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一般函數的定義與圖形
內容說明：
能利用口訣運算出廣義角的三角
函數值


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一般函數的定義與圖形

當

 90 

或

 0

三角函數又該如何求值？

1


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一般函數的定義與圖形

 在哪裡？
線索：① sin   0

線索：② tan   0

2


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一般函數的定義與圖形

 在哪裡？

y

sin  (  )

分析：① sin   0 

全 ( )

csc 

Ⅱ
Ⅲ
tan  (  )
cot 

Ⅰ
Ⅳ
cos  (  )
sec 

x

y
sin  (  )
csc 

分析：② tan   0 

Ⅱ
Ⅲ
tan  (  )
cot 

全 ( )

Ⅰ
Ⅳ
cos  (  )
sec 

x

3


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一般函數的定義與圖形

 在哪裡？

y

sin  (  )

分析：① sin   0 

全 ( )

csc 

Ⅱ
Ⅲ
tan  (  )
cot 

Ⅰ
Ⅳ
cos  (  )
sec 

x

y
sin  (  )
csc 

分析：② tan   0 

Ⅱ
Ⅲ
tan  (  )
cot 

全 ( )

Ⅰ
Ⅳ
cos  (  )
sec 

x

 综合 ①、 ②可知 在第Ⅳ象限
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一般函數的定義與圖形
秘訣： 1. 建議同學記憶 sin  及 cos  的象限角值

sin 

cos 

1
90 

0 180 

0
90 

0

0

–1 180 

0

270 

270 

–1

0

1

5


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一般函數的定義與圖形
2. tan  及 cot  的象限角值利用商數關係

6


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一般函數的定義與圖形
2. tan  及 cot  的象限角值利用商數關係

tan  

sin 
cos 

， cot  

cos 
sin 

去推導。

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一般函數的定義與圖形
3. sec  及 csc  的象限角值利用倒數關係

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一般函數的定義與圖形
3. sec  及 csc  的象限角值利用倒數關係

sec  

1
cos 

， csc  

1
sin 

去推導。

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一般函數的定義與圖形
化廣義角三角函數為銳角三角函數
設  為正銳角


90   

180   

270   

↑請點選上方按鍵觀看說明

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一般函數的定義與圖形
(1)    三角函數不變，但唯有 cos (   ) 及 sec (   )
為正值，其餘皆為負值 ( 因   在第四象限 )。

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一般函數的定義與圖形
(2) 90    ， 270
•

90   

270   

三角函數正、餘互換；

在第二象限，所以唯有 sin 90     及

csc 90   

•

 

 為正，其餘為負。

在第四象限，所以唯有 cos  270    

及 sec  270     為正，其餘為負。
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一般函數的定義與圖形
(3) 180
•



180   

三角函數不變，( x  z ) 。
在第三象限，所以唯有 tan 180     及

cot 180     為正，其餘為負。

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一般函數的定義與圖形
三角函數的轉換
可以將一任意角 x 化為 90   n  

① 若 n 為奇數，則三角函數正、餘互換
sin  cos ; tan  cot ; sec  csc

而正負值的判定，則依原任意角 x 所在象限決定。
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一般函數的定義與圖形
① 若 n 為奇數，則三角函數正、餘互換
sin  cos ; tan  cot ; sec  csc

而正負值的判定，則依原任意角 x 所在象限決定。

y

例 (1) :
sin 120   sin 90   1  30  
奇數

  cos 30   

3

2
 Ⅱ， sin   0。

sin  (  )
csc 

全 ( )

Ⅱ Ⅰ

Ⅲ Ⅳ

tan  (  )

cos  (  )

cot 

sec 

x

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一般函數的定義與圖形
① 若 n 為奇數，則三角函數正、餘互換
sin  cos ; tan  cot ; sec  csc

而正負值的判定，則依原任意角 x 所在象限決定。

y

例 (2) :
tan 315   tan 90   3  45  
Ⅳ

奇數

  cot 45    1

  Ⅳ， tan   0。

sin  (  )
csc 

全 ( )

Ⅱ Ⅰ

Ⅲ Ⅳ

tan  (  )

cos  (  )

cot 

sec 

x

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一般函數的定義與圖形
② 若n 為偶數，則三角函數不變，
正負值依原任意角 x 所在象限決定。

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一般函數的定義與圖形
例如 :
cos 210  

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一般函數的定義與圖形
例如 :
cos 210   cos 90   2  30  

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一般函數的定義與圖形
例如 :
cos 210   cos 90   2  30  
偶數

  cos 30 

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一般函數的定義與圖形
例如 :
cos 210   cos 90   2  30  
偶數

  cos 30 

﹝ 210  在第三象限，cos 為負﹞

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一般函數的定義與圖形
例如 :
cos 210   cos 90   2  30  
偶數

  cos 30 

﹝ 210  在第三象限，cos 為負﹞

口訣：奇變，偶不變；正負看原角。

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一般函數的定義與圖形
③ 若遇到 90    ， 180    ， 270   
可先化為 90      ，先把     當正角

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一般函數的定義與圖形
③ 若遇到 90    ， 180    ， 270   
可先化為 90      ，先把     當正角
例如 :
cos 90      cos 90     


   sin  



  sin   

( cos 在第二象限為負)



( 而 sin (   )   sin  )

 sin 

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