Transcript proiezioni ortogonali
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Lezione 3B
PROIEZIONI ORTOGONALI
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Lezione 3B
PROIEZIONI ORTOGONALI
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RAPPRESENTAZIONE E RICOSTRUZIONE DEGLI ENTI FONDAMENTALI NELLO SPAZIO _ IL PUNTO
Assegnati i due
piani di
proiezione lo
spazio risulta
diviso in quattro
quadranti. La
retta di
intersezione dei
due piani è
definita linea di
terra
Considerando un punto P nello spazio, solitamente posto
sul primo quadrante, dai centri S1 e S2 impropri, normali
ai piani di proiezione, viene proiettato il punto
costruendo per esso le perpendicolari al primo e secondo
piano. I punti di intersezione, P1 e P2 rappresentano la
prima e seconda proiezione del punto.
Ribaltando il secondo piano sul primo, le rette di
intersezione dei due piani di proiezione tenderanno a
coincidere in un’unica retta che sarà ortogonale alla linea
di terra e passerà per la prima e seconda proiezione del
punto.
Lezione 3B
PROIEZIONI ORTOGONALI
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RAPPRESENTAZIONE E RICOSTRUZIONE DEGLI ENTI FONDAMENTALI NELLO SPAZIO _ IL PUNTO
La retta che
proietta P in
P1 misura un
segmento PP1
detto quota
del punto;
La retta che
proietta P in
P2 misura un
segmento PP2
detto aggetto
del punto.
Lezione 3B
PROIEZIONI ORTOGONALI
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RAPPRESENTAZIONE E RICOSTRUZIONE DEGLI ENTI FONDAMENTALI NELLO SPAZIO _ LA RETTA
Data una retta r,
proiettarla da S,
punto improprio,
sul primo piano
significa costruire
il piano
proiettante e
sezionarlo con il
piano di
proiezione; r1 è la
prima proiezione
della retta.
La retta r, è così
rappresentata
secondo il metodo
di Monge.
Lezione 3B
Data una retta r,
proiettarla da S,
punto improprio,
sul secondo
piano significa
costruire il piano
proiettante e
sezionarlo con il
piano di
proiezione; r2 è
la seconda
proiezione della
retta.
Nelle applicazioni
la retta r è
individuata per
mezzo di due
punti che le
appartengono. Se
la retta appartiene
ai punti P e Q, la
sua prima
proiezione r1
appartiene alle
prime proiezioni
dei punti P1 e Q1.
PROIEZIONI ORTOGONALI
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RAPPRESENTAZIONE E RICOSTRUZIONE DEGLI ENTI FONDAMENTALI NELLO SPAZIO _ LA RETTA
L’intersezione della
retta r e del primo
piano di proiezione si
chiama prima traccia
della retta T’r,
l’intersezione della
retta r con il secondo
piano di proiezione si
chiama seconda
traccia della retta T’’r.
Il punto della retta che
ha quota nulla è
rappresentato dalla
prima traccia, il punto
della retta che ha
aggetto nullo è la sua
seconda traccia.
Se la rappresentazione
è ottenuta mediante
due punti qualsiasi la
retta si ricostruisce
attraverso la
ricostruzione dei due
punti che la
individuano
Lezione 3B
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RAPPRESENTAZIONE E RICOSTRUZIONE DEGLI ENTI FONDAMENTALI NELLO SPAZIO _ IL PIANO
La Prima traccia di un piano è la retta intersezione di questo
con il primo piano di proiezione, si indica con il simbolo t’;
La Seconda traccia di un piano è la retta intersezione di
questo con il secondo piano di proiezione, si indica con il
simbolo t’’;
Le due tracce di un piano si incontrano in un punto della linea
di terra.
Lezione 3B
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RAPPRESENTAZIONE E RICOSTRUZIONE DEGLI ENTI FONDAMENTALI NELLO SPAZIO _ CONDIZIONI DI APPARTENENZA
Se una retta r
appartiene ad un
piano alfa, le tracce
della retta
appartengono alle
tracce omonime del
piano.
Assegnate le tracce
t’ e t’’ di un piano e
la prima proiezione
di una retta è
possibile costruire la
seconda proiezione
della retta.
Se si vuole
rappresentare un
punto che
appartenga ad un
piano rappresentato
mediante le tracce,
occorre far si che le
sue proiezioni
appartengano alle
proiezioni omonime
di una retta del
piano.
Lezione 3B
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RAPPRESENTAZIONE E RICOSTRUZIONE DEGLI ENTI FONDAMENTALI NELLO SPAZIO _ CONDIZIONI DI PARALLELISMO
Per le condizioni di parallelismo, se due rette sono parallele
hanno la medesima direzione.
Da ciò, in P. O. se due rette sono parallele, esse hanno
parallele le proiezioni omonime.
Due piani paralleli, sono sezionati dal primo e secondo piano
di proiezione secondo coppie di rette parallele, hanno perciò
parallele le tracce omonime. Quindi, tracce omonime
parallele rappresentano piani paralleli
Lezione 3B
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CONDIZIONI DI APPARTENENZA E PARALLELISMO: ESEMPIO
COSTRUZIONE DEL
PIANO ALFA CHE
CONTIENE UN PUNTO P
ED E’ PARALLELO AD UN
ALTRO PIANO DATO
BETA.
Lezione 3B
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PUNTI IN POSIZIONI PARTICOLARI
Quando un punto, una retta, un piano assumono posizioni particolari rispetto ai piani di proiezione, anche la
loro prima e seconda proiezione assumono caratteristiche particolari
Punti appartenenti al
primo piano di
proiezione coincidono
con la loro prima
proiezione mentre
hanno la seconda sulla
linea di terra. Viceversa
se appartengono al
secondo piano di
proiezione
Punti situati nel secondo
quadrante hanno
entrambe le proiezioni
sopra la linea di terra.
Punti situati nel quarto
quadrante hanno
entrambe le proiezioni
sotto la linea di terra.
Lezione 3B
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PUNTI E RETTE IN POSIZIONI PARTICOLARI
Costruendo un piano bisettore che passa per la linea
di terra, i punti che appartengono a questo piano
hanno le proiezioni coincidenti.
Se una retta è parallela al primo piano di proiezione,
il che significa che è orizzontale , la sua seconda
proiezione è parallela alla linea di terra
Lezione 3B
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RETTE IN POSIZIONI
PARTICOLARI
Se una retta è
parallela al
secondo piano
di proiezione,
la sua prima
proiezione è
parallela alla
linea di terra
Se una retta
giace sul
secondo piano
di proiezione,
la sua prima
proiezione
coincide con
la linea di
terra e
viceversa
Segmenti di
rette
orizzontali e
frontali sono
proiettati in
vera
grandezza sul
primo e sul
secondo piano
di proiezione
Lezione 3B
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RETTE IN POSIZIONI PARTICOLARI
Se una retta è
perpendicolare
al secondo
piano di
proiezione, la
sua seconda
proiezione è un
punto, la prima
è ortogonale
alla linea di
terra
Se una retta è
perpendicolare
al primo piano
di proiezione, la
sua prima
proiezione è un
punto, la
seconda è
ortogonale alla
linea di terra
Lezione 3B
Se una retta
appartiene al
primo piano
bisettore
forma angoli
uguali con i
piani di
proiezione ed
è incidente la
linea di terra
in un punto R,
le sue
proiezioni
formano
angoli uguali
con la L. T.
Se una retta
appartiene al
secondo piano
bisettore
forma angoli
uguali con i
piani di
proiezione ed
è incidente la
linea di terra
in un punto R,
le sue
proiezioni
sono
coincidenti
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L’OPERAZIONE DI RIBALTAMENTO – ANGOLI IN VERA FORMA E GRANDEZZA
Solitamente l’immagine di un segmento o delle
rette che comprendono un dato angolo è
scorciata per effetto della proiezione. Con il
ribaltamento del piano appartenente agli
oggetti osservati si riesce a restituire la vera
forma degli oggetti.
I punti del piano ribaltato descrivono archi di
circonferenza che giacciono in piani
perpendicolari alla cerniera.
I punti del piano conservano la loro reciproca
posizione sul piano stesso, perciò anche la loro
distanza dalla cerniera
Lezione 3B
MISURA DELL’ ANGOLO FORMATO DALLA
RETTA r RISPETTO AL PRIMO PIANO DI
PROIEZIONE
PROIEZIONI ORTOGONALI
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LE SEZIONI DI UN PIANO – ANGOLI IN VERA FORMA E GRANDEZZA
La sezione retta si ottiene
tagliando i piani alfa e beta con
un terzo piano gamma
perpendicolare ad entrambi.
E’ possibile eseguire la sezione
retta anche di un piano
generico considerando il diedro
formato con il primo piano di
proiezione. Si tratta di
individuare la cosiddetta “retta
di massima pendenza”
Dato un piano alfa generico, si
consideri il piano gamma,
proiettante in prima proiezione
e che abbia la sua prima traccia
perpendicolare alla prima
traccia del piano alfa. La sua
seconda traccia sarà ortogonale
alla linea di terra. I punti di
intersezione delle tracce
omonime sono le tracce della
retta p di massima pendenza
risultato della sezione.
Lezione 3B
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L’OPERAZIONE DI RIBALTAMENTO – ANGOLI IN VERA FORMA E GRANDEZZA
COSTRUZIONE DELL’ANGOLO DI PENDIO DI UN PIANO ALFA
GENERICO _ RETTA DI MASSIMA PENDENZA p
Lezione 3B
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LA VERA FORMA DI UNA FIGURA PIANA
ESEMPIO: LA FIGURA PIANA RISULTANTE DALLA SEZIONE DI UN SOLIDO CON UN PIANO GENERICO COMUNQUE INCLINATO
Lezione 3B
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APPLICAZIONI DELLE PROIEZIONI ORTOGONALI CON L’USO DEL TERZO QUADRO
Per quanto due quadri siano sufficienti per rappresentare qualsiasi punto nello spazio, è utile in alcune rappresentazioni
utilizzare un terzo quadro, detto piano di profilo, normale ai due quadri.
Quadrato
orizzontale
avente i lati
paralleli al
primo e
secondo quadro
Trapezio
parallelo al
secondo quadro
Lezione 3B
Cerchio verticale in
posizione generica
PROIEZIONI ORTOGONALI
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APPLICAZIONI DELLE PROIEZIONI ORTOGONALI CON L’USO DEL TERZO QUADRO
Lezione 3B
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APPLICAZIONI DELLE PROIEZIONI ORTOGONALI CON L’USO DEL TERZO QUADRO
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APPLICAZIONI DELLE PROIEZIONI ORTOGONALI CON L’USO DEL TERZO QUADRO
Parallelepipedo
con le facce
parallele ai tre
quadri
Parallelepipedo
e piramide retta
inclinata rispetto
al primo e terzo
quadro
Lezione 3B
Cilindro retto
con asse
parallelo al
secondo quadro
ma inclinato
rispetto al primo
Parallelepipedo,
sfera e piramide
rettacon facce
parallele ai tre
quadri
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RAPPRESENTAZIONE E RICOSTRUZIONE DEGLI ENTI FONDAMENTALI NELLO SPAZIO _ IL PUNTO
Assegnati i due
piani di
proiezione lo
spazio risulta
diviso in quattro
quadranti. La
retta di
intersezione dei
due piani è
definita linea di
terra
Considerando un punto P nello spazio, solitamente posto
sul primo quadrante, dai centri S1 e S2 impropri, normali
ai piani di proiezione, viene proiettato il punto
costruendo per esso le perpendicolari al primo e secondo
piano. I punti di intersezione, P1 e P2 rappresentano la
prima e seconda proiezione del punto.
Ribaltando il secondo piano sul primo, le rette di
intersezione dei due piani di proiezione tenderanno a
coincidere in un’unica retta che sarà ortogonale alla linea
di terra e passerà per la prima e seconda proiezione del
punto.
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RAPPRESENTAZIONE E RICOSTRUZIONE DEGLI ENTI FONDAMENTALI NELLO SPAZIO _ IL PUNTO
La retta che
proietta P in
P1 misura un
segmento PP1
detto quota
del punto;
La retta che
proietta P in
P2 misura un
segmento PP2
detto aggetto
del punto.
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RAPPRESENTAZIONE E RICOSTRUZIONE DEGLI ENTI FONDAMENTALI NELLO SPAZIO _ LA RETTA
Data una retta r,
proiettarla da S,
punto improprio,
sul primo piano
significa costruire
il piano
proiettante e
sezionarlo con il
piano di
proiezione; r1 è la
prima proiezione
della retta.
La retta r, è così
rappresentata
secondo il metodo
di Monge.
Lezione 3B
Data una retta r,
proiettarla da S,
punto improprio,
sul secondo
piano significa
costruire il piano
proiettante e
sezionarlo con il
piano di
proiezione; r2 è
la seconda
proiezione della
retta.
Nelle applicazioni
la retta r è
individuata per
mezzo di due
punti che le
appartengono. Se
la retta appartiene
ai punti P e Q, la
sua prima
proiezione r1
appartiene alle
prime proiezioni
dei punti P1 e Q1.
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RAPPRESENTAZIONE E RICOSTRUZIONE DEGLI ENTI FONDAMENTALI NELLO SPAZIO _ LA RETTA
L’intersezione della
retta r e del primo
piano di proiezione si
chiama prima traccia
della retta T’r,
l’intersezione della
retta r con il secondo
piano di proiezione si
chiama seconda
traccia della retta T’’r.
Il punto della retta che
ha quota nulla è
rappresentato dalla
prima traccia, il punto
della retta che ha
aggetto nullo è la sua
seconda traccia.
Se la rappresentazione
è ottenuta mediante
due punti qualsiasi la
retta si ricostruisce
attraverso la
ricostruzione dei due
punti che la
individuano
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RAPPRESENTAZIONE E RICOSTRUZIONE DEGLI ENTI FONDAMENTALI NELLO SPAZIO _ IL PIANO
La Prima traccia di un piano è la retta intersezione di questo
con il primo piano di proiezione, si indica con il simbolo t’;
La Seconda traccia di un piano è la retta intersezione di
questo con il secondo piano di proiezione, si indica con il
simbolo t’’;
Le due tracce di un piano si incontrano in un punto della linea
di terra.
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RAPPRESENTAZIONE E RICOSTRUZIONE DEGLI ENTI FONDAMENTALI NELLO SPAZIO _ CONDIZIONI DI APPARTENENZA
Se una retta r
appartiene ad un
piano alfa, le tracce
della retta
appartengono alle
tracce omonime del
piano.
Assegnate le tracce
t’ e t’’ di un piano e
la prima proiezione
di una retta è
possibile costruire la
seconda proiezione
della retta.
Se si vuole
rappresentare un
punto che
appartenga ad un
piano rappresentato
mediante le tracce,
occorre far si che le
sue proiezioni
appartengano alle
proiezioni omonime
di una retta del
piano.
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RAPPRESENTAZIONE E RICOSTRUZIONE DEGLI ENTI FONDAMENTALI NELLO SPAZIO _ CONDIZIONI DI PARALLELISMO
Per le condizioni di parallelismo, se due rette sono parallele
hanno la medesima direzione.
Da ciò, in P. O. se due rette sono parallele, esse hanno
parallele le proiezioni omonime.
Due piani paralleli, sono sezionati dal primo e secondo piano
di proiezione secondo coppie di rette parallele, hanno perciò
parallele le tracce omonime. Quindi, tracce omonime
parallele rappresentano piani paralleli
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CONDIZIONI DI APPARTENENZA E PARALLELISMO: ESEMPIO
COSTRUZIONE DEL
PIANO ALFA CHE
CONTIENE UN PUNTO P
ED E’ PARALLELO AD UN
ALTRO PIANO DATO
BETA.
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PUNTI IN POSIZIONI PARTICOLARI
Quando un punto, una retta, un piano assumono posizioni particolari rispetto ai piani di proiezione, anche la
loro prima e seconda proiezione assumono caratteristiche particolari
Punti appartenenti al
primo piano di
proiezione coincidono
con la loro prima
proiezione mentre
hanno la seconda sulla
linea di terra. Viceversa
se appartengono al
secondo piano di
proiezione
Punti situati nel secondo
quadrante hanno
entrambe le proiezioni
sopra la linea di terra.
Punti situati nel quarto
quadrante hanno
entrambe le proiezioni
sotto la linea di terra.
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PUNTI E RETTE IN POSIZIONI PARTICOLARI
Costruendo un piano bisettore che passa per la linea
di terra, i punti che appartengono a questo piano
hanno le proiezioni coincidenti.
Se una retta è parallela al primo piano di proiezione,
il che significa che è orizzontale , la sua seconda
proiezione è parallela alla linea di terra
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RETTE IN POSIZIONI
PARTICOLARI
Se una retta è
parallela al
secondo piano
di proiezione,
la sua prima
proiezione è
parallela alla
linea di terra
Se una retta
giace sul
secondo piano
di proiezione,
la sua prima
proiezione
coincide con
la linea di
terra e
viceversa
Segmenti di
rette
orizzontali e
frontali sono
proiettati in
vera
grandezza sul
primo e sul
secondo piano
di proiezione
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RETTE IN POSIZIONI PARTICOLARI
Se una retta è
perpendicolare
al secondo
piano di
proiezione, la
sua seconda
proiezione è un
punto, la prima
è ortogonale
alla linea di
terra
Se una retta è
perpendicolare
al primo piano
di proiezione, la
sua prima
proiezione è un
punto, la
seconda è
ortogonale alla
linea di terra
Lezione 3B
Se una retta
appartiene al
primo piano
bisettore
forma angoli
uguali con i
piani di
proiezione ed
è incidente la
linea di terra
in un punto R,
le sue
proiezioni
formano
angoli uguali
con la L. T.
Se una retta
appartiene al
secondo piano
bisettore
forma angoli
uguali con i
piani di
proiezione ed
è incidente la
linea di terra
in un punto R,
le sue
proiezioni
sono
coincidenti
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L’OPERAZIONE DI RIBALTAMENTO – ANGOLI IN VERA FORMA E GRANDEZZA
Solitamente l’immagine di un segmento o delle
rette che comprendono un dato angolo è
scorciata per effetto della proiezione. Con il
ribaltamento del piano appartenente agli
oggetti osservati si riesce a restituire la vera
forma degli oggetti.
I punti del piano ribaltato descrivono archi di
circonferenza che giacciono in piani
perpendicolari alla cerniera.
I punti del piano conservano la loro reciproca
posizione sul piano stesso, perciò anche la loro
distanza dalla cerniera
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MISURA DELL’ ANGOLO FORMATO DALLA
RETTA r RISPETTO AL PRIMO PIANO DI
PROIEZIONE
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LE SEZIONI DI UN PIANO – ANGOLI IN VERA FORMA E GRANDEZZA
La sezione retta si ottiene
tagliando i piani alfa e beta con
un terzo piano gamma
perpendicolare ad entrambi.
E’ possibile eseguire la sezione
retta anche di un piano
generico considerando il diedro
formato con il primo piano di
proiezione. Si tratta di
individuare la cosiddetta “retta
di massima pendenza”
Dato un piano alfa generico, si
consideri il piano gamma,
proiettante in prima proiezione
e che abbia la sua prima traccia
perpendicolare alla prima
traccia del piano alfa. La sua
seconda traccia sarà ortogonale
alla linea di terra. I punti di
intersezione delle tracce
omonime sono le tracce della
retta p di massima pendenza
risultato della sezione.
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L’OPERAZIONE DI RIBALTAMENTO – ANGOLI IN VERA FORMA E GRANDEZZA
COSTRUZIONE DELL’ANGOLO DI PENDIO DI UN PIANO ALFA
GENERICO _ RETTA DI MASSIMA PENDENZA p
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LA VERA FORMA DI UNA FIGURA PIANA
ESEMPIO: LA FIGURA PIANA RISULTANTE DALLA SEZIONE DI UN SOLIDO CON UN PIANO GENERICO COMUNQUE INCLINATO
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APPLICAZIONI DELLE PROIEZIONI ORTOGONALI CON L’USO DEL TERZO QUADRO
Per quanto due quadri siano sufficienti per rappresentare qualsiasi punto nello spazio, è utile in alcune rappresentazioni
utilizzare un terzo quadro, detto piano di profilo, normale ai due quadri.
Quadrato
orizzontale
avente i lati
paralleli al
primo e
secondo quadro
Trapezio
parallelo al
secondo quadro
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Cerchio verticale in
posizione generica
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APPLICAZIONI DELLE PROIEZIONI ORTOGONALI CON L’USO DEL TERZO QUADRO
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APPLICAZIONI DELLE PROIEZIONI ORTOGONALI CON L’USO DEL TERZO QUADRO
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APPLICAZIONI DELLE PROIEZIONI ORTOGONALI CON L’USO DEL TERZO QUADRO
Parallelepipedo
con le facce
parallele ai tre
quadri
Parallelepipedo
e piramide retta
inclinata rispetto
al primo e terzo
quadro
Lezione 3B
Cilindro retto
con asse
parallelo al
secondo quadro
ma inclinato
rispetto al primo
Parallelepipedo,
sfera e piramide
rettacon facce
parallele ai tre
quadri
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