Slide 1

Fungsi


Slide 2

Pengertian Fungsi
 Relasi : aturan yang mengawankan 2 himpunan
 Fungsi
Misalkan A dan B himpunan. Relasi biner f dari
A ke B merupakan suatu fungsi jika setiap
elemen di dalam A dihubungkan dengan tepat
satu elemen di dalam B, artinya :
 x1 , x 2  A ,

jika

x1  x 2 ,

maka

MA 1114 Kalkulus I

f  x1   f  x 2 

2


Slide 3

Pengertian Fungsi
Jika f adalah fungsi dari A ke B kita menuliskan
f:AB
yang artinya f memetakan A ke B.
A disebut daerah asal (domain) dari f dan B disebut
daerah hasil (codomain) dari f.

Relasi di bawah ini merupakan fungsi
A

B

a

1

i

2

u

i

3

e

4

o

5
MA 1114 Kalkulus I

3


Slide 4

Pengertian Fungsi
Relasi di bawah ini bukan merupakan fungsi :
A

a mempunyai
2 nilai

B

a

1

i

2

u

3

e

4

o

5

Himpunan yang berisi semua nilai pemetaan f disebut
jelajah (range) / jangkauan dari f. Perhatikan bahwa jelajah
dari f adalah himpunan bagian dari B.
MA 1114 Kalkulus I

4


Slide 5

Pengertian Fungsi
Jelajah : y f  x   y , x  A   B
Jelajah/range/jangkauan dinotasikan dengan Rf
Contoh :
1. Carilah domain dan range dari fungsi :
f x  

1
4x  3

Jawab :
a. Mencari domain
MA 1114 Kalkulus I

5


Slide 6

Pengertian Fungsi
syarat agar fungsi tersebut terdefinisi adalah :
4x  3  0

x  

3
4

Sehingga

3  3


D f     ,     ,  
4  4



atau

 3
   
 4

b. Mencari Range
R f    0  atau

R f     , 0   0 ,  

Hal ini dikarenakan f(x) tidak mungkin bernilai nol

MA 1114 Kalkulus I

6


Slide 7

Contoh
2. Carilah domain dan range dari fungsi :
f x  

x2
3x  1

a. Mencari domain
Syarat agar fungsi tersebut terdefinisi adalah :
3x  1  0
x  

1
3

1

Sehingga D t     ,   
3


 1


,



 3


MA 1114 Kalkulus I

7


Slide 8

Contoh
b. Range
f x   y 

x2
3x  1

Syarat fungsi tersebut terdefinisi,
3y 1  0

3 xy  y  x  2

y 

3 xy  x  2  y

Jadi

x 3 y  1   2  y
x 

2 y
3y 1

1
3

Rf

1 1


   ,    , 
3 3



1 
Atau    
3
MA 1114 Kalkulus I

8


Slide 9

Contoh
3. Carilah domain dan range dari fungsi :
f x  

 x  5x  6
2

a. Mencari domain
Syarat agar fungsi tersebut terdefinisi adalah :
 x  5x  6  0
2

 x  5x  6  0
2



 x  2  x  3  

TP = -2, -3

0

++

--3

++
-2

Jadi D f   3,  2 
MA 1114 Kalkulus I

9


Slide 10

Contoh
b. Mencari Range
f x   y 

 x  5x  6
2

y   x  5x  6
2

2

 x  5 x  y  6  0
2

2

Agar x   , maka D ≥ 0
 25  4 . 1 y  6   0
2

 25  4 y  24  0
2

 1 4y  0
2

MA 1114 Kalkulus I

10


Slide 11

Contoh
 1  2 y 1  2 y   0
1 1
TP   ,
2 2

--

++

--

1

1
2

Jadi, R f

2

 1 1
   ,   0 ,  
 2 2

 1
 0, 
 2
MA 1114 Kalkulus I

11


Slide 12

Macam-macam Fungsi
Macam-macam fungsi :

1. Fungsi polinom
f  x   a 0  a1 x  a 2 x  ...  a n x
2

n

-Fungsi konstan,
f  x   a0

-Fungsi linier,
f  x   a 0  a1 x

-Fungsi kuadrat,
f  x   a 0  a1 x  a 2 x

2

MA 1114 Kalkulus I

12


Slide 13

Macam-macam Fungsi
2. Fungsi Rasional
Bentuk umum :
px 

p(x), q(x) = fungsi polinom dengan q(x) ≠ 0

qx 

contoh :
f x  

 x  1 2
x  x 1
3

2

3. Fungsi harga/nilai mutlak
Fungsi yang mengandung harga mutlak, contoh :
f x   3 x  1  2 x  2
MA 1114 Kalkulus I

13


Slide 14

Macam-macam Fungsi
4. Fungsi bilangan bulat terbesar

x 

= Bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau
sama dengan x

x   n  n  x  n  1

5   5

 1, 2    2

3, 2   3
5. Fungsi Genap
Disebut fungsi genap jika f   x   f  x  dan grafiknya simetris

terhadap sumbu y
MA 1114 Kalkulus I

14


Slide 15

Macam-macam Fungsi
Contoh :
f x   x

2

f x   x
f  x   cos  x 

6. Fungsi Ganjil
Disebut fungsi ganjil jika f   x    f  x  dan grafiknya
simetris terhadap titik asal, contoh :
f  x   sin  x 

f x   x

3

MA 1114 Kalkulus I

15


Slide 16

Macam-macam Fungsi
7. Fungsi Komposisi
Diberikan fungsi f  x  dan g  x  , komposisi fungsi antara
f  x  dan g  x  ditulis  f  g  x   f  g  x  Domain dari

f

 g  x  adalah himpunan semua bilangan x dengan domain

g  x  sehingga g  x  di dalam

Df

Syarat agar dua fungsi bisa dikomposisikan, maka harus
terpenuhi R g  D f  

MA 1114 Kalkulus I

16


Slide 17

Fungsi Komposisi
Hal tersebut dapat diilustrasikan sebagai berikut :
(fog)(x)

g(x)

Dg

f(x)

Rg

Df

Rf

Rg  D f  
MA 1114 Kalkulus I

17


Slide 18

Fungsi Komposisi
Dengan cara yang sama,  g  f  x   g  f  x 

Syarat agar dua fungsi bisa dikomposisikan, maka harus
terpenuhi R f  D g  
Domain dari komposisi fungsi f dan g didefinisikan sbb :


 x  D


f x   D 

D f g  x  D g g x  D f
D g f

f

g

Sedangkan definisi dari Range komposisi fungsi komposisi


  f t   R

R g  f  g t   R g t  R f
R f g

f

t  Rg




atau R g  f  y  R g y  g t , t  R f 
atau R f  g  y  R f y  f t , t  R g 
MA 1114 Kalkulus I

18


Slide 19

Fungsi Komposisi
Sifat-sifat fungsi komposisi :

f
 f

 g  x    g  f
 g   h  x  

 f   g  h  x 

Contoh :
1. Jika diketahui
g f

 x 

f x  

x

g x   1  x

2

Tentukan

dan f  g beserta domain dan range-nya!

D f  0 ,  

Dg  

R f  0 ,  

R g     ,1

MA 1114 Kalkulus I

19


Slide 20

Contoh
Karena R f  D g = 0 ,     , maka fungsi g  f
terdefinisi

 g  f  x   g  f  x  

g

 x 1 x

a. Mencari Domain g  f



D g f  x  D f f x   D g



 x  0 ,  



 x  0 



x 



x 


MA 1114 Kalkulus I

20


Slide 21

Contoh



 x0

x 0



 x  0 x  0 
 x  0 ,    0 ,  

 x  0 ,  

b. Mencari Range g  f


 y     ,1 y  1  t

R g  f  y  R g y  g t , t  R f

Rg  f

2





, t  0 ,  

Jadi R g  f  y     ,1     ,1
 y     ,1
MA 1114 Kalkulus I

21


Slide 22

Contoh
Karena R g  D f     ,1  0 ,    0 ,1   , maka fungsi
f g

f

terdefinisi dengan
 g  x  

f 1  x

f  g  x  

2



1 x

2

c.Domain f  g



D f g  x  D g g x   D f


 x   1  x





 x   1  x  0 ,  
2

2

0



 x    1  x  1

    1,1

  1,1

MA 1114 Kalkulus I

22


Slide 23

Contoh
d. Range f  g





R f  g  y  R f y  f t , t  R g


 y  0 y 

 y  0 ,   y 



t , t     ,1



t ,0  t  1

 y  0 0  y  1
 0 ,    0 ,1

 0 ,1

MA 1114 Kalkulus I

23


Slide 24

Contoh
2. Jika diketahui fungsi
f x   x x

Df  

g x   x  1

Rf  

Rg  

Dg  

Tentukan g  f beserta domain dan range-nya!
R f  D g =        , sehingga g  f

a. Domain g  f


 x  

x x 





D g f  x  D f f x   D g

terdefinisi





MA 1114 Kalkulus I

24


Slide 25

Contoh
b. Range g  f



R g  f  y  R g y  g t , t  R f



 y   y  t  1, t   
 

MA 1114 Kalkulus I

25


Slide 26

Grafik dari fungsi
1. Garis Lurus
y  mx  c

persamaan garis lurus yang melewati (0,c)
contoh :
y  x3
3

-3

MA 1114 Kalkulus I

26


Slide 27

Garis Lurus
y 

y1   m  x  x1 

Persamaan garis lurus melalui  x 1 , y 1 
y  y1
y 2  y1



x  x1
x 2  x1

Persamaan garis lurus melalui  x 1 , y 1  &  x 2 , y 2 
2. Grafik fungsi kuadrat (parabola)
y  ax

2

 bx  c

Diskriminan  D  b 2  4 ac
MA 1114 Kalkulus I

27


Slide 28

Grafik Fungsi Kuadrat
Titik puncak =

b
D 

,


4a 
 2a

y
a >0

x
D>0

D=0

MA 1114 Kalkulus I

D<0

28


Slide 29

Grafik Fungsi Kuadrat
Contoh :
Gambarlah grafik fungsi y  x 2  x  1
a =1 jadi a > 0  grafik menghadap ke atas
D  b  4 ac
2

1 4
2

= -3 < 0

 tidak menyinggung sumbu x

MA 1114 Kalkulus I

29


Slide 30

Grafik Fungsi Kuadrat
 Titik potong dengan sumbu koordinat
Karena D<0, maka titik potong dengan sumbu x tidak
ada
Titik potong dengan sumbu y
x=0y=1
dengan demikian grafik melalui (0,1)
• Titik puncak =

b
D 


,



4a 
 2a

 1 3
  , 
 2 4
MA 1114 Kalkulus I

30


Slide 31

Grafik Fungsi Kuadrat
Gambar grafik fungsi
y  x  x 1
2

Untuk persamaan kuadrat
x  ay

2

 by  c


D



4a

Titik puncak =  
1
3

4

Sumbu simetri = 

,

b 

2a 

b
2a

-1 

1

2

MA 1114 Kalkulus I

31


Slide 32

Grafik Fungsi Majemuk/banyak
aturan
3. Grafik Fungsi Majemuk

Contoh :
1. Gambarkan grafik fungsi f ( x )  x
 x
x  
 x

,x  0
,x  0
y=-x

MA 1114 Kalkulus I

y=x

32


Slide 33

Grafik Fungsi Majemuk
2. Gambarkan grafik fungsi
 1
f x   
x  2

x 2
x  2
y  x2

Grafiknya terdiri dari 2
bagian, yaitu garis y  1
untuk x  2 dan garis
y  x  2 untuk x  2

MA 1114 Kalkulus I

y 1
2

33


Slide 34

Grafik Fungsi Majemuk
3. Gambarkan grafik dari fungsi
f x  

x 4
2

x2

f(x) terdefinisi untuk setiap x kecuali 2, sehingga
domain dari f(x) adalah semua bilangan riil kecuali 2
Fungsi f(x) dapat diuraikan sebagai berikut :

 x  2  x  2 
f x  
x  2 

MA 1114 Kalkulus I

34


Slide 35

Grafik Fungsi Majemuk
atau f  x   x  2 , jika x  2

Range dari f(x) adalah semua bilangan riil kecuali 4.
Jadi grafiknya terdiri dari semua titik pada garis y  x  2
kecuali titik (2,4).
y  x2

4

2

MA 1114 Kalkulus I

35


Slide 36

Grafik Fungsi Majemuk
3. Gambarkan grafik dari fungsi
f x   1  3 x

Kita definisikan :
1  3 x
1 3 x  
1  3 x

1

x0
x0

y  1  3x

 13

MA 1114 Kalkulus I

y  1  3x

1

3

36


Slide 37

Translasi
Untuk fungsi yang dinyatakan sebagai y  f  x  , a > 0
y  f x  a 

 grafik y  f  x  mengalami pergeseran sejauh a ke kanan
y  f x  a 

 grafik y  f  x  mengalami pergeseran sejauh a ke kiri

y  f x   a
 grafik y  f  x  mengalami pergeseran sejauh a ke atas
y  f x   a

 grafik y  f  x  mengalami pergeseran sejauh a ke bawah
MA 1114 Kalkulus I

37


Slide 38

Translasi
Untuk fungsi yang dinyatakan sebagai x  f  y  , a > 0
x  f y  a

 grafik x  f  y  mengalami pergeseran sejauh a ke atas
x  f y  a

 grafik x  f  y  mengalami pergeseran sejauh a ke bawah

x  f y a
 grafik x  f  y  mengalami pergeseran sejauh a ke kanan
x  f y a

 grafik x  f  y  mengalami pergeseran sejauh a ke kiri
MA 1114 Kalkulus I

38


Slide 39

Contoh Translasi
1. Gambarkan grafik dari fungsi
f x   x  4 x  5
2

 x  4 x  4   4  5
2

 x  2   1
2

y  x  2 

y  x2

y  x  2

4

2

2

2

 y  x 2 digeser sejauh
2 ke kanan

MA 1114 Kalkulus I

39


Slide 40

Contoh Translasi
Kemudian y   x  2 

2

digeser sejauh 1 ke atas

maka akan terbentuk y   x  2   1
2

2
y  x  2   1

4
y  x  2 

2

2

MA 1114 Kalkulus I

40


Slide 41

Contoh Translasi
2. Gambarkan grafik fungsi f  x   1  3 x
Kita lihat dahulu grafik y  3 x
3

y  3 x

y  3x
:

MA 1114 Kalkulus I

41


Slide 42

Contoh Translasi
Grafik y  1  3 x dapat
dipandang sebagai grafik
y  3 x

1

yang digeser

ke atas sejauh 1 satuan

y 1 3 x

y  3 x

MA 1114 Kalkulus I

42


Slide 43

Soal Latihan
Tentukan domain dan range dari fungsi di bawah ini

1 f x   3  2  4 x
2
,

f x  

xx  3

5 Diketahui

x 1

f ( x) 

3

f x   3 x 

4

f x  

4 x

1

2

x

x  5x  6
2

g (x)  x

Apakah f o g terdefinisi? Bila ya, tentukan rumusan dari
f o g dan domain dari f o g.
Gambarkan grafik dari fungsi di bawah ini
6 f x   x x  2 

7

f x  

3 x2

MA 1114 Kalkulus I

43