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期望值

機率概念與應用網路學習研究


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穩贏的賭博？
這是個賭博的遊戲。規則很簡單，首先莊家擲
三顆公正的骰子後用碗把骰子蓋著，接著你可
以在一到六之間選一個數字下注100元。

期望值


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規則
如果有一個骰子的點數和你選的一樣，那你可以
拿回200元；若有兩個骰子點數和你選的一樣，就
可以拿回300元；如果三個都和你選的相同，那就
可以得到400元。

期望值


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若是你的話…

如果是你，會跟老闆玩這個遊戲嗎?
要怎麼知道玩這個遊戲對你自己是否有利呢?

期望值


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期望值的概念

簡單來說，就是你覺得這個隨機變數大概是“多
少”。
也可以當成做很多次實驗之後，可以料想所得到
的平均結果大概就跟期望值差不多大。

期望值


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期望值的定義
設S是一個樣本空間，且S中機率值不為0的點為
有限個。令w1, w2, …, wn 是樣本空間中所有機率
不為0的點，對應的機率值分別為P(w1) , P(w2) ,…
P(wn) 。又設X是S上的實數值函數，則下列式子：
E(X)=X(w1) ×P(w1)+X(w2) ×P(w2)+…+X(wn) ×P(wn)
n

=

 X ( w )  P( w )
i 1

i

i

稱為X的數學期望值，簡稱為期望值。
期望值


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為什麼要有期望值?

對於一個隨機變數，我們無法掌握量的大小，所
以才用期望值來粗略的估計。
機率上的定理告訴我們，當我們做實驗的次數趨
向無窮，實驗結果的平均會和期望值相等。

期望值


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範例

問：一個六面的公正骰子，出現點數的期望值會是
多少?

期望值


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範例解答

1
1
1
1
1
1
E ( X )  1  2   3   4   5   6 
6
6
6
6
6
6
6
1
  (i  )  3.5
6
i 1

所以骰子出現的點數期望值是3.5

期望值


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你的抉擇?

現在有了期望值的概念之後，我們就可以來算算
看到底這個遊戲是否對你有利。

期望值


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思緒
1.骰子出現的點數三個都不一樣，例如出現
6  5  4 20
(1,5,6)或是(2,4,6)等等。機率是

6  6  6 36

3 1
此時選中的機率是 
6 2
而選中時可以得到200元

期望值


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2.出現兩個骰子點數一樣而另一個不一樣,例如
6  5  2 10

(2,2,4)或是(3,6,6)等等。機率是
6  6  6 36
1
選中的點數有兩個骰子出現。機率是
6
1
選中的點數只有一個骰子出現。機率是
6

而選中的話分別可以拿回300元和200元。

期望值


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3.骰子出現三個都一樣，例如(5,5,5)或是(2,2,2) 。
6  1 1 6

機率是
6  6  6 36
1
這時選中的機率是
6

不過可以拿回400元。

期望值


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所以期望值就是:
20 1
10 1
1
6 1
  200   (  200   300 )    400
36 2
36 6
6
36 6
 89.815

不過每次玩必須付出100元，而平均每次玩只
能拿回不到90元，所以很顯然的，這是個讓賭
場老闆賺錢的遊戲。

期望值


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更多的說明，就在

機率網路學習館…

期望值