ambos lados por 3.
x = 1680
Por lo tanto, la banda necesita recaudar $1680 en total.
Slide 58
En un pentágono regular, la medida de
todos los ángulos interiores es la
misma. La suma de las medidas de
los ángulos es 540°.
Escribe y resuelve una ecuación para
encontrar la medida de cada ángulo.
Slide 59
SOLUCIÓN
Pentágono
regular
a
Resuelve:
5a = 560
___
5a = 560
___
5
5
a = 108
Traduzca a una ecuación el problema.
cantidad
de ángulos
medida de
cada ángulo
5
a
=
suma de todos
los ángulos
=
540
Escriba la ecuación.
Divida ambos lados por 5.
Por lo tanto, la medida de cada ángulo es de 108°.
Slide 60
La siguiente actividad te ayudará a repasar lo
que aprendiste en la parte de cómo resolver
ecuaciones lineales usando multiplicación y
división.
Slide 61
Use multiplicación o división para resolver cada
ecuación. Luego, oprima el botón correspondiente al
ejercicio y teclee la solución.
A) 5 m 10
B)
r
10
Ejercicio A)
Ejercicio B)
42
C) 0 . 5 x 1
Ejercicio C)
x 6
Ejercicio D)
D)
1
3
Slide 62
3c
Varias transformaciones
Objetivo:3c Al finalizar esta parte, podrás resolver ecuaciones
lineales en una variable usando la propiedad de igualdad
de la suma.
Slide 63
Resuelve:
1
4
x + 5 = –2
SOLUCIÓN
Para dejar sola la variable: deshaga la suma y luego, la multiplicación.
1
4 x + 5 = –2
1
4 x + 5 – 5 = –2 – 5
1 x = –7
4
1
4( 4 x) = 4(–7)
x = – 28
Escriba ecuación original.
Reste 5 de cada lado.
Simplifique.
Multiplique cada lado por 4.
Simplifique.
Slide 64
Resuelve: 8x – 6x – 9 = 21.
8x – 6x – 9 = 21
2x – 9 = 21
2x – 9 + 9 = 21 + 9
Escriba la ecuación original.
Combine términos semejantes.
Sume 9 a cada lado.
2x = 30
Simplifique.
2x = 30
2
2
Divida cada lado por 2.
x = 15
Simplifique.
La solución es 15. Para verificar la solución, substituye 15 por
cada x en la ecuación original.
Slide 65
Resuelve: 5x + 3(x + 4) = 28.
M
1 Muestra todos
MÉTODO
ÉTODO 1 Mostrar Todos los
los
pasos
Pasos
5x + 3(x + 4) = 28
5x + 3(x + 4) = 28
5x + 3x + 12 = 28
5x + 3x + 12 = 28
8x + 12 = 28
8x + 12 = 28
8x + 12 – 12 = 28 – 12
8x + 12 – 12 = 28 – 12
8x = 16
8x = 16
8x 16
8x= 16
8 =8
8
8
x=2
x=2
MÉTODO 2 Haciendo algunos pasos
mentalmente
5x + 3(x + 4) = 28
5x + 3x + 12 = 28
8x + 12 = 28
8x = 16
x=2
Slide 66
Resuelve 14 = –
7
2
(x + 5)
14 = – 7 (x + 5)
2
– 2 14 = – 2 – 7 (x + 5)
7
7
2
–4=x+5
–9 = x
No olvide verificar su respuesta.
Es más fácil resolver esta ecuación
si primero no distribuyes – 7
2
Escriba ecuación original.
7
Multiplique por recíproco de– 2
Simplifique.
Reste 5 de cada lado.
.
Slide 67
La siguiente actividad te ayudará a repasar lo
que aprendiste en la parte de cómo resolver
ecuaciones lineales usando varias
transformaciones.
Slide 68
Resuelve cada ecuación. Luego, oprima el botón
correspondiente a la solución.
A) 3 m 17 19
B)
3x
69
2
C) 2 ( 9 2 y ) 42
D) x 0 . 54 2
E) 6 6 ( x 2 ) 3 ( 3 x 1)
Slide 69
Slide 70
Slide 71
Slide 72
4
Tipos de Ecuaciones Lineales
Objetivo:4 Al finalizar esta parte, podrás identificar ecuaciones
condicionales, contradicciones e identidades.
Slide 73
El tipo más común es el condicional.
Una ecuación lineal condicional tiene
una solución.
Ejemplos: 3x +1 = 2x, x+2 =5, 2x = -6
Slide 74
Resuelve: 3x + 1 = 2x
la solución
x+1=0
x = -1
Resuelve: x + 2 = 5
la solución
Resuelve:
la solución
x=3
2x = -6
x = -3
Slide 75
Una ecuación lineal que tiene de
solución todos los números reales se
le llama identidad.
Ejemplos: 3x+1=3x+1, 2(x-4)=2x-8
Slide 76
Resuelve: 3x + 1 = 3x + 1
siempre
cierto
3x – 3x = 1 – 1
0=0
Resuelve: 2(x-4) = 2x-8
siempre
cierto
2x – 8 = 2x – 8
-8 = -8
Slide 77
Ecuaciones Lineales que no tienen
solución se llaman contradicciones.
Ejemplos: 3x+1=3x ,
3(x-1)=3x-2
2x+4=2x-3,
Slide 78
Resuelve: 3x + 1 = 3x
3x – 3x = 0 – 1
0 = -1
nunca es
cierto
2x + 4 = 2x – 3
2x + (-2x) + 4 = 2x + (-2x) – 3
Resuelve:
nunca es
cierto
4 = -3
Slide 79
Resuelve cada ecuación. Decide si la ecuación es una
condicional, una identidad o una contradicción.
a. 4(2x + 4) – 2(3x + 1) = 2x + 1
8x + 16 – 6x – 2 = 2x + 1
2x + 14 = 2x + 1
2x – 2x + 14 = 2x – 2x + 1
14 = 1 Falso
El resultado es falso, la ecuación no tiene solución. La ecuación es
una contradicción. La solución es el conjunto vacio, .
Slide 80
Resuelve cada ecuación. Decide si la ecuación es una
condicional, una identidad o una contradicción.
b.
x 1
2
3x
2
2x
1
2
Multiplica cada lado por el mínimo común
denominador, MCD, 2.
1
x 1
3x
2
2
2 2 x
2
2
2
x 1 3x 4x 1
4x 1 4x 1
Esta es una identidad. Cualquier número real hará la ecuación
cierta. El conjunto solución es {todos los números reales}.
Slide 81
Resuelve cada ecuación. Decide si la ecuación es una
condicional, una identidad o una contradicción.
c.
4(6x – 1) = 6x – 3
24x – 4 = 6x – 3
24x – 6x – 4 = 6x – 6x – 3
18x – 4 = -3
18x – 4 + 4 = -3 + 4
18x = 1
x= 1
18
Esta es una ecuación condicional. El conjunto solución es 18 .
1
Slide 82
En resumen,
Tipo de
Ecuación Lineal
Número de
soluciones
Indicación
cuando se está
resolviendo
Condicional
una
Línea final es el
número x = a.
Identidad
Infinitas; conjunto
solución {todos los
números reales}
Línea final es
siempre cierta,
como 0 = 0.
Contradicción Ninguna; conjunto
solución, nulo,
Línea final es
falsa, tal como
-15 = -20 .
Slide 83
La siguiente actividad te ayudará a repasar lo
que aprendiste en la parte de tipos de
ecuaciones.
Slide 84
Identifique cada ecuación lineal, como condicional,
identidad o contradicción, oprimiendo el botón que
corresponda.
A) 2 ( x 2 ) 2 x 2
B) 10 x 5 3
C)
4( x 2) 2(2 x 4)
D)
9 6
Slide 85
Slide 86
Slide 87
Slide 88
Referencias
Ellis, W.; Hollowell, K.; Kennedy, P. & Schultz, J. (2004). Algebra 1. Holt, Rinehart and
Winston, EU.
Bennett, J.; Chard, J.; Jackson, A.; Milgram, J.; Scheer, J. & Waits, B. (2004). Matemáticas
Intermedias Curso 3. Holt, Rinehart and Winston, EU.
Lial, Hornsby & /McGinnis. (2009). Beginning Algebra. Pearson, décima edición.
Slide 89
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Departamento de Matemáticas
UPR-Humacao
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¡Saludos! Bienvenidos todas y
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instruccional.
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La mayoría de los fenómenos que se
presentan en el mundo real los podemos
representar a través de ecuaciones.
negocios
interés bancario
I Pr t
deportes
promedio de bateo
Promedio
hits
turnos al bate
Slide 4
Al finalizar este módulo podrás
1
identificar entre expresiones algebraicas y
ecuaciones.
2
identificar una ecuación lineal en una variable y
decidir si un número es solución de una ecuación.
3
resolver ecuaciones lineales con una variable.
4
identificar ecuaciones condicionales,
contradicciones e identidades.
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1
Expresiones Algebraicas y
Ecuaciones
Objetivo:1 Al finalizar esta parte, podrás identificar entre
expresiones algebraicas y ecuaciones.
Slide 9
Una expresión algebraica está
formada por números (constantes),
variables, operaciones y signos de
agrupación.
Término 1
Término 2
variable
coeficiente
constante
Operación de
suma
Expresión algebraica
Slide 10
Expresiones
algebraicas
2x + 5y
3w2 – 5
3(x+5) + 5y
Expresiones
algebraicas
(para simplificar o
evaluar)
Slide 11
Una ecuación es un enunciado
matemático que establece la
“igualdad” de dos expresiones.
Lado izquierdo
Lado derecho
Signo de
igualdad
Ecuación
Slide 12
de ecuaciones:
5 + 10 = 15
2y + 2 = 4
a2 + a – 2 = 4
1.5 x – 2 = - 1.5
2=5
Slide 13
La siguiente actividad te ayudarán a
repasar lo que aprendiste en la parte de
Expresiones Algebraicas y Ecuaciones.
Consiste de 3 ejercicios.
Slide 14
Oprima el botón que responda a la pregunta.
¿Cuál de las siguientes es una ecuación?
3x 5
24 x 8
2x 2 3x
3 x 5 10
2
Slide 15
Slide 16
Oprima el botón que contesta a la pregunta.
¿Cuál de las siguientes es una expresión?
3x 5
3 x 5 10
257
24 x 8 19
2
Slide 17
Slide 18
Oprima el botón que conteste a la pregunta.
¿Cuál de las siguientes NO es una ecuación?
3x 5
15
3 x 5 x 3
3 x y 10
2
2
Slide 19
Slide 20
Slide 21
2
Ecuación lineal en una
variable y sus soluciones
Objetivo:2 Al finalizar esta parte, podrás identificar una ecuación
lineal en una variable y decidir si un número es solución
de una ecuación.
Slide 22
Una ecuación lineal en una variable es
una ecuación que se puede escribir de la
siguiente forma: ax + b = c para a, b y c
números reales con a 0.
También, se le conoce como ecuación de primer
grado ya que el exponente mayor de la variable
es 1.
Slide 23
Ecuaciones lineales en una variable:
2x + 3 = 11
2(x 1) = 8 se puede reescribir
2
3
x 5 x 7 se puede reescribir
2x + ( 2) = 8.
1
3
x + 5 = 7.
Ecuaciones no lineales en una variable:
2x + 3y = 11
Dos variables
(x 1)2 = 8
x es cuadrada
2
3x
5 x7
Variable en el denominador
Slide 24
Una solución de una ecuación lineal en
una variable es un número real que cuando
se sustituye por la variable en la ecuación,
hace la ecuación cierta.
Una ecuación se resuelve encontrando
su conjunto solución, es decir, el
conjunto de todas las soluciones.
Ecuaciones equivalentes son ecuaciones
relacionadas que tienen el mismo conjunto
solución.
Slide 25
Ejemplo 1: ¿Es 3 solución de 2x + 3 = 11?
Ecuación original
2x + 3 = 11
Substituya 3 por x
2(3) + 3 = 11
6 + 3 = 11
Ecuación falsa
3 no es solución de 2x + 3 = 11.
Ejemplo 2: ¿Es 4 solución de 2x + 3 = 11?
2x + 3 = 11
2(4) + 3 = 11
8 + 3 = 11
4 es solución de 2x + 3 = 11.
Ecuación original
Substituya 4 por x
Ecuación cierta
Slide 26
La siguiente actividad te ayudará a repasar lo
que aprendiste en la parte de ecuaciones
lineales en una variable y sus soluciones.
Consiste de 3 ejercicios.
Slide 27
Oprima el botón que conteste a la pregunta.
¿Cuál es una ecuación lineal en una variable?
6x 5 2x
24 x 8 10
2x 5 y
6 x 5 10
2
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Slide 29
Oprima el botón correspondiente al valor de x
que es solución de la ecuación 3x + 2 = 11.
x 4 .3
x 2 .2
x 3
x 3 .6
Slide 30
Slide 31
Oprima el botón correspondiente al valor de x
que es solución de la ecuación 4x - 1 = 13.
x 2 .5
x4
x 3 .5
x 3
Slide 32
Slide 33
Slide 34
3
¿Cómo se resuelve una
ecuación lineal en una
variable
Objetivo:3 Al finalizar esta parte, podrás resolver ecuaciones
lineales en una variable.
Slide 35
Pasos a considerar al resolver una ecuación lineal en
una variable
Paso 11
Eliminar fracciones. Elimine cualquiera de las fracciones
multiplicando por el mínimo común denominador en
ambos lados de la ecuación.
Paso 22
Simplifique cada lado por separado. Use la propiedad
distributiva para eliminar paréntesis y combine términos
semejantes como sea necesario.
Paso 33
Aislar los términos variables en un lado de la ecuación.
Use la propiedad de igualdad de la suma para obtener
todos los términos con variables en un lado de la ecuación
y todos los números en el otro.
Paso 44
Aisle la variable. Use la propiedad de igualdad de la
multiplicación para obtener la ecuación con una sola
variable (con coeficiente 1) en un lado de la ecuación.
Paso 55
Verificar. Sustituye la solución propuesta en la ecuación
original.
Slide 36
3a Transformaciones mediante
suma y resta
Objetivo:3a Al finalizar esta parte, podrás resolver ecuaciones
lineales en una variable usando la propiedad de igualdad
de la suma.
Slide 37
Para resolver una ecuación, añada el mismo
número a cada lado.
La propiedad de igualdad de la suma
justifica este paso.
Slide 38
Propiedad de Igualdad de la Suma
Para todo números reales a, b, c, si a = b
entonces a + c = b + c.
Sumar una cantidad igual en ambos lados
de la ecuación resulta en una ecuación
equivalente a la ecuación original.
Las ecuaciones se pueden pensar en términos
de balance. Por lo tanto, añadir la misma
cantidad a cada lado de la ecuación no afecta el
balance.
x–7
=
x – 7+ 7 =
9
9+7
Slide 39
La propiedad de igualdad de la suma dice que el
mismo número se puede añadir a cada lado de la
ecuación.
La resta es definida como la suma del opuesto.
Por lo tanto, podemos usar la siguiente propiedad
para resolver una ecuación.
Slide 40
Propiedad de Igualdad de la Resta
Para todo números reales a, b, c, si a = b
entonces a - c = b - c.
Restar una cantidad igual en ambos lados
de la ecuación resulta en una ecuación
equivalente a la ecuación original.
Slide 41
Resuelve.
w+4 =6
w+4–4 =6–4
w+0= 2
w+4 =6
Reescribimos ecuación original
Propiedad igualdad de la resta.
Resta 4 en ambos lados para cancelar
el 4.
Propiedad de identidad del cero:
w + 0 =w
w = 2
Verifica:
w+4=6
?
2+4=6
?
6=6
Ecuación original
Sustituya w por 2.
Por lo tanto, 2 es la solución.
Slide 42
Resuelve. x – 7 = 21
x – 7 = 21
x – 7 + 7 = 21 + 7
x + 0 = 28
x = 28
No olvide verificar su respuesta.
Reescribimos ecuación original
Propiedad igualdad de la suma.
Suma del opuesto de -7 en ambos lados
para cancelar el -7 y aislar la variable.
Slide 43
Resuelve.
30 = t + 25
30 = t + 25
30 + (-25) = t + 25 + (-25)
Reescribimos ecuación original
Propiedad igualdad de la suma.
Suma del opuesto de 25 en ambos lados
para cancelar el 25 y aislar la variable.
5=t+0
5=t
t =5
No olvide verificar su respuesta.
Definición de igualdad
Slide 44
Lisa quiere comprar un programa de
computadora a $53 y tiene $67.
¿Cuánto le quedará a Lisa después
de compralo?
Escribe y resuelve la ecuación para
resolver el problema.
Slide 45
SOLUCIÓN
dinero después
de comprar
l
Traduzca a una ecuación el problema.
+
Costo del
programa
=
Dinero que
Lisa tiene
+
53
=
67
Resuelve:
l + 53 = 67
Reste 53 en ambos lados.
l + 53 – 53 = 67 – 53
l + 0 = 14
l = 14
Por lo tanto, a Lisa le quedará $14 después de comprar
el programa de computadora.
Slide 46
La siguiente actividad te ayudará a repasar lo
que aprendiste en la parte de cómo resolver
ecuaciones lineales usando suma y resta.
Slide 47
Resuelve cada ecuación. Luego, oprima el botón
correspondiente al ejercicio para teclear la solución.
A) m 5 2
Ejercicio A)
B) 45 r 12
Ejercicio B)
C) x 3 4
Ejercicio C)
D) x 8 . 4 19 . 1
Ejercicio D)
Slide 48
3b Transformaciones mediante
multiplicación y división
Objetivo:3b Al finalizar esta parte, podrás resolver ecuaciones
lineales en una variable usando la propiedad de igualdad
de la multiplicación.
Slide 49
Si 6x = 30, entonces 6x y 30 representan el
mismo número. Multiplicar 6x y 30 por el mismo
número también resultará en una igualdad.
La propiedad de igualdad de la
multiplicación establece que podemos
multiplicar ambos lados de la ecuación
por el mismo número diferente de cero
sin cambiar la solución.
Slide 50
Propiedad de igualdad de la multiplicación
Para todo números reales a, b, c, si a = b
entonces ac = bc.
Multiplicar cada lado de la ecuación por la
misma cantidad resulta en una ecuación
equivalente a la ecuación original.
Recuerde la analogía de balance en la parte
anterior. Siempre que le hacemos algo a un lado
de la ecuación hay que hacerlo al otro lado para
mantener el balance.
Slide 51
Esta propiedad se puede usar para resolver 6x =30.
El 6x en el lado izquierdo tiene que cambiarse a
1x, ó x, en lugar de 6x.
Para aislar la x, multiplicamos cada lado de la
ecuación por 1/6.
Usamos 1/6 porque es el recíproco de 6 y
(1/6)(6) =(6/6)=1.
Slide 52
Tal como la propiedad de igualdad de la suma
permite restar el mismo número de cada lado de la
ecuación, la propiedad de igualdad de la
multiplicación permite que se divida cada lado de
una ecuación entre el mismo número distinto de
cero.
Por ejemplo, 6x =30, la cual ya resolvimos
multiplicando cada lado por 1/6, puede también
resolverse dividiendo cada lado entre 6.
Por lo tanto, podemos usar la siguiente propiedad
para resolver una ecuación.
Slide 53
Propiedad de igualdad de la división
Para todo los números reales a, b, c y c 0
si a = b entonces ac = bc.
Dividir cada lado de la ecuación por la
misma cantidad distinta de cero resulta en
una ecuación equivalente a la ecuación
original.
Podemos dividir cada lado de la ecuación por el
mismo número distinto de cero. Sin embargo, no
podemos dividir cada lado por una variable ya
que puede resultar en perder una solución válida.
Slide 54
Resuelve 7x = 35.
7x = 35
7x
__ = __
35
7 7
1x = 5
x=5
Verifica: 7x = 35
?
7(5) = 35
?
35 = 35
Reescriba la ecuación original..
Divida ambos lados entre 7.
1x = x
Ecuación original
Sustituya x por 5.
Por lo tanto, 5 es la solución.
Slide 55
m
Resuelve
m
4
4
m
4
6
4
6
Reescriba la ecuación original..
Multiplique ambos lados por 4.
4 6
m = 24
Verifica:
m
6
4
24 ? 6
Sustituya m por 24.
4
?
6 =6
Por lo tanto, 24 es la solución.
Slide 56
La banda de Omar necesita dinero para
asistir a un concurso nacional. Los
integrantes de la banda ya recaudaron $560,
la tercera parte de lo que necesitan. ¿Cuánto
necesitan en total?
Escribe y resuelve la ecuación para resolver
el problema.
Slide 57
SOLUCIÓN
fracción del total
que se ha recaudado
1
3
Traduce a una ecuación el problema.
cantidad total
requerida
x
=
cantidad ya
recaudada
=
560
Resuelve:
1
3
3
1
3
x = 560
Escriba la ecuación.
x = 3 560
Multiplique ambos lados por 3.
x = 1680
Por lo tanto, la banda necesita recaudar $1680 en total.
Slide 58
En un pentágono regular, la medida de
todos los ángulos interiores es la
misma. La suma de las medidas de
los ángulos es 540°.
Escribe y resuelve una ecuación para
encontrar la medida de cada ángulo.
Slide 59
SOLUCIÓN
Pentágono
regular
a
Resuelve:
5a = 560
___
5a = 560
___
5
5
a = 108
Traduzca a una ecuación el problema.
cantidad
de ángulos
medida de
cada ángulo
5
a
=
suma de todos
los ángulos
=
540
Escriba la ecuación.
Divida ambos lados por 5.
Por lo tanto, la medida de cada ángulo es de 108°.
Slide 60
La siguiente actividad te ayudará a repasar lo
que aprendiste en la parte de cómo resolver
ecuaciones lineales usando multiplicación y
división.
Slide 61
Use multiplicación o división para resolver cada
ecuación. Luego, oprima el botón correspondiente al
ejercicio y teclee la solución.
A) 5 m 10
B)
r
10
Ejercicio A)
Ejercicio B)
42
C) 0 . 5 x 1
Ejercicio C)
x 6
Ejercicio D)
D)
1
3
Slide 62
3c
Varias transformaciones
Objetivo:3c Al finalizar esta parte, podrás resolver ecuaciones
lineales en una variable usando la propiedad de igualdad
de la suma.
Slide 63
Resuelve:
1
4
x + 5 = –2
SOLUCIÓN
Para dejar sola la variable: deshaga la suma y luego, la multiplicación.
1
4 x + 5 = –2
1
4 x + 5 – 5 = –2 – 5
1 x = –7
4
1
4( 4 x) = 4(–7)
x = – 28
Escriba ecuación original.
Reste 5 de cada lado.
Simplifique.
Multiplique cada lado por 4.
Simplifique.
Slide 64
Resuelve: 8x – 6x – 9 = 21.
8x – 6x – 9 = 21
2x – 9 = 21
2x – 9 + 9 = 21 + 9
Escriba la ecuación original.
Combine términos semejantes.
Sume 9 a cada lado.
2x = 30
Simplifique.
2x = 30
2
2
Divida cada lado por 2.
x = 15
Simplifique.
La solución es 15. Para verificar la solución, substituye 15 por
cada x en la ecuación original.
Slide 65
Resuelve: 5x + 3(x + 4) = 28.
M
1 Muestra todos
MÉTODO
ÉTODO 1 Mostrar Todos los
los
pasos
Pasos
5x + 3(x + 4) = 28
5x + 3(x + 4) = 28
5x + 3x + 12 = 28
5x + 3x + 12 = 28
8x + 12 = 28
8x + 12 = 28
8x + 12 – 12 = 28 – 12
8x + 12 – 12 = 28 – 12
8x = 16
8x = 16
8x 16
8x= 16
8 =8
8
8
x=2
x=2
MÉTODO 2 Haciendo algunos pasos
mentalmente
5x + 3(x + 4) = 28
5x + 3x + 12 = 28
8x + 12 = 28
8x = 16
x=2
Slide 66
Resuelve 14 = –
7
2
(x + 5)
14 = – 7 (x + 5)
2
– 2 14 = – 2 – 7 (x + 5)
7
7
2
–4=x+5
–9 = x
No olvide verificar su respuesta.
Es más fácil resolver esta ecuación
si primero no distribuyes – 7
2
Escriba ecuación original.
7
Multiplique por recíproco de– 2
Simplifique.
Reste 5 de cada lado.
.
Slide 67
La siguiente actividad te ayudará a repasar lo
que aprendiste en la parte de cómo resolver
ecuaciones lineales usando varias
transformaciones.
Slide 68
Resuelve cada ecuación. Luego, oprima el botón
correspondiente a la solución.
A) 3 m 17 19
B)
3x
69
2
C) 2 ( 9 2 y ) 42
D) x 0 . 54 2
E) 6 6 ( x 2 ) 3 ( 3 x 1)
Slide 69
Slide 70
Slide 71
Slide 72
4
Tipos de Ecuaciones Lineales
Objetivo:4 Al finalizar esta parte, podrás identificar ecuaciones
condicionales, contradicciones e identidades.
Slide 73
El tipo más común es el condicional.
Una ecuación lineal condicional tiene
una solución.
Ejemplos: 3x +1 = 2x, x+2 =5, 2x = -6
Slide 74
Resuelve: 3x + 1 = 2x
la solución
x+1=0
x = -1
Resuelve: x + 2 = 5
la solución
Resuelve:
la solución
x=3
2x = -6
x = -3
Slide 75
Una ecuación lineal que tiene de
solución todos los números reales se
le llama identidad.
Ejemplos: 3x+1=3x+1, 2(x-4)=2x-8
Slide 76
Resuelve: 3x + 1 = 3x + 1
siempre
cierto
3x – 3x = 1 – 1
0=0
Resuelve: 2(x-4) = 2x-8
siempre
cierto
2x – 8 = 2x – 8
-8 = -8
Slide 77
Ecuaciones Lineales que no tienen
solución se llaman contradicciones.
Ejemplos: 3x+1=3x ,
3(x-1)=3x-2
2x+4=2x-3,
Slide 78
Resuelve: 3x + 1 = 3x
3x – 3x = 0 – 1
0 = -1
nunca es
cierto
2x + 4 = 2x – 3
2x + (-2x) + 4 = 2x + (-2x) – 3
Resuelve:
nunca es
cierto
4 = -3
Slide 79
Resuelve cada ecuación. Decide si la ecuación es una
condicional, una identidad o una contradicción.
a. 4(2x + 4) – 2(3x + 1) = 2x + 1
8x + 16 – 6x – 2 = 2x + 1
2x + 14 = 2x + 1
2x – 2x + 14 = 2x – 2x + 1
14 = 1 Falso
El resultado es falso, la ecuación no tiene solución. La ecuación es
una contradicción. La solución es el conjunto vacio, .
Slide 80
Resuelve cada ecuación. Decide si la ecuación es una
condicional, una identidad o una contradicción.
b.
x 1
2
3x
2
2x
1
2
Multiplica cada lado por el mínimo común
denominador, MCD, 2.
1
x 1
3x
2
2
2 2 x
2
2
2
x 1 3x 4x 1
4x 1 4x 1
Esta es una identidad. Cualquier número real hará la ecuación
cierta. El conjunto solución es {todos los números reales}.
Slide 81
Resuelve cada ecuación. Decide si la ecuación es una
condicional, una identidad o una contradicción.
c.
4(6x – 1) = 6x – 3
24x – 4 = 6x – 3
24x – 6x – 4 = 6x – 6x – 3
18x – 4 = -3
18x – 4 + 4 = -3 + 4
18x = 1
x= 1
18
Esta es una ecuación condicional. El conjunto solución es 18 .
1
Slide 82
En resumen,
Tipo de
Ecuación Lineal
Número de
soluciones
Indicación
cuando se está
resolviendo
Condicional
una
Línea final es el
número x = a.
Identidad
Infinitas; conjunto
solución {todos los
números reales}
Línea final es
siempre cierta,
como 0 = 0.
Contradicción Ninguna; conjunto
solución, nulo,
Línea final es
falsa, tal como
-15 = -20 .
Slide 83
La siguiente actividad te ayudará a repasar lo
que aprendiste en la parte de tipos de
ecuaciones.
Slide 84
Identifique cada ecuación lineal, como condicional,
identidad o contradicción, oprimiendo el botón que
corresponda.
A) 2 ( x 2 ) 2 x 2
B) 10 x 5 3
C)
4( x 2) 2(2 x 4)
D)
9 6
Slide 85
Slide 86
Slide 87
Slide 88
Referencias
Ellis, W.; Hollowell, K.; Kennedy, P. & Schultz, J. (2004). Algebra 1. Holt, Rinehart and
Winston, EU.
Bennett, J.; Chard, J.; Jackson, A.; Milgram, J.; Scheer, J. & Waits, B. (2004). Matemáticas
Intermedias Curso 3. Holt, Rinehart and Winston, EU.
Lial, Hornsby & /McGinnis. (2009). Beginning Algebra. Pearson, décima edición.
Slide 89
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Slide 90
Slide 91
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